高等数学PPT课件：向量及其线性运算
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《向量及线性运算》PPT课件
15
五、向量的坐标表示
以i , j , k 分别表示沿x, y, z 轴正向的单位向量.
z
R k
i
o
PM1•j
a axi ay j azk
• M2
向向 向 量量 量
Q
在在 在
N
x yz
y轴 轴 轴
上上 上
x
ax x2 x1
的 投
的 投
的 投
a y y2 y1
az z2 z1
影
o
y
MB {x2 x, y2 y, z2 z} x
20
由题意知： AM MB
{ x x1, y y1, z z1} { x2 x, y2 y, z2 z},
x
x1 ( x2
x)
x
x1 x2 1
,
y
y1 ( y2
y)
y
y1 y2 , 1
z z1 (z2 z)
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
7
二、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以 M 1为起点，M 2
向量的模： 向量的大小.
为终点的有向线段.
就是z 轴的正向.
空间直角坐标系
2
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
3
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
向量及其线性运算ppt课件 (2)
Ⅱ
yOz 面 oxOy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
➢空间点的坐标
点 M 1 1有序数组 (x, y, z)
点 M 的坐标
特殊点的坐标 特征:
原点 O(0,0,0) ;
三个坐标为零
坐标轴上的点 P, Q , R ;
两个坐标为零
坐标面上的点 A , B , C
一个坐标为零
z
R(0,0, z)Байду номын сангаас
B(0, y,z)
x,y,z轴上的单位向量 向径O M
点M的坐标
z C
ko
j
r
i
M
B y
O M O N M O O A O B AxC N
r O x i A xy i, j O z k B yj,O 向量 C r z的k坐标分解式
xi,yj,zk 向量 r 沿三个坐标轴方向的分向量
(x, y,z)
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
二、向量的线性运算
1．向量的加法 2．向量的减法 3．向量与数的乘法
二、向量的线性运算
1．向量的加法 2．向量的减法 3．向量与数的乘法
➢运算法则
平行四边形法则: b ab
➢定理1 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
ba ( 为唯一实数)
注 定理1是建立数轴的理论根据
Oi
P
点P
向量OP =xi
实数x 点P的坐标
例1
设M为 ABCD 对角线的交点,
D
ABa, ADb,
b
M
yOz 面 oxOy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
➢空间点的坐标
点 M 1 1有序数组 (x, y, z)
点 M 的坐标
特殊点的坐标 特征:
原点 O(0,0,0) ;
三个坐标为零
坐标轴上的点 P, Q , R ;
两个坐标为零
坐标面上的点 A , B , C
一个坐标为零
z
R(0,0, z)Байду номын сангаас
B(0, y,z)
x,y,z轴上的单位向量 向径O M
点M的坐标
z C
ko
j
r
i
M
B y
O M O N M O O A O B AxC N
r O x i A xy i, j O z k B yj,O 向量 C r z的k坐标分解式
xi,yj,zk 向量 r 沿三个坐标轴方向的分向量
(x, y,z)
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
二、向量的线性运算
1．向量的加法 2．向量的减法 3．向量与数的乘法
二、向量的线性运算
1．向量的加法 2．向量的减法 3．向量与数的乘法
➢运算法则
平行四边形法则: b ab
➢定理1 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
ba ( 为唯一实数)
注 定理1是建立数轴的理论根据
Oi
P
点P
向量OP =xi
实数x 点P的坐标
例1
设M为 ABCD 对角线的交点,
D
ABa, ADb,
b
M
《向量的线性运算》课件
02 向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，它遵循平行四边形法则。
详细描述
向量加法是将两个向量首尾相连，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终 点的向量。这个新的向量称为原来两个向量的和。在几何上，向量加法可以由平 行四边形的对角线向量得出。
向量的数乘
总结词
数乘是向量的一种线性运算，它通过 乘以一个标量来改变向量的长度和方 向。
《向量的线性运算》 ppt课件
目录
Contents
• 向量的基本概念 • 向量的线性运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的外积
01 向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的概念，它表示一个既有大小又有方向的 量。在二维或三维空间中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任 意点。
详细描述
数乘是将一个向量与一个标量相乘， 得到的结果是原向量的长度按比例缩 放，同时方向可能改变。数乘满足结 合律和分配律，但不满足交换律。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，得到的结果向量就是两个向量的差。
详细描述
向量减法是将两个向量首尾相连，由第一个向量的起点指向第二个向量的起点，这个新的向量称为原 来两个向量的差。在几何上，向量减法可以由三角形法则得出。
向量积不满足交换律，即a×b≠b×a；向量积也不满足结合 律，即(a+b)×c≠a×c+b×c。
05 向量的外积
外积的定义
总结词
基于向量的坐标表示
详细描述
线性代数向量及其线性运算 ppt课件
称为数ｋ与向量α的数量积.
