直线与双曲线的位置关系

襄阳一中 2013届 高二数学 学科学导案

学习时间 2012年2月 日 学案编号 学习内容 直线与双曲线位置关系 主笔人 宋华 审核人 包雪 学 习 目 标

1.掌握直线与双曲线位置关系．

2．掌握直线与双曲线有关的弦长，中点等问题，会求与双曲线有关的简单的

轨迹方程.

知 识 结 构

学 习 方 法 直线与双曲线位置关系 探究，观察，归纳总结

学习过程 不看不讲 不议不讲 不练不讲

知识回顾 （1）：直线与椭圆的位置关系有几种？ （2）：如何判断直线与椭圆的位置关系？ （3）：弦长公式

【探究与思考1】 1直线与双曲线的位置关系有几种？ 2如何判定直线与双曲线的位置关系？

类型一 直线与双曲线的交点问题

[例1]求直线1-=kx y 与双曲线

422=-y x 在下列条件下k 的取值范围? ⑴无交点 ⑵一个交点 ⑶两个交点

类型二 弦长问题

[例2] 过双曲线x 2－y

2

3

＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π

6

的弦AB ，求|AB|的长．

【探究与思考2】 如何求弦长|AB|？

()22

22 1 0x y a b a b +=>>

类型三 中点弦问题

例：已知双曲线2

2

31x y -=，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A 、B 两点．若P 为AB 的中点，

(1)求直线AB 的方程； (2)求弦AB 的长．

变式：已知双曲线方程221

12

x y -=，试

问过点A(1,1)能否作直线了，使与双曲线交于两点P 1P 2且A 是线段P 1P 2中点，这样的直线存在吗？若存在，求出它的方程。若不存在，说明理由。

【探究与思考3】

椭圆的中点弦问题用什么方法解决？这里的解决方法一样吗？

课堂检测

1已知双曲线方程为x 2－y

2

4

＝1，过P(1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l

的条数为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

2．直线3x －y ＋3＝0被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦AB 的长为________．

3．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．

4设双曲线C ：x 2

a

2－y 2＝1(a>0)与直线l ：

x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B. (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范

围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA

→

＝5

12PB →，求a 的值．

5已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为

(2,0)，右顶点为(3，0)．

(1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，

且OA →·OB →

>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．

课堂小结：

通过本节课学习,你有那些收获？