用初等变换求逆矩阵及矩阵的秩

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线性代数矩阵的秩与逆矩阵

BP1 P2
Ps = X
AP1 P2
Ps = E
3. AXC = B, A, C可逆。解法I : X = A BC
解法II : AX = BC
−1
−1
−1
−1
XC = A B
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 .已知 A, 且 AB = A − B , 求 B .
−1 ⇒ B = ( A + E ) A ⇒ AB + B = A ⇒ ( A + E ) B = A
⎛1 − 1 − 1 ⎜ → ⎜0 −1 − 2 ⎜0 0 −1 ⎝
⎛1 0 0 ⎜ → ⎜0 1 0 ⎜0 0 1 ⎝ 2
1 0 0⎞ ⎟ 3 1 0⎟ 4 2 1⎟ ⎠
1 ⎞ ⎟ 5 3 2⎟ − 4 − 2 − 1⎟ ⎠ 1
∴A
−1
=
1 1 ⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ 3 2⎟ ⎜ 5 ⎜ − 4 − 2 − 1⎟ ⎝ ⎠
⎛2 ⎛1 − 1 ⎞ 3 . C = ⎜ 2.B = ⎜ ⎟ ⎜0 ⎜1 − 2 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠
− 2⎞ ⎟ ⎟ 1 ⎠
⎛2 1 ⎛ 1 1⎞ −1 2. B = ⎜ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 3 ⎝ − 2 1⎠ ⎝
− 1⎞ −1 1 ⎛ 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ = C 3 . ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 0 2 2 − 1⎠ ⎝ ⎠
？？ ⎛ 1 − 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 的逆怎样求？？ A = ⎜− 3 2 1 ⎟
⎜ 2 ⎝ 0 1 ⎟ ⎠
逆阵的性质
1 (i ) A可逆 ⇒ A = ; A (ii ) A可逆 ⇒ A−1可逆, ( A−1 ) −1 = A;
−1
(iii ) AB = E (or BA = E ) ⇒ B = A ;

逆矩阵秩和原矩阵的关系

逆矩阵秩和原矩阵的关系
在矩阵运算中，逆矩阵是一个非常重要的概念。

逆矩阵是指对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵。

逆矩阵在矩阵求解、线性方程组求解等方面都有着广泛的应用。

在逆矩阵的求解过程中，我们会发现逆矩阵的秩和原矩阵的秩之间存在着一定的关系。

我们需要知道一个定理：如果一个矩阵A是可逆的，那么它的秩等于它的行数和列数中的较小值。

这个定理可以通过矩阵的初等变换来证明。

因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，而对于一个可逆矩阵A，它可以通过一系列的初等变换变成一个单位矩阵，而单位矩阵的秩就是它的行数和列数中的较小值。

接下来，我们来看逆矩阵的秩和原矩阵的秩之间的关系。

假设A是一个n阶方阵，它的秩为r，那么我们可以得到一个结论：如果A 是可逆的，那么它的逆矩阵的秩也为r。

这个结论可以通过逆矩阵的定义来证明。

因为A是可逆的，所以它的秩为n，而逆矩阵B也是一个n阶方阵，那么它的秩也为n。

又因为AB=BA=I，所以B的列向量是A的行向量的线性组合，因此B的秩不会超过A的秩，即B 的秩不会超过r。

又因为B也是可逆的，所以它的秩也不会小于r，因此B的秩就等于r。

逆矩阵的秩和原矩阵的秩之间存在着一定的关系。

如果一个矩阵A
是可逆的，那么它的逆矩阵的秩也为它的秩。

这个结论在矩阵求解、线性方程组求解等方面都有着广泛的应用。

在实际应用中，我们可以通过计算矩阵的秩来判断它是否可逆，从而避免无效的计算。

求逆矩阵的四种方法

求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。

但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。

下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。

而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。

2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。

伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。

3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。

当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。

假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。

4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。

当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。

综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。

初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。

逆矩阵公式和矩阵的秩

§2.3 逆矩阵公式和矩阵的秩
一、逆矩阵公式定义22(非奇异矩阵)
对于n阶矩阵A 若行列式|A|=0 则称A是奇异的否则称A为非奇异的
定义23（伴随矩阵）
Aij为A的元素aij的代数余子式，
A11
A
=
A12
A1n
A21
A22
An1
An
2
，则称A为A的伴随
矩阵.
A2n Ann
首页
1 2 3 1
3 1 2 4
1 2 1 3
1532 1000
3 7 7 7
1 4 4 4
7772 1000
3 7 0 0
1 4 0 0
7002
最后一矩阵为阶梯形矩阵有两个非零行故r(A)=2
下页
例4 设B为n阶非奇异矩阵 A为mn矩阵试证 A与B之积的秩等于A的秩即 r(AB)=r(A) （P60/2.18）
又如 B =100
102 r(B)=2
C =100
1 1 0
100
r(C)=3
上述矩阵都是满秩矩阵
下页
定理27 矩阵经初等变换后其秩不变
例 1
求矩阵
A=
11 13
0 2 1 4
0 0 0 5
11
4 1
的秩
解
A = 1113
0 2 1 4
0 0 0 5
1141 1000
0 2 1 4
0 0 0 5
且A1 = 1 A , 其中A为矩阵A的伴随矩阵. A
证明: ()
因为AA = A E，当 A 0时，有A( A ) = E， A
又因为A A = A E，当 A 0时，有( A ) A = E， A

