实验中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题PDF版含答案及答题卡
2019-2020学年辽宁省实验中学高二(上)期中数学试卷 试题及答案
2019-2020学年辽宁省实验中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（每题只有一个正确选项，将正确选项涂在答题卡相应位置，每题正确得5分，错误不得分，共10题，满分50分） 1．数列1，3，7，15，⋯⋯的通项可以是( ) A ．21n -B ．21n -C ．21n -D ．21n n -+2．点(3,2)A -，(3,2)B ，直线10ax y --=与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是( ) A ．4132a-剟 B ．1a …或1a -… C ．11a -剟D ．43a …或12a …3．若直线1:260l ax y ++=与直线22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则(a = ) A ．2或1-B ．2C ．1-D ．以上都不对4．以双曲线22:13y C x -=的右焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程是( ) A ．22(2)3x y -+= B ．22(2)3x y ++=C ．22(2)1x y -+=D ．22(1)1x y ++=5．若圆22240x y x y m +-++=截直线30x y --=所得弦长为6，则实数m 的值为( ) A ．1-B ．2-C ．4-D ．31-6．若直线1:30(0)l x y m m ++=>与直线2:2630l x y +-=，则(m = ) A ．7B ．172C ．14D ．177．已知椭圆22:134x y C +=的上焦点为F ，直线10x y +-=和10x y ++=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D ，则||||||||(AF BF CF DF +++= ) A．B．C ．4D ．88．数列{}n a ，{}n b 满足11111,2,n n n nb a b a a n N b +++==-==∈，则数列{}n a b 的前n 项和为( )A ．14(41)3n --B ．4(41)3n -C ．11(41)3n --D ．1(41)3n -9．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60︒角，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C D ．1310．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点(3,3)A --，31(,)22B ，则||||||AP PQ QB ++的最小值为( )A B +C D ．二、多项选择题（每题至少有两个正确选项，将所有正确选项涂在答题卡相应位置，每题5分，全部正确得5分，选项不全得2分，若有错误选项得0分，共2题，满分10分） 11．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记(0,1)n a n n b a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是( )A ．nB ．nqC ．12(1)n n nq nq nq q q ++---D ．2112(1)n n n q nq nq q q ++++---12．在平面直角坐标系中，有两个圆22211:(2)C x y r ++=和22222:(2)C x y r -+=，其中1r ，2r 为正常数，满足124r r +<或12||4r r ->，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是( ) A ．两个椭圆B ．两个双曲线C ．一个双曲线和一条直线D ．一个椭圆和一个双曲线三、填空题（将正确答案填在答题卡相应位置，每题5分，共20分） 13．实轴长为12，离心率为2，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为 ．14．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，且*21()n n n a a a n N ++=-∈，则2020a = ． 15．已知直线1:350l x y +-=，2:310l kx y -+=．若1l ，2l 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k = ．16．已知数列{}n a 中，11a =，1(2,)n n a a n n n N --=∈…，设12321111n n n n nb a a a a +++=+++⋯+，若对任意的正整数n ，当[1m ∈，2]时，不等式213n m mt b -+>恒成立，则实数t 的取值范围是 ．四、解答题（将解题步骤，必要的文字说明和计算结果写在答题卡相应位置，共70分） 17．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．如图，DP y ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且||3||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时，（1）求点M 的轨迹方程．（2）过点1(1,)3Q 作直线l 与点M 的轨迹相交于A 、B 两点，使点Q 被弦AB 平分，求直线l的方程．19．黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色，黄河的水源来自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的．只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊．在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄河和洮河在汛期的水流量均为32000/m s ，黄河水的含沙量为32/kg m ，洮河水的含沙量为320/kg m ，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换31000m 的水量，即从洮河流入黄河31000m 的水混合后，又从黄河流入31000m 的水到洮河再混合．（1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量；（2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于30.01/kg m ？（不考虑泥沙沉淀）20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为别为1F 、2F ，且过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A 为椭圆上一位于x 轴上方的动点，2AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求ABC ∆面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC 的方程．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点1F ，2F ，M 是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且△12MF F 的周长为4+． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:(0)l y kx m k =+≠是圆224:3O x y +=的切线，l 与椭圆C 交与不同的两点Q ，R ，证明：QOR ∠的大小为定值．22．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球A 是指该球的球心点A ．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：（1）如图，设母球A 的位置为(0,0)，目标球B 的位置为(4,0)，要使目标球B 向(8,4)C -处运动，求母球A 球心运动的直线方程；（2）如图，若母球A的位置为(0,2)-，目标球B的位置为(4,0)，能否让母球A击打目标B 球后，使目标B球向(8,4)-处运动？