2016中考数学专题复习——距离和差最值问题汇总.pdf

两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求
最值。
一、 “两点之间的连线中，线段最短”，凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都
应用这一模型。 几何模型：“饮马问题”
条件：如图， A 、 B 是直线 l 同旁的两个定点． 问题：在直线 l 上确定一点 P ，使 PA + PB 的值最小． 方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A ，连结 AB 交 l 于点 P ，
； B
A
E P
图1 E
C
（1）如图 2，⊙O 的半径为 2，点 A、B、C 在⊙O 上，OA ⊥ OB ，AOC = 60°， P 是
OB 上一动点，求DPA + PC 的最小值；
A
C
图2
PB
O
（2）一次函数 y − kx + b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0），B（0，4）．O 为坐标原点，
设 OA、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点，求 PC＋PD 的最小值，并求取得最小值时
P 点坐标．
y
B
D P
O CA x
图3
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（3）已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为 x＝1，且抛物线经过 A（—1，0）、B（0，
—3）两点，与 x 轴交于另一点 B．在抛物线的对称轴 x＝1 上求一点 M，使点 M 到点 A 的距
离与到点 C 的距离之和最小，并求出此时点 M 的坐标；
y x＝1
A O
B x
C
例 2，如图，两条公路 OA、OB 相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点 P，如在两条公 路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库 出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.
A 随之在 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点
O 的最大距离为
．
7．如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作等腰直
角△ACD 和等腰直角△BCE，那么 DE 长的最小值是
．
8．如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一
点，则 PK+QK 的最小值为
．
9．如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为边 BC 上的任意一点（可与 B、C 重合），分
别过 B、C、D 作射线 AP 的垂线，垂足分别为 B′、C′、D′，则 BB′+CC′+DD′的取值范
围是
．
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10．2010 宁德第 25 题：如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD
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2016 中考数学专题复习：最短距离问题导读
最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中
考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最
值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形
O
x
练习：1．如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a=
．
2．如图，A、B 两点在直线的两侧，点 A 到直线的距离 AM=4，点 B 到直线的距离 BN=1，且
MN=4，P 为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为
．
A
B′ D
M
NP
B
3. 如图，菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和 1，P、E、F 分别是
（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，
连接 EN、AM、CM.⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
A
D
⑵ ①当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小；
②当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由；
E
⑶ 当 AM＋BM＋CM 的最小值为 3 + 1时，求正方形的边长.
A
P
A
′
B l
则 PA+ PB = AB 的值最小（不必证明）．
模型应用：
例 1，如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点．连结 BD ，
由正方形对称性可知， B 与 D 关于直线 AC 对称．连结 ED 交 AC 于 P ，则 PB + PE 的最
小值是
边 CD、⊙A 和⊙B 上的动点，则 PE+PF 的最小值是
．
4．动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边
上的 A′处，折痕为 PQ，当点 A′在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动．若限定
点 P、Q 分别在 AB、AD 边上移动，则点 A′在 BC 边上可移动的最大距离为
N
M
A
D
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
E
N
M
F
B
C
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二、归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大
都应用这一模型。
如图，抛物线 y = − 1 x2 − x + 2 的顶点为 A，与 y 轴交于点 B． 4
(1)若点 P 是 x 轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；
y
·A B
(2)当 PA-PB 最大时，求点 P 的坐标.
．
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5．如图，直角梯形纸片 ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点 E、F 分别在线段 AB、AD 上，
将△AEF 沿 EF 翻折，点 A 的落点记为 P．当 P 落在直角梯形 ABCD 内部时，PD 的最小值等
于
．
6．如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，
同类题训练：
如图 4，AOB = 45°，P 是 AOB 内一点，PO = 10 ，Q 、R 分别是 OA、OB 上的动点，求 △PQR 周长的最小值．
B
R
P
Q
A
O
图4
例 3. 如图，村庄 A、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a、b 彼此平行，现在要建设一座与河 岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程 最近？