定义与命题
定义与命题PPT课件(北师大版)
•新知探 九条基究本事实：
1.两点确定一条直线. 2.两点之间线段最短. 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直. 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行（即：同位角相等，两直线平行）. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8.三边分别相等的两个三角形全等. 另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它.
是质数； √（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两
条直线也互相平行； （5）你喜欢数学吗？ （6）作线段AB=CD.
命题的定义：判断一件事情的句子.
（1）（2）（3）（4）都是命题.你能再举几个例子吗？
•新知探 下面的究语句中，哪些语句是命题？
（1）你喜欢数学吗？ （2）作线段AB=a. （3）平行用符号“∥”表示.
·指出上述命题的条件和结论.
·上述命题哪些是正确的？哪些是不正确的？
•新知探 究
真假命题的定义： 正确的命题称为真命题； 不正确的命题称为假命题.
注意： 要说明一个命题是假命题，只需举一个反例.反例
是指具备命题的条件，而不具有命题的结论的例子.
•新知探 究
Ø随堂练习
1.（1）你能分别举出一些学过的定义吗？ （2）分别举出一些是命题和不是命题的语句.
定理：对顶角相等.
探究新知
Ø随堂练习
请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明.
已知：如图，△ABC. 求证:AB+BC>AC，BC+CA>AB， CA+AB>BC. 证明：∵AC是以点A、点C为端点的线段（已知）， ∴AB+BC>AC（两点之间，线段最短）. ∵AB是以点A、点B为端点的线段（已知），
北师大版八年级数学上册7.2定义与命题优秀教学案例
3.鼓励学生主动提问，培养学生敢于质疑的精神，提高他们的问题解决能力。
（三）小组合作
1.划分学习小组，鼓励学生相互讨论、交流，提高团队协作能力。
2.设计小组合作任务，使学生在讨论中深入理解定义与命题，提高他们的逻辑思维能力。
3.注重小组评价，激发学生的竞争意识，提高他们的学习积极性。
北师大版八年级数学上册7.2定义与命题优秀教学案例
一、案例背景
北师大版八年级数学上册7.2节“定义与命题”的教学，旨在让学生理解概念的含义，掌握命题的构成要素，培养学生的逻辑思维能力。本节课内容是学生对数学语言和基本概念的深入学习，是建立良好数学思维的基础。
在这个阶段，学生已经掌握了初步的数学概念和简单的逻辑推理，但对定义与命题的深层含义理解不足，容易混淆概念，对命题的真假判断缺乏准确性。因此，在教学过程中，我以学生已有的知识为基础，通过丰富的教学活动和实例，引导学生深入理解定义与命题的关系，提高他们的逻辑思维和判断能力。
这些亮点体现了我在教学过程中的创新与实践，注重启发式教学，关注学生的全面发展，培养他们的自主学习能力和团队协作能力。同时，我也注重激发学生的学习兴趣，让他们在轻松愉快的氛围中掌握知识，提高他们的数学素养。
2.感受数学的严谨性和逻辑性，培养学生的求真精神。
3.认识到数学在实际生活中的应用价值，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
4.培养学生热爱祖国，为祖国的繁荣富强而努力学习的情感。
在教学过程中，我将以学生为主体，关注每个学生的个体差异，充分调动他们的积极性，引导他们主动参与课堂讨论，培养他们的自主学习能力。同时，注重启发式教学，引导学生发现定义与命题之间的内在联系，提高他们的逻辑思维能力。
命题、证明及平行线的判定定理+知识点+例题
命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解【学习目标】1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.【要点梳理】要点一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.要点二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.要点三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.要点四、平行公理及平行线的判定定理1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2．平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠3＝∠2∴ AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠1＝∠2∴ AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠4＋∠2＝180°∴ AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、定义与命题1．请说出下列名词的定义：（1）无理数 （2）直角三角形【答案与解析】解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.举一反三：【变式】指出下列句子哪些是定义.(1)两直线平行,内错角相等；(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；(4)等腰三角形的两底角相等；(5)平行四边形的对角线互相平分；(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.【答案】（2），（3），（6）是定义.2．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（1）如果,>>a b b c ，那么>a c ；（2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角.【答案与解析】解：（1）条件：,>>a b b c ；结论：>a c .它是真命题.（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.举一反三：【变式】（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（ ）.A ．若2a m =，则a m =B ．若a ＞b ，则am ＞bmC ．两个等腰三角形必定相似D ．位似图形一定是相似图形【答案】D类型二、公理、定理及证明3．证明：等角的余角相等．【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°.求证：∠3＝∠4.证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知）∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质）∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等量代换）.【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.举一反三：【变式】“垂线段最短”是（ ）.A ．定义B ．定理C ．公理D ．不是命题【答案】B类型三、平行线的判定定理4. 如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行证明OB ∥AC ，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC．【答案与解析】解：OA∥BC，OB∥AC．∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．【总结升华】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．举一反三：【变式】如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个；故选：C．5.如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．【答案与解析】证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．举一反三：【变式】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB与CD平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：∵EF⊥EG，GM⊥EG (已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，即∠3＝∠4．∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．。
7.定义与命题PPT课件(北师大版)
知3－讲
•1.正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. •2.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子 ， • 使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种 • 例子称为反例.
知3－讲
•
例4 指出下列命题的条件和结论，并判断是真命
题还是
•
假命题．
•
(1)互为补角的两个角相等；
•
(2)若a＝b，则a＋c＝b＋c；
知识点 1 定 义
知1－讲
•1.对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定 ， • 也就是给出它们的定义． •2.定义是今后证明的重要根据，它既可作为性质应 • 用，也可作为判定方法应用．
知1－讲
例1 下列语句属于定义的是( D ) A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．三条边都相等的三角形叫做等边三边形
1 ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； 2 ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c； 3 ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c. 4 其中真命题是①_②__④_____．(填写所有真命题的序
号)
知3－练
2 (中考·漳州)下列命题中，是假命题的是( B ) A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．两点确定一条直线 D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
知2－讲
•
例3 把下列命题改写成“如果……那么……”的情势：
•
(1)对顶角相等；
•
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行；
•
(3)同角或等角的余角相等．
•
导引：紧扣命题的结构情势进行改写．
•
解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
•
(2)如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线
2 第1课时 定义与命题
2 第1课时 定义与命题
知识点二 命题
命题
概念 判断一件事情的句子，叫做__命__题____
结构
组成 形式
条件 是__已__知____的事项 结论 是由已知事项推断出的__事__项____ 如果 “如果”引出的部分是__条__件____ 那么 “那么”引出的部分是__结__论____
真命题 正确的命题称为___真_____命题 分类 假命题 不正确的命题称为____假____命题
判断 方法
要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子， 举反例 使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例
子称为反例
2 第1课时 定义与命题
把“内错角相等”改写为“如果……那么……”的形式． 解：如果内错角，那么相等． 以上解答正确吗？若不正确，请指出错误之处，并给出 正线的证明
2 第1课时 定义与命题
第七章 平行线的证明
2 第1课时 定义与命题
目标突破 总结反思
2 第1课时 定义与命题
目标突破
目标一 会识别命题，并分析命题中的条件和结论
例 1 教材补充例题 判断下列语句是不是命题，是命题的请指出 命题的条件和结论． (1)画射线 AC； (2)同位角相等吗？ (3)任意两个直角都相等； (4)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (5)若|x|＝|y|，则 x＝y.
