高二数学选修1、2-3-1抛物线及其标准方程
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根据抛物线定义，点 M 到焦点的距离等于 5，也就是 点 M 到准线的距离等于 5， p 则 3＋2＝5，∴p＝4， 因此抛物线方程为 y2＝8x. 又点 M(3，m)在抛物线上，于是 m2＝24， ∴m＝± 6. 2
第二章
圆锥曲线与方程
[点评] 解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
1．平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在 定直线上)的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的 准线 ，焦点到准线的距离(定 长p)叫做抛物线的 焦准距 ．
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p＝4 解得 m＝2 p＝4 或 m＝－2
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6
6
.
故抛物线方程为 y2＝8x，m 的值为± 6. 2
第二章
圆锥曲线与方程
解 法 二 ： 设 抛 物 线 方 程 为 y2 ＝ 2px(p>0) ， 则 焦 点
p F2，0，准线方程为
p x＝－2.
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
(2)如图把点 B 的横坐标代入 y＝4x 中，得 y＝± 12， 因为 12>2，所以 B 在抛物线内部，自 B 作 BQ 垂直准线 于 Q，交抛物线于 P1.
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此时，由抛物线定义知：
|P1Q|＝|P1F|.
那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q| ＝|BQ|＝3＋1＝4. 即最小值为4.
第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
(1)如图， 易知抛物线的焦点为 F(1,0)， 准线方
程是 x＝－1，由抛物线的定义知：点 P 到直线 x＝－1 的 距离等于点 P 到焦点 F 的距离．于是，问题转化为：在曲 线上求一点 P， 使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0) 的距离之和最小．显然，连 AF 交抛物线于 P 点，故最小 值为 22＋12，即 5.
[解析] 如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)， 人 教
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准线方程x＝－1.
第二章
圆锥曲线与方程
由题设，直线AB的方程为：y＝x－1.
代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－6x＋1＝0. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于 点A到准线x＝－1的距离|AA′|， 即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1，
2 2
人 教 A 版 数 学
1 )，对称轴为 y 轴；当 a<0 时，开口向下，顶点(0,0)，焦点 4a 1 (0， )，对称轴为 y 轴． 4a
第二章
圆锥曲线与方程
注意：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象一定是抛物
线．但是，抛物线对应的方程不一定是二次函数，如x＝y2 是抛物线，但不是函数．
p F2，0，当
AB 不
垂直 x 轴时，可设直线 AB 的方程为
p y＝kx－2(k≠0)
p y＝kx－ 2 ⇒ky2－2py－kp2＝0① 由 y2＝2px
第二章
圆锥曲线与方程
y2 y2 (y1y2)2 p4 p2 1 2 所以 y1y2＝－p2，x1x2＝ · ＝ ＝ ＝ ，当 2p 2p (2p)2 4p2 4 p AB⊥x 轴时，直线 AB 方程为 x＝ ， 2 则 y1＝p，y2＝－p⇒y1y2＝－p2，
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图(1)
第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
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第二章
圆锥曲线与方程
[点评] 本题中的两个问题有一个共性，都是利用抛
物线的定义，即抛物线的点到准线的距离等于该点到焦点 的距离，从而构造出“两点间线段最短”或“点到直线垂 线段最短”使问题获解．
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第二章
圆锥曲线与方程
定点
10 M3， 3 与抛物线 y2＝2x
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∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
[例4] 如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点 后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则 水池的直径至少应设计多少米？(精确到1m)
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(1)依据条件设出抛物线标准方程的类型(当焦点位置不
确定时，应分类讨论)； (2)求参数p； (3)简明写出答案．
第二章
圆锥曲线与方程
注意：当焦点的位置不确定时，为避免讨论带来的麻
烦，可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)，若m>0， 抛物线开口向右或向上；若m<0，抛物线开口向左或向 下．
第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
(1)设所求的抛物线方程为 y2＝－2px 或 x2＝
2py(p>0)，由过点(－3,2)，知 4＝－2p(－3)或 9＝2p×2，得 2 9 4 9 2 2 p＝3或 p＝4，故所求的抛物线方程为 y ＝－3x 或 x ＝2y. (2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4，故抛物线的焦 p 点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，2＝4，故 p＝8，此 p 时抛物线方程为 y ＝16x，当焦点为(0，－2)时，2＝2，故
第二章
圆锥曲线与方程
2
2．抛物线 y p 是 x＝－2 . 抛物线 y p 是 x＝2 . 抛物线 x p y＝－ . 2
2 2
p ＝2px(p>0)的焦点坐标是2，0，准线方程
p ＝－2px(p>0)的焦点坐标是－2，0， 准线方程
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p ＝2py(p>0)的焦点坐标是0，2，准线方程是
化为到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化.
