材料力学-11-能量法

11.4 计算位移的莫尔积分
莫尔积分的应用条件
小变形，线弹性
（利用了弹性变形与弯矩、扭矩、轴力的线弹性关系式。）
莫尔积分的应用范围
可用于确定直杆、曲杆及其系统上任意点、沿任意方向的线 位移和角位移。
莫尔方法中的单位力是广义力，可以是力，也可以是力偶。 与之相对应的位移也是广义的，既可以是线位移，也可以是角 位移。
第11章 能量法
11.2 互等定理
11.2 互等定理 一、功的互等定理
FP1 F S1
P1 SP1
FP2 FS2
P2 S1 SP2
FPm
Pm S2
FSn
FP 系统
SP m
Sn
FS 系统
1 1 1 1 1 1 Vε FP1ΔP1＋ FP 2 ΔP 2＋ ＋ FP m ΔPm FS1ΔS1 FS2ΔS2 FSnΔSn 2 2 2 2 2 2
FS1 ΔPS1 FS2 ΔPS2 FSm ΔPSm
功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起的 相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一个力 系引起的相应的位移上所作之功。
11.2 互等定理 二、位移互等定理
F
Pi
ΔSP i FSj ΔPSj
当力系FS 系统和FP 系统中各自只有一个力时， 则由功的互等定理
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP 2 FPmΔSPm
1 1 1 F Δ F Δ FSn ΔSn Vε S1 S1 S2 S2 2 2 2 1 1 1 FP1ΔP1＋ FP 2 ΔP2＋ ＋ FP m ΔPm 2 2 2
FPi ΔSP i FSj ΔPSj
O
d
11.1 杆件的弹性应变能
4.对于一般受力形式（组合变形） 在小变形时，杆件同时有轴力、弯矩和扭矩作用时， 由于这三种内力分量引起的变形是互相独立的 ，因而总 应变能为：
2 2 FN x Mx x M 2 x V dx dx dx 2 EA 2 EI 2GI p l l l
A
ΔA 1 1
2. 将原来结构的真实位移作为单位 荷载系统结构中的虚位移。 3. 应用虚位移原理。
外力的 虚功
1 Δ A＝ M dq
l
内力的 虚功
11.4 计算位移的莫尔积分
3. 应用虚位移原理。
1 Δ A＝ M dq
M —— 单位荷载系统中梁横截面上
的弯矩（内力） dq—— 所要求位移的梁在原荷载作 用下，微段截面相互转过的角度。 在线弹性范围内：
注意：虚位移原理是很多能量原理的基础。
第11章 能量法
11.4 计算位移的莫尔积分
11.4 计算位移的莫尔积分
以承受均布力的悬臂梁为例，点 A 处沿铅 垂方向的位移？
？
A
ΔA
11.4 计算位移的莫尔积分
求解办法如下：
1. 建立一个单位荷载系统。
a. 建立与原系统完全相同的结构。 b. 在新建结构中所要求的那一点、沿 所要求的位移方向施加单位力。
第11章 能量法
11.1 杆件的弹性应变能
11.1 杆件的弹性应变能 一、作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功
作用在弹性杆件上的力，缓慢增加，变形固体每一瞬间处于平 衡状态，其加力点的位移，随着杆件受力和变形的增加而增加，在 这种情形下，力所作的功为变力功。
0
FP
FP
W 1 FP Δ 2
FS1 ΔPS1 FS2 ΔPS2 FSm ΔPSm
11.2 互等定理
FP1 F S1
P1 SP1
FP2 FS2
P2
FPm
Pm
FSn
S1 SP2
S2
SP m
Sn
FP1 F S1
P1 S1
FP2
FS2
S2 P2
FPm FSn
S n Pm PSn
11.1 杆件的弹性应变能
例题1
解：梁受到拉伸与弯曲的组合作用 轴力FN=Fcos45°，弯矩M(x)=Fxsin45°
2 2 x dx F x M 应变能为 V N dx 2 EA 2 EI l l
2
2 FN l M 2 x F cos 45 l Fx sin 45 F 2l F 2l 3 dx dx 2 EA l 2 EI 2 EA 2 EI 4 EA 12 EI l 2
l
A
ΔA 1 1
dq＝
M dx EI
MM Δ A＝ dx EI l
11.4 计算位移的莫尔积分
Δ A＝
l
MM dx EI
（横截面上只有弯矩一个内力分量）
杆件横截面同时存在弯矩、扭矩和轴力时，则有
FN FN M xM x MM Δ ＝ dx＋ dx＋ dx EA EI GI P l l l
3.对于承受扭转的圆轴
