初二【数学(人教版)】因式分解——公式法(第二课时)

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人教版数学八年级上册+因式分解(2)——公式法(平方差公式)课件

－b2＝(a＋b)·(a－b)．
(3)4x2 － 1 ＝ ( 2x )2 － (
(2x＋1)(2x－1)
______________；
3．因式分解与整式乘法的关系：
(4)25 － 4m2 ＝ (
a2－b2
(5＋2m)(5－2m)
_________________.
(a＋b)(a－b)
1
)2 ＝
5 )2 － ( 2m )2 ＝
1
024，y＝
，求(x＋y)2－(x－y)2的值．
2 024
解：(x＋y)2－(x－y)2＝[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝4xy.
当x＝2
1
024，y＝
时，原式＝4×2
2 024
1
024×
＝4.
2 024
因式分解(2)——公式法(平方差公式)
预习导学
1.如果把乘法公式反过来，就可
以把某些多项式因式分解，这种
方法叫公式法.
将下列各式因式分解：
(a＋x)(a－x)
(1)a2－x2＝____________；
(x＋3)(x－3)
(2)x2－9＝x2－( 3 )2＝____________；
2．运用平方差公式因式分解：a2
课堂导学
知识点1
直接运用公式因式分解
【例1】将下列各式因式分解．
(3m＋2n)(3m－2n)
(1)9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝__________________；
2－62
2
2
(xy)
(xy＋6)(xy－6)
(2)x y －36＝__________＝________________；

2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.3.2 公式法(第2课时)

第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。

四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。

学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。

六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式: a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.解：(1)16x2+ 24x +9= (4x)2 + 2·4x·3 + 32= (4x + 3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+ 4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )（出示课件15）A . 11 B. 9 C. –11 D. –9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a –4b+5=0，求2a 2+4b –3的值.（出示课件23）师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a –4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b –2)2=0∴ 2a 2+4b –3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )A ．a 2＋1B ．a 2–6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2–5y2.把多项式4x 2y –4xy 2–x 3分解因式的结果是( )A ．4xy(x –y)–x 3B ．–x(x –2y)21020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．5. 把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3) y2+2y+1–x2;6. 计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)1x2–2x＋3.3小聪和小明的解答过程如下：小聪: 小明:他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8. (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．参考答案：1.B2.B3.14. ±45. 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17. 解: (1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2(2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28. 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。

初中数学_因式分解——公式法(2)教学设计学情分析教材分析课后反思

14.3 因式分解（第三课时）14.3.2 公式法（2）一、教学目标（一）学习目标1.掌握完全平方公式的特点.2.会运用完全平方公式因式分解.3.能熟练运用公式法和提公因式法分解因式.（二）学习重点掌握完全平方公式的特点，运用完全平方公式分解因式.（三）学习难点灵活运用公式分解分解因式.二、教学设计（一）课前设计1.自学反馈请同学们根据爱作业在线预习的情况组内交流，有困惑的地方组长帮忙解决。

