高中数学《第二讲古希腊数学三欧几里得与《原本》》56PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲

欧几里得与《几何原本》教学设计
王楷文
一、教学目标
（1）
了解《几何原本》的内容框架；
（2）
了解《几何原本》的最大价值；
（3）
了解《几何原本》的第Ⅰ卷；
（4）
通过一个具体命题感受欧几里得建立的数学范式和“公理化思想”的含义；
（5）
了解“几何之父”欧几里得的生平和相关传说。

二、教学重点
（1）《几何原本》的内容框架；
（2）《几何原本》的最大价值；
（3）感受欧几里得建立的数学范式和公理化思想。

三、教学难点
《几何原本》的最大价值。

四、教学过程
（一）
抛出问题，引发思考
思考：请同学们回忆一下，自己当年是怎么学习几何的？（最重要最根本的东西：几何命题的明晰性和可靠性）
爱因斯坦曾说：“一个人当他最初接近几何时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。

”
问题：我们回过头想想，我们学习几何的过程中，你感受过爱因斯坦所说的这种感动吗？
（二）
《几何原本》的内容框架
共13卷，前四卷讲直边形和圆的性质，第五卷论比例，第六卷利用比例理论讨论相似形，第七、八、九、十卷用几何的方法讲述比例和算术理论，其余三卷为立体几何和穷竭法，这些被称作“欧式几何学”。

（三）《几何原本》的价值
1.《几何原本》体制适宜、结构严谨，影响十分深远，在两千多年的时间里被认为是几何学的标准教科书，欧洲各国甚至把它当作几何学版的“圣经”，以至到十九世纪末已被翻译成了一千多个版本，“欧几里得”成了几何学的代名词。

2.
确立了数学的演绎范式
（《几何原本》最大的价值在于确立了数学的演绎范式，这
种范式要求一门学科中的每一个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理——公设或公理，这就是所谓的“公理化思想“。

它的目的就是把数学表达成为一个演绎系统，其出发点就是一组基本概念和公理。

他总结概括出23个定义，
5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成演绎体系。

“数学从一门经验的科学变成了一门完全理智的科学”。

）（四）《几何原本》的第Ⅰ卷
包括23条最基本的定义，如点、线、面、圆等，和5条公理、5条公设。

欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点。

23条定义：
5条公设：
5条公理（注：欧几里得认为，公设是指单一学科的，公理则适应于所有学科的“真理”。

）
欧几里得就是用这23个定义、5条公设、5条公理推导出其他96个定义和465条命题。

（五）实例体验
下面，我们一起看《几何原本》里的一个命题，亲身感受一下欧几里得的伟大的创造。

命题：在一给定的有限长线段上作一等边三角形.
过程：设此线段为AB,以A为圆心，AB为半径作圆BCD（公设3），再以B为圆心，AB为半径作圆ACE(公设3)，再由二圆的交点C到A、B作直线段AC、BC(公设1).由于A是圆BCD 的圆心，所以AB=AC(定义15).同理AB=BC，所以BC=AC(公理1).这样，△ABC的三边相等，因而是等边三角形。

(六)欧几里得生平
1.生平：我们现在只能通过后来的记录不健全的资料和一些传说了解到欧几里得的两件事，一件是他生活在公元前300年左右，居于柏拉图的学生与阿基米德之间，另一件是他曾在亚历山大港教过书。

所以数学史家萨顿曾经感慨过:对欧几里得以及其他某些先贤生平的这种无知”是寻常而非例外的，人们记住了暴君和独裁者，成功的政治人物，富豪（起码一部分富豪），却忘记了自己最大的恩人。

“
2.关于欧几里得，有两个小故事。

1)
《希腊数学史》记载：有个学生跟欧几里得刚刚学了第一个几何命题，便急不可耐地问学了几何学将得到什么好处，欧几里得对侍者说：拿三个钱来给这位先生，他想的是在学习中要得到实惠。

2)
另一位古代学者在《几何原本》注释中写道:托勒密国王很热爱几何，但是又不想深入研究，就问欧几里得：学习几何学有没有捷径可走？欧几里得答道：几何学没有陛下的坦途。

（几何无王者之道）
(七)总结
（1）《几何原本》对世界数学的贡献主要是：建立了欧氏几何；建立了公理演绎体系，即用公理、公设和定义的推证方法，确立了数学的基本方法学；将逻辑证明系统地引入数学中，确立了逻辑学的基本方法。

《几何原本》对世界的影响：从此西方的科学里有了体系一说，西方的科学家们惊叹于欧几里得发明的这套方法，于是纷纷将这一套东西引入到自己的研究领域，从此这种方式成为了西方科学研究的基本范式，任何人研究一个全新的领域，都先作几个最基本的假设作为公理，然后从这些假设出发推导出一些定理，当然，必须保证自己推导的这些定理前后不矛盾（这就需要很强的逻辑能力，《几何原本》就是对逻辑能力最好的训练材料），然后以这些推导出来的定理为基础，利用严密的逻辑一步步的扩大领域，最终把这个领域内的一切都包含进来。

如果公理可靠，那么推出来的结论也一定是可靠的。

（2）后世评价：
徐光启对《几何原本》的结构赞叹不已，评价很高，他指出：
此书有四不必：“不必疑，不必揣，不必试，不必改。

”“此时无一人不当学”“能精此书者，无一事不可精，好学此书者，无一事不可学。

”
爱因斯坦高度评价：“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹。

这个逻辑体系如此精密地一步一步地推进，以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的——我这里说的是欧几里得几何，推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后的成就所必须的信心。

”
19世纪的英国数学家奥古斯塔斯·德·摩根所言：“从来不曾有过，并且在亲眼见到之前我们也绝不该相信，会有任何值得一提的几何体系，包含任何与欧几里得所定方案有偏差的材料。

”。