微段两截面绕杆轴线的相对扭 转角d M x x d dx GIP 微段的应变能为
FP
Mx(x)
Mx
d Mx
dV dW
W 1 M x x d 2 Δ
1 M x x d 2
圆轴扭转时的应变能表达式
2 l M x dx 1 V M x x d x 0 2 0 2GI p l
PS1
PS2
小变形、线弹性范围加载的情形下，最后的应变能 V只与荷载的最终值有关，与加载顺序无关。
11.2 互等定理
1 1 1 Vε FP1ΔP1＋ FP 2 ΔP 2＋ ＋ FP m ΔPm 2 2 2 1 1 1 FS1ΔS1 FS2ΔS2 FSnΔSn 2 2 2
处理具体问题时的注意点
“莫尔积分”选取“单位力”的技巧
一个力 一个力偶 一对力 一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
当所求的位移为线位移时，单位力为集中力；当所求位移为角位移 时，单位力为集中力偶。 若要求的是两点 (或两截面) 间的相对位移，则在两点(或两截面) 处同时施加一对方向相反的单位力。 单位力和单位力偶的数值均为1。
这就是确定结构上任意点、沿任意方向位移的莫尔积分 （Mohr’s integration），又称为单位荷载法（unit-load method）。
FN、M、M x ——结构在外荷载作用下横截面上的轴力、弯矩和扭矩；
FN、M、M x ——结构在单位力作用下横截面上的轴力、弯矩和扭矩。
注意：工程中经常遇到的承受弯曲和扭转的细长杆件，剪力的虚 功比弯曲和扭转的要小得多，经常忽略不计。当弯矩很大时，轴 力的影响也可略去不计。
dq
O
dq
Δ
微段两截面绕中性轴相对转过的角 M x 度 dq为
dq
EI
dx
M dx
M
忽略剪力影响，微段的应变能为 1 dV dW M x dq 2 梁弯曲时的应变能表达式
l
2 l M x dx 1 V M x dq 0 2 0 2 EI
11.1 杆件的弹性应变能
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材料力学
第11章 能量法
第11章 能量法

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6
杆件的弹性应变能 互等定理 虚位移原理 计算位移的莫尔积分 直杆莫尔积分的图乘法 卡氏定理
V W
(功能原理）
能量法：从功和能的角度出发，分析杆件的内力和位移。
11.1 杆件的弹性应变能 三、杆件的弹性应变能
1.对于拉伸和压缩杆件
dx
微段的轴向变形(dx )为
FN
FN
FN x dx dx ＝ EA
微段的应变能为
dx + dx
FP
FN(x)
W 1 FN x Δdx 2
Fi——作用在第i个质点上的主动力； δri——该质点的虚位移。 δ——合力作用点的虚位移。
y
i
FP1 FP1
i
ix
iy
W Fi ri FR 0
Pi
FP i
i
FP3 FP3 虚位移前的平衡位置
FP2
FP2
x 注： 1. 虚位移并不是任意的：（ 1）必须是微小的；（ 2）必 须是约束条件所许可的； 2.力在虚位移上所作的功称为虚功，它是常力功。
因为A=πd2/4，I=πd4/64，l=5d，则
213.8F 2 V Ed
11.1 杆件的弹性应变能 例题2
FP A x
B l
图示悬臂梁。 试求：悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由 端B的挠度。
11.1 杆件的弹性应变能
例题2
解：图示悬臂梁为弯曲变形
FP A l x
2 3 P
FP FP
力FP所作的常力功为
Δ´
注意： 力和位移都是广义的。FP可以是一个力，也可以是一个力偶。 广义力FP 一个力 一个力偶
W＝FP Δ
广义位移Δ和Δˊ
一个线位移
一个角位移
W
1 FP Δ 2
11.1 杆件的弹性应变能 二、功能原理
杆件在外力作用下发生弹性变形时，外力功转变为 一种能量，储存于杆件内，这种能量称为弹性应变能， 简称应变能。 物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值 上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即
注意： 1. 应用条件：小变形，线弹性。 2. 此处是应变能各种应变能之和，而不是叠加。 3. 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区别。 4. 应变能V只与外力的最终值有关，而与加载过程和加 载次序无关。