椭圆的定义与画图

2
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当焦点在y轴上呢？
y a
F2
-b 0 F1 -a b
１、同理可得；
x
2、对称变换．
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
(二)标准方程：
x 当焦点在x轴上时,方程为 a
2 2
y b
2
2
1
y2 x2 当焦点在y轴上时,方程为 2 2 1 a b y y
b -a F1 0 -b F2 a x a F2 0 F1 x b
如何求轨迹方程呢？ 1、定义法；
2、待定系数法；
3、相关点法（动点转移法）； 4、参数法；
5、交轨法等．
定义法求轨迹方程的步骤： １、建系设点：建立适当的坐 标系； 2、列式：列方程；
3、化简．
圆的方程何时最简单？
圆的方程：x y r
2 2
2
椭圆的明显的几何特征
M
F1
F2
有两条互相垂直的称对称 轴．
( x c) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
将这个方程移项，两边平方，得
(x+c)2+y2=4a2－4a ( x c) 2 y 2 +(x－c)2+y2
∴ a －cx=a ( x c) y ,
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Hale Waihona Puke Baidu
两边再平方，得 a4－2a2cx+c2x2=a2x2－2a2cx+a2c2+a2y2, 整理得 (a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2),
神舟六号
2005年10月，我国神舟六号成功 发射，是中国航天史上又一突破．请 问：神舟六号飞行的一个轨迹什么？
椭圆的定义及标准方程
主讲人： 乔宫
动手作图：
取一条一定长的绳子，把它 的两端固定在画图板上的 F1 和 F2 两点，当绳长大于 F1 和 F2 的距离 时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔 尖在纸上慢慢移动．
-b
焦点坐标 焦点坐标 -a (0,-c),(0,c) (-c,0),(c,0) 2 2 2 不论焦点在何处,都 有a>b>0且a =b +c
小结：
1、椭圆定义; 2、椭圆标准方程.
作业： 练习(P):习题 选做(P): 习题
y
M
F2 y M x
F1
F1 y M F1 o
F2
x
F2
x
y
设点
M(x,y)
F1 o
M F2 x
1、|F1F2|=c，|MF1|+|MF2|=a（a>c>0） 2、|F1F2|=2c，|MF1|+|MF2|=a（a>2c>0）
3、|F1F2|=2c，|MF1|+|MF2|=2a（a>c>0）
解：由题意可建立如图所示的坐标系
问题与思考:
动手所画的轨迹是什么？
从所画的过程中，你能否 给出椭圆的定义?
M F1 F2
椭圆的定义
平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数 （大于 F1 F2 ）的点的轨迹叫做椭圆． 两个定点叫做椭圆的焦点； 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
小结：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ [1]平面内----是平面图形，而不是立体图形； [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数（ 2a） [3]常数 （2a） 要大于定距离 （2c）．
问题： •如你手中的绳子长度等于两 图钉间的距离时，轨迹会是 什么？小于呢？
看一下定值 的变化与要求：
1.当定值小于两定点间的距离时 不可能，没有任何曲线. F1 2.当定值等于两定点间的距离时
轨迹是：两定点所确定的线段.
F1 M
F2
F2
3.当定值大于两定点间的距离时
M F2
轨迹是：椭圆.
F1
那么椭圆的方程是什么呢？
(a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2)
由椭圆定义可知，2a>2c, 即a>c, ∴ a2－c2>0, 设b2=a2－c2 (b>0), 得 b2x2+a2y2=a2b2, -a 2 2 两边除以a b 得
y b F1 0 -b F2 a x
y x 1 ( a > b >0) 2 2 a b