2 第1课时 定义与命题
【归纳总结】判定命题真假的方法：
判断在条件成立的前提下， 方法 1
结论是否也成立 要说明一个命题是假命题， 只要举出一个反例即可 方法 2 要说明一个命题是真命题， 则需要说明理由
2 第1课时 定义与命题
总结反思
知识点一 定义
定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定， 也就是给出它们的__定__义____．
定义与命题知识点总结
定义与命题知识点总结一、定义定义是指为了明确定义某个概念或事物而进行的陈述。
在数理逻辑中，定义是指明确了某种概念，或使某种概念的内涵与外延得以确定的陈述，其中内涵给出了概念的本质属性，而外延则描述了这些属性的外在表现。
定义的形式可以分为以下几种：1. 指明方式：即通过列举此概念所属的具体事物来说明此概念。
2. 转换方式：即通过把此概念与其他概念或更一般的概念相比来界定。
3. 操作方式：即通过规则方式来确定此概念，如定义加法、乘法等。
4. 过程方式：即通过列出生成此概念的生成规则来定义此概念，如定义自然数的方式。
二、命题命题是陈述或陈述句的全体。
在逻辑术语中，命题是陈述语言中真假可判断的完整句子。
命题是一个陈述或陈述句的全体。
其实就是一个明确的陈述，可以是真的或者是假的。
例如："圆周率是一个无理数"这是一个命题。
因为它是一个明确的陈述，值要么是真，要么是假。
命题通常用P、Q、R等字母来表示。
在命题中，真实情况下，命题是真的，通常用P；假如命题是假的，通常用Q。
命题的分类：1.原命题2.复合命题3.合取命题或联结命题4.析取命题或联结命题5.条件命题或联结命题6.双条件命题到联结命题7.否定命题细分：1.原命题它是可以判断真假的命题。
例如：等角三角形的对边也相等。
2.复合命题从原命题通过逻辑联结或者通过否定联结、连词联结而构成的、仍能形成真假的命题。
例如 A:8 能被2 整除B:4 能被2 整除那么由A&B构成的命题是8能被2整除，并且4能被2整除。
3.合取命题或联结命题即同时包含两个或者多个声明的命题例如：今天下雨且我不想出门== (1)4.析取命题或联结命题即包含多个命题中的最少一个的命题。
例如 : 此数是3的倍数或者是5的倍数== (2)5.条件命题或联结命题即条件联结的意思。
例如: 如地面湿润，则一定下雨 == (3)6.否定使命题通常用来否定一个关于实体的东西的存在性。
定义与命题
12.1 定义与命题
【练一练】
下它列下们命列是题句真的子命条中题件，？是哪还什些是么是假？命命结题题论？？又哪是些什不么是？命题？
（1）画一个角等于已知角；
不是
（2）a、b两条直线平行吗？
不是
（3）直角三角形两锐角互余；
是
（4）过一点画已知直线的垂线； （5）若a＝b ，则a2＝ b2 .
不是 是
• 完成p145议一议第一题（2分钟）
• 命题分类： 真命题、假命题
12.1 定义与命题
【议一议】
下列命题的条件是什么？结论又是什么？ （1 ）如果a、b两数的积为0，那么a、b两数都为0； （2 ）如果两个角互为补角，那么这两数和为180°； （3 ）两直线平行，同旁内角互补； （4 ）两直线相交，只有一个交点；
12.1 定义与命题
1．通过今天的学习，你有什么收获？ 2．还有什么疑问？
12.1 定义与命题
【课后作业】
1．课本习题12.1第1、2、3题； 2．课外思考题（选做）： 请查阅费尔马数、相亲数、圣经数、回文 数、正直数 的定义，并谈谈你的体会！
在同一平面内，不相交的两条直线是 平行线．
绝对值： 数轴上表示一个数的点到原点的距离是
这个数的绝对值．
方程的解： 能使方程两边的值相等的未知数的值是
方程的解．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 2、什么是命题？ • 判断 一件事情的句子叫做命题。
12.1 定义与命题
【辨一辨】
比较下列句子在表述形式上哪些对事情作了判断？ 哪些没有对事情作出判断？
像命题（1）、（5），当条件成立时，不能保证结 论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做 假命题.
12.1 定义与命题
命题、证明及平行线的判定定理(基础)知识讲
命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解责编：赵炜【学习目标】1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.【要点梳理】要点一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.要点二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.要点三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.要点四、平行公理及平行线的判定定理1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2．平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠3＝∠2∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠1＝∠2∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵ ∠4＋∠2＝180°∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、定义与命题1．请说出下列名词的定义：（1）无理数 （2）直角三角形【答案与解析】解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.举一反三：【变式】指出下列句子哪些是定义.(1)两直线平行,内错角相等；(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；(4)等腰三角形的两底角相等；(5)平行四边形的对角线互相平分；(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.【答案】（2），（3），（6）是定义.2．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（！）如果，那么；,>>a b b c >a c （2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角.【答案与解析】解：（1）条件：；结论：.它是真命题.,>>a b b c >a c（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.举一反三：【变式】（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（ ）.A ，则B ．若a ＞b ，则am ＞bm m =a m =C ．两个等腰三角形必定相似D ．位似图形一定是相似图形【答案】D类型二、公理、定理及证明3．证明：等角的余角相等．【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°.求证：∠3＝∠4.证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知）∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质）∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等量代换）.【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.举一反三：【变式】“垂线段最短”是（ ）.A ．定义B ．定理C ．公理D ．不是命题【答案】B类型三、平行线的判定定理4.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD ＝∠DCB ，可以判定哪两条直线平行．【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．【答案与解析】解：(1)由∠1＝∠3，可判定AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；(2)由∠BAD ＝∠DCB ，∠1＝∠3得：∠2＝∠BAD －∠1＝∠DCB －∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）．综上，由（1）（2）可判定：AD ∥BC ，AB ∥CD .【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．举一反三：【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线∥的是（ ）.1l 2l A ．∠1＝∠3 B ．∠2＝∠3 C ．∠4＝∠5 D ．∠2+∠4＝1800【答案】B【高清课堂：平行线及判定 例1】【变式2】已知，如图，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1=∠2，求证：AB//CD ．【答案】∵ ∠1=∠2∴ 2∠1=2∠2 ，即∠ABC＝∠BCD∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）5.（2015•日照期末）如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，CD 与AE 相交于F ，∠CFE=∠E ．求证：AD ∥BC ．【答案与解析】证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．【高清课堂：平行线及判定例5】举一反三：【变式1】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB与CD平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：∵EF⊥EG，GM⊥EG (已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ-∠1＝∠MGE-∠2 (等式性质)，即∠3＝∠4．∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．【变式2】（2015•宁城）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A．1B．2C．3D．4【答案】解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个；故选：C．。
定义与命题的概念
定义与命题的概念
定义与命题是什么：
定义是结论，是已经下定义的结果，是不可否认的。
一般地能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
命题是指一个判断（陈述）的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。
定义和命题的区别：
不可否认，定义是已经定义的结论和结果。
一般来说，一个能清楚地定义一个名称或术语含义的句子叫做名称或术语的定义。
数学中的定义、公理、公式、性质、规则和定理都是数学命题。
这些都是用推理方法判断命题真实性的基础。
一般来说，在数学中，我们称之为能在一定范围内用语言、符号或公式表达，并能判断命题真假的语句。
命题是一个条件＋一个结论，命题是一个已知的事物，结论是一个从已知事物衍生出来的事物。
这个结论是在上述条件的条件下得出的，但不一定是正确的。
对某一事物作出正确或错误判断的句子称为命题。
第02讲 定义与命题 证明(解析版)