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第二章
圆锥曲线与方程
[例2] 焦点．
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线
人 教 A 版 数 学
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距
离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
3．情感态度与价值观
与椭圆、双曲线的标准方程比较，加深理解．
第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
本节重点：抛物线的定义及标准方程． 本节难点：建立标准方程时坐标系的选取． 1．对抛物线的认识
人 教 A 版 数 学
(1)抛物线不是双曲线的一支，当抛物线上的点趋向于
无穷远时，抛物线接近于与其对称轴平行，而双曲线上的 点趋向于无穷远时，双曲线接近于与它的渐近线平行．
上的点 P 之间的距离
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为 d1，P 到抛物线准线 l 的距离为 d2，则 d1＋d2 取最小值 时，P 点坐标为 A．(0,0) C．(2,2) B．(1， 2)
1 1 D.8，－2
(
)
第二章
圆锥曲线与方程
[答案] C
[解析] 如下图．
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第二章
第二章
圆锥曲线与方程
2．3 抛 物 线
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第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
1．知识与技能 知道抛物线的定义，能推导抛物线的标准方程． 2．过程与方法 能根据条件，求出抛物线的标准方程．
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第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
[例 3]
直线 l 过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点， 且与抛
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物线相交于 A(x1，y1)和 B(x2，y2)两点． p 求证：x1x2＝ 4 ，y1y2＝－p2.
2
[解析]
方法一：因为焦点坐标为
的中点适合条件，所以它在抛物线上，因而以KF的中点为
原点，就不会出现常数项，这样建立坐标系，得出的方程 形式比较简单．
第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
1．利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距
离转化为到准线的距离，这一相互转化关系会给解题带来 方便．要注意灵活运用定义解题． 2．求抛物线标准方程的方法 主要是待定系数法，其步骤为：
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第二章
圆锥曲线与方程
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的
点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的
值．
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第二章
圆锥曲线与方程
[解析] 点
p F2，0，
解法一： 设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)， 则焦
m2＝6p 由题设可得 p2 2 m ＋3－2 ＝5
2 y2 y2 p2 1 x1x2＝2p· ＝ . 4 2p
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p 方法二：设直线 l 的方程为 x＝ky＋2， p x＝ky＋ 2 得 y2－2pky－p2＝0， 由 y2＝2px
第二章
圆锥曲线与方程
y2 y2 y1y22 p2 1 2 则 y1·2＝－p2，x1x2＝ y ＝ 2p ＝ . 2p 2p 4
第二章
圆锥曲线与方程
(2)二次函数与抛物线的标准方程的关系 二次函数的图象是开口向上或开口向下的抛物线，因此 抛物线开口向左或向右不能认为是二次函数的图象．二次函 b 4ac－b 2 数 y＝ax ＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－2a， 4a )，对称 b 轴为 x＝－2a，它是由 y＝ax2(a≠0)平移得到，而 y＝ax2 的标 1 准方程为 x ＝ay，当 a>0 时，开口向上，顶点(0,0)，焦点(0，
第二章
圆锥曲线与方程
抛物线 x
2
p ＝－2py(p>0)的焦点坐标是0，－2，准
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p 线方程是 y＝2 .
