坐标系与函数综合

备用图

1、如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝

1

2

BC．（1）求∠BAC的度数．

（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：

四边形AFHG是正方形．

（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．

2.如图所示，平面直角坐标系中, 抛物线y=ax2+bx+c 经过 A(0,4)、B(-2,0)、C(6,0).过点A

作AD∥x轴交抛物线于点D,过点D作DE⊥x轴，垂足为点E.点M是四边形OADE的对角线的交点，

点F在y轴负半轴上，且F(0,-2).

(1)求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状；

(2)当点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB 、FA方向运动，点P

运动到O时P、Q两点同时停止运动.设运动的时间为t秒,在运动过程中，以P、Q、O、M四点为

顶点的四边形的面积为S,求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3)在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N

的坐标；不存在，说明理由.

3．如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C

（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．⑴求抛物线的函数表达式；

⑵求直线BC的函数表达式；⑶点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线

于P、Q两点，且点P在第三象限．

①当线段PQ=

3

4

AB时，求tan∠CED的值；

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

4、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线9

4

3

+

-

=x

y与x轴，y轴分别交于B，C

两点，抛物线c

bx

x

y+

+

-

=2

4

1

经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出

发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为t（0＜t＜5）秒.

（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；

（2）以OC为直径的⊙O′与BC交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？请说明理由。

（3）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C

运

动，动点N从点C出发沿CA以每秒

5

10

3

个单位长度的速度向点A运动，运动时间和点P相

同。

①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？

②是否存在△NCQ为直角三角形的情形，若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由.