组合问题.ppt
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排列组合问题17种方法.ppt
练习题
1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这 两个节目插入原节目单中，那么不同插法的 种数为（ 42 ）
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法
（ 78 ）
六.环排问题线排策略 例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法?
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素.
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
1.排列的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的
顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个
元素的一个排列。
2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共
有C__52种方法.再把5个元素(包含一个复合
元素)装入4个不同的盒内有_A__44__种方法.
根据分步计数原理装球的方法共有C__52_A_44_
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似 吗?
练习题
一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人
C
C2
6
C2
4
22种方法,但这里出现重复计数
的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取
CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则 有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)
C
C2
6
C2
4
高中组合问题ppt课件
在数据处理中的应用
数据分组
对数据进行分组时，可以应用组合计数方法来计算分组数。例如，对10个人进行分组， 可以分为C(10,3)组，即从10个人中选择3个人为一组的方法数。
数据排序
在数据处理中，经常需要对数据进行排序。组合计数方法可以用来计算不同排序方法的可 能性数量。例如，对3个数进行排序，可以分为C(3,3)/A(3,3)种不同的排序方法。
高中组合问题ppt课 件
目录
• 组合问题概述 • 组合的基本性质 • 组合问题的解决方法 • 组合问题的实际应用 • 练习与思考
01 组合问题概述
什么是组合
组合是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
组合数公式：C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]
组合与排列的区别
排列与组合的区别在于：排列不考虑 取出元素的顺序，而组合需要考虑取 出元素的顺序。
从排列与组合异同点来看，它们都是 从n个不同元素中取出m个元素，而排 列不考虑取出元素的顺序，组合需要 考虑取出元素的顺序。
组合问题的应用场景
• 组合在日常生活中有着广泛的应用，如彩票、博彩 、概率统计、密码学等领域。在解决实际问题时， 我们需要根据具体问题的要求和条件，灵活运用组 合的知识和方法来寻找最优解。
组合的乘法原理
总结词
组合的乘法原理是指当两个组合数相等且具有相同的元素时，它们可以相乘。
详细描述
设两个集合A和B，它们的元素个数分别为n和m。从A中选取k个元素，从B中选取k个元素进行组合， 得到的组合数为C(n,k)×C(m,k)。这个组合数等于C(n+m,2k)，即从n+m个元素中选出2k个元素的组 合数等于从n个元素中选出k个元素的组合数乘以从m个元素中选出k个元素的组合数。
排列组合典型例题ppt课件
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最后将 甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A14A55A22＝960 种方法．
可编辑课件PPT
7
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600 种． 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55A26＝3 600 种方法．
种不同的方法，故共有 120×2＝240 种方法．
【答案】 B
21
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4．从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合
方法有( )种．
A．C25C26
B．C52A26
C．C52A22C26A22
D．A52A26
【解析】 分两步进行：第一步：选出两名男选手，有 C25种方法；第 2 步，
【答案】 C
20
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3．(2015·青岛高二检测)将标号为 1,2，…，10 的 10 个球放入标号为 1,2，…，
10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不
一致的放入方法种数为( )
A．120
B．240
C．360
D．720
【解析】 先选出 3 个球有 C310＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2
(2)分两类：第 1 类，6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分 2,2,1,1 放入盒中，共有 C36·C14·A33＋C26·C42·A24＝1 500(种)不同放法．
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7
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600 种． 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55A26＝3 600 种方法．
