含参导数不等式之放缩消元法

秒杀压轴题之放缩消元法例1：（2018全国III文21）

解：

例2：（2018全国I文21）

例3：(2013全国II 理)已知函数)ln()(m x e x f x +-=．

(1) 设0=x 是)(x f 的极值点，求m ，并讨论)(x f 的单调性；

(2) 当2≤m 时，证明0)(>x f .

解：（1）m

x e x f x +-=1)('，易知1=m ， 所以)(x f 在)0,1(-上单调递减，在()+∞,0上单调递增.

（2）当2≤m 时，()+∞-∈,m x ，则)2ln()ln(+≤+x m x ，故只需证2=m 时，0)(>x f .

当2=m 时，)2ln()(+-=x e x f x ，2

1)('+-=x e x f x ，()+∞-∈,2x ，（*） 因为0)1('<-f ，0)0('>f 且)('x f 是()+∞-,2上的增函数，

所以0)('=x f 在()+∞-,2上有唯一实根0x ，且)0,1(0-∈x ，即

2

1021)('00000+=⇔=+-=x e x e x f x x 或00)2ln(x x -=+（**）. 当()0,2x x -∈时，0)('x f ，

所以2)1(21)2ln()()()(0200000min 0

++=++=+-===x x x x x e x f x f x f x 极小值， 又)0,1(0-∈x ，所以02

)1()()(02

00>++=≥x x x f x f ， 综上：当2≤m 时，0)(>x f .