2_4_2等价矩阵、用初等行变换求逆矩阵

所以
11 7 6 6 1 3 X= 2 2 5 13 6 6
解法一由AX=B可得X=A－1B, 所以
17 2 5 1 1 7 11 1 1 X 6 9 0 3 0 3 6 3 9 7 2 1 2 0 5 13
解法二由AX=B可得X=A-1B,
11 1 2 1 1 1 r 2 r r 1 0 0 7 6 6 r2 ( 1) 3 r3 1 2 3 3 1 3 1 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 0 0 1 5 13 0 0 1 5 13 6 6 6 6
2－4－2 等价矩阵、
用初等行变换求逆矩阵
定义2.5 若矩阵A可以经过有限次初等变换化为矩阵
B, 则称矩阵A与矩阵B是等价的。
矩阵的等价性具有下列三个性质（ⅰ）反身性: 任何矩阵都与自身等价; （ⅱ）对称性: 若矩阵A与B等价, 则B与A也等价; （ⅲ）传递性: 若矩阵A与B等价, 且B与C也等价, 则A 与C也等价. 推论矩阵A与B等价的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …,Pl和Q1, Q2, …,Qt, 使得 A=Pl…P2P1BQ1Q2…Qt
1 1 2 0 1 6 3 r1 +r3 0 1 0 3 2 0 0 0 1 7 1 6 3 5 1 r 2r 1 0 0 17 6 3 6 1 2 3 1 1 0 1 0 0 2 2 2 1 0 0 1 7 1 1 6 6 3 6 1 6
所以有:
5 1 17 6 3 6 3 1 1 A 2 0 2 7 1 1 6 3 6

利用初等变换求逆矩阵

利用初等变换求逆矩阵
设要求出nn阶矩阵AA的逆矩阵BB。

对于一个矩阵的初等行变换，有三种：
1.交换两行。

2.将某一行的所有元素乘以一个非零实数kk。

3.将某一行jj，加上某一行i(i≠ji(i≠j)乘以一个非零实数kk，即Aj=Aj+Ai∗kAj=Aj+Ai∗k。

可以发现的是，每种变换其实都可以等价于乘以某个矩阵，事实上称其为初等矩阵。

那么，当我们不停地对AA进行初等变换，并且用另外一个矩阵CC不停地乘上这种变换对应的初等矩阵，那么当AA变为I(单位矩阵)I(单位矩阵)时，CC就是AA的逆矩阵了。

怎么样将AA变为II？我们类似于高斯消元一样，一行一行一列一列地扫过去。

由于最终要保证Ai,i=1Ai,i=1，其他为00。

设当前扫到第ii行，那么对于Ai,1∗i∗1=0Ai,1∗i∗1=0。

但是对于j<i，Aj,ij<i，Aj,i可能不等于0。

但我们初等变换中可以先对第ii行除以Ai,iAi,i，即保证Ai,i=1Ai,i=1，接着用ii整行去消j<ij<i。

那么Aj,iAj,i就等于0了。

那么我们这样一行一行地消下去即可。

我们对AA中做的所有操作，顺便对CC同时做就好了。

反正都是乘上同一个矩阵。

一开始没有操作时CC就是II。

最后我们用O(N3)O(N3)的复杂度求出了逆矩阵。

第六节利用初等变换求矩阵的秩

2 ~ 0
0
1 1 0
2 1 0
3 1
1 ~ 017
0 0
0 1 0
1
2 1
0
1
1
0
返回
1，
为向量组的一个最大无
2
关组，
且3
1 2
1
2，4
1
2
18
返回
1 0
0 1
1
3 2
0 0
16
9 1
3
9
0 0
0 0
0 0
1 0
1 3
0
1 0 0 0 0
~
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
E3
0
0 0
0 0 0 0 0 此阵叫做A的标准形.
14
返回
(1)若矩阵Amn的秩为r(r>0),则
Amn~ I
Er
0
0 0 mn
I 称为A的标准形,其中Er为r阶单位阵
3 2 5 4 0 1 2 0 0 1 3
0 0 0 0
5 0 0 0
2 0 0 0
3 4 0 0
3 0 0 0
0 7 0 0
0 0 0
4 2 0
3 0 0
0 4 0
5 3 5
A 经有限次行变换 B (行阶梯形)
初等变换求矩阵秩的方法: 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形
矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
(2)若A~B,则R(A)=R(B),从而A与B有相同的
标准形.
a11
(3)设方阵
A
a1n ,若A为可逆阵
an1 ann (即|A|≠0),则R(A)=n,从而A的标准形为n阶

矩阵初等变换例题详解

矩阵的初等变换是一种基本的矩阵运算，它可以用于求解线性方程组、求逆矩阵、求矩阵的秩等。

以下是一个矩阵初等变换的例题详解：例题：已知矩阵A和B，求可逆矩阵X，使得XA=B。

首先，我们需要了解矩阵的初等变换。

矩阵的初等变换包括三种基本形式：交换两行、将某一行乘以非零常数、将某一行加上另一行的倍数。

接下来，我们可以通过以下步骤求解可逆矩阵X：1. 首先，将矩阵B整理成行阶梯形式。

如果B已经是行阶梯形式，则无需进行任何变换。

2. 对矩阵A进行初等行变换，使得每一行的第一个非零元素都位于对角线上。

3. 将经过初等行变换后的矩阵A与行阶梯形式的矩阵B相乘，得到可逆矩阵X。

现在我们以具体的例子来解释这一过程：给定矩阵A和B：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]首先，我们将矩阵B整理成行阶梯形式：B = [1 4 7; 0 1 2; 0 0 1]接下来，我们对矩阵A进行初等行变换：1. 将第一行与第三行交换，得到：A = [7 8 9; 4 5 6; 1 2 3]2. 将第二行乘以-2后加到第三行，得到：A = [7 8 9; 4 5 6; -3 -2 -3]3. 将第一行加到第二行，得到：A = [7 8 9; 1 -6 -1; -3 -2 -3]4. 将第一行乘以-2后加到第三行，得到：A = [7 8 9; 1 -6 -1; -7 -4 -5]现在，我们将经过初等行变换后的矩阵A与行阶梯形式的矩阵B 相乘：X = A * B = [107 -150 -171] 因此，可逆矩阵X为：X = [107 -150 -171]。

