1.水静力学
第二章水静力学(环境)
h
H
H
L
L
h H H
h
P
H H
P
L
L/3
h
h
H
H
e
L
H
h
h H
h
H
( H h)
请画出上图正确的静水压强分布图
画出以上三个容器左侧壁面上的压强分布图
A h H
B
R
平衡方程为
p X 0 x
或
1 p X 0 x
1 p Y 0 y
1 p Z 0 z
同理有
和 其中 X, Y, Z 是质量力 f 的三个分量。
•
平衡微 分方程的 矢量形式
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
z py
dz
px pn
n
dx dy pz
o
y
pn p x p y p z
x
此时，pn，px，py，pz已是同一点（M点）在不同方位作用面上 的静压强，其中斜面的方位 n 又是任取的，这就证明了静水压 强的大小与作用面的方位无关。
静止液体中一点的应力
p p( x, y, z )
在这个表达式中，已 包含了应力四要素： 作用点、作用面、受 力侧和作用方向。
p
pA / zA
，所以
pB /
叫测压管水头。
zB
O O
• 敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
•4. 静水压强的方程式的物理意义
z 位置势能，（从
基准面 z = 0 算起铅 垂向上为正。 ）
p
压强势能（从
大气压强算起）
z
p
1 水静力学
△
作用在ABD上 的静水压力 △ FPy 图 微元四面体受力分析
• ①表面力：
（只有各面上的垂直压力即周围液体的静水压力）
dPx dPy dPz dPn
1 px dAx px dydz 2 1 p y dAy p y dxdz 2 1 pz dAz pz dxdy 2 pn dAn
dU fxdx fydy fzdz dp ( fxdx fydy fzdz )
故，dp dU 积分得，p U C 若已知平衡液体边界压强为p0 , 力势函数为U 0，则积分常数为 C p0 U 0 则p （U U 0） p0
巴斯加原理：平衡液体中，边界上的压强
②.自由液面
2 C gz0 1 2 2 r g ( z z0 ) 2 1 2 2 r g ( zs z0 ) 2
式中， (x,y,z) 为液面任意点坐标
为使 z 坐标与液体内部点(x,y,z)区分，用
zs 表示自由液面的铅垂坐标
③.静水压强的分布规律
p p0 g ( zs z) p0 gh
液体的平衡状态
1 静止状态：相对于地球没有相对运动，处于相对静止状态；
2 相对平衡状态：整个液体对于地球而言具有相对运动，但是
液体对于容器或者液体内部质点之间没有相对运动，处于相对
平衡。
dv 0 da 0
水静力学中，无需区分理想液体与实际液体。
1-1 静水压强及其特性
一、静水压强
静水压力：是指液体内部相邻两部分之间相互作用的力或指液体对固
(3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静压 强相等，即任一水平面都是等压面。
水力学 水静力学 水静力学
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
PyD ydP gyy sin dA
A
g sin y 2 dA g sin I x
A
yD
g sin I x
P
g sin I x I x g sin yc A yc A
2 （惯性矩平行移轴定理 ） I x I C Ayc
yD
2 I xC Ayc I yc C yc A yc A
dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x dx 1 p pN p x , y, z p dx 2 2 x
质量力在x轴的分量为：
fx dx dy dz
X方向的平衡方程：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp ( f x dx f y dy f z dz )
质量力只有重力：fx＝ fy ＝0， fz ＝－g，可得：
dp gdz
p c z c 积分可得： p gz g g p C 也可变形为 z g
微小面元dA上水压力
dP pdA ghdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
