专题训练(三) 等腰三角形中的常见证明思路.pptx

专题训练(三) 等腰三角形中的常见证明思路
4．如图 3－ZT－4，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的 中点，连接 AE，BE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F，AB＝BF.求 证：BE⊥AE.
图 3－ZT－4
专题训练(三) 等腰三角形中的常见证明思路
证明： ∵E 是 CD 的中点，∴DE＝CE. ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE， ∴△ADE≌△FCE，∴AE＝FE. 又∵AB＝BF，∴BE⊥AE.
图 3－ZT－5
专题训练(三) 等腰三角形中的常见证明思路
解：(1)证明：∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE. ∵AE 平分∠DAC，∴∠Dຫໍສະໝຸດ BaiduE＝∠CAE， ∴∠B＝∠C，∴△ABC 是等腰三角形． (2)∵F 是 AC 的中点，∴AF＝CF.
∠CAE＝∠C，
在△AFE 和△CFG 中，AF＝FC， ∠AFE＝∠CFG，
第十三章 轴对称
专题训练(三) 等腰三角形中的 常见证明思路
专题训练(三) 等腰三角形中的常见证明思路
类型之一 利用“三线合一”证明角相等
1．如图 3－ZT－1，已知 AB＝AC，BD⊥AC 于点 D.求证：∠DBC 1 ＝2∠BAC.
图 3－ZT－1
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证明：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F. ∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴∠CAF＝∠BAF＝12∠BAC. ∵AF⊥BC，BD⊥AC， ∴∠CAF＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°， ∴∠DBC＝∠CAF，∴∠DBC＝12∠BAC.
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类型之三 利用平行线证等腰三角形
5．如图 3－ZT－5，在△ABC 中，已知点 D 在线段 AB 的反向延 长线上，过 AC 的中点 F 作线段 GE 交∠DAC 的平分线于点 E，交 BC 于点 G，且 AE∥BC.
(1)求证：△ABC 是等腰三角形； (2)若 AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC 的周长．
图 3－ZT－6
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∠BAD＝∠BCE， 证明：在△ABD 和△CBE 中，∠B＝∠B，
BD＝BE， ∴△ABD≌△CBE(AAS)，∴AB＝BC. ∵BE＝BD，∴AE＝CD.
∠AFE＝∠CFD， 在△AEF 和△CDF 中，∠EAF＝∠DCF，
AE＝CD， ∴△AEF≌△CDF(AAS)，∴AF＝CF，∴△AFC 是等腰三角形．
求证：AF⊥CD.
图 3－ZT－3
专题训练(三) 等腰三角形中的常见证明思路
证明：连接 AC，AD. AB＝AE，
在△ABC 和△AED 中，∠ABC＝∠AED， BC＝ED，
∴△ABC≌△AED(SAS)， ∴AC＝AD(全等三角形的对应边相等)． 又∵△ACD 中 AF 是 CD 边上的中线， ∴AF⊥CD(等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合)．
∴△AFE≌△CFG，∴GC＝AE＝8.∵GC＝2BG，∴BG＝4，∴BC＝12. ∴△ABC 的周长＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32.
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类型之四 利用全等三角形证等腰三角形
6．如图 3－ZT－6，在△ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 BC 上， BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD 与 CE 相交于点 F，求证：△AFC 是等 腰三角形．
又∵CE＝2BC，∴BD＝CE. 在 Rt△ABD 和 Rt△ACE 中， AB＝AC，BD＝CE， ∴Rt△ABD≌Rt△ACE， ∴∠ACE＝∠B.
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类型之二 利用“三线合一”证明两线垂直
3．如图 3－ZT－3 所示，五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC＝DE， ∠ABC＝∠AED，F 是 CD 的中点．
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2．如图 3－ZT－2，在△ABC 中，AB＝AC，CE⊥AE 于点 E， CE＝12BC，点 E 在△ABC 外．
求证：∠ACE＝∠B.
图 3－ZT－2
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证明：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. 1
∵AB＝AC，∴BD＝2BC. 1