公式法：把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.（二）课堂展示探究一剖析完全平方公式活动1 剖析完全平方公式问题：我们将形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.完全平方式有哪些特点呢？学生思考后分小组讨论，再归纳总结：完全平方式的特点是：①完全平方式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，中间相是这两个数（或整式）的积的2倍，符号正负均可. 口诀：首平方，末平方，首末积的2倍中间放.追问：平方差公式中的a 、b 可代表多项式，类似地，完全平方公式中的a 、b 是否也可以代表一个多项式呢？【设计意图】类比平方差公式分解因式的学习过程，剖析完全平方式的特点，为熟练运用完全平方公式分解因式奠定基础.●活动2 辨析完全平方公式问题：下列多项式中，哪些是完全平方式？若是完全平方式，请指出谁相当于公式中的a 、b .（1）224129x xy y ++ ；（2）244x x -++ ；（3）2269x xy y -+- ；（4）221x x +- 学生独立思考后，集体订正.【设计意图】通过辨析完全平方式，为运用完全平方式分解因式作准备.尤其是对于（2）、（3）这种形式的完全平方式，学生辨析较困难，关键是掌握：完全平方式首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，各项的位置是可以调换的，为本节课突破难点奠定基础.探究二直接运用完全平方公式因式分解●活动1 公式中的a 、b 代表单项式的因式分解例1 分解因式：（1）216249x x ++ ；（2）2244x xy y -+- 【知识点】运用完全平方公式分解因式【解题过程】解：（1）222216249(4)2433(43)x x x x x ++=++=+；（2）222222244(44)22(2)(2)x xy y x xy y x x y y x y ⎡⎤-+-=--+=--+=--⎣⎦ 【思路点拨】（1）先将原多项式变形为22(4)2433x x ++，认清谁是公式中的a 、b ，再进行因式分解；（2）可将负号提出是本题的关键，变形为2222(44)22(2)x xy y x x y y ⎡⎤--+=--+⎣⎦，再因式分解. 【答案】（1）2(43)x +；（2）2(2)x y --.练习：因式分解（1）2242025x xy y -+ （2）221294xy x y -- 【知识点】运用完全平方公式分解因式【解题过程】解：（1）2222242025(2)225(5)(25)x xy y x x y y x y -+=-+=-；（2）22222221294(9124)(3)232(2)(32)xy x y x xy y x x y y x y ⎡⎤--=--+=--+=--⎣⎦【思路点拨】（1）先将原多项式变形为22(2)225(5)x x y y -+，辨析公式中的a 、b ，再进行因式分解；（2）将负号提出是本题的关键，变形为22(3)232(2)x x y y ⎡⎤--+⎣⎦，再因式分解.【答案】（1）2(25)x y -；（2）2(32)x y --.●活动2 公式中的a 、b 代表多项式的因式分解例2 分解因式：（1）2()12()36a b a b +-++ ；（2）22()4()4m n m m n m +-++ . 【知识点】运用完全平方公式分解因式【数学思想】整体思想【解题过程】解：（1）2222()12()36()2()66(6)a b a b a b a b a b +-++=+-++=+-；（2）222222()4()4()2()2(2)(2)()m n m m n m m n m n m m m n m n m +-++=+-++=+-=-.【思路点拨】此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将a+b 看成一个整体，设a+b =m ，则原多项式就化为21236m m -+ ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后有同类项还需合并同类项.【答案】（1）2(6)a b +-；（2）2()n m -.练习：因式分解（1）222()()a a b c b c -+++ ；（2）2222(1)4(1)4x x x x ++++【知识点】运用完全平方公式分解因式【数学思想】整体思想【解题过程】解：（1）[]22222()()()()a a b c b c a b c a b c -+++=-+=--；（2）22222222224(1)4(1)4(1)2(21)(1)(1)x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++=++=+=+⎣⎦⎣⎦. 【思路点拨】解此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将b+c 看成一个整体，设b+c =m ，则原多项式就化为222a am m -+ ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后还需继续利用完全平方公式分解彻底.【答案】（1）2()a b c --；（2）4(1)x +.探究三综合应用●活动1例3 分解因式： 22363ax axy ay ++ ；【知识点】运用提公因式法、公式法分解因式【解题过程】解：222223633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y ++=++=+；3. 课堂总结知识梳理（学生自己总结梳理）（1）完全平方式：形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.（2）用完全平方公式分解因式：文字语言：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.符号语言：2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=-.（3）公式法：把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.重难点归纳（1）完全平方公式使用的条件是：①多项式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，中间项是这两个数（或整式）的积2倍，符号正负均可.（2）分解因式的一般步骤：一提，二套，三检查①观察多项式的各项是否有公因式，若有，应先提公因式；②再观察多项式是否可以用平方差公式或完全平方公式进行分解因式；③检查每个多项式是否分解彻底，每个多项式都不能分解时，分解因式就结束了.（3）有时多项式既不能提公因式，也不能运用平方差或完全平方公式分解，则需根据多项式的特点作适当变形后再进行因式分解.(三)课后作业基础型自主突破1.下列多项式是完全平方式的是（）A ．244a a --B ．23216a a -+C ．224a a ++D ．2816a a -+2.已知224x mx -+ 是完全平方式，则m 的值为（）A ．1B ．2C ．±1D ．±23. 计算x =156，y =144，则221122x xy y ++ 的值是（） A ．150 B ．450 C ．45000 D ．900004.分解因式2(1)2(1)1a a ---+ 的结果是（）A ．(1)(2)a a --B ．2(1)a -C ．2(1)a +D ．2(2)a -5. 计算：222172173417-⨯+ =_____________.能力型师生共研7. 若224222()8()160x y x y +-++= ，则22x y + 的值为（）.A ．4B ．2C ．± 2D ．± 48. 已知△ABC 三边a 、b 、c 满足等式2220a ab b bc c ac -+-+-=，则△ABC 是三角形.学情分析两班共有学生110人，两班中绝大部分同学都能跟上现有的进度，上课发言积极，部分同学表现的比较出色，但也有个别同学的理解能力和接受能力不尽人意。