种不同的方法，故共有 120×2＝240 种方法．
【答案】 B
21
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4．从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合
方法有( )种．
A．C25C26
B．C52A26
C．C52A22C26A22
D．A52A26
【解析】 分两步进行：第一步：选出两名男选手，有 C25种方法；第 2 步，
【答案】 C
20
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3．(2015·青岛高二检测)将标号为 1,2，…，10 的 10 个球放入标号为 1,2，…，
10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不
一致的放入方法种数为( )
A．120
B．240
C．360
D．720
【解析】 先选出 3 个球有 C310＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2
(2)分两类：第 1 类，6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分 2,2,1,1 放入盒中，共有 C36·C14·A33＋C26·C42·A24＝1 500(种)不同放法．
数学：1.2.2《组合》PPT课件(新人教A版-选修2-3)
小结：至多至少问题常用分类的或排除法. 小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
从数字1,2,5,7中任选两个 例2 从数字 中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和 6个 可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差 12个 可以得到多少个不同的差? 可以得到多少个不同的差 有不同的英文书5本 不同的中文书 不同的中文书7本 练习 有不同的英文书 本,不同的中文书 本, 从中选出两本书. 从中选出两本书 (1)若其中一本为中文书 一本为英文书 若其中一本为中文书,一本为英文书 若其中一本为中文书 一本为英文书. 问共有多少种选法? 问共有多少种选法 35种 (2)若不限条件 问共有多少种选法 若不限条件,问共有多少种选法 若不限条件 问共有多少种选法? 66种
练一练
1.写出从 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 写出从 组合
c a b b c c d d d
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc abd acd bcd abc acb abd adb
排列 bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
3 4 3
4
3
43 34 33
3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的 排列数，可以分为以下2步 排列数，可以分为以下 步： 先求出从这n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个 m 元素的组合数 C． n 2步 求每一个组合中m个元素的全排列数 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 An ． m m m An = Cn ⋅ Am 根据分步计数原理，得到： 根据分步计数原理，得到：
组合与组合数公式PPT教学课件
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
用紫砂壶泡茶不走味，盛暑越宿不易馊，使用时间越，器身 色泽越发光润，泡出的茶也更为醇郁芳香，“首世间茶具此 为”这是人们对它的高度评价。 紫砂花盆清丽雅致，栽花 置景具有朴质浑厚的韵味，紫砂盆有瓷器彩绘般的华丽雕刻 装饰，又有似瓦盆那样的吸水透气性能，因而用紫砂盆养花 植木有助于根须生长，有“不烂根、易生发、花时长、落叶 迟”之优点，以其布置厅堂、居令人心怡神宁。 紫砂雕塑， 陈设品具有一定的艺术价值和收藏价值。紫砂陶刻装饰集文 学、书画、诗歌、金石、 篆刻于一体，以刀代笔，有传统的 镌刻模印浮雕、印花等手法，画面构思新颖，题材广泛，清 雅潇洒，别具一格。
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
用紫砂壶泡茶不走味，盛暑越宿不易馊，使用时间越，器身 色泽越发光润，泡出的茶也更为醇郁芳香，“首世间茶具此 为”这是人们对它的高度评价。 紫砂花盆清丽雅致，栽花 置景具有朴质浑厚的韵味，紫砂盆有瓷器彩绘般的华丽雕刻 装饰，又有似瓦盆那样的吸水透气性能，因而用紫砂盆养花 植木有助于根须生长，有“不烂根、易生发、花时长、落叶 迟”之优点，以其布置厅堂、居令人心怡神宁。 紫砂雕塑， 陈设品具有一定的艺术价值和收藏价值。紫砂陶刻装饰集文 学、书画、诗歌、金石、 篆刻于一体，以刀代笔，有传统的 镌刻模印浮雕、印花等手法，画面构思新颖，题材广泛，清 雅潇洒，别具一格。
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
《组合与组合数公式》课件
进阶练习题
题目4
在7个不同元素中取出5个 元素有多少种不同的取法 ？
题目5
从8个人中选出3个人来组 成一个小组，其中某个人 必须被选中，有多少种不 同的选法？
题目6
从10个不同的元素中取出 4个元素的组合数是多少？
答案解析
题目1答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的 选法。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质简化计算
通过组合数的性质，可以将复杂的组合数计算转化为简单的计算，例如利用性质 公式和递推公式简化计算。
解决实际问题
组合数在现实生活中有着广泛的应用，例如在概率论、统计学、计算机科学等领 域中都有涉及。通过掌握组合数的性质，可以更好地解决实际问题。
03
组合数公式的推导