矩阵逆、初等变换矩阵秩

a 0, a , 使aa a a 1.
矩阵 A, ? 矩阵 B, 使 AB BA E
1 1 1
定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B，使AB=BA=E，则称A为可逆矩阵,并称B为A的逆矩阵. （1）逆阵惟一。设B,C都是A的逆，则 B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C （2）并非每个方阵都可逆。 a b 1 0 例如 A 就不可逆。 B c d , 0 0
是否可逆? 若可逆，求其逆阵. 解：
3
0
8

A 3 1 6 1 0 2 0 5
A
可逆，并且
A11
1 0
6 5
5, A12
3
6
2 5
3,
3 1 0 8 A13 2, A21 0, 2 0 0 5
A22 A31
3 0 8
例5
试证明可逆上三角形矩阵的逆矩阵仍是上三角形矩阵，并且
的主对角线上的元素是A的主对角线上的 1 元素的倒数 (i 1,2, , n)
A
1
aii
证：对A的阶数n作数学归纳法。
当n=2时，则
。
a11 A 0
a12 , (a11 a 22 0), a 22
证明A-E可逆，并求（A-E）-1. 证：由
A2 A 4 E 0 有( A E )( A 2 E ) 2 E 0,
( A E )( A 2 E ) 2 E
所以
A ( A E )( E ) E，故A-E可逆，且 ( A E ) 1 A E。 2 2
0 0 1
3 0 0
1 2 2 3 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

矩阵的初等变换与逆矩阵

取定 k 行 k 列 [ k m in ( m , n )]，则位于这 k 行和 k列交点上的元素 , 按原顺序可构成一个 k阶行列式，称这个 k阶行列式为矩阵 A 的一个 k 阶子式.
k k 注： n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C m C n个 . m
（ k c i ：数k乘第i列， 0 ） k
（3）将矩阵的某一列乘以数k后加到另一列，（ c i k c j ：第j列的k倍加到第i列上）
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
当矩阵A经过的初等变换变成矩阵B时，记作 A B. 注：这是矩阵的演变，A与B一般不相等.
0 例1 利用初等行变换将矩阵 A 1 2 化为单位矩阵. 1 3 0 0 0 0 1
3 2 0
2 1 1
2 3 ，求该矩阵的秩． 5
解
1 0 2
0.
1 0
3 2
2 0,
1 2 3 2 0 2
计算A的3阶子式，
3 2 2 1 2 2 1 1 2 3 0, 5
3 2 0
2
, 1 00
0 3 2, 1
3 00 , 5
3 例4 3 设 A 2 1 秩． 2 2 0 6 0 3 1 4 5 6 5 1 0 1 ,求矩阵 A的 3 4
1 A 1 0
2 1 3
3 1 , 5
2 B 1 1
1 1 5
1 3 . 11
注： ① 上述方法中只能用初等行变换，不能
用初等列变换. ② 初等行变换过程中若发现虚线左边某一行的元素全为零时，说明矩阵不可逆.

用初等变换法求逆矩阵的技巧

用初等变换法求逆矩阵的技巧
求矩阵的逆矩阵是矩阵运算中的一个基本问题。

初等变换法是一种常用的方法，特别适用于小矩阵。

以下是用初等变换法求逆矩阵的一些技巧：
1. 矩阵的秩必须等于其行列式的值。

如果矩阵的秩小于其阶数，则该矩阵不存在逆矩阵。

2. 列主元素是解决求逆矩阵问题的基础。

列主元素是指每一列中的绝对值最大的元素。

3. 通过初等变换将原矩阵的左边变成单位矩阵，右边即为反矩阵，即求得逆矩阵。

4. 初等变换包括交换两行、用非零常数乘一行、一行加上另一行的若干倍。

在进行初等变换时，需要记录下变换的过程，以便最后反推逆矩阵。

5. 可以通过伴随矩阵的方法求逆矩阵。

伴随矩阵也称为伴随矩阵，是原矩阵每个元素的代数余子式组成的矩阵的转置，经过初等变换后可以得到逆矩阵。

通过以上技巧，可以快速准确地求解矩阵的逆矩阵。

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线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用

