a正弦稳态电路的分析串并联谐振

U UR I 0 R
j L 0 j L I U R I 0 jQ U L0 0 R I 1 UC0 j R I 0 jQ U j0C 0CR



UL0和UC0是外施电压Q倍，如 0L=1/(0C )>>R ，则 Q 很高，L 和 C 上出现高电压 ,这一方面可以利用，另一方面 要加以避免。
U _
ω0 f0 1 LC
谐振角频率 (resonant angular frequency) 谐振频率 (resonant frequency) 谐振周期 (resonant period)
1 2π LC
T0 1 / f 0 2π LC
2、使RLC串联电路发生谐振的条件
（1）. L C 不变，改变 。
2 2 w L 1 Li 2 1 LI m sin t 0 2 2
电场能量
磁场能量
电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。
2 1 CU 2 LI 2 w总 w L wC 1 LIm 0 Cm 0 0 2 2
总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。
电场能量和磁场能量不断相互转换，有一部分能量在 电场和磁场之间作周期振荡，不管振荡过程剧烈程度如何， 它都无能量传给电源，也不从电源吸收能量。 电感、电容储能的总值与品质因数的关系：
|Z| R
O
I

0
R
_ + + U R UL _ + UC _


UL UC 0, LC相当于短路。


U

j L
1 jω C
_ U 。 电源电压全部加在电阻 上， U R
串联谐振时，电感上的电压和 电容上的电压大小相等，方向相反， 相互抵消，因此串联谐振又称电压 谐振。此时，有
U m0 i sin t I m0 sin t R
I m0 sin( t 90 o ) L I m0 cos t 0C C
uC U Cm0 sin( t 90 o )
1 2 2 2 1 1 LI 2 cos 2 t wC CuC CU cm cos t 0 2 2 m0 2
9. 1 串联电路的谐振
谐振 (resonance) 是正弦电路在特定条件下所产生的一种 特殊物理现象，作为电路计算没有新内容，主要分析谐振电 路的特点。 一、 谐振的定义
I
U
R,L,C 电路
含有 L 、 C 的电路，当电路中端口电压、 压与电流同相时，称电路发生了谐振。
入 端 阻 抗 Z R jX ,当X 0时, Z R为
2 0 L 0 LI0 QL0 | QC 0 | Q 2 R RI 0 P P
电源发出功率：无功 有功
Q UI0 sin 0
2
R
谐振时电感 (或 电 容 )中 无 功 功 率 的 绝 对 值 谐 振 时 电 阻 消 耗 的 有功 率
(c) 能量关系： 设 则
u U m0 sin t
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三、特性阻抗和品质因数
1. 特性阻抗 (characteristic impedance) 谐振时的感抗或容抗相等
0L 1 L 0C C
2. 品质因数(quality factor)Q
单位：
与谐振频率无关，仅由电路参数决定。
ω0 L 1 1 L Q R R ω0 RC R C
通常收音机选台，即选择不同频率的信号，就采用改变C使电 路达到谐振。
3、RLC串联电路谐振时的特点
(1). U 与 I 同相 .

(2). 入端阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小。
(3). 电流I达到最大值I0=U/R (U一定)。
根据这个特征来判断电路是 否发生了串联谐振。 (4). LC上串联总电压为零，即 +

无量纲
它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路的参 数决定。
品质因数的意义
(a) 电压关系：
Q
ω 0 L ω 0 LI0
R RI 0
U L0 U C 0 U U
即 UL0 = UC0=QU
Q是谐振时电感电压UL0(或电容电压UC0)与电源电压之 比。即表明谐振时的电压放大倍数。电压谐振
例： 某收音机 C=150pF，L=250mH，R=20

L 1290 Ω C
Q

R
65
如信号电压10mV , 电感上电压650mV 这是所要的。
但是在电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦 发生谐振，会因过电压而击穿绝缘损坏设备。应尽量避免。
(b) 功率关系：
P UI0 cos RI0 C L 电源不向电路输送无功功率。电 感中的无功功率与电容中的无功 Q + 功率大小相等，互相补偿，彼此 _ 进行能量交换。 P
UC0=QU，则 UCm0=QUm
2 1 CU 2 1 CQ 2U 2 w总 1 LIm 0 Cm0 m 2 2 2
0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一 个对应的0 , 当外加频率等于谐振频率时，即
ω0 时, 有 X L X C , X 0
电路发生谐振。 （2）. 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。
使得X L X C 时, 有 X 0
电路发生谐振。
纯 电 阻 。 电 压 、 电 流相 同， 电 路 发 生 谐 振 。
二、RLC串联电路的谐振
1、谐振条件：（谐振角频率）
I
+


R
Z R j( ωL 1 ) R j( X L X C ) ωC R jX j L
1 jω C
当X 0 ,即ω 0 L 1 时，电路发生谐振。 0C
U C
1 ω0 L ω0C
当 ω0 L (5). 功率
U U L C
串联谐振时的相量图
1 >>R时，UL= UC >>U ω0C
P=RI02=U2/R，电阻功率达到最大。
2 0
1 2 Q Q L QC 0, Q L ω0 LI , QC I0 ω0 C 即L与C交换能量，与电源间无能量交换。