题目2答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的组 合数。
题目3答案
$C_{4}^{2} = frac{4!}{2!2!} = 6$种不同的取法 。
题目4答案
$C_{7}^{5} = frac{7!}{5!2!} = 21$种不同的取法。
题目5答案
$C_{8}^{3} - C_{7}^{2} = 56 - 21 = 35$种不同 的选法。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的 对称性、组合数的递推关系、组合数的性质 等。
详细描述
组合数具有对称性，即C(n, m) = C(n, nm)，这意味着从n个不同元素中取出m个元 素和从n个不同元素中取出n-m个元素的方 式数量是相等的。此外，组合数还具有递推 关系，即C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1,
《组合的应用》课件
组合的数学模型建立
确定问题背景和目标
首先需要明确问题的背景和目标，例如在哪个领域中应用组合， 以及要解决的具体问题是什么。
确定组合的要素和限制条件
根据问题的需求，确定组合的要素和限制条件，例如在排列组合问 题中，需要考虑元素的互异性和顺序等。
建立数学模型
根据组合的要素和限制条件，建立相应的数学模型，例如使用排列 组合公式、概率论等数学工具。
THANKS。
定义迭代函数，设置初始值和终止条件，通过循环不断更新变量， 直到满足终止条件。
并查集实现组合算法
1 2
并查集思路
将问题中的元素分组，通过合并和查找操作来求 解问题。
适用场景
当问题涉及到元素分组和合并时，如连通性问题 、最小生成树等。
3
实现步骤
定义并查集数据结构，包含查找、合并等操作， 通过并查集来对元素进行分组和合并操作。
组合算法和数据结构的研究
随着计算机科学的不断发展，组合算法和数据结构的研究将更加深入和广泛。例如，如何设计更高效的算法和数据结 构来处理大规模的组合问题，如何利用组合算法和数据结构来解决实际问题等。
组合在人工智能和机器学习中的应用
随着人工智能和机器学习的不断发展，组合在其中的应用将更加广泛和深入。例如，如何利用组合来设 计更好的机器学习算法和模型，如何利用组合来解决实际的人工智能问题等。
游戏开发中的排列组合
总结词
游戏开发需要创造性和想象力，排列组合在游戏开发中可以提供无限的可能性。
详细描述
在游戏开发中，排列组合被用于设计关卡、任务和敌人等元素。例如，利用排列组合可以生成各种不 同的关卡布局和敌人配置，以增加游戏的可玩性和挑战性。此外，排列组合还可以用于设计游戏中的 随机事件和奖励系统，以增加游戏的趣味性和吸引力。
《组合问题》课件
添加标题
组合问题在数学建模中的应用可 以解决实际问题，如物流配送、 资源分配、网络优化等。
组合问题在数学建模中的应用可 以促进学科交叉，如计算机科学、 运筹学、统计学等。
组合问题在概率统计中的应用
组合问题在概率统计 中的应用广泛，如随 机变量、随机过程、 统计推断等
组合问题在概率统计 中的应用包括：随机 变量的组合、随机过 程的组合、统计推断 的组合等
组合数的性质
组合数的计算公式为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)
组合数是一个正整数，表示 从n个不同元素中取出r个 元素的组合数
组合数的性质包括对称性、 交换性、结合性等
组合数的性质在组合问题的 求解方法中有重要应用
组合问题的求解步骤
确定问题：明确需要解决的问题，如背包问题、旅行商问题等 建立模型：根据问题建立数学模型，如线性规划、动态规划等 选择算法：选择合适的求解算法，如贪心算法、分支限界法等 编写代码：根据算法编写代码，实现求解过程 运行程序：运行代码，得到问题的解 分析结果：对求解结果进行分析，验证算法的有效性和准确性
优点：分支限界法具有较高 的效率和准确性，能够快速
找到最优解
基本概念：分支限界法是一 种解决组合问题的方法，通 过搜索和剪枝来寻找最优解
缺点：分支限界法需要较高 的计算资源，对于大规模问
题可能存在计算瓶颈
感谢观看
汇报人：
回溯算法在组合 问题中的应用包 括：生成所有可 能的组合、搜索 最优解等
回溯算法在组合 问题中的应用可 以提高搜索效率， 减少计算量
回溯算法在组合 问题中的应用可 以解决一些复杂 的组合问题，如 旅行商问题、背 包问题等
分支限界法在组合问题中的应用
组合优化问题ppt课件
一般性描述：
➢ 有一个推销员，要到 n 个城市推销商品，他要找出一个包含所有 n 个城市的具有最短路程的环路。
同样的问题，在中国还有另一个描述方法：
➢ 中国邮递员问题（Chinese Postman Problem CPP）：一个邮递员从 邮局出发，到所辖街道投递邮件，最后返回邮局，如果他必须走遍 每条街道至少一次，应如何选择投递路线，使所走的路程最短。
在过去的几十年中，在求旅行商问题的最优解方面取得了极大 的进展。
➢ 48个城市的问题、120、318、532、666、2392、 24978个城市的问题
尽管有这些成就，但旅行商问题还远未解决。问题的许多方面 还要研究，很多问题还在期待满意的回答。
特点
NP完全问题 它的解是多维的、多局部极值的 很难用数学公式描述 TSP 问题 吸引了许多不同领域的研究者，包括
某些算法，只要稍微做些改变，就有可能导致 解的精度或搜索效率的大幅度提高。
因此，对于什么样的问题，应该采用什么样的 方法，怎样使用这种方法才更有效果，在这方 面人们已经进行了很多的研究。
典型问题
旅行商问题
(Traveling Salesman Problem)
旅行商问题
TSP的历史很久
➢ 最早的描述是 1759 年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋 盘中的 64 个方格，走访 64 个方格一次且仅一次，并且最终返回到 起始点。
组合最优化无法利用导数信息 精确地求解组合优化问题的全局最优解的“有效”算法一
般是不存在的。
组合优化的研究
怎么才能把一些社会现象、活动等捕捉归纳 为组合优化问题？
怎种组合优化问题拥有什么性质？
为了构造快速解法，什么样的性质是有用的？
➢ 有一个推销员，要到 n 个城市推销商品，他要找出一个包含所有 n 个城市的具有最短路程的环路。
同样的问题，在中国还有另一个描述方法：
➢ 中国邮递员问题（Chinese Postman Problem CPP）：一个邮递员从 邮局出发，到所辖街道投递邮件，最后返回邮局，如果他必须走遍 每条街道至少一次，应如何选择投递路线，使所走的路程最短。