1.水静力学
第一章水静力学一、判断题1、相对压强必为正值。
( )2、图示为一盛水容器。
当不计瓶重时, 作用于地面上的力等于水作用于瓶底的总压力。
( )3、静水总压力的压力中心就是受力面面积的形心. ( )4、二向曲面上的静水总压力的作用点就是静水总压力的水平分力与铅直分力的交点。
( ) 5、一个任意形状的倾斜平面与水面的夹角为α。
则该平面上的静水总压力P=ρgy D A sinα。
(y D为压力中心D的坐标，ρ为水的密度，A 为斜面面积) （）6、图示为二块置于不同液体中的矩形平板，它们的宽度b，长度L及倾角α均相等，则二板上的静水总压力作用点在水面以下的深度是相等的。
( )7、作用于两种不同液体接触面上的压力是质量力。
( )8、静水压强仅是由质量力引起的。
( )9、在一盛水容器的侧壁上开有两个小孔A、B，并安装一U 形水银压差计，如图所示。
由于A、B两点静水压强不等，水银液面一定会显示出∆h 的差值。
( )10、物体在水中受到的浮力等于作用于物体表面的静水总压力。
( )二、选择题1、选择下列正确的等压面: ( )(1) A − A (2) B − B (3) C − C (4) D − D2、压力中心是( )(1) 淹没面积的中心；(2) 压力体的中心；(3) 总压力的作用点；(4) 受压面的形心。
3、平衡液体中的等压面必为( )(1) 水平面；(2) 斜平面；(3) 旋转抛物面；(4) 与质量力相正交的面。
4、图示四个容器内的水深均为H，则容器底面静水压强最大的是( )(1) a ; (2) b ; (3) c ; (4) d 。
5、欧拉液体平衡微分方程( )(1) 只适用于静止液体；(2) 只适用于相对平衡液体；(3) 不适用于理想液体；(4) 理想液体和实际液体均适用。
6、容器中盛有两种不同重度的静止液体，如图所示，作用在容器A B 壁面上的静水压强分布图应为( )(1) a (2) b (3) c (4) d7、液体某点的绝对压强为58 kP a，则该点的相对压强为( ) (1) 159.3 kP a；(2) 43.3 kP a；(3) -58 kP a(4) -43.3 kP a。
水静力学
第一章 水静力学水静力学的任务是研究液体的平衡规律及其工程应用。
液体的平衡状态有两种：一种是静止状态，即液体相对与地球没有运动，处于静止状态。
另一种是相对平衡，即所研究的整个液体相对于地球在运动，但液体相对于容器或液体质点之间没有相对运动，即处于相对平衡状态。
例如，等速直线行驶或等加速直线行驶小车中所盛的液体，等角速度旋转容器中所盛的液体。
本章的核心问题是根据平衡条件来求解静水压强的分布规律，并根据静水压强的分布规律来确定各种情况下的静水总压力。
即先从点、再到面，最后对整个物体确定静水总压力的大小、方向、作用点。
水静力学是解决水利工程中水力荷载问题的基础，同时也是今后学习水动力学的必要知识。
从后面章节的学习中可以知道，即使水流处于运动状态，在有些情况下，动水压强的分布规律也可认为与静水压强的分布规律相同。
第一节 静止压强及其特性一.静水压强的概念.在静水中有一受压面，其面积为ΔA ，作用其上的压力为ΔP ,则该微小面积上的平均静水压强为A P p ∆∆=，当ΔA →0时，平均压强的极限就是点压强，),,(0lim z y x A P A p p ==∆∆→∆，这也说明了静水压强是关于空间位置坐标的函数。
静水压强的单位有三种表示方法：（1）用应力的单位表示，即N/m 2或kN/m 2；（2）用大气压强的倍数表示；（3）用液柱高度表示。
静水压力并非集中作用于某一点，而是连续地分布在整个受压面上，它是静水压强这一分布荷载的合力。
静水压强反映的是荷载集度。
今后的学习中将重点掌握如何根据静水压强的分布规律推求静水总压力。
由于水利工程中有时习惯将压强称为压力，故水力学中就将静水压力称为静水总压力，以示区别。
游泳胸闷,木桶箍都说明静水压力的存在。
二.静水压强的特性1>方向 垂直指向受压面，用反证法说明。
2>大小 静水中任何一点各个方向的静水压强大小都相等。
n z y x p p p p === 而),,(z y x p p =三.绝对压强 相对压强1> 绝对压强以设想的没有大气压存在的绝对真空状态为零点计量得到的压强称为绝对压强，以p ab 或p ＇来表示。