㊀㊀㊀㊀㊀㊀线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用Һ庞㊀峰㊀（山西警察学院，山西㊀太原㊀０３０４０１）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵是整个线性代数课程的基础，线性代数的很多概念和应用都离不开矩阵，而初等变换是矩阵运算中的最主要㊁最常见的一种运算，也是解决矩阵问题的一个基本方法，它几乎贯串线性代数的始终．鉴于矩阵初等变换的重要性，本文将对矩阵的初等变换应用于不同方面做一个归纳与总结，便于理清各知识点之间的内在联系，对掌握矩阵理论十分有帮助，同时，希望本论文的研究也会给相关的学者一些建议和思考．ʌ关键词ɔ矩阵理论的应用；线性代数；初等变换ʌ基金项目ɔ课题名称：金课标准下的‘线性代数“线上㊁线下混合式教学研究，课题编号：ＹＪ２０２０１２，课题来源：２０２０山西警察学院院级教学改革创新项目重点课题随着时代的发展，矩阵由最初的一种工具逐渐演变为一门数学分支矩阵论，而矩阵论又可分为矩阵方程论㊁矩阵分解论及广义逆矩阵论等矩阵的现代理论，已经被广泛地应用在了现代科技的各个领域之中．矩阵就是一个整齐排列的实数或复数的数块或者说集合，它本身没有任何运算的功能．正是初等变换赋予了矩阵变化的魔力，才把矩阵理论中的绝大部分内容有机地联系起来．由此可见，矩阵的初等变换在矩阵理论中起着举足轻重的作用，是其核心和精髓．通过初等变换将矩阵Ａ转化为更为简单的矩阵Ｂ，然后利用矩阵Ｂ来对矩阵Ａ进行研究，这已被公认为是一种方便㊁有效的途径．我们通常所说的矩阵的位置变换就是将矩阵中的两行（或列）的位置进行对换，记作：Ｒｉ↔Ｒｊ或Ｃｉ↔Ｃｊ；其次是数乘变换：就是将矩阵的某一行（或列）乘一个不等于零的数ｋ，记作：ｋＲｉ或ｋＣｉ；最后是消去变换：就是将矩阵中的某一行（或列）的适当倍数加到另外的一行（列）上，记作：Ｒｉ＋ｋＲｊ或Ｃｉ＋ｋＣｊ．以上三种变换统称为矩阵的初等变换．关于初等变换的重要结论：任何一个矩阵，通过有限可数次的初等变换都可以化成阶梯形，再进一步化为行最简形矩阵．这一结论保证了初等变换的可行性，同时也指明了变换的最终方向．矩阵的初等变换有很多优点，如，它只涉及加减乘除四则基本运算，计算简单；化简过程有规律，算法很容易实现；初等变换表面上是一种等价变化，实质上却是矩阵乘法的可逆恒等运算，从而通过形式的转化实现恒等运算的本质；初等变换的化简过程灵活多样，因人而异，但结果却唯一，且保持矩阵的本质属性即矩阵的秩不变．总之，矩阵初等变换的实质是将问题化繁为简㊁化多为少㊁化大为小，并且保持事物的本质属性不变．我们要善于运用矩阵的初等变换这一有力工具来帮助我们达到解决矩阵问题的目的，并掌握矩阵初等变换的广泛应用．一㊁求逆矩阵逆矩阵的求解是矩阵理论中的一个十分重要的内容．对于一个方阵Ａ，我们可以采用初等变换的方法来判断这个矩阵是否可逆，而且在可逆的情况下还可以求出其逆矩阵Ａ－１．也就是先将原矩阵与同阶单位矩阵采用拼接的方式得到一个新矩阵，再对这个矩阵进行转化，遵循ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ（其中Ａ为可逆矩阵，Ｅ为单位矩阵）的规则，以此来确定它的逆矩阵．如果在变换过程中，与Ａ等价的矩阵无法变成Ｅ时，则Ａ不可逆．具体形式如下：（Ａ｜Ｅ）ң ң{初等行变换（Ｅ｜Ａ－１）或ＡＥ()ң ң{初等列变换ＥＡ－１æèçöø÷求逆矩阵还可以采用伴随矩阵的方法进行求解．对于一个ｎ阶方阵Ａ，用伴随矩阵计算逆矩阵Ａ－１，需要计算ｎ２＋１个行列式，计算量相当大，而且这ｎ２＋１个行列式要计算出值也非易事．相比之下，利用初等变换来计算逆矩阵就显得较为简便㊁实用㊁快捷．二㊁解矩阵方程对于矩阵方程，比矩阵的乘法运算更简单㊁实用，而且计算方便的方法即是初等变换的方法．（１）形如ＡＸ＝Ｂ的矩阵方程，由于Ａ－１（Ａ，Ｂ）＝（Ｅ，Ａ－１Ｂ），因此采用初等行变换很容易得出它的解Ｘ＝Ａ－１Ｂ．具体过程为：ＡＢ()ң ң{初等行变换ＥＡ－１Ｂ()．（２）形如ＸＡ＝Ｂ的矩阵方程，同理可得ＡＢæèçöø÷Ａ－１＝ＥＢＡ－１æèçöø÷，可以采用矩阵的初等列变换进行求解，得出Ｘ＝ＢＡ－１，具体过程为：ＡＥ()ң ң{初等列变换ＥＢＡ－１æèçöø÷．（３）形如ＡＸＢ＝Ｃ的矩阵方程，可以参照（１）（２）两种基本形式，得出其解为Ｘ＝Ａ－１ＣＢ－１，具体过程为：（Ａ｜Ｃ）ң ң{初等行变换（Ｅ｜Ａ－１Ｃ），ＢＡ－１Ｃæèçöø÷ң ң{初等列变换ＥＡ－１ＣＢ－１æèçöø÷．另外，对于其他变异形式的矩阵方程，可以先通过恒等变形转化为上述（１）或（２）的基本形式，再解之．三㊁计算矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一种固有本质属性，是讨论矩阵问题㊁线性方程组的解的问题㊁向量组相关性㊁线性空间基等的重要依据，也是透过现象看本质的重要载体．一般矩阵用定义求其秩，需要从最高阶式子起一阶一阶地试验结果是否非零，显然偶然性很大，而且计算也比较烦琐．矩阵的秩有如下三个重要结论：（１）行阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数；（２）矩阵的秩不随矩阵的初等变换而发生变化；（３）任何一个矩阵的行秩等于列秩．据此，我们把矩阵进行初等变换，化成阶梯形矩阵后，非零行数目就是它的秩．这一方法大大方便了计算矩阵的秩，算法更为快捷和适用．四㊁高斯消元法的应用线性方程组作为数学方程组的一种，一般由未知数（一㊀㊀㊀㊀㊀次）㊁系数㊁常数等组成．方程组同解变换的求解过程，实质上只是对未知量系数和常数项进行相应变化的过程．