第02讲定义与命题证明一、定义、命题、基本事实与定理1.定义一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.2.命题一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论.要点：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．3.基本事实人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理. 4.定理用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.要点：满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.二、证明1.证明从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．2.证明表述格式证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.要点：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.三、三角形外角的性质三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。
例1．下列语句中，不是命题的是()A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．同位角相等D．作∠A的平分线【答案】D【解析】判断一件事情的语句叫命题，以此进行判断．A.两点确定一条直线,是一个真命题；B.垂线段最短,是一个真命题；C.同位角相等，是一个假命题；D.作∠A的平分线，没有判断的意义，不是命题.故选D．【点睛】本题考核知识点：命题.解题关键点：理解命题的意义.例2．下列命题是假命题的是（）A．和为180°的两个角互补B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】D【解析】根据互补的定义，平行线的判定与基本事实，进行判断．A、和为180°的两个角互补，是真命题；B、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题．故选D．【点睛】本题考查真假命题的判断，熟练掌握平行线的判定与基本事实是解题的关键．例3．命题：①对顶角相等；②平面内垂直于同一条直线的两直线平行；③同位角相等④相等的角是对顶角；其中假命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】利用对顶角的性质、平行线的性质分别进行判断后即可确定正确的选项．①对顶角相等，正确，是真命题；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题；③同位角相等，错误，是假命题；④相等的角是对顶角，错误，是假命题，故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质等基础知识，难度较小．例4．把命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（）A ．如果两个角互余，那么这两个角相等B ．如果两个角相等．那么这两个角互为余角C ．如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等D ．如果两个角互余，那么这两个角的余角相等【答案】C【解析】根据任何一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，从而得出答案．解：命题“等角的余角相等”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角的余角相等”．故命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等．故选择：C.【点睛】此题考查了命题与定理，解答此题的关键是找出原命题的题设和结论，此题比较简单．例5．如图，1∠，2∠，3∠中是ABC 外角的是（）A ．1∠，2∠B ．2∠，3∠C ．1∠，3∠D ．1∠，2∠，3∠【答案】C【解析】根据三角形的一条边的延长线于另一边的夹角叫做这个三角形的外角判断．属于ABC 外角的有13∠∠、．故选C ．【点睛】本题考查了三角形的外角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．例6．如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，80A ∠=︒，延长BC 至点D ，则ACD ∠的大小为（）A ．140︒B ．150︒C ．160︒D ．170︒【答案】A【解析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算．由三角形的外角性质可知，∠ACD=∠B+∠A=140°，故选：A ．【点睛】此题考查三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．例7．如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70°，∠C ＝40°，则∠E 等于()A ．30°B ．40°C ．60°D ．70°【答案】A∵AB ∥CD ，∠A=70°，∴∠1=∠A=70°，∵∠1=∠C+∠E ，∠C=40°，∴∠E=∠1﹣∠C=70°﹣40°=30°．故选A ．例8．下列句子：①爸爸你去哪儿呢?②舌尖上的中国；③中国好声音是选秀节目；④邱波是喀山世锦赛十米跳台的冠军；⑤你不是调皮捣蛋的坏孩子；⑥奔跑吧兄弟!是命题的有__________（只填序号）．【答案】③④⑤【解析】直接根据命题的定义进行判断．①是疑问句，没有判断；②没有对事情作出判断；⑥是祈使句，不含判断的意思；只有③④⑤是对某一件事情作出判断的语句．故答案为：③④⑤．【点睛】本题考查命题的判断，熟练掌握命题是对一件事情作出判断的语句是解题的关键．例9．请写出命题“互为相反数的两个数和为零”的逆命题：____________________【答案】和为零的两个数是互为相反数．【解析】两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是:和是0的两个数互为相反数；故答案为和是0的两个数互为相反数．【点睛】本题主要考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．例10．把命题“直角三角形的两个锐角互为余角”改写成“如果…那么…”的形式是________，这个命题是__________（填“真”或“假”）命题【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角真【解析】找出命题中的题设与结论即可得，根据直角三角形的性质即可得判断真假．命题“直角三角形的两个锐角互为余角”中的题设是三角形是直角三角形，结论是它的两个锐角互为余角，则改写成：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角，由直角三角形的性质得：这个命题是真命题，故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角；真．【点睛】本题考查了命题、直角三角形的性质，掌握理解命题的概念是解题关键．一、单选题4．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（）A ．191,250︒︒∠=∠=B ．189,21︒︒∠=∠=C ．1120,240∠=︒∠=︒D ．1102,22︒︒∠=∠=【答案】D【分析】分别计算出各选项角的度数，进而可得出结论．【解析】解：A 、915041-︒︒=︒是锐角，不符合题意；B 、89︒与1︒是两个锐角，不符合题意；C 、1204080-︒︒=︒是锐角，不符合题意；D 、1022100︒︒-=︒是钝角，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知反例的定义是解题的关键．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例．5．如图，BCD ∠为ABC 的外角，64A ∠=︒，142BCD ∠=︒，那么B ∠=（）A ．60°B ．82°C ．78°D ．80°【答案】C 【分析】根据外角的性质进行求解即可．【解析】解：∵64A ∠=︒，142BCD ∠=︒，∴78B BCD A ∠=∠-∠=︒；故选C ．【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．6．如图，直线m n ∥，A ∠的两边分别与直线m ，n 相交．若60A ∠=︒，1140∠=︒，则2∠的度数是（）A ．140︒B ．120︒C ．100︒D ．80︒【答案】D【分析】利用三角形外角的性质与平行线的性质求解．【解析】解：如图所示．60A ∠=︒，1140∠=︒，∴3180A ∠=∠-∠=︒，又 m n ∥，∴2380∠=∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7．如图，点D 在ABC 的边AB 的延长线上，且DE BC ∥，若32A ∠=︒，58D ∠=︒，则C ∠的度数是（）A ．25︒B ．26︒C ．28︒D ．32︒【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出DBC ∠，根据三角形外角性质得出即可．【解析】解：∵DE BC ∥，58D ∠=︒，∴58DBC ∠=︒，∵32A ∠=︒，∴583226C ︒︒︒∠=-=，故选：B ．【点睛】此题考查三角形外角性质和平行线的性质，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．8．如图，123∠∠∠，，的大小关系正确的是（）A ．123∠=∠+∠B ．2213∠=∠+∠C ．321∠>∠>∠D ．123∠>∠>∠【答案】D 【分析】根据三角形的外角的性质进行解题．【解析】由三角形的外角大于与它不相邻的每一个内角，可得123∠∠∠、、的大小关系为：123∠>∠>∠．故选D ．【点睛】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．9．如图，已知AB DE ∥，130B ∠=︒，110D ∠=︒，则C ∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】B 【分析】利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等，得出110DFG CDE ∠=∠=︒，再利用三角形外角的性质即可求出答案．【解析】如图所示，延长AB ，CD 交于点F ，∵AB DE ∥，110CDE ∠=︒，∴110DFG CDE ∠=∠=︒，∴18070BFC DFG ∠=︒-∠=︒，∵130ABC ∠=︒，∴60C ABC BFC ∠=∠-∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，牢固掌握以上知识点是做出本题的关键．二、填空题11．下列语句：①整数一定是有理数；②画直线AB ；③直角都相等；④如果=1x -，那么10x +>；⑤我下次考试能得满分吗？其中是命题的是________．（填序号）【答案】①③④【分析】根据命题的定义：判断一件事情的句子逐一判断即可．【解析】解：①整数一定是有理数，是命题；②画直线AB ，不是命题；③直角都相等，是命题；④如果=1x -，那么10x +>，是命题；⑤我下次考试能得满分吗？不是命题．综上，是命题的是：①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查的是命题的定义，属于基础概念题型，熟知命题的定义、熟练掌握基本知识是解题的关键．12．