设β=kα，那么两个向量之间是什么样的关系？ 引申到多个向量，关系又如何？
一定义 给定 A : 向 1,2, 量 ,m 和 组 b 向 ,如量 果 一 组 1 ， 2 ， 数 ,m ，使
b 1 1 2 2 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
iT a i1a i2L a i n
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
三、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A :1 ,2 ,L ,s .or. i
例如 对于一个 m矩n阵有ｎ个ｍ维列向量.
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 I (e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 阵由I10， 及定理2的推论知 n维单位坐标向量组线 无性 关。
自己练习：
1、设向量组 1k 3 0T, 21 k 2T, 30 2 1Τ线性相关，则ｋk3.or.k1 .
2、设向量组1Ta 0 c,2Tb c 0, 3T0ab线性无关，则 a , b , c 必满足 abc.0
A
a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组 A :1 T ,2 T ,L ,m T 为矩阵Ａ的行向量组．
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, a21x1a22x2 a2nxn b2, am1x1am2x2 amnxn bm.
P91定理
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 a ij 0 . 推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 a ij 0 .
设β=kα，那么两个向量之间是什么样的关系？ 引申到多个向量，关系又如何？
一定义 给定 A : 向 1,2, 量 ,m 和 组 b 向 ,如量 果 一 组 1 ， 2 ， 数 ,m ，使
b 1 1 2 2 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
iT a i1a i2L a i n
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
三、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A :1 ,2 ,L ,s .or. i
例如 对于一个 m矩n阵有ｎ个ｍ维列向量.
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 I (e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 阵由I10， 及定理2的推论知 n维单位坐标向量组线 无性 关。
自己练习：
1、设向量组 1k 3 0T, 21 k 2T, 30 2 1Τ线性相关，则ｋk3.or.k1 .
2、设向量组1Ta 0 c,2Tb c 0, 3T0ab线性无关，则 a , b , c 必满足 abc.0
A
a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组 A :1 T ,2 T ,L ,m T 为矩阵Ａ的行向量组．
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, a21x1a22x2 a2nxn b2, am1x1am2x2 amnxn bm.
P91定理
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 a ij 0 . 推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 a ij 0 .
高等数学向量及其运算PPT课件.ppt
例如, a、r、v、F 或a 、r 、v 、F .
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
第一节平面向量的概念及线性运算课件共105张PPT
又知B→O＝λA→B＋μA→C，
∴λ＝－23，μ＝13，∴λ－2μ＝－23－2×13＝－43，故选D.
4．[多选]如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一 点P，若A→P＝λA→B，O→C＝μO→A＋3μO→B，则( AC )
知识点二 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向 量和的运
算
交换律：a＋b＝_b_＋__a_；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋ (__b_＋__c___)
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
减法
求a与b的相反 向量－b的和的 运算
a－b＝a＋(_－__b__)
数乘
求实数λ与向量a 的积的运算
②错误：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量，即单位向量的模都为1，但 是方向不确定，所以单位向量不一定都相等．
③错误：向量本身不能比较大小，向量的模可以比较大小．正确说法：若|a|＝ 2，|b|＝1，则|a|>|b|.