所以，透过现象看本质，求解实际上就是由方程组的未知量系数和常数项构成的增广矩阵进行初等变换的过程．它不仅能判断方程组解的各种具体情况，还可以有效地求出线性方程组的解．如果方程组存在解，那么可将其转化为行最简形矩阵，求出方程组Ａｘ＝ｂ的解，这就是线性代数中的高斯消元法．具体过程如下：增广矩阵Ｂ＝（Ａｂ）初等行变换ң阶梯形}结合秩，判断解的情况初等行变换ң最简形}求出解这一方法求解过程的关键正是矩阵的初等变换．值得强调的是，使用高斯消元的过程，只能使用初等行变换，而不能使用初等列变换，否则，就不是方程组的同解变换了．高斯消元法是解线性方程组最普适的一种方法，不管方程组中未知量的个数和方程个数是多少，也不管方程组解的情况怎样，对各种线性方程组都适用．而且，从计算量上说，该方法也要比Ｃａｒｍｅｒ法则优越得多，大大降低了线性方程组解的判定与求解难度．例如，ａ，ｂ取何值时，非齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝１，ｘ２－ｘ３＋２ｘ４＝１，２ｘ１＋３ｘ２＋（ａ＋２）ｘ３＋４ｘ４＝ｂ＋３，３ｘ１＋５ｘ２＋ｘ３＋（ａ＋８）ｘ４＝５，ìîíïïïï（１）有唯一解？（２）无解？（３）有无穷多个解？有解时求出全部解．解：用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，Ｂ＝（Ａ，ｂ）＝１１１１１０１－１２１２３ａ＋２４ｂ＋３３５１ａ＋８５æèçççöø÷÷÷Ｒ３－２Ｒ１Ｒ４－３Ｒ１１１１１１０１－１２１０１ａ２ｂ＋１０２－２ａ＋５２æèçççöø÷÷÷ Ｒ３－Ｒ２Ｒ４－２Ｒ２１１１１１０１－１２１００ａ＋１０ｂ０００ａ＋１０æèçççöø÷÷÷由此可知：（１）当ａʂ－１时，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝未知量个数４，方程组有唯一解：ｘ１＝－２ｂａ＋１，ｘ２＝ａ＋ｂ＋１ａ＋１，ｘ３＝ｂａ＋１，ｘ４＝０；（２）当ａ＝－１，ｂʂ０时，Ｒ（Ａ）＝２ʂＲ（Ｂ）＝３，方程组无解；（３）当ａ＝－１，ｂ＝０时，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝２＜４，方程组有无穷多个解．Ｂ１１１１１０１－１２１００００００００００æèçççöø÷÷÷ Ｒ１－Ｒ２１０２－１００１－１２１００００００００００æèçççöø÷÷÷令ｘ３＝ｃ１，ｘ４＝ｃ２，则方程组的通解为：ｘ１＝－２ｃ１＋ｃ２，ｘ２＝１＋ｃ１－２ｃ２，ｘ３＝ｃ１，ｘ４＝ｃ２ìîíïïïï或ｘ１ｘ２ｘ３ｘ４æèççççöø÷÷÷÷＝０１００æèçççöø÷÷÷＋ｃ１－２１１０æèçççöø÷÷÷＋ｃ２１－２０１æèçççöø÷÷÷（ｃ１，ｃ２为任意常数）．五㊁求方阵的特征值与特征向量工程技术中的一些问题如振动问题㊁稳定性问题，常常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题．矩阵Ａ的特征值λ０是它的特征方程的根，对应λ０的全部特征向量ｐ是齐次线性方程组的非零解，而对齐次线性方程组的非零解的讨论其实就是使用初等变换进行高斯消元的过程．六㊁对称矩阵的对角化对称矩阵是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，由于其转置矩阵和自身相等而被称为对称矩阵．对称矩阵可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵作对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，即正交相似对角化．我们需要利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，比较简单且易理解，其具体的步骤是：（１）求Ａ的特征值λ１，λ２，λ３，，λｎ；（２）（Ａ－λｉＥ）Ｘ＝０，求出Ａ的特征向量；（３）将特征向量正交化；（４）将特征向量单位化得ｐ１，ｐ２，，ｐｎ；（５）写出正交矩阵Ｐ＝（ｐ１，ｐ２，，ｐｎ）．我们只有合理选择方法，才能提高研究效率．七㊁广义初等变换的使用为了简便，我们需对大规模矩阵进行分块，使大矩阵的运算化分成几个小矩阵的运算．同样，对于分块矩阵，也可以把矩阵的每一个子块作为矩阵的一个基本元素，像普通矩阵一样进行位置变换㊁数乘变换和消去变换这三种基本变换，这被称为分块矩阵的广义初等变换．由于广义初等变换本身具有较好的性质，也是矩阵运算中极为重要的方法，可以有效地将疑难问题简单化，因此其成为广大学者日益关注的热点话题之一．结束语：矩阵是连接方程组理论与几何理论的纽带，因此矩阵是解决线性代数中线性方程组㊁向量空间㊁线性变换等问题最常用的方法．而初等变换作为矩阵理论的一条主线，不仅能够简化矩阵为阶梯形或最简形，而且作为矩阵理论中极其重要的一种运算，它是上述几类问题的基础与核心．因此，初等变换在线性代数中的应用十分广泛，只有真正掌握了这种方法，才能巧妙地运用其解决线性代数中相对复杂的问题，以达到事半功倍的效果．ʌ参考文献ɔ［１］李慧．矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用［Ｊ］．课程教育研究，２０１９（０９）：１４２－１４３．［２］缪应铁．矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１８（１７）：２４．［３］张忠．矩阵的初等变换在线性代数中的应用［Ｊ］．纳税，２０１７（２５）：１８８，１９０．［４］吴英柱．矩阵的初等变换在线性代数中的若干应用与探讨［Ｊ］．广东石油化工学院学报，２０１７（０１）：７１－７５，９４．。