将命题“有一个内角是直角的三角形是直角三角形”改写成如果…那么…的形式_____．【答案】如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角形【分析】判断语句中的条件和结论，将条件放在如果后面，将结论放在那么后面即可．【解析】题中“有一个内角是直角的三角形”是条件，“直角三角形”是结论，所以命题“有一个内角是直角的三角形是直角三角形”改写成如果…那么…的形式为：如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角．故答案为：如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角形．【点睛】本题主要考查命题的改写，正确找出条件和结论是解决本题的关键．13．判断命题“若24a =，则2a =”是假命题，需要举出的反例是______．【答案】当2a =-时，满足24a =，但是2a ≠【分析】根据举反例的要求举出满足题设，但是不满足结论的例子即可．【解析】解：∵当2a =-时，满足24a =，但是2a ≠，∴“若24a =，则2a =”是假命题的反例为：当2a =-时，满足24a =，但是2a ≠，故答案为：当2a =-时，满足24a =，但是2a ≠．【点睛】本题主要考查了乘方、命题以及证明，熟知举反例的要求举出满足题设，但是不满足结论的例子是解题的关键．14．指出下列命题的题设和结论：（1）“平行于同一直线的两条直线互相平行”命题的题设、结论．题设是：_____，结论是：_____．（2）“两个负数的和是负数”命题的题设、结论．题设是：_____，结论是：_____．（3）“相交的两条直线一定不平行”命题的题设、结论．题设是：_____，结论是：_____．（4）“任意两个偶数之差是偶数”命题的题设、结论．题设是：_____，结论是：_____．【答案】两条直线平行于同一条直线这两条直线互相平行有两个负数它们的和是负数两条直线相交它们一定不平行有任意两个偶数它们的差是偶数【分析】对每一个命题，根据命题的结构，写出题设、结论即可求解．【解析】解：（1）“平行于同一直线的两条直线互相平行”可以改写成“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行”．题设是：两条直线平行于同一条直线，结论是：这两条直线互相平行；（2）“两个负数的和是负数”可以改写成“如果有两个负数，那么它们的和是负数”．题设是：有两个负数，结论是：它们的和是负数；（3）“相交的两条直线一定不平行”可以改写成“如果两条直线相交，那么它们一定不平行”．题设是：两条直线相交，结论是：它们一定不平行；（4）“任意两个偶数之差是偶数”可以改写成“如果有任意两个偶数，那么它们的差是偶数”．题设是：有任意两个偶数，结论是：它们的差是偶数故答案为两条直线平行于同一条直线，这两条直线互相平行；有两个负数，它们的和是负数；两条直线相交，它们一定不平行；有任意两个偶数，它们的差是偶数．【点睛】本题考查了命题与定理，命题由题设和结论两部分组成，找题设和结论的关键是会把命题写成“如果…那么…”的形式．15．如图，在ABC 中，D 是延长线上一点，50B ∠=︒，70A ∠=︒，则ACD ∠=______．【答案】120︒/120度【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解．【解析】解：∵50B ∠=︒，70A ∠=︒，∴5070120ACD B A ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：120︒．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．16．如图，已知在ABC 中，CD 是边AB 上的高线，CE 平分ACD ∠，交AB 于点E ，46ACD ∠=︒，则AEC ∠的度数为____________°．【答案】113【分析】由垂直的定义得到90ADC ∠=︒，由角平分线的定义求得23ECD ∠=︒，最后利用三角形的外角性质即可求解．【解析】解：∵CD 是边AB 上的高线，∴90ADC ∠=︒，【答案】40︒/40度【分析】由平行线的性质可得31∠=∠=【解析】解：如图，由题意得：90E ∠=︒，AB CD ∥，∴31130∠=∠=︒，∵3∠是ABE 的外角，∴231309040E ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：40︒．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．解题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．18．已知ABC 中，70A ∠=︒，BD 是∠交点为D ，则D ∠=___________︒．【答案】35三、解答题19．写出下列命题的条件和结论．(1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；(2)绝对值等于3的数是3；(3)如果∠DOE＝2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线．【答案】(1)条件：两条直线被第三条直线所截；结论：同旁内角互补(2)条件：一个数的绝对值等于3；结论：这个数是3(3)条件：∠DOE＝2∠EOF；结论：OF是∠DOE的平分线【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．（1）解：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补的题设是两条直线被第三条直线所截，结论是同旁内角互补；（2）解：绝对值等于3的数是3的题设是一个数的绝对值等于3，结论是这个数是3；（3）解：如果∠DOE＝2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线的题设是∠DOE＝2∠EOF，结论是OF是∠DOE的平分线．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，写出一个命题的题设和结论常常改写成“如果…那么…”的形式；熟练地掌握命题的组成是解题的关键．20．把下列命题改成“如果…那么…”的形式．(1)不相交的两条直线是平行线(2)相等的两个角是对顶角(3)经过一点有且只有一条垂线(4)直角都相等．【答案】(1)如果两条直线不相交，那么这两条直线平行(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角(3)如果经过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直(4)如果所有的角是直角，那么它们都相等【分析】(1)根据命题及其组成即可写得；(2)根据命题及其组成即可写得；(3)根据命题及其组成即可写得；(4)根据命题及其组成即可写得．（1）解：不相交的两条直线是平行线，∵原命题的条件是：“两条直线不相交”，结论是：“这两条直线平行”，∴命题“不相交的两条直线是平行线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两条直线不相交，那么这两条直线平行”；（2）解：相等的两个角是对顶角，∵原命题的条件是：“两个角相等”，结论是：“这两个角是对顶角”，∴命题“相等的两个角是对顶角”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；（3）解：经过一点有且只有一条垂线，∵原命题的条件是：“经过一点”，结论是：“有且只有一条垂线”，∴命题“经过一点有且只有一条垂线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果经过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直”；（4）解：直角都相等．∵原命题的条件是：“所有的直角”，结论是：“都相等”，∴命题“直角都相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果所有的角是直角，那么它们都相等”．【点睛】本题考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成，把命题写成“如果…，那么…”的形式时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．21．如图，现有以下三个条件：①//,AB CD ②,B C ∠=∠③E F ∠=∠．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．（1）你构造的是哪几个命题？（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)．【答案】（1）可构造如下几个命题：如果//,,AB CD B C ∠=∠那么E F ∠=∠，如果//,,AB CD E F ∠=∠那么B C ∠=∠，如果B C ∠=∠，,E F ∠=∠那么//AB CD ；（2）证明见解析．【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．【解析】解：（1）有：如果//,,AB CD B C ∠=∠那么E F ∠=∠；如果//,,AB CD E F ∠=∠那么B C ∠=∠；如果B C ∠=∠，,E F ∠=∠那么//AB CD ；（2）如图：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠CDF ，∵∠B=∠C ，∴∠C=∠CDF ，∴CE ∥BF ，∴∠E=∠F ，∴如果//,,AB CD B C ∠=∠那么E F ∠=∠为真命题；∵AB ∥CD ，∴∠B=∠CDF ，∵∠E=∠F ，∴CE ∥BF ，∴∠C=∠CDF ，∴∠B=∠C ，∴如果//,,AB CD E F ∠=∠那么B C ∠=∠为真命题；∵∠E=∠F ，∴CE ∥BF ，∴∠C=∠CDF ，∵∠B=∠C ，∴∠B=∠CDF ，∴AB ∥CD ，∴如果B C ∠=∠，,E F ∠=∠那么//AB CD 为真命题．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．22．如图，现有以下3个论断：//BD EC ；D C ∠=∠；A F ∠=∠．（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．【解析】解：（1）由//BD EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠；由//BD EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠；由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到//BD EC ；故能组成3个命题．（2）由//BD EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠，是真命题．理由如下：//BD EC ，ABD C ∴∠=∠．D C ∠=∠ ，∴ABD D ∠=∠，//AC DF ∴，A F ∴∠=∠．由//BD EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠，是真命题．理由如下：//BD EC ，ABD C ∴∠=∠．A F ∠=∠ ，//AC DF ∴，,D ABD ∴∠=∠D C ∴∠=∠．由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到//BD EC ，是真命题．理由如下：∵A F ∠=∠，//AC DF ∴，D ABD ∴∠=∠．D C ∠=∠ ，ABD C ∴∠=∠，//BD EC ∴．【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．