自动控制原理简明版根轨迹法

令 dK1 0
ds
s2 2s 2 K1 s 2 s2 4s 2 0
求得 s1 0.586 (舍去)
s2 3.414
C(s)
8
(2)
m 1
n1
i1 s zi j1 s pi
因为
P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0
即
P(s) Q(s) P(s) Q(s)
d [ln P(s)] d [lnQ(s)]
6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点
K1 0
K1
K1
K1
K1 0
K1 0
会合点 K1 0
K1
分离点
分离点或会合点的必要条件：
d[G1(s)H1(s)] 0
式中
ds
m
m
(s zi )
(s zi )
G(s)H(s) K1
i 1 n
K1G1(s)H1(s)
G1(s)H1(s)
以上分析没有考虑 K1 0 (且为实数)的约束条件，所以只有满 足 K1 0的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。
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例: 设系统
R(s)
K1(s 2) s2 2s 2
C(s)
试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。
解：系统的开环传递函数：
求得：
G(s)H(s)
K1(s 2) s2 2s 2
复数分离点
K1
K1 0
Im K1
K1 0
Re 0 K1 0
K1
K1 0
K1
K1 0
Im
K1
K1
分离点 Re
K1 0
0
K1 0
分离点
K1
K1
K1 0
6
： P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0 另外两种表达形式
(1) dK1 0 ds
因为
K1P(s) Q(s) 0
(其它各零点到 zb的向量幅角 i之和)
n
m
180(2k 1) j i
j 1
i 1
ib
12
出射角(或入射角)是指根轨迹离
开复极点 (或终止复零点)处切线的 A
Im a
倾角。
s1
pa
在根轨迹曲线上取试验点s1，与
复极点-pa的距离为 。 当 0时，可近似地 认为s1在切线上，切线
Im
[s]
K1 K1
2
3.414
K1 0
1 K1 0
j
0 Re j
一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点) 之间；则个分离点(会合点) 。如果根轨迹位于实轴上一个开 环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不 存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。
5
四重分离点
i 1 n
(s pj)
(s pj)
j 1
j 1
1
设 系统的开环传递函数
m
G( s) H ( s)
K1 (s zi )
i 1 n
(s pj)
K1G(s)H (s)
K1
P(s) Q(s)
j 1
m
P(s) (s zi ) (s z1 )( s z2 ) (s zm ) i n1
Q(s) K1 P(s)
dK1 Q(s)P(s) Q(s)P(s)
ds
P2(s)
令 dK1 0 , 即得到
ds
P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0
7
仍以上例说明: R(s)
K1(s 2) s2 2s 2
因为
1 G(s)H(s) K1(s 2) (s2 2s 2) 0
n1
i1 s zi j1 s pi
9
仍以上例说明: R(s)
K1(s 2)
C(s)
s2 2s 2
因为
1 1 1
s2 s1 j s1 j
消去分母 s2 4s 2 0
解上式得到 s1 0.586（舍去） s2 3.414
经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。 对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面
两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定
要检验，舍去K＜0所对应的值。
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Im
复杂情况用试探法。
在-2-3之间存在一个分离点。
3
2 1
0 Re
1 1 1 1 s1 s s2 s3
s 2.4
s 2.5
1 ?1
1
1
2.4 1 2.4 2.4 2 2.4 3
1
?
1
1
1
d ds
[G1
(
s)
H
1
(
s
)]
d ds
s2
s2 2s 2
s2 4s 2 (s2 2s 2)2
0
s1 0.586(舍去) s2 3.414
代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K＜0，
故s1舍去；s2代入，求得K＞0 。所以s2会合点。
4
检验K1只要得到的符号即可,不必出具体的数值。
a 180(2k 1)（各零点到 pa 的向量幅角 i 之和）
（其它各极点到 pa 的向量幅角 j 之和）
m
n
180(2k 1) i j
i 1
j1
ja
若根轨迹的一个分支终止于复零点 zb 的入射角为 b ，则
b 180(2k 1) (各极点到 zb 的向量幅角 j 之和)
ds
ds
其中 P(s) (s z1 )(s z2 ) (s zm )
Q(s)- (s p1 )(s p2 ) (s pn )
即
d [ln P(s)] 1 1 1
ds
s z1 s z2
s zm
所以
d
1
1
1
[lnQ(s)]
ds
s p1 s p2
s pn
m 1
,
2.5 1 2.5 2.5 2 2.5 3
0.715 1.247 0.67 0.4
s 2.47
1 1 1 1
0.68 0.635
2.47 1 2.47 2.47 2 2.47 3
所以分离点的位置为 s 2.47
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7、根轨迹的出射角与入射角
若根轨迹的一个分支离开复极点 pa 的出射角为 a ，则
根，必同时满足 f (s1) 0和 f (s1) 0。因此求得：
K1P( K1 P (
s) s)
Q(s) 0 Q(s) 0
消去 K1 ，可得到：P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0 便于忘记，上式又可写成：
d[G1(s)H1(s)] 0 或
ds
d[G(s)H (s)] 0 ds
Q(s) (s p j ) (s p1 )( s p2 ) (s pn ) j 1
P(s) 1 G(s)H (s) 1 K1G1(s)H1(s) 1 K1 Q(s) 0
K1P(s) Q(s) 0
2Hale Waihona Puke Baidu
根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上
的分离点(或会合点) 与特征方程式的重根相对应。若为二重