④正确：因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同．又b＝c，所以b，c的长 度相等且方向相同．所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
⑤错误：若向量A→B＝C→D，则|A→B|＝|C→D|且A→B∥C→D，所以直线AB与CD平行或重 合，故A，B，C，D四点不一定能构成平行四边形．正确说法：已知A，B，C，D是 不共线的四点，若向量A→B＝C→D，则A，B，C，D四点能构成平行四边形．
⑥错误：零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若 b＝0，则a，c不一定
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行 四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
高三数学总复习优秀ppt课件(第22讲)向量的概念及线性运算(50页)
和零表示
不能比较大小
回顾反思
2．生活用语与数学术语的区别 如：距离与位移，速度；相等
3．有向线段与向量的区别
二、认真审读题意，明确术语指向 三、回归向量定义，克服思维定势
聚焦重点：向量的加法及法则
基础知识
1. 向量的加法 已知向量 a，b，在平面内任取一点 O，作OA a， AB =b，则向量 OB 叫做 a 与 b 的和. 记作：a+b=OA + AB =OB ． 求两个向量和的运算叫做向量的加法．
AB ，a
3. 向量的大小 向量的模，记作| AB |．
基础知识
有向线段三要素：起点、方向和长度 向量两要素：大小和方向．
B D B D
A
C
A
C
有向线段AB和有向 线段CD是不同的．
向量 AB与CD 是同一个向量．
问题研究
在给定的一些量中，如何区分向量与数量？
经典例题1
例1 判断下列命题是否正确： （1）单位向量都相等； （2）两相等向量若起点相同，则终点也相同； （3）若向量 a 与向量 b 的方向相同，则 a＝b； （4）甲向东行 300m，乙向北行 300m，则甲 乙两人行走的距离和位移都是相同的． 其中正确的说法有 ．
回顾反思
（1）解题关键：合理选用法则，准确作出图形． （2）思想方法：数形结合． （3）通性通法：思路一与思路二均是通法． （4）友情提醒：向量的大小与方向．
经典例题3
例 3 在正六边形 ABCDEF 中，O 是 它的中心，在图中所示向量中，求 OA ED ． D C
E
O
B
F
A
思路分析
例 3 在正六边形 ABCDEF 中，O 是 D C 它的中心，在图中所示向量中，求 OA ED ． 思路 1：将向量 ED 转化为 OC ，利用平 行四边形法则求解． 思路 2：将向量 ED 转化为 AB ，利用三 角形法则求解． F A E O B
向量及其线性运算ppt课件
向量的共线 :因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行 又称两向量共线 .
向量的共面 :若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
a∥b
( 为唯一实数)
注 定理1是建立数轴的理论根据
点P
向量OP =xi
实数x 点P的坐标
例1 设M为 ABCD 对角线的交点,
D
C
bM 用a与b表示 MA, MB , MC , MD . A a B
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
B(0, y, z)
C( x,0, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
SUCCESS
THANK YOU
2019/5/6
坐标轴和坐标面的坐标 特征:
z
坐标轴 :
x轴
o
y
坐标面 :
x
向量的坐标表示
z
x,y,z轴上的单位向量
C
任意向量
向径
点M的坐标
ko i
1．向量的加法 2．向量的减法 3．向量与数的乘法
运算法则 是一个数
,
与
a
的乘积是一个向量,
记作
a
.
规定
a a
注
则
1 a
a为单位向量,记作 ea
运算律
结合律 分配律
向量的共面 :若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
a∥b
( 为唯一实数)
注 定理1是建立数轴的理论根据
点P
向量OP =xi
实数x 点P的坐标
例1 设M为 ABCD 对角线的交点,
D
C
bM 用a与b表示 MA, MB , MC , MD . A a B
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
B(0, y, z)
C( x,0, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
SUCCESS
THANK YOU
2019/5/6
坐标轴和坐标面的坐标 特征:
z
坐标轴 :
x轴
o
y
坐标面 :
x
向量的坐标表示
z
x,y,z轴上的单位向量
C
任意向量
向径
点M的坐标
ko i
1．向量的加法 2．向量的减法 3．向量与数的乘法
运算法则 是一个数
,
与
a
的乘积是一个向量,
记作
a
.