23．填写推理的理由．已知：如图，CD AB ⊥于点D ，EF AB ⊥于点E ，12∠=∠，DG 交AC 于点G ，EF 交BC 于点F ．求证：ADG B ∠=∠．证明：∵CD AB ⊥，EF AB ⊥（），∴CD EF （）．∴23∠∠=（）．∵12∠=∠（），∴13∠=∠（）．∴DG BC （）．∴ADG B ∠=∠（）．【答案】（1）已知（2）如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（3）两直线平行，同位角相等（4）已知（5）等量代换（6）内错角相等，两直线平行（6）两直线平行，同位角相等【分析】根据已知条件，先判定CD EF 和DG BC ，然后利用平行线的性质来求证．【解析】∵CD AB ⊥，EF AB ⊥（已知），∴CD EF （如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）．∴23∠∠=（两直线平行，同位角相等）．∵12∠=∠（已知），∴13∠=∠（等量代换）．∴DG BC （内错角相等，两直线平行）．∴ADG B ∠=∠（两直线平行，同位角相等）．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.24．点D为△ABC的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A=35°，∠D=40°，求∠ACD的度数．【答案】85°【分析】根据三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；及三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°解答．【解析】解：∵DF⊥AB于点F，∴∠DFB=90°在Rt△DFB中，∠DFB=90°，∴∠B+∠D=90°∵∠D=40°，∴∠B=50°∵∠ACD是△DFB的外角，∠A=35°，∴∠ACD=∠B+∠A=50°+35°=85°【点睛】此题考查三角形外角与内角的关系、三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理．25．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD＝30°，CD平分∠ACB．求:(1)∠BDC的度数．(2)∠B的度数．【答案】(1)∠BDC=100°(2)∠B=50°∠=∠+∠【分析】（1）在△ABC中，根据∠A＝70°，∠ACD＝30°，由外角的性质BDC A ACD 代入即可求出．（2）根据角平分线的定义求出∠ACB，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．（1）在△ABC 中，,BDC A ACD ∠=∠+∠ 又∵∠A ＝70°，∠ACD ＝30°，7030100.BDC ∴∠=︒+︒=︒（2）∵∠ACD ＝30°，CD 平分∠ACB ∴∠BCD =30°，∴∠ACB =2×30°=60°在△ABC 中，∵∠A =70°，∠ACB =60°∴∠B =180°－70°－60°=50°【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握这些性质定理是解此题的关键．26．如图所示，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ．(1)AD 与EF 平行吗？请说明理由；(2)试判断∠AED 与∠C 的大小关系，并说明理由．【答案】(1)平行，见解析(2)相等，见解析【分析】（1）由已知条件和三角形外角性质推出∠BDE +∠3＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”即可证明；（2）利用（1）的结论，推出∠ADE ＝∠B ，DE ∥BC ，利用“两直线平行，同位角相等”可得∠AED ＝∠C ．【解析】（1）证明：（1）平行；∵∠1＝∠FDE +∠3，∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠FDE +∠3＝180°，∵∠BDE ＝∠2+∠FDE ，∴∠BDE +∠3＝180°，∴AD ∥EF ；（2）解：∠AED ＝∠C ；理由如下：∵AB ∥EF ，∴∠ADE ＝∠3，∵∠3＝∠B ，∴∠ADE ＝∠B ，∴DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠C ．【答案】见解析【分析】延长BP 交AC 于点外角的性质求出BPC x ∠=2BPC A D ∠∠∠=+，进而可得结论．【解析】证明：如图，延长设PBA PBD x ∠∠==，∠∴BPC BEC y x ∠∠=+=+x y BPC A ∠∠∴+=-，同理可得D x y BPC ∠∠=++2BPC A D ∠∠∠∴=+，()12BPC A D ∠∠∠∴=+．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，相邻的两个内角和是解题的关键．28．已知：如图1，点B 在(1)求证AB CD ∥；(2)如图2，BQ 平分ABE ∠，过点C 作CF BE ⊥于点F ．①补全图形；②若PCF DCF ∠=∠，设ABQ x ∠=︒，CPQ y ∠=︒，求x ，y 之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②3180y x =-【分析】（1）过点P 作PK AB ∥，得1ABQ ∠=∠，再根据ABQ CPQ PCD ∠+∠=∠，得出PK CD ∥，即可解得．（2）①根据题意补全图形即可．②过点F 作FM AB ∥，得到ABE BFM ∠=∠，根据已知得2ABE x ∠=︒，再由垂直定理得90CFB ∠=︒，再由2902BFM AFB ∠=∠+∠=︒+∠，得到2290x ∠=︒-︒，由（1）AB CD ∥，可得∠2＋∠3＝180°，再根据三角形内角和定理得()2x y ∠=︒+︒，即可解答．【解析】（1）过点P 作PK AB ∥．∴1ABQ ∠=∠，∵ABQ CPQ PCD ∠+∠=∠，∴1CPQ PCD ∠+∠=∠．即CPK PCD ∠=∠，∴PK CD ∥，∴AB CD ∥．（2）①补全图形；②过点F 作FM AB ∥．∴ABE BFM ∠=∠，∵BQ 平分∠ABE ，ABQ x ∠=︒，∴2ABE x ∠=︒．∵CF BE ⊥，∴90CFB ∠=︒，∵2902BFM AFB ∠=∠+∠=︒+∠，∴9022x ︒+∠=︒．∴2290x ∠=︒-︒，由（1）知，AB CD ∥，∵FM AB ∥，∴FM CD ∥，∴∠2＋∠3＝180°，∵3PCF ∠=∠，34360PCF ∠+∠+∠=︒，∴∠3＝180°－∠4，∵14CPQ ∠+∠=∠，1x ∠=︒，CPQ y ∠=︒，∴()3180x y ∠=︒-︒+︒，∵∠2＋∠3＝180°，∴()2x y ∠=︒+︒，∵2290x ∠=︒-︒，∴3180y x =-．【点睛】本题考查了平行线的判断与性质，角平分线的性质，垂直定理，三角形外角和定理，熟练掌握作辅助线是解题的关键．29．如图1，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．一、单选题1．（2020·四川雅安·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（）A ．对顶角相等B ．过直线外一点作直线的平行线C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b a c ==，，那么b c=【答案】B【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．【解析】解：由题意可知，A 、对顶角相等，故选项是命题；B 、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；C 、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；D 、如果a b a c ==，，那么b c =，故选项是命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．2．（2020·湖北宜昌·中考真题）能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．【解析】解：A 、如图1，∠1是锐角，且∠1=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；B 、如图2，∠2是锐角，且∠2=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；C 、如图3，∠3是钝角，且∠3=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；D 、如图4，∠4是锐角，且∠4=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．二、填空题3．（2020·湖南永州·中考真题）已知直线//a b ，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠=_________．【答案】35°【分析】如图，标注字母，延长ED 交a 于C ，利用平行线的性质证明2,DCA ∠=∠，三角形的外角的性质证明1BDE DCA ∠=∠+∠，从而可得答案．【解析】解：如图，标注字母，延长ED 交a 于C ，由题意得：30,90,B DEB ∠=︒∠=︒60,BDE ∴∠=︒//,a b 2,DCA ∴∠=∠1,125,BDE DCA ∠=∠+∠∠=︒ 602535,DCA ∴∠=︒-︒=︒235.∴∠=︒。
定义与命题
定义与命题定义在学习任何一门学科的时候，往往都会遇到很多专业术语和概念。
这些术语和概念都需要严格的定义，以便在学习和研究过程中使用。
同样，数学和逻辑学也有自己的定义，而这些定义是这两门学科中最基础的概念。
数学中的定义在数学中，定义是指对一个概念进行的描述和限定。
在数学中，一个定义通常包括两个部分：名称和描述。
名称是指要定义的概念的名称，而描述则是用来描述这个概念的特征和属性的。
例如，整数的定义是：整数是可以表示为分数的数字。
这个定义中，整数就是名称，而可以表示为分数的数字则是描述。
数学中的定义通常需要满足明确性、无歧义性和简明性。
明确性是指定义必须能够清晰地描述出概念的特征和属性。
无歧义性是指定义不能有歧义，即只有一种理解方式。
简明性则是指定义应该简单明了，不需要过多的描述和解释。
逻辑学中的定义逻辑学中的定义和数学中的定义类似，也是对概念的描述和限定。
但是，逻辑学中的定义通常更加抽象和一般化。
逻辑学中的定义通常包括两部分：定义范畴和定义式。
定义范畴是指要定义的概念所在的范畴，而定义式则是用来描述这个概念的特征和属性的。
逻辑学中的定义也需要满足明确性、无歧义性和简明性。
但是，逻辑学中的定义还需要满足普遍性和必要性的要求。
普遍性是指定义应该具有普遍适用性，即在所有情况下都适用。
必要性则是指定义应该是必要的，即没有这个定义就无法讨论这个概念。
命题在数学和逻辑学中，命题是指能够判断真假的陈述句。
命题可以是真的，也可以是假的，但是不能既是真的又是假的。
也就是说，命题只有两种可能的真值：真或假。
命题和非命题命题可以通过以下方式进行分类：•陈述句：能够判断真假的陈述句是命题；不能判断真假的陈述句是非命题。
•真命题：在给定的条件下能够判断为真的命题是真命题。
•假命题：在给定的条件下能够判断为假的命题是假命题。
•开放命题：包含未知元素或未知条件的命题是开放命题。
开放命题不能判断真假。
•互为矛盾命题：命题和它的否定命题互为矛盾命题。
浙教版数学八年级上册1.2《定义与命题》说课稿