第二章水静力学
n
= p • D Ax
p =
n n
•
1 2
Dy
•
Dz
代入第一式
F F F px pncos(n, x) x =0 则：
1 2
Dy
Dz
px
1 2
Dy
Dz
pn
1 6
Dx Dy
Dz
fx
=
0
整理后,有
px
pn
1 Dx
3
fx
=
0
当四面体无限缩小到A点时，Dx
p x
=
p n
同理，我们可以推出：
0 因此：
△h
G
z1
2p 2
z2
0
h
G
p
0
（a）
（b）
圆柱上表面的静水压力 F1 = p1DA
圆柱下表面的静水压力 F2 = p2DA
小水柱体的重力
G = gDADh
力的平衡方程 p2DA p1DA gDADh = 0
p 0 ▽
h1 h2
△h
p
11
G
z1
2p 2
z2
0
（a）
p 0 ▽
h
G
p
0 （b）
单位重量的液体在某点所具有的位置势能（单位位
能）：
z1
=
mgz1 mg
z 的能量意义是单位重量液体所具有的位置势能，
称为单位位能。
pa
p1 g
h12
1
z1
pa
p2 g
z2
0
0
Z Fpy
D Fpn Fpx
z
A y CBOFpzYX
相应面上的总压力为
水力学部分章节知识点
绪论1、密度是指单位体积液体所含有的质量 量纲为[M/L3]，单位为kg/m32、容重是指单位体积液体所含有的重量 量纲为[F/L3]，单位为N/m3一般取ρ水=1000 kg/m3，γ水=9800N/m3=9.8kN/m3第一章 水静力学1、静水压强的特性：①静水压强垂直指向受压面②作用于同一点上各方向的 静水压强的大小相等2、3、绝对压强——以设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强，用p ′表示（绝对压强恒为正值）相对压强——以当地大气压作为零点计量的压强，用p 表示。
（相对压强可正可负） 4、真空——当液体中某点的绝对压强小于当地大气压强pa ， 即其相对压强为负值时，称为水力意义上的“真空”真空值（或真空压强）——指绝对压强小于大气压强的数值，用pk 来表示 5、压强的单位：1个工程大气压=98kN/㎡ =10m 水柱压=735mm 水银柱压6、压强的测量①测压管②U 形水银测压计③差压计7、静水压强分布图的绘制规则：1.按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小 2.用箭头表示静水压强的方向,并与作用面垂直 8、平面的静水总压力的计算 ①图解法②解析法9、作用于曲面上的静水总压力（投影） 第二章 液体运动的流束理论1、迹线——某液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线。
流线——是指某一瞬时，在流场中绘出的一条光滑曲线，其上所有各点的速度向量都与该曲线相切。
/流管——由流线构成的一个封闭的管状曲面 微小流束——充满以流管为边界的一束液流总流——在一定边界内具有一定大小尺寸的实际流动的水流，它是由无数多个微小流束组成2、水流的分类（1）按运动要素是否随时间变化①恒定流——运动要素不随时间变化②非恒定流——运动要素随时间变化（2）按同一流线上各质点的流速矢是否沿流程变化①均匀流——同一流线上流速矢沿流程不发生变化②非均匀流 a 、渐变流b 、急变流 3、均匀流的重要特性（1）过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变(2) 同一流线上不同点的流速应相等，从而各过水断面上的流速分布相同，断面平均流速相等(3) 均匀流（包括非均匀的渐变流）过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律p z C gρ+=0p p ghρ=+相同，即在同一过水断面上各点的测压管水头为一常数推论：均匀流（包括非均匀的渐变流）过水断面上动水总压力的计算方法与静水总压力的计算方法相同。
第二部分 水静力学
§2—2 液体平衡的微 分方程及其积分
1．液体平衡的微分方程
设正交六面体中心 点处的静水压强为p，是 坐标的连续函数，即 p=p(x,y,z)，用泰勒级数 展开得M和N点的压强为
pM
p 1 p dx 2 x
pN
p
1 p dx 2 x
ABCD面上的力（p 1 p dx)dydz 2 x
