高等数学PPT课件：向量及其线性运算

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向量及其线性运算
由 定理 使 设向b 量aar. 0r,则b∥ a 存在唯一的实数
按坐标表示式即为:
也即向量 b(b与x ,aby对,b应z )的 坐(标ax成,a比y ,a例z ): bx by bz ax ay az
注 当分母为零理解为分子也为零.
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向量及其线性运算
五、向量的模、方向角
夹角分别为
求P2的坐标.3
和
4
,
如果P1的坐标为(1,0,3),
解 设向量 P1P2 的方向角为 、 、
3
,
4
cos 1 , cos
2
2 2
cos2 cos2 cos2 1
cos 1 , 2
2
3
3
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向量及其线性运算
P1(1,0,3), | P1P2 | 2 设P2的坐标为( x, y, z)
P2(u2 ) u
上坐标分别为 u1, u2 .
由向量M1M2在轴u上的投影 (M1M2 ) au .
而P1P2 OP2
如 e是与轴
OP1 u2 u1. 因此 au u正向一致的单位向量,
u2 u1 可知:
.
P1P2 aue (u2 u1)e.
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向量及其线性运算
x轴分向量 y轴分向量 z轴分向量
a
z
M1M 2 ,
R
起点
M1(
x1 ,
y1
,
z1
a
),
终点
M
2
(x2
,
axi ay j
y2 ,z2 azk
)
k
M1•
P
i
O
j
a
•M2
Q
N
y
向量在x轴上的投影
ax x2 x1 坐标
向量在y轴上的投影
a y y2 y1 坐标
x 按基本单位向量的
向量在z轴上的投影
坐标分解式： a M1M2 ( x2
(direction angle )
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为
非零向量 a的方向角： 、 、
z
M1•
a
•M2
0 , 0 ,
O
x
y
0 .
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向量及其线性运算
zR
M1•
a
•M2
Q
P
由图分析可知
ax | a| cos
向 量
ay | a| cos
的 方
O
y
az | a| cos
向 余
即以右手握住 z 轴,
i
当右手的四个手指 横轴 x
y 纵轴
从正向x轴以 角度
2
转向正向y 轴时, 大
空坐间标直系角或坐[O标;i系, j,,称k]O坐xy标z 系.
拇指的指向就是z轴 的正向.
点O叫做坐标原点 (或原点)
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向量及其线性运算
z zOx面
yOz面 Ⅲ
Ⅱ
ⅦⅣ
Ⅰ
O
xOy面
Ⅵy
Ⅷ
Ⅴ
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x
空间直角坐标系共有八个卦限
ax2
a
2 y
az2
ax ay
| |
a| a|
cos cos
az | a| cos
ay ax2 ay2 az2
cos
az
ax2
a
2 y
az2
方向余弦的特征 cos2 cos2 cos2 1
特殊地
(cos ,
cos
,
cos
)
|
a a|
ao
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向量及其线性运算
例 求平行于向量
a
6i
ay
b (bx , by ,
by , az bz )
bz )
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a
b
(a
x
bx ,
a
y
by ,
az
bz )
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a (ax ,
a
y
,
az
)
(ax )i (ay ) j (az )k
向量概念 向量的线性运算 空间直角坐标系 利用坐标作向量的线性运算 向量的模 方向角 小结 思考题 作业
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第七章 空间解析几何与向量代数
向量及其线性运算
一、向量概念
(vector)
向量 既有 大小又有 方向 的量.
向量表示 a 或 M1M2
M2 a M1
以 M1为起点,M2为终点的有向线段. 向量的模 (module) 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
a
b o
c
共面
d
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向量及其线性运算
二、向量的线性运算
1. 向量的加减法
b
(1)加法定义
加法
a
b
c（平行四边形法a则）
a
b
b
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特a殊地 b
若a‖
b
a分c 为同b向 和反| c向||
a|
|
b|
a b
c
a b
|
c|
|
a|
|
b|
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向量及其线性运算
(2) 向量的加法符合下列运算规律
证
a
b
c,
b
c
a,
, 为常数.
上两式相减得：a c c a
(1 )a (1 )c, 而a与c不共线.
故只能1 0,且1 0.
即
1,
1
a
b
c
0.
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向量及其线性运算
三、空间直角坐标系
z 竖轴
1.空间点的直角坐标
三个坐标轴的 正方向符合右手系
k
定点 O •
j
空间两点间距离公式
特殊地 若两点分别为M( x, y, z) , O(0,0,0) d OM x2 y2 z2
向径 空 向间 量直. 角坐OM标系常中用任r一表点示M. 与原点构成的
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向量及其线性运算
例 设P在x轴上,它到点P1(0, 2,3)的距离为到 点P2(0,1,1)的距离的两倍, 求点P的坐标.
交换律
a
b
b
a;
结合律
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c);
a
(a)
0.
(3) 减法定义
减法
a
b
a
(b)
b
a
b
b
b
c
a
c
b
c
a
(b)
a
a
b
a
b
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向量及其线性运算
向量的“伸缩”
2. 向量与数的乘法 (简称数乘运算)
设是一个数, 向量 a与的乘积
0,a与a同向, | a| | a|;
(D) (-2, 3, 1).
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向量及其线性运算
2.空间两点间点的距离
设M1( x1, y1, z1 )、M2( x2 , y2 , z2 )为空间两点.
z
R•
d
M1•
P•
• M2
•Q
•N
d M1M2 ?
在直角三角形
M1 NM 2和 M1PN 中, 用勾股定理
O
y
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM2 2
单位向量 模长为1的向量.
零向量
模长为0的向量.
0
a0
或
M1
M
0 2
3
向量及其线性运算
自由向量 不考虑起点位置的向量.