在过去的几十年中，在求旅行商问题的最优解方面取得了极大 的进展。
➢ 48个城市的问题、120、318、532、666、2392、 24978个城市的问题
尽管有这些成就，但旅行商问题还远未解决。问题的许多方面 还要研究，很多问题还在期待满意的回答。
特点
NP完全问题 它的解是多维的、多局部极值的 很难用数学公式描述 TSP 问题 吸引了许多不同领域的研究者，包括
某些算法，只要稍微做些改变，就有可能导致 解的精度或搜索效率的大幅度提高。
因此，对于什么样的问题，应该采用什么样的 方法，怎样使用这种方法才更有效果，在这方 面人们已经进行了很多的研究。
典型问题
旅行商问题
(Traveling Salesman Problem)
旅行商问题
TSP的历史很久
➢ 最早的描述是 1759 年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋 盘中的 64 个方格，走访 64 个方格一次且仅一次，并且最终返回到 起始点。
组合最优化无法利用导数信息 精确地求解组合优化问题的全局最优解的“有效”算法一
般是不存在的。
组合优化的研究
怎么才能把一些社会现象、活动等捕捉归纳 为组合优化问题？
怎种组合优化问题拥有什么性质？
为了构造快速解法，什么样的性质是有用的？
组合 课件
行检查，现有100件产品，其中有98件正品，2件次品，从 中任意抽出3件检查．
(1)共有多少种不同的抽法？ (2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
分析：由于抽取的产品与次序无关，因此是一个组合问题， 其中：
(1)不同的抽法，即为
；
(2)直接分步法；
(3)直接分类法或间接法．
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法 有多少种？
(2)抽调的6名专家中至少有2名外科专家的抽调方法 有多少种？
(3)抽调的6名专家中至多有2名外科专家的抽调方法 有多少种？
解析：(1)分步：首先从 4 名外科专家中任选 2 名， 有 C24种选法，再从除外科专家的 6 人中选取 4 人，有 C64种选法，所以共有 C42·C64＝90 种抽调方法．
法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有 C610种选法，考虑 选取 1 名外科专家参加，有 C14·C56种选法；没有外科专家参加，有 C66种选法，所以共有 C160－C14·C56－C66＝185 种抽调方法．
(3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况， 分类解答．
点评：(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组 合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关， 而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分 类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏．
题型二 有限制条件的组合问题
例2 某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救 灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(3)正、副班长只有一人入选：_C__21C_55_2____________；
(1)共有多少种不同的抽法？ (2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
分析：由于抽取的产品与次序无关，因此是一个组合问题， 其中：
(1)不同的抽法，即为
；
(2)直接分步法；
(3)直接分类法或间接法．
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法 有多少种？
(2)抽调的6名专家中至少有2名外科专家的抽调方法 有多少种？
(3)抽调的6名专家中至多有2名外科专家的抽调方法 有多少种？
解析：(1)分步：首先从 4 名外科专家中任选 2 名， 有 C24种选法，再从除外科专家的 6 人中选取 4 人，有 C64种选法，所以共有 C42·C64＝90 种抽调方法．
法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有 C610种选法，考虑 选取 1 名外科专家参加，有 C14·C56种选法；没有外科专家参加，有 C66种选法，所以共有 C160－C14·C56－C66＝185 种抽调方法．
(3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况， 分类解答．
点评：(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组 合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关， 而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分 类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏．
题型二 有限制条件的组合问题
例2 某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救 灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(3)正、副班长只有一人入选：_C__21C_55_2____________；
《组合数的性质》PPT课件
种不同的分配方法？ C74 C73 35
(2)求x y z w 100的自然数解的组数
C3 103
176851
五、混合问题，先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有几种可能？
种？ C21C928 C22C918
C3 100
C
3 98
练习：
（1）某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定， 每位学生选修4门，则共有多少种不同选修方案？
（2）某班级要C从314C名63男生C26名4 女7生5中选派4人参加