人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)

－－因式分解的平方差公式
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2

人教版八年级数学上册第十四章《公式法因式分解平方差公式》第二课时课件

1、什么叫把多项式分解因式?
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.
2、已学过哪一种分解因式的方法? 提公因式法
因式分解整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5)
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是____4___.
6.已知4m+n=40，2m-3n=5，求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
解：(m+2n)2-(3m-n)2 =(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(3n-2m) =-(4m+n)(2m-3n). ∵4m+n=40，2m-3n=5， ∴原式=-40×5=-200．
4.把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2=__(_4_a_+_3_b_)_(4_a_-_3_b_)___; (2) (a+b)2-(a-b)2=____4_a_b___________; (3) 9xy3-36x3y=__9_x_y_(y_+_2_x_)_(_y_-2_x_)___; (4) -a4+16=___(4_+__a_2)_(_2_+_a_)(_2_-_a_)_.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
∴x－y＝－2②.
联立①②，得
x y 1,
x

人教版八年级上册数学《公式法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第2课时)

因此x=-5是原分式方程的解.
随堂练习
1.下列方程是分式方程的是（ B ）
A.
一元一次方程
B.
C. x2-1=0
D. 2x+1=3x 一元二次方程
一元一次方程
2.（2020·海南中考）分式方程的解是（
A. x=-1
B. x=1 C. x=5
x-2=3
D. x=2
x=5
） C
解分式方程时，不要忘记检验哦.
用平方差公式分解因式由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b)
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
用完全平方公式分解因式把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，
可以看作a2-b-12.
1 -4
b4-b2-12 =(b2-4)(b2+3) =(b+2)(b-2)(b2+3).
13 1×3+1×(-4)=-1
2.（2020·乐山）已知y≠0，且x2-3xy-4y2=0，则的值是
__4_或__-_1__.
分析：因为x2-3xy-4y2=0，即(x-4y)(x+y)=0，可得x=4y或x=-y，所以 =4或 =−1.

因式分解(2)——公式法(人教版)八年级数学上册PPT课件

原式＝（x-y）（a2-b2）＝（x-y）（a+b）（a-b）．
13. 分解因式：n2（m-2）+（2-m）.
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
5. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）Biblioteka ；（2）x2-36=
（x+6）（x-6）
.
6. （例 2）分解因式：
（1）4x2-25=
（2x+5）（2x-5）
；
（2）9x2-16y2=
（3x+4y）（3x-4y）
.
7. 分解因式：
（1）16x2-1=
（4x+1）（4x-1）
；
（2）36x2-25y2=
）2.
知识点.公式法（平方差公式）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
；
（2）x2-9=
（x+3）（x-3）
.
总结：能用平方差公式分解因式的条件： ①二项式；②能化成两个平方相减.
（1）设 S1，S2 分别是图 1，图 2 的面积，若用
含 a，b 的代数式表示它们的面积，则
S1=
a2-b2

人教版八年级数学上册14.3.2公式法(二)

