微积分——多元函数及二重积分知识点

第四章 矢量代数与空间解析几何

微积分二大纲要求

了解 两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图

形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影.

会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、

垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程.

理解 空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式 掌握 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法，

平面方程和直线方程及其求法.

第一节 矢量代数

一、内容精要 （一） 基本概念 1.矢量的概念

定义4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。

定义4.2两个矢量a 与b

，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作b a =.

换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改 变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。

k a j a i a a

3211(++=称为按照k j i ,,的坐标分解式，},,{321a a a a = 称为坐标式。

.||2

32221a a a a ++= 若,0≠a 记|

|0a a a

=。知0a 是单位矢量且与a 的方向一致，且0||a a a =。

因此，告诉我们求矢量a 的一种方法，即只要求出a 的大小||a 和与a

方向一致的单位矢量0

a ，则

.||0a a a

=若},{321a a a a = ，知

},cos ,cos ,{cos },

,

{

2

3

2

22

13

2

3

2

22

12

2

3

2

22

11

0γβα=++++++=a a a a a a a a a a a a a

其中γβα..是a

分别与Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴正向的夹角，而

,cos ,cos ,cos 2

3

2

22

13

2

3

2

22

12

3

3

22211

a a a a a a a a a a a a ++=

++=

++=

γβα

且.1cos cos cos 2

2

2

=++γβα

2.矢量间的运算

设}.,,{},,,{},,,{321321321c c c c b b b b a a a a ===

).0||,0|(||

|||cos ),0(cos ||||≠≠⋅=≤≤=⋅b a b a b a b a b a θπθθ .cos ,

2

3

22212

3

2

22

13

32211332211b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a ++++++=

++=⋅θ

a a a a a a a a ⋅===⋅知,0cos 2

b a ⨯的确定（1）,sin ||||||θb a b a =⨯（2）b a ⨯与b a

,所确定的平面0,0||,||,(=⨯=⨯≠b a b a b a b a 即知若，方向可任意确定）垂直，且b a b a

⨯,,构成右手系若

c b a ,, 用坐标式给出，则

k a b b a j b a b a i b a b a b b b a a a k j i b a

)()()(2121133123323

21321-+---==⨯

由行列式的性质可知.a b b a

⨯-=⨯

b a ⨯的几何意义：b a

⨯表示以b a ,为邻边的平行四边形

的面积，即.||sin ||||||s h a b a b a ===⨯

θ 容易知道以b a

,为邻边的三角形面积为

||2

1b a s ⨯=.

容易验证 ()

.||||||2

22

2b a b

a b a

=⋅+⨯

3

2

13213

21)(c c c b b b a a a c b a =⋅⨯

c b a

⋅⨯)(的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。 c b a ⋅⨯)(的几何意义 |)(|c b a ⋅⨯表示以c b a

,,为邻边的平行六面体的体积，即

θcos |||||)(|c b a c b a

⋅⨯=⋅⨯

.||cos ||||v sh h b a c b a ==⨯=⋅⨯=

θ

b a ⨯

b

a

图4-1

b

h

θ

θsin ||b h =

图4-2

c

b c