规定
a a
注
则
1 a
a为单位向量,记作 ea
运算律
结合律 分配律
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
《向量及其线性运算》课件
详细描述
向量的模是衡量向量大小的量，用符号“| |”表示。向量的模可以通过勾股定理或向量 的点积等公式计算得出。向量的模具有一些基本性质，如非负性、传递性、三角不等式 等。了解向量的模对于解决实际问题非常重要，如物理中的力、速度和加速度等都可以
用向量表示，而向量的模则可以用来衡量这些量的大小。
02
CATALOGUE
向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法的定义与性质
详细描述
向量加法是向量空间的基本运算之一，其定义基于平行四边形法则。向量加法 满足交换律和结合律，即向量加法不依赖于其运算的顺序。
向量的数乘
总结词
数乘的定义与性质
详细描述
数乘是标量与向量的乘法运算，其结果仍为向量。数乘满足结合律和分配律，即 对于任意实数$k$和向量$vec{a}$，有$k(mvec{a}) = (km)vec{a}$。
总结词
向量积表示一个向量在另一个向 量上的投影面积。
详细描述
向量积的大小等于一个向量在另 一个向量上的投影面积，方向与 两向量的正交角有关，遵循右手 定则。
向量积的运算性质
要点一
总结词
向量积满足交换律和结合律，但不满足数乘分配律。
要点二
详细描述
根据向量的运算性质，我们有$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$，并且 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。但是，$lambda(mathbf{A} times mathbf{B}) neq mathbf{A} times lambdamathbf{B}$， 其中$lambda$是标量。
高等数学课件D812矢量及其线性运算
y轴 z 0 x0 x0
z轴 y0
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2. 矢量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意矢量 r 可用向径 OM 表示. 以 i,j,k分别 x,y,表 z轴示 上的 ,设点单 M
的坐标为 M(x,y,z),则
z
O M O N M O O A O BC C
O Axi, O Byj,OC zk
定理1. 设 a 为非零矢量 , 则
a∥b
ba ( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± b a , a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
a a
a b
a
故ba.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ()a0
而a 0,故 0,即.
bab(a) 特别 ba当 时 ,有
三角形法则: ab bBiblioteka aab ba
ba
aaa(a)0
a
三角不等式
a bab a bab
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规3.是定矢一量: 个与数数 0的00, 时 时 时乘与,,，法aa a a 的与 与 乘0a a 积同 .反 总是之一， ， 向 向 :个 新a a a 矢 量 ,a 记a a ;作;a.
记作 a＝b ; 若矢量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零矢量与任何矢量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的矢量称为 a 的负矢量,
记作－a ;
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二、矢量的线性运算
1. 矢量的加法 平行四边形法则:
b ab 2. 矢量的减法 a
z轴 y0
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2. 矢量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意矢量 r 可用向径 OM 表示. 以 i,j,k分别 x,y,表 z轴示 上的 ,设点单 M
的坐标为 M(x,y,z),则
z
O M O N M O O A O BC C
O Axi, O Byj,OC zk
定理1. 设 a 为非零矢量 , 则
a∥b
ba ( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± b a , a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
a a
a b
a
故ba.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ()a0
而a 0,故 0,即.
bab(a) 特别 ba当 时 ,有
三角形法则: ab bBiblioteka aab ba
ba
aaa(a)0
a
三角不等式
a bab a bab
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规3.是定矢一量: 个与数数 0的00, 时 时 时乘与,,，法aa a a 的与 与 乘0a a 积同 .反 总是之一， ， 向 向 :个 新a a a 矢 量 ,a 记a a ;作;a.
记作 a＝b ; 若矢量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零矢量与任何矢量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的矢量称为 a 的负矢量,
记作－a ;
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二、矢量的线性运算
1. 矢量的加法 平行四边形法则:
b ab 2. 矢量的减法 a
经济数学-向量及其线性运算.ppt
|a|
两个向量的平行关系
定理
是 设那： 向末存 量向在量a 唯b0平一 ，行的于实a数 的，充使分b必 要条a. 件
证明充分性显然；
必要性
设 b‖
a
取
b
,
当
b
与
a
同向时
取正值，
a
当
b
与
a
反向时
取负值，
即有
b
a.
此时
b
与
a
同向.
且
a
a
b
a
b.
的唯一性.
设
b
a，又设
b
12.要__使__a___b____a___b__成_立；，向量a,
b
应满足_______
___________ .
13.已知两点 M1 (0 , 1 , 2)和 M2 (1 ,1 , 0)则 M1M2
{ }；-2 M1 M2={
}；
14.已知两点 M1 (4 , 2 , 1)和 M2(3 , 0 , 2),则向量
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
(associativity)
（3）
a
(a)
0.