完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的二倍，符号不限．
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
理解完全平方式
• 下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（1） a2-4a+4 ；
是
（2）1+4a2 ；
不是
（3） 4b2+4b+1 ；
是
（4） a2+ab+b2 ．
不是
利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解．
① 16x2 + 24x + 9 ② – 4x2 + 4xy – y2 ③ x2 + 2x – 1 ④ 4x2 – 8xy + 4y2
形如 a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式。
⑤ 1 – 2a2 + a4
完全平方式一
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36
②x y2 4x y 1
训练
③x y2 4 x2 y2 4x y2
一
④ 给4x2+1加上一个单项式，
使它成为一个完全平方式，
这个单项式可以是 ________。
()
2y
2
x2y2
做一做
用完全平方公式进行因式分解。
①a2 18a 81 ④m4n2 2m2n 1
②x2 2 x 1 ⑤a2b2c2 4abc 4 39
③ s2 t 2 2st ⑥25 x2 20 x 4
做一做
用恰当的方法进行因式分解
定可以利用完全平方公式2+24x+9 ；（ 2）-x2+4xy-4 y 2 ．

14.3.2利用完全平方公式分解因式教案

义务教育教科书【人教版】《数学》八年级（上）《§14.3.2公式法》（第2课时）教学设计学科：初中数学执教人：靳祥民单位：济宁孔子国际学校时间：2013年11月《§14.3.2 公式法（2）》教案【执教人：】靳祥民【单位：】济宁孔子国际学校【内容：】人教版《数学》八（上）第14章第3节（第2课时）【课题：】§14.3.2 公式法（2）【课型：】新授课【教学目标：】1、理解完全平方公式的意义，掌握其特点。

2、熟练运用完全平方公式进行因式分解。

【教学重难点：】运用完全平方公式进行因式分解。

【教学方法：】启发式教学，小组合作学习【教学器材：】多媒体课件、导学案【板书设计：】【教学过程：】【温故互查】（两人互查）1、什么是因式分解？2、我们学过了哪些因式分解的方法？3、a2-b2= .【引出课题】“类比利用平方差公式进行因式分解，今天，咱们继续探究怎样利用完全平方公式进行因式分解”。

----§14.3.2 公式法（2）（板书课题）【学习目标】课堂效率要提高，学习目标少不了！首先，一起来明确本节课的学习目标。

（课件展示，学生代表朗读。

）1、理解完全平方公式的意义，掌握其特点。

2、熟练运用完全平方公式进行因式分解。

（幻灯片展示本节课的学习目标，学习目标的设定从学生实际情况出发。

）【自主预习】预习要求：1.自学内容：课本第117-118页2.自学时间：5分钟3.自学方法：画出重点内容，完成学案自学检测【自学检测】1.这种变形是我们之前学过的运算。

反过来:这种变形是我们今天要学习的利用完全平方公式进行的运算。

2.形如或的多项式,叫做。

3.用完全平方公式分解因式的关键是：判断一个多项式是不是一22)()(b a b a -+222b ab a ++=222b ab a +-=222222)(2)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++个。

《1432公式法2》课件(人教版八年级上)

如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
练一练 mx+my-nx-ny
① ② ③④ ①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）解1：原式= （mx+my）-（nx+ny）
=m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
二、分解因式
1．72-2(13x-7)2
2．8a2b2-2a4b-8b3
解：72-2(13x-1)2
解：8a2b2-2a4b-8b3
=2[62-(13x-7) 2] =2(6+13x-7)(6-13x+7)
=2b(4a2b-a4-4b2) =-2b(a4-4a2b+4b2)
=2(13x-1)(-13x+13) =-26(13x-1)(x-1)
4．若a+b=4，a2+b2=10 求a3+a2b+ab2+b3的值．
解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2)
∵a+b=4，a2+b2=10 ∴原式=4×10=40
5．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求2x2+4xy+2y2的值．
3．(a+b) 2+2(a+b)-15 =__(a_+_b__+_5_)(_a_+_b_-_3_) 4．-1-2a-a2=__-_(a_+__1_) _2___ 5．x2-6x+9-y2 =_(_x_-3_+_y_)_(_x_-3_-_y_) 6．x2-4y2+x+2y=_(_x_+_2_y_)_(x_-_2_y_+_1_)_ 7．9x2+6xy+y2+3x+y =_(3_x_+_y_)_(_3_x_+_y_+_1_) 8．9x2+6xy+y2+3x+y-2=_(_3_x_+_y_+_2_)_(3_x_+__y_-1_)_