浙教版数学八年级上册1.2《定义与命题》说课稿一. 教材分析《定义与命题》是浙教版数学八年级上册第一章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了实数、不等式等基础知识的基础上进行讲授的，是学生学习数学语言和逻辑推理的重要基础。
本节课的主要内容是让学生了解和理解定义和命题的概念，学会如何正确地书写定义和命题，并能够判断一个命题是真命题还是假命题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于实数、不等式等概念有一定的了解。
但是，学生对于抽象的数学概念的理解还存在一定的困难，需要通过具体的例子和实际操作来帮助学生理解和掌握。
此外，学生的逻辑思维能力和判断能力还在发展中，需要通过教师的引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解和理解定义和命题的概念，学会如何正确地书写定义和命题，并能够判断一个命题是真命题还是假命题。
2.过程与方法目标：通过学生的自主学习、合作交流和教师的引导，培养学生的逻辑思维能力和判断能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验到数学的乐趣，培养学生对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生了解和理解定义和命题的概念，学会如何正确地书写定义和命题。
2.教学难点：让学生能够判断一个命题是真命题还是假命题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主学习、合作交流和教师的引导相结合的教学方法。
同时，我还将利用多媒体课件和黑板等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个具体的例子，引出定义和命题的概念，激发学生的兴趣。
2.自主学习：让学生自主阅读教材，理解定义和命题的概念，并尝试判断一些简单的命题的真假。
3.合作交流：让学生分组讨论，分享自己的理解和判断，互相学习和交流。
4.教师引导：教师通过讲解和示范，引导学生理解和掌握定义和命题的概念，并教会学生如何判断一个命题是真命题还是假命题。
5.练习巩固：让学生进行一些相关的练习，巩固所学知识。
1.2定义与命题(知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接)
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
12.下列命题中，是正确命题的是（ ）
A．若 2x+2=2x-3,则 5=0
B．若 3 = 1，则 x =1 4x −1
C．若 a = b = c = k ，则 k = 1
b+c a+c c+a
2
13.写出下列假命题的反例：
D．若 a 为实数，则 a2 = ( a)2
C. 3 个
D．4 个
2.下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，
其中不正确的命题的有
（填序号）.
3.对于命题“若 a2＞b2，则 a＞b”，下面四组关于 a，b 的值中，能说明这个命题是
假命题的是（ ）
A．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2
（4）杭州湾跨海大桥是世界上第三长的跨海大桥；
（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
14.命题：“能被 5 整除的数，它的末尾数是 5”它是一个
15.判断下列语句是否是命题（填“是”或“否”）
（1）画一条线段 a=7cm(
)；
（2）明天一定下雨（ ）；
（） （） （） （） （） 命题（填“真”或“假”）
题型 2 真命题和假命题、公理和定理
命 题：命题是判断一件事情的语句，即命题一定要对某件事情下结论，不管这个结论是对还是错. 真命题和假命题：真命题：正确的命题称为真命题； 假命题：不正确的命题称为假命题. 举 反 例：举一个例子，若符合该命题的条件，而不符合该命题的结论，这种例子叫做反例，这种方法称为举 反例.要说明一个命题是假命题，通常举一个反例.命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 公 理：是人们在长期实践中总结出来的正确的命题(真命题)，它不需要用其他的方法来证明，是作为判断其 他命题的依据.如初一几何中我们过的主要公理有： ①经过两点有一条直线，并且只有一条直线． ②经过直 线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③同位角相等，两直线平行． ④两直线平行，同位角相等． 定 理:用推理的方法判断正确的命题叫做定理.定理也可以作为判断其他命题的依据. 例如前面学过的定理 有:“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三 边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么 这两条直线平行”等都是定理．
《定义与命题》证明
归纳法
定义：归纳法是一种通过观察和总结 一些特殊情况，然后得出一般结论的 推理方法。
在归纳法中，我们首先观察一些特殊 情况，然后通过总结这些情况，得出 一个一般结论。这种方法通常用于得 出一些规律性的结论，例如数学中的 公式和定理。
例子：假设我们要证明“1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6”。 我们可以从一些特殊情况开始，例如 当n=1时，结论成立；当n=2时，结 论也成立。然后我们通过观察和总结 这些情况，得出一个一般结论：对于 任何正整数n，结论都成立。
06
定义与命题证明的应用
在数学中的应用
定理证明
在数学中，定义与命题的证明常用于定理证明， 以确认数学结论的正确性。
逻辑推理
数学中的定义与命题证明涉及到逻辑推理，通过 已知条件推导出新的结论。
反例构造
当数学中的某个命题无法证明时，可以通过构造 反例来否定该命题。
在物理学中的应用
实验验证
物理学中的定义与命题证明通常需要通过实验来验证，以确认物 理规律的正确性。
命题在数学中的应用
命题是数学体系的核心，通过命题的证明和验证，可以确定其真假并应用于解决 问题。同时，命题还可以帮助人们更好地理解和掌握数学知识。
03
逻辑推理证明方法
直接证明法
定义：直接证明法是一种从已知事实 或前提出发，通过一步步的逻辑推理 ，最终得出结论的证明方法。
在直接证明法中，我们需要根据已知 事实或前提，通过逻辑推理，逐步推 导出结论。这种方法是最常用的证明 方法之一，因为它简单、直观，而且 容易理解。
定义与命题的关系
定义和命题都是语言表述的基本单位，它们之间存在着密切的联系。定义是命题的基础，命 题是定义的运用。
考点17 定义、命题、定理-中考数学考点讲解
考点17 定义、命题、定理一、定义与命题1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．2．判断一件事情的语句叫做命题．3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．二、真命题、假命题1．正确的命题叫做真命题．2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．三、逆命题1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．四、公理与定理1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．五、互逆命题1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．考向一命题的改写每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的．但有些命题的题设和结论不明显，它不是以“如果……那么……”的形式给出的．区分这类命题的题设和结论的具体方法：添上省去的词语后再进行分析．典例1命题“任意两个直角都相等”改写成“如果……那么……”的形式是__________．【答案】如果两个角都是直角，那么这两个角相等1．把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式为__________．考向二真命题、假命题1．判断语句是否为命题要抓住两条：①命题必须是一个完整的带有判断性的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断．2．辨别命题的真假时，对命题的正确性理解一定要准确，进行辨别时要熟练掌握相关的定理、公理、定义．要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法解决．命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．典例2下列命题是真命题的是A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形【答案】C2．下列命题中，假命题的是A．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C．一组邻边相等的矩形是正方形D．菱形对角线互相垂直平分考向三互逆命题与互逆定理1．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．3．“题设与结论正好相反”可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设．典例3下列命题中，逆命题为真命题的是A．对顶角相等B．若a=b，则|a|=|b|C．同位角相等，两直线平行D．若ac2<bc2，则a<b【答案】C3．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是__________．4．有下列命题：①若x2=x，则x=1；②若a2=b2，则a=b；③线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；④相等的弧所对的圆周角相等；其中原命题与逆命题都是真命题的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个1．下列语句是命题的是A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗？C．延长线段AO到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等．2．下列命题是假命题的是A．不在同一直线上的三点确定一个圆B．角平分线上的点到角两边的距离相等C．正六边形的内角和是720°D．角的边越大，角就越大3．下列命题的逆命题是真命题的是A．全等三角形的周长相等B．对顶角相等C．等边三角形的三个角都是60°D．全等三角形的对应角相等4．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有A．0个B．1个C．2个D．3个5．对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是A．a=3，b=2 B．a=3，b=–2C．a=–3，b=–2 D．a=–2，b=–36．命题“对顶角相等”的条件是__________，结论是__________．7．请写出“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题：__________．8．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+14=0，当b<0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是__________．9．若命题“12xy=⎧⎨=-⎩不是方程ax–2y=1的解”为假命题，则实数a满足：__________．