函数的单调性人教版

函数的单调性

必修一 1.3 函数的基本性质

一、【教学目标】

建立增减函数的概念.观察一些函数图像的升降,形成增减函数的直观认识,再通过具体函数值的大小比较,认识函数值随自变量的增大而增大(减小)的规律,由此得出增减函数的定义,掌握用定义证明单调性的基本方法与步骤.

函数的单调性的研究经历了从直观到抽象,从图形语言到数学语言,理解增减函数单调区间概念的过程,在这个过程中,让学生通过自主探索活动,体验数学概念的形成过程,使学生学习数学思考的基本方法,培养学生的思维能力.

二、【教学重难点】

重点:形成增减函数的形式化定义.

难点:形成增减函数的概念的过程中,如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表达;用定义证明函数的单调性.

三、【学情分析与教学基本流程】

学生刚进入高中不久,对高中的学习还没有很好的进入状态,应适当结合初中的学习方式,结合前面的学习容,做出下面的流程

1.从直观具体图像引入→

2.直观认识增减函数→

3.定量分析增减函

数→4.给出增减函数定义→5.有图像说出单调区间→6.里用定义证明单调性→7.例题讲解互动→8.归纳总结

四、【教学过程】

（1）情景设计

由图像你能说出函数图像有什么特点？

[设计意图：启发学生由图像获得函数性质的直观认识，从而引入新课。]

1：同学们，在前面的学习中，我们学习了函数以及函数的表示，知道函数有三种表示方式，那么谁可以告诉我是哪三种呢？（解析法、列表法、图像法）今天我们就函数图像，继续来学习函数的相关知识。2：下面大家看一下老师在黑板上画一个函数y=sin x图象，大家依次从左往右观察函数图象是怎么变化的?(从左往右

观察函数图象有时上升,有时下降) 这节课，我们就

函数图象的这一上升与下降来学习函数的基本性

质。（板书）

（2）直观认识

1：同学们再来看老师做一个函数y=x图象，再用刚

才的方式，从左往右观察函数图象是如何变化的（从

左往右观察函数图象是上升的）。

[设计意图：让学生体会函数的图象是上升的]

2：大家再看老师做一个函数2x

y 图象，再用刚才的

方法观察函数图象?(函数图象在y轴左侧是下降的，

在轴y右侧是上升的)

[设计意图：让学生体会同一函数在不同区间上的变

化差异]

3：大家看看这两个函数图象变化，有什么区别呢？（函数y=x图象

从左到右一直是上升的，而函数2x

y=的图象左往右在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的）大家观察很仔细，回答很好！我们从这几个函数图象观察分析，可以看到：不同的函数，其函数变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同。函数图象的这种变化规律就是函数性质的反应，这就是本节课我们所要研究的函数的一个重要性质---函数的单调性（板书）

（3）定量分析

1：接下来我们又回过头去看函数2x

y=。我从刚才的作图知道了它的图象从左往右在y轴左侧下降，在y轴右侧上升。如何用数学语言来描述呢？大家思考一下。

[设计意图：指导学生从定性分析到定量分析，从直观认识到数学符号表述]

2：我们作一下函数2x

y=的对应值表，再结合函数图象。我们知道函数图象从左往右在y轴右侧是上升的，看到随着自变量x的增大，函数值y也增大。我们就说函数2x

y=在轴右侧)

,0[+∞上是增函数。（板书）（同样可以看出在轴左侧函数图象从左往右是下降的，看到随着自变量的增大，函数值反而减小。我们就说函数在轴左侧（-∞，0）上是减函数）

（4）引出定义

1：那么我们怎么利用函数解析式来描述“函数2x y =在),0[+∞上是增函数”呢？大家思考一下？好了，同学们现在有了自己的想法了么？大家一起来听听老师是怎么分析的，看与你的想法有什么区别？我们知道，函数2x y =在上是增函数，那么它随着自变量的增大，函数值也增大，这是一个变化过程，当我们任意取两个自变量x 1 ,x 2的时候，可以得到两个对应的函数值1y 、2y ， 他们的值是不同的，这样我们就可以比较他们的大小。从而可以用这种思路来描述了“函数2x y =在),0[+∞上是增函数”

。 2：对于),0[+∞上任意的x 1、x 2，当21x x <时，我们从函数图象可以直观看到都有1y <2y 。

3：刚才我们大家是对函数2x y =来讨论它在),0[+∞上是增函数的，那么对于任意的函数，我们怎么去描述呢？大家想想，我们能不能用刚才的想法去做呢？

[设计意图：让学生认识从具体到一般引出增函数的定义。] 4：对于),0[+∞上的任意的x 1 ,x 2，当21x x <，都有1y <2y 。我们就说函数在),0[+∞上是增函数。（同样的我们也可以这样去分析函数在轴左侧的变化）

5：好了，现在我们总结下增减函数的准确定义。大家看书上是怎么给出的。

一般的，设函数f (x )定义域为I ，如果对于定义域I 的某个区间D 上的任意两个值x 1 ,x 2；

1）当21x x <,都有f (x 1)

2）当21x x <,都有f (x 1)>f (x 2)，我们说函数f (x )在区间D 上是减函数。 注：讨论函数是增减函数是在区间上说的，且取的两个自变量是任意的。

6：我们在做两个增减函数的图象来看看：

7：我们知道了函数是增减函数的定义，现在我们在来学习两个概念：函数的单调性和单调区间。

如果函数f (x )在区间D 上是增函数（或减函数），那么我们就说函数

f (x )在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做单调区间。

大家想想，为什么强调严格呢？要是函数f (x )在区间上既有增的部分，又有减的部分，我们还能说既有严格的单调性么？不能，所以我们说函数f (x )在某个区间上具有严格的单调性，则它在区间上只能是增函数或者减函数的其一。 （5）练习与应用

例1．图是定义在区间上的函数，根据图象说明函数的单调区间，以及在每一区间上，它是增函数还是减函数？

[意图：让学生知道区间端点的可取可无，知道函数在一个点的时候没有单调性]

例2.物理学中的玻意耳定律V

k

p =

（k 为正常数）告诉我们，对于一定气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大。试用函数的单调性证明之。

分析：只要证其在（0, +∞）上是减函数即可证出。 一、图象法。从公式可以看出它是一个反比例函数，