公式法因式分解教案第二课时

公式法因式分解教案第二课时教学目标：1. 理解公式法因式分解的基本步骤和方法。

2. 掌握公式法因式分解的几个常见模式。

3. 能够独立分解给定的代数式。

教材准备：1. 教材：教材中有公式法因式分解的相关内容。

2. 课件：准备相关的因式分解题目，并包括解题步骤和方法的图示。

3. 打印资料：准备部分同学上节课的练习题，并准备足够的纸和笔供学生使用。

教学过程：1. 复习（5分钟）复习上节课的内容，师生共同构建因式分解的思路并解释基本概念。

2. 引入新知（10分钟）使用课件展示因式分解的公式法思路，并解释公式法因式分解的基本步骤和方法。

3. 示例演练（15分钟）选择一些简单且易于理解的代数式，与学生一起通过公式法进行因式分解。

4. 合作探究（15分钟）学生分成小组，相互合作解决一些较复杂的代数式因式分解问题，并由小组代表上台展示解题过程与结果。

5. 错误分析与解决（10分钟）整理并展示学生在合作探究中的错误与困惑，师生一起进行分析、解决问题，并强调容易犯错的地方。

6. 练习巩固（15分钟）学生个人完成一些练习题，师生一起检查答案，纠正错误，并给予指导。

7. 总结（5分钟）总结本节课的学习内容和要点，强调因式分解的重要性与运用价值。

8. 作业（5分钟）布置一些练习题作为课后作业，并鼓励学生进一步拓展相关知识。

教学反思：本课时侧重于通过演示和合作探究的方式让学生熟悉公式法因式分解的步骤与方法，并通过练习巩固所学内容。

课堂上对学生的思维过程进行引导，并对错误进行适度容忍和解决。

通过这种方式，能够使学生更好地理解公式法因式分解的概念和应用，并培养学生合作解决复杂问题的能力。

八年级数学人教版(上册)第2课时用完全平方公式进行因式分解

用完全平方公式进行因式分解时要注意的：（1）首项是负，要将负号提出来（2）判断是否是完全平方式，若是，找准公式中的a，b （3）利用公式进行因式分解
侵权必究
讲授新课
2.综合运用提公因式法和完全平方公式进行因式分解
【例3】将下列多项式分解因式：
（1）ax2+2a2x+a3
（2）-3x2+6xy-3y2
课堂小结
公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
用完全平方公式进行因式分解时要注意的：（1）首项是负，要将负号提出来（2）判断是否是完全平方式，若是，找准公式中的a，b （3）利用公式进行因式分解
侵权必究
侵权必究
新课导入
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼
成的图形的面积吗？
a a a2
b b ab a
ab a
b2 b b
a2 2ab b2
ab
a a2
ab a
a
b ab b2 b
a
b
a b2
侵权必究
讲授新课
✓ 典例精讲 ✓ 归纳总结
侵权必究
讲授新课 1.完全平方式
理解完全平方式 a2+2ab+b2 a2 -2ab+b2 问题四这两个多项式有什么共同的特点？
16
方法：
1、填平方项就是把中间项除以另一个平方项底
数的2倍，再平方，就是要填的平方项
2、中间项就是两个平方项底数积的2倍
侵权必究
讲授新课 2.用完全平方式进行因式分解【例1】运用完全平方公式因式分解.
(1) 16m2 +8mn+n2；解:原式= (4m)2 +2•(4m) +n2

八年级数学上册14.3因式分解14.3.2公式法(2)课后练习新人教版(new)

14。

3.2公式法（2)-—完全平方公式班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一、选择题(每小题6分，共30分)1。

下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ )A 。

21x - B. 221x x +- C 。

221x x ++ D. 21x x ++2。

下列分解因式错误的是（）A 。

()2155531a a a a +=+B. ()()()2222x y x y x y x y --=--=-+-C. ()()()1k x y x y k x y +++=++D. ()23221a a a a a -+=-3.把8a 3－8a 2＋2a 进行因式分解，结果正确的是( ）A 。