第二章
圆锥曲线与方程
3．过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截
得的线段，称为抛物线的 焦点弦 ． 4．通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴而交抛物线于A、 B两点的线段，称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于锥曲线与方程
2．对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否
则动点的轨迹是一条直线． 3．由抛物线的定义推导出它的标准方程时，要考虑怎 样选择坐标系．由定义可知直线KF是曲线的对称轴，所以 把KF作为x轴可以使方程不出现y的一次项．因为抛物线KF
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[点评] 方法一分直线斜率存在与不存在两种情况讨 论，同学们容易忽略斜率不存在的情形，应引起重视；方 法二对直线方程的设法避免了直线的斜率不存在这一情况，
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解答更为简洁，在学习过程中应深刻体会．
第二章
圆锥曲线与方程
斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相
交于两点A、B，求线段AB的长．
2
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p＝4，此时抛物线方程为 x2＝－8y，从而所求的抛物线的 标准方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
第二章
圆锥曲线与方程
(3)设抛物线的准线为 l，交 x 轴于 K 点，l 的方程为 x m ＝－ ， AA′⊥l 于 A′， 作 BB′⊥l 于 B′， 则|AF|＝|AA′| 2 ＝|FK|＝|m|， 同理|BF|＝|m|， 又|AB|＝6， 2|m|＝6,2m＝± 则 6， 故抛物线方程为 y2＝± 6x.
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2p
第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
[例1] 求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
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(3)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、
B两点，且|AB|＝6.
圆锥曲线与方程
连接 PF，则 d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|，知 d1＋d2 最 小值是|MF|，当且仅当点 P 在线段 MF 上时，等号成立， 4 1 而直线 MF 的方程为 y＝ x－2，与 y2＝2x，联立求得 x 3 1 1 ＝2， y＝2 或 x＝8， y＝－2(舍去)， 所以， 点坐标为(2,2)． P
根据抛物线定义，点 M 到焦点的距离等于 5，也就是 点 M 到准线的距离等于 5， p 则 3＋2＝5，∴p＝4， 因此抛物线方程为 y2＝8x. 又点 M(3，m)在抛物线上，于是 m2＝24， ∴m＝± 6. 2
第二章
圆锥曲线与方程
[点评] 解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转
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第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
1．平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在 定直线上)的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的 准线 ，焦点到准线的距离(定 长p)叫做抛物线的 焦准距 ．
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p＝4 解得 m＝2 p＝4 或 m＝－2
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6
6
.
故抛物线方程为 y2＝8x，m 的值为± 6. 2
第二章
圆锥曲线与方程
解 法 二 ： 设 抛 物 线 方 程 为 y2 ＝ 2px(p>0) ， 则 焦 点
p F2，0，准线方程为
p x＝－2.
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第二章
圆锥曲线与方程
(2)如图把点 B 的横坐标代入 y＝4x 中，得 y＝± 12， 因为 12>2，所以 B 在抛物线内部，自 B 作 BQ 垂直准线 于 Q，交抛物线于 P1.
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此时，由抛物线定义知：
|P1Q|＝|P1F|.
那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q| ＝|BQ|＝3＋1＝4. 即最小值为4.
第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
(1)如图， 易知抛物线的焦点为 F(1,0)， 准线方
程是 x＝－1，由抛物线的定义知：点 P 到直线 x＝－1 的 距离等于点 P 到焦点 F 的距离．于是，问题转化为：在曲 线上求一点 P， 使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0) 的距离之和最小．显然，连 AF 交抛物线于 P 点，故最小 值为 22＋12，即 5.
[解析] 如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)， 人 教
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准线方程x＝－1.
第二章
圆锥曲线与方程
由题设，直线AB的方程为：y＝x－1.
