将军饮马模型(终稿)(完整资料).doc

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将军饮马模型

一、背景知识：

【传说】

早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．

【问题原型】将军饮马造桥选址费马点

【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；

三角形两边三边关系；轴对称；平移；

【解题思路】找对称点，实现折转直

二、将军饮马问题常见模型

1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小

例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B 的距离之和最小，即PA+PB最小.

作法：连接AB，与直线l的交点Q，

Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，

PA+PB最小，且最小值等于AB.

原理：两点之间线段最短。

证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，

在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ 重合时取﹦)

例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B 的距离之和最小，

即PA+PB的和最小.

关键：找对称点

作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l 的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB 和最小，且最小值等于AC.

原理：两点之间，线段最短

证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PA C中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ 重合时取﹦)

2.两动一定型

例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON 上找一点C，使得△BAC周长最短．

作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．

原理：两点之间，线段最短

例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．

作法：作点A 关于OM 的对称点A’，作点B 关于ON 的对称点B’ ，连接A’ B’，与OM 交于点C ，与ON 交于点D ，连接AC ，BD ，AB ，四边形ABCD 即为所求．

原理：两点之间，线段最短

3. 两定两动型最值

例5：已知A 、B 是两个定点，在定直线l 上找两个动点M 与N ，

且MN 长度等于定长d （动点M 位于动点N 左侧），使AM+MN+NB 的值最小.

提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移

作法一：将点A 向右平移长度d 得到点A’， 作A’关于直线

l 的对称点A’’，连接A’’B ，交直线l 于点N ，将

点N 向左平移长度d ，得到点M 。

作法二：作点A 关于直线l 的对称点A 1，将点A1向右平移长度d 得到点A 2，连接A 2 B ，

交直线l 于点Q ，将点Q 向左平移长度d ，得到点Q 。

原理：两点之间，线段最短，最小值为A’’B+MN

例6：（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的

瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何

地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？

例6：直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2,且

AC＋BD＋CD最短．

作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥

CD即为所求．此时最小值为A’B+CD

原理：两点之间，线段最短，

4.垂线段最短型

例7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON 上找一点C，使得AB＋BC最短．

原理：垂线段最短

点A是定点，OM，ON是定线，

点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．

作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，交OM于点B，B、C即为所求。

例8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B 的距离之差最小，即PA-PB最小.

作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P 此时|PA-PB |=0

原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

例9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B 的距离之差最大，即|PA-PB |最大

作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，

即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。

原理：三角形任意两边之差小于第三边

例10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B 的距离之差最大，即|PA-PB|最大

作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，

交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。

原理：三角形任意两边之差小于第三边

典型例题 三角形

1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD⊥BC，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，

求EM+EC 的最小值

解：点C 关于直线AD 的对称点是点B ，连接BE ，交AD 于点M ，则ME+MD 最小，

过点B 作BH⊥AC 于点H ，

D

B C D C B