2a (4a 2－4a ＋1）B 。

8a 2（a －1)C 。

2a (2a ＋1)2D. 2a (2a －1)2 4.把x 2y ﹣2y 2x ＋y 3分解因式正确的是（）A. y （x ﹣y ）2B. x 2y ﹣y 2（2x ﹣y ） C 。

y （x 2﹣2xy ＋y 2）D 。

y （x ＋y )2 5.下列多项式,能用公式法分解因式的有( ）①22x y +② 22x y -+ ③ 22x y -- ④ 22x xy y ++ ⑤222x xy y +- ⑥ 2244x xy y -+-A 。

2个B 。

3个 C. 4个 D 。

5个二、填空题(每小题6分，共30分）6.x 2＋4x ＋4＝（___________）2.7.分解因式: 2269ax axy ay -+= ________________。

8。

若x ＋y ＝2，则代数式14x 2＋12xy ＋14y 2＝________。

9.已知正方形的面积是9x 2＋6xy ＋y 2(x ＞0，y ＞0),则该正方形的边长用代数式表示为_____________.10。

若，则的值为___________________。

人教版八年级数学上册作业课件第十四章整式的乘法与因式分解公式法第2课时完全平方公式

数学八年级上册人教版
第十四章整式的乘法与因式分解
14．3 因式分解
14．3.2 公式法第2课时完全平方公式
知识点1：完全平方式 1．下列二次三项式是完全平方式的是( B ) A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋16 C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋16 2．已知x2＋16x＋k是完全平方式，则k的值为( A ) A．64 B．48 C．32 D．16 3．多项式x2＋(k－3)x＋9是完全平方式，则k的值为_9_或__－__3_.
18．已知长方形的周长为20，相邻两边长分别为a，b(a，b均为整数)，且a，b 满足a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0，求a，b的值．
解：∵a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0，∴(a－b)2－4(a－b)＋4＝0，∴(a－b－2)2 ＝0，∴a－b－2＝0，即a－b＝2，又∵周长为20，∴a＋b＝10，∴a＝6，b＝4
16．在实数范围内分解因式： (1)x3－2x＝_x_(x_＋____2__)(_x_－____2__) ；
(2)x4－6x2＋9＝_(x_＋____3__)2_(_x_－___3__)_2．
17．分解因式： (1)4a3－12a2＋9a；解：a(2a－3)2 (2)(x＋y)2－4(x＋y－1)；解：(x＋y－2)2 (3)(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2；解：(a－b)4 (4)4a2－b2＋2b－1. 解：(2a＋b－1)(2a－b＋1)
19．阅读与思考：整式乘法与因式分解互为逆变形，由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋ q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q).
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解．例如：将式子x2＋3x＋2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋ (1＋2)x＋1×2. 解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2). 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：x2＋7x－18＝________； (2)利用因式分解法解方程：x2－6x＋8＝0； (3)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ________.

人教版八年级数学第十四单元因式分解(公式法第二课时)yy

3、 a2+2a+1 = (a+1)2 叫什么？提公因式法
因式分解
4、你学了什么方法进行分解因式？
平方差公式法
一、提取公因式分解因式
1、x(m+n)-y(n+m)-(m+n)= (m+n)(x-y-1) 2、a2b-2ab2+ab= ab（a-2b+1）
3、4kx-8ky= 4k（x-2y） 4、x4-x2y2= x2（x2-y2） =x2(x+y)(x-y) 二、下列多项式有公因式吗？能否进行分解因式 ?2 (a+b) 2=a2+2ab+b
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的２倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
练习
1。下列多项式是不是完全平方式？为什么？ (1) a2-4a+4; 是不是 1±4a+4a2 4b2+4b+1 a2+2ab+b2
(2) 1+4a2;
归纳：（1）先提公因式（有的话）；（2）利用公式（可以的话）；（3）分解因式时要分解到不能分解为止.
计算下列各式
(1)8a 2a
3
(2)a (a 0)
0
(3) 12a b x 3ab
3 2 7 3
2 3
(4)(42 10 ) (7 10 )
1.将多项式am+an+bm+bn 分解因式
◆综合拓展: 已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足等式 3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明△ABC是等边三角形.