注：向量的减法
c a b a (b)
ab
b
a
a
b
b
b
c
a
b
平行四边形法则 三角形法则
向量加减法的坐标表达式
a {ax , ay , az }, b {bx , by , bz },
三、向量的模(modulus)与方向角
向量的模（大小）：
|
a
两个向量的平行关系
定理
是 设那： 向末存 量向在量a 唯b0平一 ，行的于实a数 的，充使分b必 要条a. 件
证明充分性显然；
必要性
设 b‖
a
取
b
,
当
b
与
a
同向时
取正值，
a
当
b
与
a
反向时
取负值，
即有
b
a.
此时
b
与
a
同向.
且
a
a
b
a
b.
的唯一性.
设
b
a，又设
b
12.要__使__a___b____a___b__成_立；，向量a,
b
应满足_______
___________ .
13.已知两点 M1 (0 , 1 , 2)和 M2 (1 ,1 , 0)则 M1M2
{ }；-2 M1 M2={
}；
14.已知两点 M1 (4 , 2 , 1)和 M2(3 , 0 , 2),则向量
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
(associativity)
（3）
a
(a)
0.
注：向量的减法
c a b a (b)
ab
b
a
a
b
b
b
c
a
b
平行四边形法则 三角形法则
向量加减法的坐标表达式
a {ax , ay , az }, b {bx , by , bz },
三、向量的模(modulus)与方向角
向量的模（大小）：
|
a
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夹角分别为
求P2的坐标.3
和
4
,
如果P1的坐标为(1,0,3),
解 设向量 P1P2 的方向角为 、 、
3
,
4
cos 1 , cos
2
2 2
cos2 cos2 cos2 1
cos 1 , 2
2
3
3
33
向量及其线性运算
P1(1,0,3), | P1P2 | 2 设P2的坐标为( x, y, z)
•A
•
A
u
过点A作轴u的垂直平面,
交点A 即为点A在轴u上
的投影.
空间一向量在轴上的投影
B A
A
B
u
已知向量的起点A和终点B 在轴u上的投影分别为 A, B 那么轴u上的有向线段 AB 的值, 称为向量在轴u上的 投影. 轴u称为投影轴.
22
向量及其线性运算
Projection
向量 AB 在轴u上的投影 记为 Pr ju AB AB
a
z
M1M 2 ,
R
起点
M1(
x1 ,
y1
,
z1
a
),
终点
M
2
(x2
,
axi ay j
y2 ,z2 azk
)
k
M1•
P
i
O
j
a
•M2
Q
N
y
向量在x轴上的投影
ax x2 x1 坐标
向量在y轴上的投影
a y y2 y1 坐标
x 按基本单位向量的
向量在z轴上的投影
坐标分解式： a M1M2 ( x2
交换律
a
b
b
a;
结合律
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c);
a
(a)
0.
(3) 减法定义
减法
a
b
a
(b)
b
a
b
b
b
c
a
c
b
c
a
(b)
a
a
b
a
b
8
向量及其线性运算
向量的“伸缩”
2. 向量与数的乘法 (简称数乘运算)
设是一个数, 向量 a与的乘积
0,a与a同向, | a| | a|;
1. 两向量的夹角的概念
a
0,
b0
b
向量 a与向量 b的夹角
(a,b) (b,a) (0 )
a
类似地, 可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地, 当两个向量中有一个零向量时, 规定
它们的夹角可在 0与 之间任意取值.
21
向量及其线性运算
2.向量在轴上的投影
空间一点在轴上的投影
27
向量及其线性运算
由 定理 使 设向b 量aar. 0r,则b∥ a 存在唯一的实数
按坐标表示式即为:
也即向量 b(b与x ,aby对,b应z )的 坐(标ax成,a比y ,a例z ): bx by bz ax ay az
注 当分母为零理解为分子也为零.
28
向量及其线性运算
五、向量的模、方向角
x 方向余弦通常用来表示向量的方向. 弦
(direction cosine )
M1M2 M1P 2 M1Q 2 M1R 2 | a| ax2 a y2 az2 向量模长的坐标表示式
30
向量及其线性运算
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax2 a y2时，az2 0
cos
ax
, cos
a规定为
0,a
0;
0, a与a反向, | a|| | | a| .
a 2a
1 a 2
注 向量 a与数 的乘积 a为向量.