dp=ρ(Xdz+Ydy+Zdz)
积分：p= —ρ（a x +g z）+ C
由边界条件x = z = 0 ,p = p0 C = P0对任一点B（x ，y ）
p p0 (ax gz)
p0
(a g
x
z)
p0
a g
x z
p0 (z z ) p0 h
pc p0 h2 p0 h1 (h2 h1) pA h
p p0 h
水静力学基本方程常用表达式 说明：
(1) 静水压强随深度按线性规律增加。
(2) 液体内任一点的静水压强由两部分组成， 一部分是自由液面上的表面压强po； 另一部分是单位面积上的垂直液柱重量γh 。
§2-3重力作用下静水压强的分布规律
思考： 点A质量为M的液体： 静止时有重力Mg，方向？与Z轴方向？？在X、Y轴方向的投影为？ 则：单位质量力为Mg / M = g ，方向？？
任一点的单位质量力均为g，方向？？
1 ．水静力学基本方程
dp=ρ(Xdz+Ydy+Zdz)
液体平衡微分方程综合式
X 0, Y 0, Z g
思考： 平面上各点的静水压力方向？？ 曲面上各点的静水压力方向？？
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第一章水静力学
一、判断题
1、相对压强必为正值。
( )
2、图示为一盛水容器。
当不计瓶重时, 作用于地面上得力等于水作用于瓶底得总压力。
( )
3、静水总压力得压力中心就就是受力面面积得形心、( )
4、二向曲面上得静水总压力得作用点就就是静水总压力得水平分力与铅直分力得交点。
( ) 5、一个任意形状得倾斜平面与水面得夹角为α。
则该平面上得静水总压力P=ρgy D A sinα。
(y D为压力中心D得坐标,ρ为水得密度,A 为斜面面积) ( )
6、图示为二块置于不同液体中得矩形平板,它们得宽度b,长度L及倾角α均相等,则二板
上得静水总压力作用点在水面以下得深度就是相等得。
( )
7、作用于两种不同液体接触面上得压力就是质量力。
( )
8、静水压强仅就是由质量力引起得。
( )
9、在一盛水容器得侧壁上开有两个小孔A、B,并安装一U 形水银压差计,如图所示。
由于A、B两点静水压强不等,水银液面一定会显示出∆h 得差值。
( )
10、物体在水中受到得浮力等于作用于物体表面得静水总压力。
( )
二、选择题
1、选择下列正确得等压面: ( )
(1) A − A (2) B − B (3) C − C (4) D − D
2、压力中心就是( )
(1) 淹没面积得中心; (2) 压力体得中心; (3) 总压力得作用点; (4) 受压面得形心。
3、平衡液体中得等压面必为( )
(1) 水平面; (2) 斜平面; (3) 旋转抛物面; (4) 与质量力相正交得面。
4、图示四个容器内得水深均为H,则容器底面静水压强最大得就是( )
(1) a ; (2) b ; (3) c ; (4) d 。
5、欧拉液体平衡微分方程( )
(1) 只适用于静止液体; (2) 只适用于相对平衡液体;
(3) 不适用于理想液体; (4) 理想液体与实际液体均适用。
6、容器中盛有两种不同重度得静止液体,如图所示,作用在容器A B 壁面上得静水压强分布图应为( )
(1) a (2) b (3) c (4) d
7、液体某点得绝对压强为58 kP a ,则该点得相对压强为( ) (1) 159、3 kP a; (2) 43、3 kP a; (3) 58 kP a(4) 43、3 kP a。
8、图示得容器a 中盛有重度为ρ1得液体,容器b中盛有密度为ρ1与ρ2得两种液体,则两个容器中曲面AB 上压力体及压力应为( )
(1) 压力体相同,且压力相等; (2) 压力体相同,但压力不相等;
(3) 压力体不同,压力不相等; (4) 压力体不同,但压力相等。
9、有一倾斜放置得平面闸门,当上下游水位都上升1 m 时〔虚线位置〕,闸门上得静水总压力。
( )
(1) 变大; (2) 变小; (3) 不变;
(4) 无法确定。
10、有一水泵装置,其吸水管中某点得真空压强等于3 m 水柱高,当地大气压为一个工程大气压,其相应得绝对压强值等于( )
(1) 3 m 水柱高; (2) 7 m 水柱高;
(3) －3 m 水柱高; (4) 以上答案都不对。
三、填空题
1、液体中,测管水头(z + p/ρg) 得能量意义就是______________________。
