[数学]专题一-函数、导数与不等式PPT课件

1 1＝23， x·x
①当 a＜0 时，g′(x)＜0， ∴函数 g(x)在(0,2)上单调递减． ∵g(0)＝0，g(2)＝83a－2a2＜0， ∴当 a<0 时，不满足0，32⊆A. ②当 a＞0 时，g′(x)＝a(x－ a)(x＋ a)． 令 g′(x)＝0，得 x＝ a或 x＝－ a(舍去)．
ⅰ)当 x∈[0,2]，0＜ a＜2
a
( a，2)
g′(x)
－
0
＋
g(x) 0
－23a2 a
∵g(0)＝0，g( a)＜0，且∵0，32⊆A，
∴g(2)＝83a－2a2≥23.
解得13≤a≤1.
2 83a－2a2
ⅱ)当 x∈(0,2)， a≥2 时，即 a≥4，g′(x)＜0， ∴函数在(0,2)上单调递减， ∵g(0)＝0，g(2)＝83a－2a2＜0， ∴当 a≥4 时，不满足0，32⊆A. 综上，实数 a 的取值范围是13，1.
专题一 函数、导数与不等式
函数是高中数学的核心内容，是数学的基本工具之一，是历 年高考的必考内容之一．自从导数走进高考试题中，就和函数形 影不离，随着高考命题改革的深入，高考对导数考查的广度和深 度也在逐年增加，已由解决问题的辅助工具上升为解决问题必不 可少的工具．从最近几年全国及各省市新课程数学高考试卷的考 查内容来看，函数与导数这部分内容在高考中的考查可以说是全 方位的，它不仅有对基础知识、基本技能的考查，更有对数学思 想、数学本质的考查；从考查的内容来看，它不仅有对函数知识 内部的显性考查，更有对与其他主干知识(数列、不等式、解析几 何)相结合的隐性考查．
(2)若函数 f(x)在0，21上无零点，求 a 的最小值． 解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝x－1－2lnx，则 f′(x)＝1－2x，由 f′(x)>0，得 x>2，由 f′(x)<0，得 0<x<2. 故 f(x)单调减区间为(0,2]，单调增区间为[2，＋∞)．
(2)因为 f(x)<0 在区间0，21上恒成立不可能， 故要使函数 f(x)在区间0，21上无零点， 只要对任意的 x∈0，21，f(x)>0 恒成立， 即对 x∈0，21，a>2－x2－lnx1恒成立． 令 l(x)＝2－x2－lnx1，x∈0，12， 则 l′(x)＝－2xx－x－1－122lnx＝2lnxx－＋12x－2 2，
再令 m(x)＝2lnx＋2x－2，x∈0，21， 则 m′(x)＝－x22＋2x＝－2x12－x<0， 故 m(x)在0，21上为减函数， 于是 m(x)>m12＝2－2ln2>0， 从而，l′(x)>0，于是 l(x)在0，21上为增函数，
所以 l(x)<l12＝2－4ln2， 故要使 a>2－x2－lnx1恒成立，只要 a∈[2－4ln2，＋∞)， 综上所述，若函数 f(x)在0，21上无零点， 则 a 的最小值为 2－4ln2.
2010 年广东高考没有考函数、导数和数列，批评声音不断， 2011 年终于回归常态，预计 2012 年高考，对函数的概念与性质只 会加强，不会削弱．备考时要特别注意三次函数、指数函数与对
数函数(以 e 为底)的综合题．主要题型：(1)利用导数研究函数的单 调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主 要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解；(3)灵活 应用函数图象与性质等．
消耗费用为 8 万元；设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗 费用之和．
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
解析：(1)设隔热层厚度为 x(cm)，由题知，每年能源消耗费用 为 C(x)＝3x＋k 5，
再由 C(0)＝8.得 k＝40. 因此 C(x)＝3x4＋0 5，而建造费用为 C1(x)＝6x， 则隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×3x4＋0 5＋6x(0≤x≤10)．
题型一 函数、方程与导数
例 1：已知函数 f(x)＝3x42＋x 3，x∈[0,2]． (1)求 f(x)的值域； (2)设 a≠0，函数 g(x)＝13ax3－a2x，x∈[0,2]．若对任意 x1∈[0,2]， 总存在 x2∈[0,2]，使 f(x1)－g(x2)＝0.求实数 a 的取值范围．
方法二：当 x＝0 时，f(x)＝0， 当 x∈(0,2]时，f(x)＞0，且 f(x)＝43·x＋1 1x≤43·2
当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时，等号成立． ∴当 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，32. (2)设函数 g(x)在[0,2]上的值域是 A. ∵对任意 x1∈[0,2]，总存在 x2∈[0,2]， 使 f(x1)－g(x2)＝0，∴0，32⊆A. 对函数 g(x)求导，g′(x)＝ax2－a2.
解析：(1)方法一：对函数 f(x)求导，f′(x)＝43·x12－＋x122. 令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－1. 当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0,1)上单调递增； 当 x∈(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)在(1,2)上单调递减． 又 f(0)＝0，f(1)＝23，f(2)＝185， ∴当 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，32.
题型二 函数、导数与不等式 例2：为了进一步实现节能，在夏季降温和冬季供暖时减少能 源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造 可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该 建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位： cm)满足关系：C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源
函数与方程是高考的重要题型之一．一方面可以数 形结合，考查方程根的分布(如2007 年广东试题)；另一方面可以 与导数相结合，考查方程解的情况．如本题：若对任意x1∈[0,2]， 总存在x2∈[0,2]，使f(x1)＝g(x2)的本质就是函数f(x)的值域是函数 g(x)值域的子集．
【互动探究】 1．已知函数 f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx. (1)当 a＝1 时，求 f(x)的单调区间；