代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－6x＋1＝0. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于 点A到准线x＝－1的距离|AA′|， 即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1，
2 2
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1 )，对称轴为 y 轴；当 a<0 时，开口向下，顶点(0,0)，焦点 4a 1 (0， )，对称轴为 y 轴． 4a
第二章
圆锥曲线与方程
注意：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象一定是抛物
线．但是，抛物线对应的方程不一定是二次函数，如x＝y2 是抛物线，但不是函数．
p F2，0，当
AB 不
垂直 x 轴时，可设直线 AB 的方程为
p y＝kx－2(k≠0)
p y＝kx－ 2 ⇒ky2－2py－kp2＝0① 由 y2＝2px
第二章
圆锥曲线与方程
y2 y2 (y1y2)2 p4 p2 1 2 所以 y1y2＝－p2，x1x2＝ · ＝ ＝ ＝ ，当 2p 2p (2p)2 4p2 4 p AB⊥x 轴时，直线 AB 方程为 x＝ ， 2 则 y1＝p，y2＝－p⇒y1y2＝－p2，
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图(1)
第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
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第二章
圆锥曲线与方程
[点评] 本题中的两个问题有一个共性，都是利用抛
物线的定义，即抛物线的点到准线的距离等于该点到焦点 的距离，从而构造出“两点间线段最短”或“点到直线垂 线段最短”使问题获解．
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第二章
圆锥曲线与方程
定点
10 M3， 3 与抛物线 y2＝2x
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∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
[例4] 如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点 后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则 水池的直径至少应设计多少米？(精确到1m)
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(1)依据条件设出抛物线标准方程的类型(当焦点位置不
确定时，应分类讨论)； (2)求参数p； (3)简明写出答案．
第二章
圆锥曲线与方程
注意：当焦点的位置不确定时，为避免讨论带来的麻
烦，可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)，若m>0， 抛物线开口向右或向上；若m<0，抛物线开口向左或向 下．
第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
(1)设所求的抛物线方程为 y2＝－2px 或 x2＝
2py(p>0)，由过点(－3,2)，知 4＝－2p(－3)或 9＝2p×2，得 2 9 4 9 2 2 p＝3或 p＝4，故所求的抛物线方程为 y ＝－3x 或 x ＝2y. (2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4，故抛物线的焦 p 点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，2＝4，故 p＝8，此 p 时抛物线方程为 y ＝16x，当焦点为(0，－2)时，2＝2，故
第二章
圆锥曲线与方程
2
2．抛物线 y p 是 x＝－2 . 抛物线 y p 是 x＝2 . 抛物线 x p y＝－ . 2
2 2
p ＝2px(p>0)的焦点坐标是2，0，准线方程
p ＝－2px(p>0)的焦点坐标是－2，0， 准线方程
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p ＝2py(p>0)的焦点坐标是0，2，准线方程是
化为到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化.
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圆锥曲线与方程
[例2] 焦点．
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线
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(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距
离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
3．情感态度与价值观
与椭圆、双曲线的标准方程比较，加深理解．
第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
本节重点：抛物线的定义及标准方程． 本节难点：建立标准方程时坐标系的选取． 1．对抛物线的认识
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(1)抛物线不是双曲线的一支，当抛物线上的点趋向于
无穷远时，抛物线接近于与其对称轴平行，而双曲线上的 点趋向于无穷远时，双曲线接近于与它的渐近线平行．
上的点 P 之间的距离
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为 d1，P 到抛物线准线 l 的距离为 d2，则 d1＋d2 取最小值 时，P 点坐标为 A．(0,0) C．(2,2) B．(1， 2)
1 1 D.8，－2
(
)
第二章
圆锥曲线与方程
[答案] C
[解析] 如下图．
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2．3 抛 物 线
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圆锥曲线与方程
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圆锥曲线与方程
1．知识与技能 知道抛物线的定义，能推导抛物线的标准方程． 2．过程与方法 能根据条件，求出抛物线的标准方程．
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圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
[例 3]
直线 l 过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点， 且与抛
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物线相交于 A(x1，y1)和 B(x2，y2)两点． p 求证：x1x2＝ 4 ，y1y2＝－p2.