2、液体中,位置高度z 得能量意义就是_______________;压强高度p/ρg 得能量意义就是_______________。
3、真空压强得最小值就是__________________;真空压强得最大值就是___________________。
4、比重为0、81 得物体放入比重为0、9 得液体中,则出露部分体积与总体积之比为__________________。
四、绘图题
1、容器A、B分别以加速度a与等角速度ω运动,如图所示。
分别绘出液面下深度h处得等压面形状,并标明该等压面上任一质点得质量力F得方向。
2、绘出图中曲面上得得压力体图,并标出水压力铅直分力得方向。
3、绘出图示圆柱体上水平压强分布图与压力体图。
并标出水压力铅直分力得方向。
4、三个圆球各充满液体后得测压管液面如图示,试绘出各球面得压力体图,并标出力得方向。
5、绘出图中AB曲面上水平压强分布图与压力体图,并标出水压力铅直分力得方向。
6、压力水箱上角装有一圆柱体压力表读数为19、60 kPa,箱中盛满水。
试绘出作用于圆柱面ABC上得水平压强分布图与压力体。
五、
计算题
1、在xy 平面内一边长0、02 m 得正方形面积上,作用均布力,单位就是牛顿,试求作用于该面积上得:a)垂直分力与切向分力;b)压强与切应力。
(垂直分力为F z = 9 N,切向分力为F τ = N;压强为 N/m 2;切应力为τ = N/m 2
2、 求淡水自由表面下2 m 深处得绝对压强与相对压强(认为自由表面得绝对压强为1个工程大气压)。
(相对压强 =绝对压强 =1、2
3、如题图所示,管内充满ρg ＝8、5 kN/m 3得油,并处于静止状态,试求A 点与B 点得压强,用m 水柱表示。
( )
题2-5图
题2-3图
题2-4图
题2 题3 题4
4、 如题图所示,试确定图中A 、B 、C 各点测压管高度与测压管水头。
(以通过Ｃ点得水平面为基准面),则
测压管高度 测压管水头 Ａ 0 10 Ｂ 3 10 Ｃ 10 10)
5、 用多管水银测压计测压,题图中标高得单位为m,试求水面得压强p 0。
((相对压强))
6、 山体内有一条很窄得裂缝,垂向深达1 200 m,内充满了静止得渗透水,试问裂隙最深处每平方米山体受到得水平静水推力为多大？
7、 为了量测物体得加速度a ,用装有液体得小直径U 型管,使之与物体一起运动,如图所示。
设
已知液面高差h ,U 管水平段长l ,试求加速度a 得表达式。
题7
a
8、 一盛水得敞口容器作加速运动,试求下列两种情况容器内静水压强得分布规律, a)自由降落;b)以等加速度a 向上运动。
(0, )
题8
9、试定性绘出下列图中AB 面上得压强分布图。
(a)
(c)
题解图2-10
111+h 2)
(h 1+h 2)
+h 3
题9
10、金属得矩形平板闸门,门高h =3 m,宽b =1 m,由两根工字钢横梁支撑,挡水面与闸门顶边齐平,如果要求横梁所受得力相等,两横梁得位置L 1、L 2应为多少？
题10
11、 试求开启题图所示水闸闸门所需得单宽拉力F 。
不计闸门自重及转轴摩擦力。
题
11
题解11 12、 已知闸门半径为L ,试求如图所示得闸门,当上游水深h 上升到
多高时,会自动开启溢水,不计铰得
阻力。
解:当竖向板得水平力与水平板得竖向力对铰得力矩相等时,闸门达到开启得临界状态。
单宽闸门上受力为
由对铰得力矩平衡条件,得
代入得
题解12 13、 如图所示得矩形自动闸门,若要对给定得上下游水深闸门自动开
启,试求铰链M 应设得位置L ＝？
题13
14、 与水平面成45 夹角得斜置矩形平面平板闸门挡水,如题9(a)图所示。
已知h １＝5、0 m,h 2＝2、0 m,
题2-12图
题解图2-12
h 2h 1题解2-14图
=1.0m
h 1题解图2-13
门宽b ＝1、5 m,试求作用于平板门上得静水压力与压心位置。
(,)
题解14
15、 试定性绘出下列各图ABC 曲面得压力体图。
题解15
16、 试求如题图所示圆筒闸门铰链所受得力矩M 。
已知闸门长2 m,自重5000 N 。
铰得摩阻力不计。
题16 题解16(方法一) 题解16(方法二)
17、求作用于如题图所示得弧形闸门上:a)水平分力及其作用线;b)竖向分力及其作用线;c)合力及其作用方向。
题17
题15
题解2-18图。