106652_空中向量-夹角与距离_黄四福

例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直线 AB与EF所成的角.
F A1
D
D1
B1
M
C1 E C
∠MFE即异面直线 AB与EF所成的角
A
B
例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直 线AB与EF所成的角.
a⊥b
a1b1+a2b2+a3b3=0
例1.已知A(3,3,1),B(1,0,5)求:
(1)线段 AB的中点坐标和长度;
z B(1,0,5)
M
设M(x,y,z)是AB的中点,则 OM=
1 2
(OA+OB)
AM=MB
y
2 2 2
o A(3,3,1) x
dA,B = (13) + (0 3) + (51) = 29
aLeabharlann Baidu
y1
y
x
向量的直角坐标运算
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) a + b =(a1+b1,a2+b2,a3+b3) λa=(λa1, λa2, λa3) ab=a1b1+a2b2+a3b3
设a=(a1,a2,a3),
b=(b1,b2,b3)
a//b
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
z F A1 D1 B1 D A x B C1
E C y
解:以D为原点, DA,DC,DD1分别为x 轴,y轴,z轴建立直 角坐标系.
例3.求证:如果两条直线垂直于一个 平面,则这两条直线平行. 已知:直线OA⊥平面α,直线 BD⊥平面α,O,B为垂足 求证:OA‖BD
α A D
o
B
已知:直线OA⊥平面α,直线 BD⊥平面α,O,B为垂足 求证:OA‖BD
例1.已知A(3,3,1),B(1,0,5)求: (2)到A,B两点距离相等的点P(x,y,z) 的坐标x,y,z满足的条件.
解:设点P到A,B的距离相等,则
(x3) +(y3) +(z1) = (x1) +(y0) +(z5)
2 2 2 2 2 2
化简,得 4x+6y-8z+7=0 即到A,B距离相等的点的坐标(x,y,z) 满足的条件是4x+6y-8z+7=0
§9.6.3 夹角和距离公式
南安二中 黄四福
空间直角坐标系
z A k i o j y
若a=a1i+a2j+a3k
则a=(
a1,a2,a3 )
OA=(x,y,z); A(x,y,z)
x
设A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
z
k i o
x1
j
书本第42页练习 1.2.3.4.5
小结:
(1)两个公式:
已知:a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
cosa,b =
a1b1 +a2b2 +a3b3 a +a +a b +b +b
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 2 3 2
dA,B = (x2 x1) +( y2 y1) +(z2 z1)
z
A
D
k i oj
α x
y
B
证明:以点O为原 点,以射线OA为非 负z轴,建立空间直 角坐标系O-xyz, i,j,k为沿x轴,y轴, z轴的坐标向量,且 设BD=(x,y,z).
如果表示向量a的有向线段 所在直线垂直于平面α,则称 这个向量垂直于平面α,记作 a⊥α 如果a⊥α ,那么向量a叫 做平面α的法向量
(2).向量的坐标及运算为解决线段长 度及两线垂直方面的问题提供了有力 和方便的工具,对于几何体中有关夹 角,距离,垂直,平行的问题,可将 其转化为向量间的夹角,模,垂直, 平行的问题,利用向量的方法解决.
作业:书本第 43页6,7,8,9
再见! 再见!
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