2.3.2 双曲线的几何性质

2.3.2双曲线的几何性质

班级__________姓名____________ ______年____月____日

【教学目标】了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等； 【教学重点】双曲线的几何性质及初步运用． 【教学难点】双曲线的渐近线方程的导出和论证． 【教学过程】

一、引入：

类比椭圆的几何性质来研究双曲线的几何性质． 1

2、备注：

（1）渐近线：我们把两条直线___________________叫做双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的渐近线．

特别地：在双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 中，如果b a =，那么方程可化为2

22a y x =-，

此时，双曲线的实轴长和虚轴长都等于a 2，且两条渐近线互相垂直.

____________________的双曲线叫做等轴双曲线．

（2）离心率：焦距与实轴长的比

a c 叫做双曲线的离心率，记为e ，则a

c e =． 离心率的范围：_______________．

特别地：双曲线的离心率反映了 的大小， ，双曲线的开口越大；

二、新授内容： 例1．求双曲线22

143

x y -=的实轴长和虚轴长、焦点和顶点坐标、离心率及渐近线方程．

例2．已知双曲线的焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为4

3

，求双曲线的标准方程．

【变式拓展】

（1）已知双曲线

22

112x y n n

-=-

，则n ＝ ．

（2）

等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为(0F ，则等轴双曲线的方程为 ．

（3）以椭圆19

162

2=+y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的方程是 ．

例3．求与双曲线

22

1916

x y -=

有公共的渐近线，且经过点(3,A -的双曲线标准方程． 反思：

三、课堂反馈：

1．写出双曲线2

2

79630x y --=的标准方程为 ，其实轴长为 ，虚轴长为 ，焦点坐标 ；顶点坐标 ；离心率 ；渐近线方程 ．

2．已知双曲线的离心率为2，焦点为(4,0)(4,0)-、，则其标准方程为 ．

3．若双曲线的实轴长与虚轴长之比为2，则双曲线的离心率 ．

*4．双曲线2

214y x k

-=的离心率()2,1∈e ，则实数k 的取值范围是 ．

*5．双曲线12422=-++k y k x 的离心率为2

5，则实数k 的值等于 ．

四、课后作业： 学生姓名：___________ 成绩： 1．焦点坐标为(5,0)，(5,0)-，渐近线方程为4

3

y x =±，则双曲线的标准方程是___________________．

2顶点在y 轴上，5c =，离心率为5

4

的双曲线的标准方程是___________________．

3．经过点(，渐近线方程为3y x =±，则双曲线的方程是 ．

4．经过点(3,1)A -，且对称轴是坐标轴的等轴双曲线方程 ．

5．求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点和顶点坐标、离心率及渐近线方程． （1）2

2

981x y -=； （2）2

4x y -=-；

6．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在x 轴上，焦距为10，离心率是54

；

（2）焦点在y 轴上，一条渐近线为3

4

y x =，实轴长为12；

（3）渐近线方程为3

4

y x =±，焦点坐标为)0,25(-和)0,25(．

7．已知离心率为5

3

的双曲线与椭圆

2214015x y +=的焦点都相同，求双曲线的方程．

*8．已知双曲线的方程为()22

2210,0x y a b a b

-=>>，过点(,0)a ，(0,)b 的直线的倾斜角为150，

求双曲线的离心率．

小结反思：