2020版高考文科数学一轮复习文档：第八章第五节椭圆Word版含答案
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五节 椭 圆 2019 考纲考题考情
1． 椭圆的概念 平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数 (大于 |F1F2|)的点 的轨迹叫椭圆。 这两定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做 焦距。 集合 P＝{ M||MF 1|＋ |MF 2|＝ 2a，|F1F2|＝ 2c，其中 a＞0，c＞0， 且 a，c 为常数 } 。 (1)若 a＞ c，则 M 点的轨迹为椭圆。 (2)若 a＝ c，则 M 点的轨迹为线段 F1F2。 (3)若 a＜ c，则 M 点不存在。 2． 椭圆的标准方程和几何性质
B．
2－ 1 2
C．2－ 2
D． 2－1
解析 设椭圆方程为 ax22＋by22＝1，依题意，显然有 |PF2|＝ |F1F2|，
则b2＝ 2c，即 a2－ c2＝2c，即 e2＋ 2e－1＝0，又 0<e<1，解得 e＝
a
a
2－ 1。故选 D。
解析：因为△ F1PF2 为等腰直角三角形，所以 |PF2|＝ |F1F2| ＝2c，|PF1|＝ 2 2c。因为 |PF1|＋ |PF2|＝2a，所以 2 2c＋2c＝2a，
所以 e＝ca＝ 21＋1＝ 2－1。故选 D。
答案 D
二、走近高考
3．(2018 全·国卷Ⅱ )已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点。若 PF1⊥ PF2，且∠ PF2F1＝ 60°，则 C 的离心率为
()
A ．1－
3 2
B．2－ 3
C．
3－1 2
D． 3－1
解析 在△ F1PF2 中，∠ F1PF2＝ 90°，∠ PF2F1＝ 60°， |F1F2|
|MF 2|＝|F1F2|，所以点 M 的轨迹是一条线段。
答案 线段 F1F2
6．椭圆
x2 10－
＋ m
y2 m－
＝ 2
1
的焦距为
4，则
m 等于 (
)
A．4
B．8
C．4 或 8
D ． 12
解析 当焦点在 x 轴上时， 10－ m>m－2>0,10－ m－ (m－2)
＝4，所以 m＝ 4。当焦点在 y 轴上时， m－ 2>10－ m>0，m－2－
考点一 椭圆的定义及应用
【例 1】
(1) 过椭圆
x2＋ 4
y2＝
1
的左焦点
F1 作直线
l 交椭圆
于 A， B 两点， F2 是椭圆右焦点，则△ ABF2 的周长为 ( )
A．8
B．4 2
C． 4
D．2 2
(2)在平面直角坐标系
xOy
中，
P
是椭圆
y2＋ 4
x2＝ 3
1
上的一个
动点，点 A(1,1)， B(0，－ 1)，则 |PA|＋|PB|的最大值为 ( )
＝ 3，b＝
a2－ c2 ＝ 4，故点
P 的轨迹方程为
x2 ＋ 25
y2 ＝ 16
1。故选
A。
答案 A
2．(选修 1－1P42A 组 T4 改编 )设椭圆的两个焦点分别为 F1， F2，过点 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△ F1PF2 为等腰 直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )
A．
2 2
(10－m)＝4，所以 m＝8。所以 m＝4 或 8。
答案 C
7．已知点
P
是椭圆
x2＋ 5
y2＝1 4
上
y
轴右侧的一点，且以点
P
及焦点 F1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为
________________。
解析 设 P(x，y)，由题意知 c2＝ a2－ b2＝ 5－4＝1，所以 c
是( )
A ．(0,1] ∪[9 ，＋∞ ) C．(0,1]∪ [4，＋∞ )
B．(0， 3] ∪[9 ，＋∞ ) D．(0， 3] ∪[4 ，＋∞ )
解析
依题意得，
3≥ m
∠ tan
AMB 2
，
0<m<3
或
m≥ tan∠ 3
A2MB，
m>3，
所以
3 ≥tan60 °， m
0<m<3
m≥tan60 °， 或3
A ．2x52 ＋1y62 ＝1
B ． 1x020＋ y92＝ 1
C．
y2 ＋ 25
x2 ＝ 16
1
D．
x2 ＋ 25
y2 ＝ 16
1
或
y2 ＋ 25
1x62 ＝1
解析 设点 P 的坐标为 (x， y)，因为 |PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|