10．如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③∠A=∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．学科！网11．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）同旁内角互补，两直线平行．（2）如果两个角是直角，那么这两个角相等．12．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①②⇒③；B：①③⇒②；C：②③⇒①．（1）以上三个命题是真命题的为__________（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．1．（2017•德阳）下列命题中，是假命题的是A．任意多边形的外角和为360°B．在△ABC和△A′B′C′中，若AB=A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′=90°，则△ABC≌△A′B′C′C．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边D．同弧所对的圆周角和圆心角相等2．（2017•泸州）下列命题是真命题的是A．四边都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的平行四边形是矩形3．（2017•嘉兴）下列关于函数y=x2–6x+10的四个命题：①当x=0时，y有最小值10；②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3–n时的函数值；③若n>3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n–4）个；④若函数图象过点（a，y0）和（b，y0+1），其中a>0，b>0，则a<b．其中真命题的序号是A．①B．②C．③D．④4．（2017•玉林）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O相交于点D，E，连接DE，现给出两个命题：①若AC=AB，则DE=CE；②若∠C=45°，记△CDE的面积为S1，四边形DABE的面积为S2，则S1=S2，那么A ．①是真命题②是假命题B ．①是假命题②是真命题C ．①是假命题②是假命题D ．①是真命题②是真命题5．（2017•常德）命题：“如果m 是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：__________．6．（2017•呼和浩特）下面三个命题：①若x a y b =⎧⎨=⎩是方程组||223x x y =⎧⎨-=⎩的解，则a +b =1或a +b =0； ②函数y =–2x 2+4x +1通过配方可化为y =–2（x –1）2+3；③最小角等于50°的三角形是锐角三角形，其中正确命题的序号为__________．1．【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余【解析】把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式是：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．2．【答案】A【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，A 是假命题；圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，B 是真命题；一组邻边相等的矩形是正方形，C 是真命题；菱形对角线互相垂直平分，D 是真命题；故选A ．4．【答案】A【解析】若x 2=x ，则x =1或x =0，所以原命题错误；若x =1，则x 2=x ，所以原命题的逆命题正确；若a 2=b 2，则a =±b ，所以原命题错误；若a =b ，则a 2=b 2，所以原命题的逆命题正确； 变式拓展线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以原命题正确；到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以原命题的逆命题正确；相等的弧所对的圆周角相等，所以原命题正确；相等的圆周角所对弧不一定相等，所以原命题的逆命题错误．故选A．1．【答案】D【解析】根据命题的定义：选项D“两直线平行，内错角相等”是能对事情判断的语句，故此选项正确；故选D．2．【答案】D【解析】A、不在同一直线上的三点确定一个圆，真命题；B、角平分线上的点到角两边的距离相等，真命题；C、正六边形的内角和是720°，真命题；D、角的边越大，角就越大是假命题，因为角的大小与边的长短无关．故选D．4．【答案】B【解析】①等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误．②不在同一直线上任意三点确定一个圆，故本选项错误．③在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误．④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确．所以只有④一项正确．故选B．5．【答案】C考点冲关【解析】当a=3，b=2时，a2>b2，而a>b成立，故A选项不符合题意；当a=3，b=–2时，a2>b2，而a>b成立，故B选项不符合题意；当a=–3，b=–2时，a2>b2，但a>b不成立，故C选项符合题意；当a=–2，b=–3时，a2>b2不成立，故D选项不符合题意；故选C．6．【答案】两个角是对顶角；这两个角相等【解析】此命题可写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角”；结论是“这两个角相等”．故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．9．【答案】a=–3【解析】当x=1、y=–2时，a+4=1，解得a=–3，故当a=–3时，12xy=⎧⎨=-⎩是方程ax–2y=1的解，则a=–3时，可以说明命题“12xy=⎧⎨=-⎩不是方程ax–2y=1的解”为假命题，故答案为：a=–3．10．【解析】已知：∠1=∠2，∠B=∠C；求证：∠A=∠D．证明：如图，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴EC∥BF，∴∠AEC=∠B．又∵∠B=∠C，∴∠AEC=∠C，∴AB∥CD，∴∠A=∠D．11．【解析】（1）同旁内角互补，两直线平行，逆命题是两直线平行，同旁内角互补，逆命题不成立；（2）如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，逆命题不成立．12．【解析】（1）A、B、C；（2）选择B进行证明．已知：AB=AC，BD=CE，求证：AD=AE．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，AB ACB C BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE．2．【答案】D【解析】A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；B、矩形的对角线相等，故错误；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故选D．直通中考3．【答案】C【解析】∵y =x 2–6x +10=（x –3）2+1，∴当x =3时，y 有最小值1，故①错误；当x =3+n 时，y =（3+n ）2–6（3+n ）+10，当x =3–n 时，y =（n –3）2–6（3–n ）+10，∵（3+n ）2–6（3+n ）+10–[（n –3）2–6（3–n ）+10]=0，∴n 为任意实数，x =3+n 时的函数值等于x =3–n 时的函数值，故②错误；∵抛物线y =x 2–6x +10的对称轴为x =3，a =1>0，∴当x >3时，y 随x 的增大而增大，当x =n +1时，y =（n +1）2–6（n +1）+10，当x =n 时，y =n 2–6n +10，（n +1）2–6（n +1）+10–[n 2–6n +10]=2n –5，∵n 是整数，∴2n –5是整数，∴y 的整数值有（2n –4）个；故③正确；∵抛物线y =x 2–6x +10的对称轴为x =3，1>0，∴当x >3时，y 随x 的增大而增大，x <3时，y 随x 的增大而减小，∵y 0+1>y 0，∴当0<a <3，0<b <3时，a >b ；当a >3，b >3时，a <b ；当0<a <3，b >3时，a <b ；故④错误，故选C ．4．【答案】D【解析】∵AC =AB ，∴∠C =∠B ，∵四边形ABED 内接于⊙O ，∴∠B =∠CDE ，∴∠C =∠CDE ，∴DE =CE ；①正确；连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEC =90°，又∠C =45°，∴ACCE ，∵四边形ABED 内接于⊙O ，∴∠B =∠CDE ，∠CAB =∠CED ，∴△CDE ∽△CBA ， ∴CDE CBA S S △△=（CE CA）2=12，∴S 1=S 2，②正确，故选D ．5．【答案】如果m是有理数，那么它是整数．【解析】命题：“如果m是整数，那么它是有理数”的逆命题为“如果m是有理数，那么它是整数”．故答案为：如果m是有理数，那么它是整数．6．【答案】②③。
7.2_定义与命题(教案)
一、教学内容
7.2_定义与命题（教案）：
1.教材章节：本节课内容对应人教版《数学》七年级下册第七章第二节的定义与命题。
2.教学内容：
（1）理解定义的概念，掌握命题的结构；
（2）学会判断命题的真假，理解真命题、假命题及公理的概念；
（3）通过实例，让学生掌握如何从定义出发，运用逻辑推理证明简单命题；
此外，在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性。他们通过合作探讨，共同解决问题，不仅加深了对定义与命题的理解，还培养了团队合作意识和沟通能力。但同时，我也注意到，在讨论过程中，部分学生过于依赖他人，缺乏独立思考。因此，我需要在接下来的教学中，加强对学生独立思考能力的培养。
在难点解析部分，我尝试通过举例和比较的方法来帮助学生突破难点。从学生的反馈来看，这种方法在一定程度上是有效的。但我也发现，对于一些基础较弱的学生，这种方法可能仍然难以理解。因此，我计划在课后针对这部分学生进行个别辅导，确保他们能够真正掌握核心知识。
4.培养学生的创新意识：引导学生从定义和公理出发，探索和发现新的数学结论，激发学生的创新意识。
5.培养学生的合作意识：通过小组合作学习，让学生学会倾听、协作，培养团队精神和合作意识，提高集体解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解定义的概念：定义是数学基础知识的核心，本节课需要学生掌握通过已知概念导出新概念的方法，并能够运用定义进行问题的分析和解决。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《定义与命题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明某个结论是否正确的情况？”（如证明三角形内角和为180度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索定义与命题的奥秘。
定义与命题PPT课件
等式的有关性质和不等式的有关性质 都可以看作公理
在等式或不等式中,一个量可以用它的等量 来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质 也看作公理,称为“等量代换”.