线性代数模拟题

线性代数模拟题一一填空题（每空3分，共30分）1、设 1231231232D a a ab b bc c c== 则213121321336322a a ab b bD c c c==2、设A 是3阶矩阵，且3,A =-则3A -=3、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3211254321A ，则=--1)2(A4、设A 是45⨯矩阵，()2R A =.则线性方程组0AX =的基础解系含有个解向量5、设1,2,3ηηη是非齐次线性方程组AX b =的解，若1122313ηληληη=++也是AX b =的解，则12λλ+=6、设），，（a 21=α，），，（01b =β，若α与β正交，则a 、b 所满足的关系为7、二次型()2221231231223,,246fx x x x x xx x x x =+---的矩阵A =8、设4阶方阵A 的特征值分别为1,2,3,2.-则A A +2的特征值为9、设157222203D = , 则313233A A A ++= 10、设()()1,2,1,1,3,2,1,1,22,αβγαβ=-=-+= 则γ=二、计算行列式11111000000002211n n a a a a a a ---（10分）三、设301110,2014A AB A B ⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭. 求矩阵B .（12分）四、设向量组），，，，（432111-=α，），，，，（1398732-=α，），，，，（330313----=α，），，，，（636914-=α ，求此向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.（14分）五、求下列非齐次线性方程组的一般解（12分）1234123412342132344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩ 六、已知实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=020212022A ， 1.求A 的特征值与特征向量. 2.求一正交矩阵T ，使得1T AT -为对角阵.（16分）七、设21λλ≠，且21λλ，为A 的特征值，21αα，为它们对应的特征向量，证明21αα，线性无关．（6分）线性代数模拟题二一. 填空题（每题3分，共30分）1. 设A 是3阶矩阵，且3,A =-则3A -=2. 设1,2,3ηηη是非齐次线性方程组A X b =的解，若1122313ηληληη=++也是A X b =的解，则12λλ+=3. 211132xx D x x=中x 的系数为 4. 设四元线性方程组AX b =的系数矩阵的秩为2，已知AX b =有解1,2,3,ηηη则AX b =的一般解为5. 设(1,1,0,2),(,1,1,1),k αβα=-=-与β正交，则k =6. 设二元方阵,A B 的逆分别是11532,,1414A B --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则1()AB -= 7. 设3阶方阵A 的特征值为2，-1，3，则2A =8. 设A 为4⨯5矩阵，若A 的每个行向量都不能用其余的行向量来线性表示，则A 的秩为9. 设134213,473ij A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A 中第I 行第j 列的元素的代数余子式，则21222334A A A ++=10. 二次型2221,23123121323(,)246f x x x x x x x x x x x x =++--+所对应的矩阵为二. 计算行列式（10分）1234234134124123D =三.已知132301111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且2A AB E -=，求B （10分）四.求解方程组1234123412342132344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩（12分）五.设向量组12345,,,,ααααα中12345(1,3,1,1),(1,7,3,9),(2,8,0,6),(3,9,3,3),(4,13,3,6)ααααα=-=----==-=-（1）求向量组的秩.（2）求向量组的一个极大无关组.（3）将其余向量用极大无关组线性表示（14分）六.设A =124242421--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭.（1）求A 的特征值.（2）求A 的特征向量（3）求正交矩阵T ，使得1T AT -为对角阵.（16分）七.证明：若非零向量β可由向量组12,,,m ααα 线性表示，且表达唯一，则12,,,m ααα 线性无关. （8分）线性代数模拟题三一、判断题：（10分）1、两个n 维向量组等价当且仅当两个向量组的秩相等； ................. （）2、两两正交的非零向量组一定是线性无关的向量组； ................... （）3、矩阵A 、B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组有唯一解当且仅当R （A ）=R （B ）； .......................... （）4、n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似； ............ （）5、n 阶方阵A 与B 的特征值相同的充分必要条件是A 与B 相似。

求矩阵的秩有下列基本方法(1)用初等变换.即用矩阵的初等行(.