某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不 同的选派方案有多少种？
C
m n1
.
Cm n1
C
m n
C m1 n
注:1公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和, 等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的 相同的一个组合数．
2此性质的作用:恒等变形,简化运算.
3 等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.
Cm n1
Cnm
(不含元素a)
C m1 n
(含元素a)
4该性质又叫增一法则
m1
m
m1
n1
n
n1
n1
( 2)
C m1 n
C m1 n
2C
m n
C . m1 n2
( 2)
C
m1 n
C m1 n
2C
m n
(1)
(C
mn C1 mn C1 mn )Cmn(1CmnCmnC11
) m1
(2)求x y z w 100的自然数解的组数
C3 103
176851
五、混合问题，先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有几种可能？
种？ C21C928 C22C918
C3 100
C
3 98
练习：
（1）某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定， 每位学生选修4门，则共有多少种不同选修方案？
（2）某班级要C从314C名63男生C26名4 女7生5中选派4人参加
某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不 同的选派方案有多少种？
C
m n1
.
Cm n1
C
m n
C m1 n
注:1公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和, 等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的 相同的一个组合数．
2此性质的作用:恒等变形,简化运算.
3 等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.
Cm n1
Cnm
(不含元素a)
C m1 n
(含元素a)
4该性质又叫增一法则
m1
m
m1
n1
n
n1
n1
( 2)
C m1 n
C m1 n
2C
m n
C . m1 n2
( 2)
C
m1 n
C m1 n
2C
m n
(1)
(C
mn C1 mn C1 mn )Cmn(1CmnCmnC11
) m1
组合与组合数公式最新版ppt课件
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄中
美
古
6
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组
合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
组合与组合数公式
1
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A
2 3
6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
2
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
abd bad adb bda
acd cad adc cda
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄中
美
古
6
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组
合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
组合与组合数公式
1
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A
2 3
6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
2
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
abd bad adb bda
acd cad adc cda
排列组合经典例题总结ppt课件
解一：分两步完成； 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置
有A53种排法第二步排其余的位置：有A44种排法
共有A53 A44种不同的排法
解二：第一步由葵花去占位： 有A42种排法 第二步由其余元素占位：有A55种排法
共有A42 A55种不同的排法
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
为主然,后需排先首安位排共特有殊_C元_41_素,再处理其它元素.
若以最位后置排分其析它为位主置,共需有先_A满_43_足C41特殊位A43置的要C31
求,由再分处步理计其数它原位理置得。C31
C
1 4
A43
=288
练习1 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若 两种葵花不种在中间，也不种在两端的 花盆里，问有多少不同的种法？
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.
练习题6
某种产品有4只次品和6只正品，每只均不 同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰 好在第五次测试中被发现的不同情况有多少 种？
知识结构网络图：
排列 基 本 原 理
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
做一件事，完成它可以有n类
办法，第i类办法中有mi种不同
定
义
的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方
法
分步原理
做一件事，完成它可以有n个步 骤，做第i步中有mi种不同的方 法，那么完成这件事共有
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结前排为一排考虑后,再排分段研究.