2
[解析]
方法一：因为焦点坐标为
的中点适合条件，所以它在抛物线上，因而以KF的中点为
原点，就不会出现常数项，这样建立坐标系，得出的方程 形式比较简单．
第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
1．利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距
离转化为到准线的距离，这一相互转化关系会给解题带来 方便．要注意灵活运用定义解题． 2．求抛物线标准方程的方法 主要是待定系数法，其步骤为：
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第二章
圆锥曲线与方程
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的
点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的
值．
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第二章
圆锥曲线与方程
[解析] 点
p F2，0，
解法一： 设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)， 则焦
m2＝6p 由题设可得 p2 2 m ＋3－2 ＝5
2 y2 y2 p2 1 x1x2＝2p· ＝ . 4 2p
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p 方法二：设直线 l 的方程为 x＝ky＋2， p x＝ky＋ 2 得 y2－2pky－p2＝0， 由 y2＝2px
第二章
圆锥曲线与方程
y2 y2 y1y22 p2 1 2 则 y1·2＝－p2，x1x2＝ y ＝ 2p ＝ . 2p 2p 4
第二章
圆锥曲线与方程
(2)二次函数与抛物线的标准方程的关系 二次函数的图象是开口向上或开口向下的抛物线，因此 抛物线开口向左或向右不能认为是二次函数的图象．二次函 b 4ac－b 2 数 y＝ax ＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－2a， 4a )，对称 b 轴为 x＝－2a，它是由 y＝ax2(a≠0)平移得到，而 y＝ax2 的标 1 准方程为 x ＝ay，当 a>0 时，开口向上，顶点(0,0)，焦点(0，
第二章
圆锥曲线与方程
抛物线 x
2
p ＝－2py(p>0)的焦点坐标是0，－2，准
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p 线方程是 y＝2 .
第二章
圆锥曲线与方程
3．过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截
得的线段，称为抛物线的 焦点弦 ． 4．通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴而交抛物线于A、 B两点的线段，称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于锥曲线与方程
2．对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否
则动点的轨迹是一条直线． 3．由抛物线的定义推导出它的标准方程时，要考虑怎 样选择坐标系．由定义可知直线KF是曲线的对称轴，所以 把KF作为x轴可以使方程不出现y的一次项．因为抛物线KF
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[点评] 方法一分直线斜率存在与不存在两种情况讨 论，同学们容易忽略斜率不存在的情形，应引起重视；方 法二对直线方程的设法避免了直线的斜率不存在这一情况，
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解答更为简洁，在学习过程中应深刻体会．
第二章
圆锥曲线与方程
斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相
交于两点A、B，求线段AB的长．
2
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p＝4，此时抛物线方程为 x2＝－8y，从而所求的抛物线的 标准方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
第二章
圆锥曲线与方程
(3)设抛物线的准线为 l，交 x 轴于 K 点，l 的方程为 x m ＝－ ， AA′⊥l 于 A′， 作 BB′⊥l 于 B′， 则|AF|＝|AA′| 2 ＝|FK|＝|m|， 同理|BF|＝|m|， 又|AB|＝6， 2|m|＝6,2m＝± 则 6， 故抛物线方程为 y2＝± 6x.
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第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
[例1] 求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
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(3)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、
B两点，且|AB|＝6.
圆锥曲线与方程
连接 PF，则 d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|，知 d1＋d2 最 小值是|MF|，当且仅当点 P 在线段 MF 上时，等号成立， 4 1 而直线 MF 的方程为 y＝ x－2，与 y2＝2x，联立求得 x 3 1 1 ＝2， y＝2 或 x＝8， y＝－2(舍去)， 所以， 点坐标为(2,2)． P