课内练习：
１、请举两个命题,要求其中一个是真命题, 另一个是假命题.并说明你是用什么方法来 判别它们的真假的.
因为两条直线是平行线时同位角才相等。
（3）一个图形经过旋转变换，像和原图形全等。 (真命题)
因为旋转变换不改变图象的形状和大小。
炉火纯青 哪些是真命题，哪些是假命题？
1）若a∥b，b∥c，则a∥c 2）如果a是有理数，则 a2 +1＞0 3）若a2＞b2 则 a＞b 4）若 ab=0 则a=0 5）如果两个角的两边互相平行，这两个角 一定相等。 6）绝对值等于它本身的数是正数。
2、下列几个命题哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；假命题
（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c； 假命题
（3）全等三角形的面积相等。 真命题
说明假命题的方法：
举反例
使之具有命题的条件，而不具有 命题的结论
3.判断下列命题的真假性？并说明为什么？
（1）是如假果命题x 2。5 因 3为3 x当那么x x5<4 3 x
a2
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,
那么这两条直线平行;
(3)对于任何实数 x, x2 ＜0.
上述命题中,哪些正确?哪些不正确?你的理由 是什么?
正确的是__(1_)_,(_2_)_ 不正确的是__(3_)___
学到新知: 据此可知,一个命题有正确的和不正确之分.
正确的命题叫做真命题,如命题(1),(2); 不正确的命题叫做 假命题,如命题(3).
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举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题 的结论，这种例子叫反例
总结：要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可
练习：判断真假命题，假命题请举出反 例 =2 ² （1）相等角是对顶角 假 （2）例如（-2) ² 但-2 ≠2 （2）若a² =b² 则a=b 假 (3)全等三角形的面积相等 真
⑥画法不是命题
条件 2、命题组成部分：______ 和
已知事项 _____ _____ 结论是 结论 ；条件是 _________ 由已知事项推出的事项 … …那么… … 3、命题的一般叙述形式 如果 ______ 条件 “如果”引出的部分是______ ， 结论 “那么”引出的部分是 ____。
二、自主探究
探究二、命题：自学课本154页交流与发现内容完成下列问题 对某件事情作出判断的语句 1、 _______________叫做命题； 1、判断下列句子哪些是定义，哪些不是定义？ （1）同位角相等，两直线平行。 （2）平行四边形的对角相等。 总结 （3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 ①判断句 对应练习：下列句子是哪些命题？ ②判断可以是肯定的 ①凡是直角都相等____ 是 也可以是否定的 是 ②0不是正数也不是负数__ ③问句不是命题 ③你喜欢数学吗？____ 不是 不是 ④祈使句不是命题 ④画一个角等于两已知角的和____ ⑤两条射线组成的图形叫角是 __ ⑤命题可能是正确的 ⑥过点A作AB∥CD____ 不是 也可能是错误的
√ √
X
√
当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫真命题 当命题的条件成立时，不能保证命题的结论也一定 成立的命题叫假命题
（2）如果一个三角形的两条边及一角与另 一个三角形的两边及一角分别相等，那么 这两个三角形全等； X
如图⊿ABC 与⊿DEF中 AB=DE，AC= DF∠C= ∠F 但⊿ABC 不全等于⊿DEF
六、总结
1、我的收获： 2、我不明白的地方：
七、达标检测
1.下列命题中，属于定义的是( B ) A.两点确定一条直线 B.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 C.两直线平行，内错角相等 D. 同角或等角的余角相等 2、下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）延长AB到C使BC=AB； 不是 （2）两直线平行，同位角相等； 是 （3）a、b两条直线平行吗？ 不是 （4）满庄二中是我们共同的家。 是 4.填空： （1）命题“两直线平行，内错角相等”中，“两直线平行”是命题的 条件 结论 ________ ，“内错角相等”是命题的________; （2）命题“直角都相等”的条件是两个角是直角 _____________，结论是 ________________; 这两个角相等 假 （3）“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是 _____命题，可举出反 例： _______________________ ∠ A= 90°∠B = 90° ∠A+ ∠B =180 °但非一个锐角一个钝角 5.指出下列命题的条件和结论： （1）如果AB⊥CD，垂足是O，那么∠AOC=90 °; （2）两条直线平行，同位角相等. 条件：两边是全等三角形的对应边 （3）全等三角形的对应边相等 结论：这两边相等
三、典例分析 例1：说出下列命题的条件和结论： （1）如果一个三角形的三条边与另一 个三角形的三条边分别相等，那么这 两个三角形全等； 条件： 一个三角形的三条边与另一
个三角形的三条边分别相等
结论： 这两个三角形全等Biblioteka （2）如果一个三角形的两条边及一
角与另一个三角形的两边及一角分别 相等，那么这两个三角形全等；
条件 结论
两个角是等腰三角形的底角
这两个角相等
总结：条件和结论不明显时，先改写成 如果…那么…的形式
四、合作交流：
例1中哪些命题是错误的？哪些命题是正确的？
（1）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边分别 相等，那么这两个三角形全等； （2）如果一个三角形的两条边及一角与另一个三角形的两边 及一角分别相等，那么这两个三角形全等； （3）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两 直线平行； （4）等腰三角形的两底角相等。
1、能说出定义与命题的含义、叙述形
式以及命题的组成和分类。 2、能找出一个命题的条件和结论，会 用举反例的方法说明一个命题是假命 题。 3、经历定义与命题等概念的探索过程， 体验学习的成功与快乐。
自主探究
探究一、定义 自学课本154页观察与思考内容，回答以下问 题。 用来说明一个概念含义的语句 1、 叫做这个概念的定 义，定义是一个概念区别于其他概念的 本质特征 。 2、定义常用的叙述方式： ……叫做…… _________________ 。其中“叫做”前面 被定义项 定义项 的部分是 ，“叫做”后面的部分 是 。 性质 判定 3、定义一方面可以作为 使用，另一方面 又可以作为 的方法。
如图：∠ABD= ∠CBD 但∠ABD 与∠CBD不是对 顶角
五、提升练习
1、下列语句，哪些是命题？ 是 （1）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行； （2）过直线AB外一点P作AB的平行线； 不是 （3）什么叫对顶角? 不是 （4）面积相等的两个三角形全等 是 （5）如果a>b,a<c,那么b=c。 是 （6）父母是我们人生的第一任老师。 是 2、说出下列命题的条件和结论： （1） 如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行； （2）平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两 条直线平行； 结论：这两个角相等 （3）对顶角相等。条件：两个角是对顶角 （4）若a>b,b>c,则a>c 3、下列命题中，哪些是假命题？如果是假命题，请举出一个反例。 （1）同角的余角相等； 真 （2）分式的分子与分母都乘以或除以同一个整式，分式的值不变；假 （3）一个三角形中至少有两个锐角。 真
一个三角形的两条边及一角与另一 条件： 个三角形的两边及一角分别相等
结论：
这两个三角形全等
（3）两条直线被第三条直线所截，如 果同位角相等，那么两直线平行；
条件 两条直线被第三条直线所截，同位
角相等
结论
两直线平行
注意：“如果”前面的文字也是条件
（4）等腰三角形的两底角相等。
如果两个角是等腰三角形的底角那么 这两个角相等
5.1 定义与命题
教师寄语:爱好出勤奋，勤奋出天才。
情境引入
猜谜语
1、屋子方方，有门没窗， 屋外热烘，屋里冰霜。 冰箱 2、一个小姑娘，生在水中央， 身穿粉红衫，坐在绿船上。
荷花
连接三角形的顶点和对边中点的线段
三角形的中线
垂直并且平分一条线段的直线
线段的垂直平分线
5.1 定义与命题
一、学习目标