有A53种排法第二步排其余的位置：有A44种排法
共有A53 A44种不同的排法
解二：第一步由葵花去占位： 有A42种排法 第二步由其余元素占位：有A55种排法
共有A42 A55种不同的排法
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
为主然,后需排先首安位排共特有殊_C元_41_素,再处理其它元素.
若以最位后置排分其析它为位主置,共需有先_A满_43_足C41特殊位A43置的要C31
求,由再分处步理计其数它原位理置得。C31
C
1 4
A43
=288
练习1 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若 两种葵花不种在中间，也不种在两端的 花盆里，问有多少不同的种法？
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.
练习题6
某种产品有4只次品和6只正品，每只均不 同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰 好在第五次测试中被发现的不同情况有多少 种？
知识结构网络图：
排列 基 本 原 理
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
做一件事，完成它可以有n类
办法，第i类办法中有mi种不同
定
义
的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方
法
分步原理
做一件事，完成它可以有n个步 骤，做第i步中有mi种不同的方 法，那么完成这件事共有
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结前排为一排考虑后,再排分段研究.
高中组合问题ppt课件
统计学中的组合问题
概率论中的组合问题
在概率论中，组合问题涉及到随机事件的排列和组合。例如，在概率计算中，事件的排列数和组合数 对于计算概率至关重要。
统计学中的组合问题
在统计学中，组合问题常常出现在样本设计和数据分析中。例如，在分层抽样中，需要计算每一层中 应抽取的样本数，这涉及到组合计数的问题。
物理学中的组合问题
组合数学的应用领域
总结词
组合数学在多个领域都有广泛的应用。
详细描述
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学、信息理论等领域都有重要的应用。 例如，在计算机科学中，组合数学可用于设计和分析算法，解决诸如搜索、排 序和数据结构等问题。
学习组合数学的意义
总结词
学习组合数学有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
组合恒等式问题
总结词
组合恒等式问题是组合问题中的一类重要问题，主要研究组 合数之间的相互关系和性质。
详细描述
组合恒等式问题涉及到组合数的基本性质和恒等式，如二项 式定理、组合恒等式等，以及这些性质和恒等式的应用。
组合计数问题
总结词
组合计数问题是组合问题中的一类常 见问题，主要研究从n个不同元素中 取出m个元素的不同的取法。
组合数公式
C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]
组合问题与排列问题的区别
排列问题考虑取出元素的顺序，而组合问题不考虑取出元素的顺序 。
组合问题的分类
简单组合问题
有序组合问题
从n个不同元素中取出m个元素，不考虑其 他限制条件。
在取出元素后，需要考虑元素的顺序，如 从4个字母中取出2个字母组成一个单词， 需要考虑单词的拼写顺序。
05
组合问题的求解技巧
6.2.3 组合 课件 (共16张PPT) 人教A版(2019)选择性必修第三册
发现：C3 = C2 + C3
8
7
7
组合数性质2
定理2 :
证明:
1
=
Cm n
+
Cm-1 n
.
P13-15 课外资料相应练习 组合数
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
组合数公式
n!
规定: Cn0 = 1
从n 个不同元中取出m个元素的排列数
Am = Cm . Am
n
n
m
组合数公式
例1.计算：⑴
C
3 7
⑵ C47
(3)已知C3n = A2n, 求 n .
例2.求证：C
n-m
组合问题
例3 平面内有12个点，任何3点不在同一直线上,以每3点为顶点画一个三 角形,一共可画多少个三角形?
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination).
思考1: 排列与组合的概念有什么共同点、不同点？
两者都要“从n个不同元素中任取m个元素 ”;但排列与元素
的顺序有关，组合与顺序无关。
思考2: 两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断是组合问题还是排列问题 (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有多少个?