(2) XA B
~
A 初等列变换
B
E BA1
X
BA1
或者
初等行变换
~ ( AT BT)
( E (AT )1BT )
X T (AT )1BT X BA1
例 3.设
A
103
0 1 1
104 , 且AX
A
2 X , 求矩阵X .
解：AX A 2X (A - 2E)X A
X
(A - 2E)1 A
1 1 1 1 1 0 1 0
A～
1
1 3
2 1 2
1 1 3
2 11
~
0
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0 1
从而得方程组的通解为
x1 1
x
x2 x3 x4
k
0 1 0
(k为任意常数)
当a 2 时,把系数矩阵A化为行最简矩阵为
A～
1
1
1 3
1 2 1 2
1 1 2 3
1 2
1 a 3
2 a1
~
0 0 0
1 2 5
0 a 1
0
1 a23
1 1 1 1
~
0
0 0
1 0 0
0 a 1
0
1
a
0
2
当a 1 or a 2 时，R( A) 4，此时方程组
有非零解，可仿照解法一求出它的通解。
四、解矩阵方程的初等变换法
(1) AX B
初等行变换
~ (A B)
(E A1B) X A1B
1 1 1 1 1 1 1 1
解一：A
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求逆矩阵的方法与矩阵的秩(完整版)实用资料

求逆矩阵的方法与矩阵的秩（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）求逆矩阵的方法与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A 的行列式A 值和它的伴随矩阵*A .当A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k ；(3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A 经过初等行变换后变为B ，用A →B表示，并称矩阵B 与A 是等价的.（下面我们把）第i 行和第j，”；把第i行遍乘k k ”；第j 行的k 倍加至第i 为“ + k ”.例如，矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c a a a b b b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321kc kc kc b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++321332211321c c c ka b ka b ka b a a a （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）二、运用初等行变换求逆矩阵由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n 阶可逆矩阵A ，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I ，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I 上，就可以把I 化成A -1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I ，构成一个n ⨯2n 矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A 化成单位矩阵I ，与此同时，右半部分的I 就被化成了1-A .即( A , I )初等行变换−→−−−( I , A -1 )例1 设矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--232311111③k ①，② ②+①k求逆矩阵A -1 . 解因为[A , I ] =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100232010311001111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----102010011220001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1212510002121110001111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1212510010201012127011 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12125100102010221211001所以 A -1= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12125102221211所求逆矩阵A -1是否正确，可以通过计算乘积矩阵A A -1进行验证.如果A A -1=I 成立，则A -1正确，否则不正确.对给定的n 阶矩阵A ，用上述方法也可以判断A 是否可逆.即在对矩阵[ A , I ] 进行初等行变换的过程中，如果[ A , I ]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A 是奇异的，即0=A ，可以判定A 不可逆；如果[ A , I ]中的左边的方阵被化成了单位阵I ，说明A 是非奇异的，可以判定A 是可逆的，而且这个单位矩阵I 右边的方阵就是A 的逆矩阵A -1，它是由单位矩阵I 经过同样的初等行变换得到的.例2 设矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----116504612，问A 是否可逆？解因为[ A , I ] =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100116010504001612→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----10317200121720001612 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1110000121720001612[ A , I ]中的左边的矩阵A 经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A 是奇异的，A 不可逆.②+①(-1)③+①(-2) ②(1/2)③+② ①+③(-1) ②+③(-1) ①+②（下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.）例3 解矩阵方程AX = B ，其中 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---423532211，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453211解 [思路] 如果矩阵A 可逆，则在矩阵方程AX = B 等号的两边同时左乘A -1，可得A -1AX = A -1B ， X = A -1B因此，先用初等行变换法判别A 是否可逆，若可逆，则求出A -1，然后计算A -1B ，求出X .因为 [ A , I ] = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100423010532001211→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----103210012110001211→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----11510001211001311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115100127010102001→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115100127010102001所以 A 可逆，且 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115127102X = A -1B = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115127102⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453211=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---429623三、矩阵的秩前面给出了利用矩阵行列式A 判别方阵A 是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A 的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A 的可逆性.矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式.定义2.15 在矩阵A 中，位于任意选定的k 行、k 列交叉点上的2k 个元素，按原来次序组成的k 阶子阵的行列式，称为A 的一个k 阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.例4 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--324423211123取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式22212=称为A 的一个二阶子式，而且是它的非零子式.定义2.16 矩阵A 的非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记作r A ()或秩(A ) . 规定：零矩阵O 的秩为零，即r O ()= 0.例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A 的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以 r A ()= 2 .例5 设A 为n 阶非奇异矩阵，求r A ().解由于A 为非奇异矩阵，即A 对应的行列式0≠A ，所以A 有n 阶非零子式，故 r A ()= n .例5的逆命题亦成立，即对一个n 阶方阵A ，若r A ()= n ，则A 必为非奇异的. 因此n 阶方阵A 为非奇异的等价于r A ()= n . 称r A ()= n 的n 阶方阵为满秩矩阵.用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的.定理2.10 设A 为n m ⨯矩阵，则r A ()= k 的充分必要条件为：通过初等行变换能将A 化为具有k 个非零行的阶梯阵.例如，阶梯阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000001040053162，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--200140531因为A 的非零行有二行，而B 的非零行有三行，所以A 的秩等于2，B 的秩等于3，即r A ()= 2，r B ()= 3.那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点.定理2.9 矩阵经过初等行变换后，其秩不变. （证明见教材）定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A 化成阶梯阵，然后算出矩阵A 的秩.例6 设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01422502， B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2110460235230411 求r A ()，r B ()，r AB ().解因为 A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01422502②①+−→−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡26402502 所以 r A ()= 2因为 B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2110460235230411②①③①++−→−−32⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21104220317100411 ③②④②+-+-−→−−−()()21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----51600103200317100411④③+-−→−−−()12⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000103200317100411所以 r B ()= 3因为 AB = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01422502⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2110460235230411=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---861016242048 AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---861016242048②①+-−→−−−()2⎥⎦⎤⎢⎣⎡---5646180242048 所以 r AB ()= 2由例6可知，乘积矩阵AB 的秩不大于两个相乘的矩阵A , B 的秩，即 r AB ()≤ min{(),()}r A r B .例7 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----01211024221160310030 求r A ()和)(A r '.解因为 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----01211024221160310030(,)①④−→−−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----10030024221160301211②①③①+-+-−→−−−()()32⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---10030040001403001211−−−→−-+-+)1()1(②④③②⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000040001003001211 所以 r A ()=3 同理可得 )(A r '=3由例7可知，矩阵A 与它的转置矩阵A '的秩相等. 可以证明例6，例7的结论具有一般性.定理2.11 设A 为m ⨯n 矩阵，则 (1) 0≤≤r A m n ()min{,}； (2) r A () = r A T ()第十三讲主要内容:矩阵的最大秩分解,QR分解6.3 矩阵的最大秩分解定理1 设,,则可经过有限次初等行变换把化为行最简形式其中,号的元素可以不为零,的第个列向量为,第i个元素为1,.引理分块矩阵经过一次初等行变换后化为矩阵,则证明,其中是相应的初等矩阵.,而。