相等向量 大小相等且方向相同的向量.
a
记作
a
b
b
负向量 大小相等但方向相反的向量. a
a a
4
设有两个非零向量a，b，任取空间中的一 点O，作OA=a，OB=b，规定不超过π的角 ∠AOB（设φ =∠AOB， 0≤φ ≤ π）称为向量a 与b的夹角。
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向量及其线性运算
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R,
坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
• M(x, y,z)
O
y
Q(0, y,0)
P( x,0,0)
x
A( x, y,0)
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向量及其线性运算
a规定为
0,a
0;
0, a与a反向, | a|| | | a| .
a 2a
1 a 2
注 向量 a与数 的乘积 a为向量.
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向量及其线性运算
(2) 数与向量的乘积符合下列运算规律
线 性 运 算
结合律 分配律
( a) ( a) ()a;
((ab))aaaba. ;
第一分配律 第二分配律
cos (P1P2 )x
| P1P2 |
cos
x1 | P1P2 |
空间解析几何与向量代数
在平面解析几何中,曾通过坐标法把二维 几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代 数方法研究了几何问题.
本章把这种方法运用到三维几何空间, 讨论如下几个问题:
1. 向量、向量的一些运算; 2. 空间中的平面与直线; 3. 空间中的一些曲面和曲线; 4. 二次曲面.
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向量及其线性运算
由向量 a与a平行,常用数乘运算说明
两定向理|量1aa设使平|就向b行是量关与系aara.(同两a0r0方向,则向量b|∥aa的共|a单线位的存向充在量要唯.条记一件作的):实数 ,
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向量及其线性运算
例
化简
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
1. 两向量的夹角的概念
a
0,
b0
b
向量 a与向量 b的夹角
(a,b) (b,a) (0 )
a
类似地, 可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地, 当两个向量中有一个零向量时, 规定
它们的夹角可在 0与 之间任意取值.
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向量及其线性运算
2.向量在轴上的投影
空间一点在轴上的投影
投影性质1
( AB)u
向量 AB 在轴u上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦：Pr ju AB | AB | cos
( AB)u | AB | cos
B
注 投影有正、负之分;
A
B
u
A
B
u
模只为正值.
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向量及其线性运算
投影性质2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量
在该轴上的投影之和（. 可推广到有限多个）
7
j
6k的单位向量
ao
|
a a|
的分解式.
解 所求向量有两个, 一个与 a 同向,一个与 a 反向.
| a| 62 72 (6)2 11
a0
|
a a|
6
i
11
7 11
j
6
k
11
或
a0
|
aa|
6
i
11
7 11
j
6
k
11
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向量及其线性运算
例 设有向量 P1P2 ,已知| P1P2 | 2, 它与x轴和y轴的
x1
)i
(
az
y2
z2
y1)
z1
j (z2
坐标
z1)k
向量的坐标表达式： 特殊地 OM ( x, y, z)
a M1M2 ( x2 x1, y2 y1, z2 z1 )
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向量及其线性运算
4.利用坐标作向量的线性运算
a (ax , ay , az )
a
b
(a
x
bx ,
解 设P点坐标为 ( x,0,0) PP1 x2 ( 2)2 32 x2 11 PP2 x2 (1)2 12 x2 2 PP1 2 PP2 x2 11 2 x2 2 x 1 所求点为 (1,0,0),(1,0,0)
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向量及其线性运算
四、利用坐标作向量的线性运算
若φ=0或π，就称向量a与b平行，记作a∥b。 如果φ= π／2，就称向量a与b垂直，记作a⊥b。
注意：0向量与任意向量
B
垂直或平行。
b
φ
0
a
A
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当两个向量的起点相同，它们的的终点 和起点在同一条直线上。因此两个向量又平行， 称这两个向量共线。
类似还有向量共面的概念。设有k个向量 （k≥3），当它们的起点放在同一个点时，如果 k个终点和公共起点在同一个平面上，就称这k 个向量共面。
选择题
(1) 点M(2, -3, 1)关于坐标原点的对称点是( A );
(2) 点M(2, -3, 1)关于xOy面的对称点是( C ) ;
(3) 点M(2, -3, 1)关于y 轴的对称点是( B ).
(A) (-2, 3, -1);
(B) (-2, -3, -1);
(C) (2, -3, -1);
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM2 z2 z1
d M1P 2 PN 2 NM 2 2
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
空间两点间距离公式
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向量及其线性运算
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
Pr ju (a1 a2 ) Pr ju a1 Pr ju a2
投影性质3
Pr ju(a) Pr jua
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向量及其线性运算
3. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
设a M1M2 为一向量,
点M1, M2在轴u上投影分别
M1
M2
为点P1, P2 . 又设P1, P2在轴u O P1(u1)
•A
•
A
u
过点A作轴u的垂直平面,
交点A 即为点A在轴u上
的投影.
空间一向量在轴上的投影
B A
A
B
u
已知向量的起点A和终点B 在轴u上的投影分别为 A, B 那么轴u上的有向线段 AB 的值, 称为向量在轴u上的 投影. 轴u称为投影轴.
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向量及其线性运算
Projection
向量 AB 在轴u上的投影 记为 Pr ju AB AB
2a
5
b
2
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向量及其线性运算
例 试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形 必是平行四边形.
证 AM MC
D
C
BM MD A
•
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD∥ BC且 AD BC 结论得证.
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向量及其线性运算
不a共b设线,ac但,b均,a0c.为与非b 零共c向线量, ,其b中r与任cr意共两线a个. 证向明量：
x 方向余弦通常用来表示向量的方向. 弦
(direction cosine )
M1M2 M1P 2 M1Q 2 M1R 2 | a| ax2 a y2 az2 向量模长的坐标表示式
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向量及其线性运算
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax2 a y2时，az2 0
cos
ax
, cos