C
6 9
,
C98 100
组合数性质2
1.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. ⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解(1) C3 = 56 8
⑵ C72 = 21
⑶ C73 = 35
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可以怎样去想呢？ （教师注意方法的渗透）
四、课堂作业
作业：第99页练习二十四，第3题、第4题。
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
3种
问题1：观察我们研究过的两道题，你有什么发现？
问题2：都是从5、7、9这三个数中选2个，怎么一个能组成6个， 一个却只有3种可能啊？
三、运用方法，解决问题
（一）基本应用，巩固方法
每两个人握1次手，3 人一共握几次手？
问题1：你都知道了什么？ 问题2：每两个人握1次手，3人一共握几次手？请你画一画，
空白演示
在此输入您的封面副标题
数学广角
组合问题
一、复习旧知，回顾方法
有3个数5、7、9，任意选取其中2个组成 两位数，一共能组成几个？
问题1：你都知道了什么？ 问题2：一共能组成几个？你是怎么想的？
二、探究新知，提升认识
（一）审读题意，交流理解 有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
问题：你都知道了什么？ 追问：“其中2个”是什么意思？“求和”指的是什么？
“得数有几种可能”是什么意思？
二、探究新知，提升认识
（一）审读题意，交流理解 有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
问题：完整地说一说这道题是什么意思。
二、探究新知，提升认识
（二）尝试探究，初步体会 有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
问题：得数有几种可能？请你写一写、画一画，自己试试。 教师巡视，选取典型案例。
二、探究新知，提升认识
（三）过程交流，渗透方法 有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，伙伴说一说。 教师巡视倾听，选取典型案例。
问题2：得数有几种可能？你是怎么想的？
写一写，自己试试。 教师巡视，指导帮助学生。
问题3：一共握几次手？你是怎么知道的？
三、运用方法，解决问题
（二）变化思考，迁移应用
买1个拼音本，可以怎样付钱？
问题1：你都知道了什么？ 问题2：“可以怎样付钱”是什么意思？ 问题3：你打算怎样付钱？ 问题4：看看大家想出的付钱方法，以后再遇到这样的问题我们
二、探究新知，提升认识
（四）回顾过程，体会方法 有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
问题：解决这个问题，大家可以怎样想呢？我们一起来回顾 刚才同学们的好办法。
二、探究新知，提升认识
（五）对比分析，提升认识
有3个数5、7、9，任意选取其中2个组成 两位数，一共能组成几个？ 6个
四、课堂作业
作业：第99页练习二十四，第3题、第4题。
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
3种
问题1：观察我们研究过的两道题，你有什么发现？
问题2：都是从5、7、9这三个数中选2个，怎么一个能组成6个， 一个却只有3种可能啊？
三、运用方法，解决问题
（一）基本应用，巩固方法
每两个人握1次手，3 人一共握几次手？
问题1：你都知道了什么？ 问题2：每两个人握1次手，3人一共握几次手？请你画一画，
空白演示
在此输入您的封面副标题
数学广角
组合问题
一、复习旧知，回顾方法
有3个数5、7、9，任意选取其中2个组成 两位数，一共能组成几个？
问题1：你都知道了什么？ 问题2：一共能组成几个？你是怎么想的？
二、探究新知，提升认识
（一）审读题意，交流理解 有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
问题：你都知道了什么？ 追问：“其中2个”是什么意思？“求和”指的是什么？
“得数有几种可能”是什么意思？
二、探究新知，提升认识
（一）审读题意，交流理解 有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
问题：完整地说一说这道题是什么意思。
二、探究新知，提升认识
（二）尝试探究，初步体会 有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
问题：得数有几种可能？请你写一写、画一画，自己试试。 教师巡视，选取典型案例。
二、探究新知，提升认识
（三）过程交流，渗透方法 有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，伙伴说一说。 教师巡视倾听，选取典型案例。
问题2：得数有几种可能？你是怎么想的？
写一写，自己试试。 教师巡视，指导帮助学生。
问题3：一共握几次手？你是怎么知道的？
三、运用方法，解决问题
（二）变化思考，迁移应用
买1个拼音本，可以怎样付钱？
问题1：你都知道了什么？ 问题2：“可以怎样付钱”是什么意思？ 问题3：你打算怎样付钱？ 问题4：看看大家想出的付钱方法，以后再遇到这样的问题我们
二、探究新知，提升认识
（四）回顾过程，体会方法 有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
问题：解决这个问题，大家可以怎样想呢？我们一起来回顾 刚才同学们的好办法。
二、探究新知，提升认识
（五）对比分析，提升认识
有3个数5、7、9，任意选取其中2个组成 两位数，一共能组成几个？ 6个