求逆矩阵的方法

求逆矩阵的方法逆矩阵是线性代数中非常重要的概念，它在解线性方程组、计算行列式和矩阵的秩等问题中有着广泛的应用。

在实际问题中，我们经常需要求解矩阵的逆，因此了解求逆矩阵的方法显得尤为重要。

本文将介绍几种常见的求逆矩阵的方法，希望能对您有所帮助。

方法一，初等行变换法。

初等行变换法是一种常见的求逆矩阵的方法。

首先，我们将待求逆的矩阵A写成增广矩阵[A，I]的形式，其中I是单位矩阵。

然后，通过一系列的初等行变换，将矩阵A变换为单位矩阵，此时增广矩阵的右半部分就是矩阵A的逆矩阵。

方法二，伴随矩阵法。

伴随矩阵法是另一种常见的求逆矩阵的方法。

对于一个n阶矩阵A，如果它是可逆的，那么它的逆矩阵可以通过以下公式计算得到：A^(-1) = (1/|A|)·adj(A)。

其中，|A|表示矩阵A的行列式，adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵。

通过计算行列式和伴随矩阵，我们可以得到矩阵A的逆矩阵。

方法三，矩阵的分块法。

矩阵的分块法是一种较为直观的求逆矩阵的方法。

对于一个n阶矩阵A，我们可以将其分解为四个n/2阶的子矩阵，然后利用分块矩阵的性质，通过一系列的运算得到矩阵A的逆矩阵。

方法四，高斯-约当消元法。

高斯-约当消元法是一种通过矩阵的初等变换将矩阵化为单位矩阵的方法。

首先，我们将待求逆的矩阵A写成增广矩阵[A，I]的形式，然后通过一系列的初等变换，将矩阵A化为单位矩阵，此时增广矩阵的右半部分就是矩阵A的逆矩阵。

方法五，特征值和特征向量法。

特征值和特征向量法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来求逆矩阵的方法。

对于一个n阶矩阵A，如果它是可逆的，那么它的逆矩阵可以通过以下公式计算得到：A^(-1) = Q·Λ^(-1)·Q^T。

其中，Q是矩阵A的特征向量矩阵，Λ是矩阵A的特征值对角阵。

通过计算特征值和特征向量，我们可以得到矩阵A的逆矩阵。

总结。

以上就是几种常见的求逆矩阵的方法，每种方法都有其适用的场景和特点。

1.5矩阵的秩与方阵的逆

r3 k
1 0 E5 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1
c3 k
1 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 k 0 0 0 0 1
的秩．
1.5.1矩阵的秩及其求法
1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 例4：设 A ，求矩阵 A 及矩阵 , b 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4
B = (A, b) 的秩．分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯形矩阵为 B ( A, b ) ，则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从
中同时看出R(A)及 R(B) ．
1 2 2 1 2 4 8 0 解：B 2 4 2 3 3 6 0 6 1 1 2 2 r 0 0 ~ 3 0 0 4 0 0 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 记作 E5(3, 5) 0 0 1 0 0 1 0 0
r3 r5
0 0 c 3 c5 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0
线性代数
1.5矩阵的秩与方阵的逆
1.5.1矩阵的秩及其求法
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)，位于这k 行 k 列交叉处的元素，按照原来的位置构成的一个k 阶行列式，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式．
k k C C 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 m n

线性代数[1]

《线性代数(文)》综合复习资料一、填空题1．排列315426的逆序数为。

2. 行列式111222333D == 。

3．若A = 101λ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则矩阵A 的k 次幂kA = 。

4．若向量组321,,ααα线性无关，则向量组133221,,αααααα+++,是线性的。

5．431712325701⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

6．设==D D 则,010111101 。

7．设=≠-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1),0 A bc ad d c b a A 则（其中。

8．已知齐次线性方程组12312312322020340x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，则λ= 。

9．已知()2104,,,α=，()1024,,,β=-，32αβ-= 。

10．设向量2132122112123,ααβααβααβαα+=+=+=，，线性无关，则一定是线性关的。

11．在六阶行列式263265135441det(),ij D a a a a a a a =中应带号。

12．若11022xc c c ,x = 则x = 。

13．矩阵1132A -⎛⎫= ⎪⎝⎭的标准形是I =。

14．设n 阶矩阵A ，满足方程2230A A E ++=，则1A -= 。

15．123312132124x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

16.排列542163的逆序数为。

17．123456789D == 。

18. 设100101010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则2=A。

19．若向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===线性相关，则t ＝。

二、单项选择题1.下列排列中是奇排列的是( ).A) 4321; B) 1234 ; C) 2314; D) 4123.2. 矩阵1234124511012⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的秩等于( ).A ）0；B ）1；C ）2；D ）3。