9
向量及其线性运算
(2) 数与向量的乘积符合下列运算规律
线 性 运 算
结合律 分配律
( a) ( a) ()a;
((ab))aaaba. ;
第一分配律 第二分配律
15
向量及其线性运算
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R,
坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
• M(x, y,z)
O
y
Q(0, y,0)
P( x,0,0)
x
A( x, y,0)
16
向量及其线性运算
选择题
(1) 点M(2, -3, 1)关于坐标原点的对称点是( A );
(2) 点M(2, -3, 1)关于xOy面的对称点是( C ) ;
(3) 点M(2, -3, 1)关于y 轴的对称点是( B ).
(A) (-2, 3, -1);
(B) (-2, -3, -1);
(C) (2, -3, -1);
ay
b (bx , by ,
by , az bz )
bz )
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a
b
(a
x
bx ,
a
y
by ,
az
bz )
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a (ax ,
a
y
,
az
)
(ax )i (ay ) j (az )k
空间解析几何与向量代数
在平面解析几何中,曾通过坐标法把二维 几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代 数方法研究了几何问题.
本章把这种方法运用ห้องสมุดไป่ตู้三维几何空间, 讨论如下几个问题:
1. 向量、向量的一些运算; 2. 空间中的平面与直线; 3. 空间中的一些曲面和曲线; 4. 二次曲面.
1
向量及其线性运算
Pr ju (a1 a2 ) Pr ju a1 Pr ju a2
投影性质3
Pr ju(a) Pr jua
24
向量及其线性运算
3. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
设a M1M2 为一向量,
点M1, M2在轴u上投影分别
M1
M2
为点P1, P2 . 又设P1, P2在轴u O P1(u1)
P2(u2 ) u
上坐标分别为 u1, u2 .
由向量M1M2在轴u上的投影 (M1M2 ) au .
而P1P2 OP2
如 e是与轴
OP1 u2 u1. 因此 au u正向一致的单位向量,
u2 u1 可知:
.
P1P2 aue (u2 u1)e.
25
向量及其线性运算
x轴分向量 y轴分向量 z轴分向量
即以右手握住 z 轴,
i
当右手的四个手指 横轴 x
y 纵轴
从正向x轴以 角度
2
转向正向y 轴时, 大
空坐间标直系角或坐[O标;i系, j,,称k]O坐xy标z 系.
拇指的指向就是z轴 的正向.
点O叫做坐标原点 (或原点)
14
向量及其线性运算
z zOx面
yOz面 Ⅲ
Ⅱ
ⅦⅣ
Ⅰ
O
xOy面
Ⅵy
Ⅷ
Ⅴ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
ax2
a
2 y
az2
ax ay
| |
a| a|
cos cos
az | a| cos
ay ax2 ay2 az2
cos
az
ax2
a
2 y
az2
方向余弦的特征 cos2 cos2 cos2 1
特殊地
(cos ,
cos
,
cos
)
|
a a|
ao
31
向量及其线性运算
例 求平行于向量
a
6i
cos (P1P2 )x
| P1P2 |
cos
x1 | P1P2 |
x1
)i
(
az
y2
z2
y1)
z1
j (z2
坐标
z1)k
向量的坐标表达式： 特殊地 OM ( x, y, z)
a M1M2 ( x2 x1, y2 y1, z2 z1 )
26
向量及其线性运算
4.利用坐标作向量的线性运算
a (ax , ay , az )
a
b
(a
x
bx ,
证
a
b
c,
b
c
a,
, 为常数.
上两式相减得：a c c a
(1 )a (1 )c, 而a与c不共线.
故只能1 0,且1 0.
即
1,
1
a
b
c
0.
13
向量及其线性运算
三、空间直角坐标系
z 竖轴
1.空间点的直角坐标
三个坐标轴的 正方向符合右手系
k
定点 O •
j
由向量 a与a平行,常用数乘运算说明
两定向理|量1aa设使平|就向b行是量关与系aara.(同两a0r0方向,则向量b|∥aa的共|a单线位的存向充在量要唯.条记一件作的):实数 ,
10
向量及其线性运算
例
化简
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
投影性质1