＝6，所以点 P 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的椭圆，其中 a＝5，c
A．5
B．4
C． 3
D．2
解析 (1)因为 x42＋ y2＝1，所以 a＝2。由椭圆的定义可得 |AF1|
＝2c，所以 |PF2|＝c，|PF1|＝ 3c，又由椭圆定义可知 |PF1|＋|PF2|
＝2a，即 3c＋c＝ 2a，故椭圆 C 的离心率 e＝ac＝ 3－1。故选 D。
答案 D
4．(2017 ·全国卷Ⅰ )设
A，B 是椭圆
C：
x2＋ 3
y2＝ m
1
长轴的两
个端点。若 C 上存在点 M 满足∠ AMB＝ 120°，则 m 的取值范围
m>3，
解得 0<m≤来自百度文库1 或 m≥ 9。
答案 A
三、走出误区
微提醒： ①忽视椭圆定义中的限制条件； ②忽视椭圆标准方
程焦点位置的讨论；③忽视点 P 坐标的限制条件。
5．平面内一点 M 到两定点 F1(0，－ 9)，F2(0,9)的距离之和 等于 18，则点 M 的轨迹是 ________。
解析 由题意知 |MF 1|＋|MF 2|＝18，但 |F1F2|＝ 18，即 |MF 1|＋
＝1，则 F1(－ 1,0)，F2(1,0)。由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，
所以
y＝ ±1，把
y＝
±1
代入
x52＋
y2 4
＝
1，得
x＝ ± 215，又
x>0，所
以 x＝ 215，所以 P 点坐标为 215，1 或 215，－ 1 。
答案
15，1 或 15，－ 1
2
2
第 1 课时 椭圆的定义及简单几何性质
1．椭圆方程中的 a， b，c (1)a， b，c 关系： a2＝b2＋c2。
(2)e 与ba：因为
e＝ ca＝
a2－ a
b2
＝
1－
b a
2，所以离心率
e
越大，则 ba越小，椭圆就越扁；离心率 e 越小，则 ab越大，椭圆就
越圆。
2．在求焦点在 x 轴上椭圆的相关量的范围时，要注意应用
以下不等关系：－ a≤x≤a，－ b≤ y≤b,0<e<1。
3．焦点三角形 椭圆上的点 P 与焦点 F1，F2 若构成三角形，则称△ PF1F2 为焦点三角形，焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定理、余
弦定理的联系。
一、走进教材
1．(选修 1－1P42A 组 T1 改编 )若 F1(－3,0)，F2(3,0)，点 P 到
F1，F2 距离之和为 10，则 P 点的轨迹方程是 ( )
1． 椭圆的概念 平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数 (大于 |F1F2|)的点 的轨迹叫椭圆。 这两定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做 焦距。 集合 P＝{ M||MF 1|＋ |MF 2|＝ 2a，|F1F2|＝ 2c，其中 a＞0，c＞0， 且 a，c 为常数 } 。 (1)若 a＞ c，则 M 点的轨迹为椭圆。 (2)若 a＝ c，则 M 点的轨迹为线段 F1F2。 (3)若 a＜ c，则 M 点不存在。 2． 椭圆的标准方程和几何性质
B．
2－ 1 2
C．2－ 2
D． 2－1
解析 设椭圆方程为 ax22＋by22＝1，依题意，显然有 |PF2|＝ |F1F2|，
则b2＝ 2c，即 a2－ c2＝2c，即 e2＋ 2e－1＝0，又 0<e<1，解得 e＝
a
a
2－ 1。故选 D。
解析：因为△ F1PF2 为等腰直角三角形，所以 |PF2|＝ |F1F2| ＝2c，|PF1|＝ 2 2c。因为 |PF1|＋ |PF2|＝2a，所以 2 2c＋2c＝2a，
所以 e＝ca＝ 21＋1＝ 2－1。故选 D。
答案 D
二、走近高考
3．(2018 全·国卷Ⅱ )已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点。若 PF1⊥ PF2，且∠ PF2F1＝ 60°，则 C 的离心率为
()
A ．1－
3 2
B．2－ 3
C．
3－1 2
D． 3－1
解析 在△ F1PF2 中，∠ F1PF2＝ 90°，∠ PF2F1＝ 60°， |F1F2|
|MF 2|＝|F1F2|，所以点 M 的轨迹是一条线段。
答案 线段 F1F2
6．椭圆
x2 10－
＋ m
y2 m－
＝ 2
1
的焦距为
4，则
m 等于 (
)
A．4
B．8
C．4 或 8
D ． 12
解析 当焦点在 x 轴上时， 10－ m>m－2>0,10－ m－ (m－2)
＝4，所以 m＝ 4。当焦点在 y 轴上时， m－ 2>10－ m>0，m－2－
考点一 椭圆的定义及应用
【例 1】
(1) 过椭圆
x2＋ 4
y2＝
1
的左焦点
F1 作直线
l 交椭圆
于 A， B 两点， F2 是椭圆右焦点，则△ ABF2 的周长为 ( )
A．8
B．4 2
C． 4
D．2 2
(2)在平面直角坐标系
xOy
中，
P
是椭圆
y2＋ 4
x2＝ 3
1
上的一个
动点，点 A(1,1)， B(0，－ 1)，则 |PA|＋|PB|的最大值为 ( )
＝ 3，b＝
a2－ c2 ＝ 4，故点
P 的轨迹方程为
x2 ＋ 25
y2 ＝ 16
1。故选
A。
答案 A
2．(选修 1－1P42A 组 T4 改编 )设椭圆的两个焦点分别为 F1， F2，过点 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△ F1PF2 为等腰 直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )
A．
2 2
(10－m)＝4，所以 m＝8。所以 m＝4 或 8。
答案 C
7．已知点
P
是椭圆
x2＋ 5
y2＝1 4
上
y
轴右侧的一点，且以点
P
及焦点 F1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为
________________。
解析 设 P(x，y)，由题意知 c2＝ a2－ b2＝ 5－4＝1，所以 c
是( )
A ．(0,1] ∪[9 ，＋∞ ) C．(0,1]∪ [4，＋∞ )
B．(0， 3] ∪[9 ，＋∞ ) D．(0， 3] ∪[4 ，＋∞ )
解析
依题意得，
3≥ m
∠ tan
AMB 2
，
0<m<3
或
m≥ tan∠ 3
A2MB，
m>3，
所以
3 ≥tan60 °， m
0<m<3
m≥tan60 °， 或3
A ．2x52 ＋1y62 ＝1
B ． 1x020＋ y92＝ 1
C．
y2 ＋ 25
x2 ＝ 16
1
D．
x2 ＋ 25
y2 ＝ 16
1
或
y2 ＋ 25
1x62 ＝1
解析 设点 P 的坐标为 (x， y)，因为 |PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|
＝6，所以点 P 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的椭圆，其中 a＝5，c
A．5
B．4
C． 3
D．2
解析 (1)因为 x42＋ y2＝1，所以 a＝2。由椭圆的定义可得 |AF1|
＝2c，所以 |PF2|＝c，|PF1|＝ 3c，又由椭圆定义可知 |PF1|＋|PF2|
＝2a，即 3c＋c＝ 2a，故椭圆 C 的离心率 e＝ac＝ 3－1。故选 D。
答案 D
4．(2017 ·全国卷Ⅰ )设
A，B 是椭圆
C：
x2＋ 3
y2＝ m
1
长轴的两
个端点。若 C 上存在点 M 满足∠ AMB＝ 120°，则 m 的取值范围
m>3，
解得 0<m≤来自百度文库1 或 m≥ 9。
答案 A
三、走出误区
微提醒： ①忽视椭圆定义中的限制条件； ②忽视椭圆标准方
程焦点位置的讨论；③忽视点 P 坐标的限制条件。
5．平面内一点 M 到两定点 F1(0，－ 9)，F2(0,9)的距离之和 等于 18，则点 M 的轨迹是 ________。
解析 由题意知 |MF 1|＋|MF 2|＝18，但 |F1F2|＝ 18，即 |MF 1|＋
＝1，则 F1(－ 1,0)，F2(1,0)。由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，
所以
y＝ ±1，把
y＝
±1
代入
x52＋
y2 4
＝
1，得
x＝ ± 215，又
x>0，所
以 x＝ 215，所以 P 点坐标为 215，1 或 215，－ 1 。
答案
15，1 或 15，－ 1
2
2
第 1 课时 椭圆的定义及简单几何性质
1．椭圆方程中的 a， b，c (1)a， b，c 关系： a2＝b2＋c2。
(2)e 与ba：因为
e＝ ca＝
a2－ a
b2
＝
1－
b a
2，所以离心率
e
越大，则 ba越小，椭圆就越扁；离心率 e 越小，则 ab越大，椭圆就
越圆。
2．在求焦点在 x 轴上椭圆的相关量的范围时，要注意应用
以下不等关系：－ a≤x≤a，－ b≤ y≤b,0<e<1。
3．焦点三角形 椭圆上的点 P 与焦点 F1，F2 若构成三角形，则称△ PF1F2 为焦点三角形，焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定理、余
弦定理的联系。
一、走进教材
1．(选修 1－1P42A 组 T1 改编 )若 F1(－3,0)，F2(3,0)，点 P 到
F1，F2 距离之和为 10，则 P 点的轨迹方程是 ( )