（3）若A的位置为(0,)a时，使得母球A击打目标球B时，目标球(4,0)B运动方向可以碰到目标球11(8,)2-，求a的最小值（只需要写出结果即可）2019-2020学年辽宁省实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每题只有一个正确选项，将正确选项涂在答题卡相应位置，每题正确得5分，错误不得分，共10题，满分50分） 1．数列1，3，7，15，⋯⋯的通项可以是( ) A ．21n -B ．21n -C ．21n -D ．21n n -+【解答】解：依题意，1112a +=，所以1121a =-，2212a +=，所以2221a =-， 3312a +=，所以3321a =-，⋯⋯故数列1，3，7，15，⋯⋯的通项可以是21n -， 故选：C ．2．点(3,2)A -，(3,2)B ，直线10ax y --=与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是( ) A ．4132a-剟 B ．1a …或1a -… C ．11a -剟D ．43a …或12a …【解答】解：由直线10ax y --=的方程，判断恒过(0,1)P -， 如下图示：1PA K =-，1PB K =，结合图象可得：实数a 的取值范围是：1a -…或1a …． 故选：B ．3．若直线1:260l ax y ++=与直线22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则(a = )A ．2或1-B ．2C ．1-D ．以上都不对【解答】解：直线1:260l ax y ++=与直线22:(1)10l x a y a +-+-=平行， (1)210a a ∴--⨯=，解得2a =，或1a =-当2a =时，两直线重合． 故选：C ．4．以双曲线22:13y C x -=的右焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程是( )A ．22(2)3x y -+=B ．22(2)3x y ++=C ．22(2)1x y -+=D ．22(1)1x y ++=【解答】解：根据题意，双曲线22:13y C x -=，其焦点在x 轴上，且1a =，b =， 则2c =，则双曲线的右焦点坐标为(2,0)，渐近线方程为y =0y ±=，则右焦点到渐近线的距离d ==则要求圆的圆心为(2,0)，半径r =， 则要求圆的方程为22(2)3x y -+=， 故选：A ．5．若圆22240x y x y m +-++=截直线30x y --=所得弦长为6，则实数m 的值为( ) A ．1-B ．2-C ．4-D ．31-【解答】解：由圆22240x y x y m +-++= 即22(1)(2)5x y m -++=-， ∴圆心为(1,2)-，∴圆心在直线30x y --=上， ∴此圆直径为6，则半径为3，253m ∴-=，4m ∴=-故实数m 的值为4-． 故选：C ．6．若直线1:30(0)l x y m m ++=>与直线2:2630l x y +-=，则(m = ) A ．7B ．172C ．14D ．17【解答】解：直线1:30(0)l x y m m ++=>，即2620x y m ++=， 它与直线2:2630l x y +-=，∴=，求得172m =， 故选：B ．7．已知椭圆22:134x y C +=的上焦点为F ，直线10x y +-=和10x y ++=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D ，则||||||||(AF BF CF DF +++= ) A．B．C ．4D ．8【解答】解：如图：两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接1AF ，FD ．由椭圆的对称性可知，四边形1AFDF （其中1F 是椭圆的下焦点）为平行四边形，所以1AF FD =，同理1BF CF =．所以1148AF BF CF DF AF BF BF AF a +++=+++==． 故选：D ．8．数列{}n a ，{}n b 满足11111,2,n n n nb a b a a n N b +++==-==∈，则数列{}n a b 的前n 项和为( )A ．14(41)3n --B ．4(41)3n -C ．11(41)3n --D ．1(41)3n -【解答】解：数列{}n a ，{}n b 满足11111,2,n n n nba b a a n N b +++==-==∈，则数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列． 故21n a n =-，12n n b -=， 所以22124n n n a b --==，所以1411144(41)413n n n n S --=++⋯+==--， 故选：D ．9．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60︒角，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C D ．13【解答】解：椭圆的长轴为2a ，短轴的长为2b ，“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60︒角，可得2cos602ba=︒，即2a b =，所以c e a ===． 故选：C ．10．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点(3,3)A --，31(,)22B ，则||||||AP PQ QB ++的最小值为( )A B +C D ．【解答】解：由平行线距离公式得：||PQ ==，设(,2)P a a --，则3(2Q a +，1)2a --， 所以2232|||((3AP PQ QB +++，设点(,)M a a ，(1,3)C -，(1,0)D -，如下图：则有：||||||MC MD CD =+=…（即当D 、M 、C 三点共线时等号成立），综上，||||||AP PQ QB ++． 故选：B ．二、多项选择题（每题至少有两个正确选项，将所有正确选项涂在答题卡相应位置，每题5分，全部正确得5分，选项不全得2分，若有错误选项得0分，共2题，满分10分） 11．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记(0,1)n a n n b a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是( )A ．nB ．nqC ．12(1)n n nq nq nq q q ++---D ．2112(1)n n n q nq nq q q ++++---【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项∴2428a a a =，即2111(3)()(7)a d a d a d +=++，化简得：(1)0d d -=，所以0d =或1， 故1n a =或n a n =，所以n b q =或n n b n q =，设{}n b 的前n 项和为n S ， ①当n b q =时，n S nq =； ②当n n b n q =时，23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）， 2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2），（1）-（2）得：2311(1)(1)1n nn n n q q q S q q q q n q n q q++--=+++⋯⋯+-⨯=-⨯-，所以121122(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---， 故选：BD ．12．在平面直角坐标系中，有两个圆22211:(2)C x y r ++=和22222:(2)C x y r -+=，其中1r ，2r 为正常数，满足124r r +<或12||4r r ->，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是( ) A ．两个椭圆B ．两个双曲线C ．一个双曲线和一条直线D ．一个椭圆和一个双曲线【解答】解：根据题意圆1(2,0)C -，半径1r ，圆2(2,0)C ，半径2r ，所以124C C =，设圆P 的半径为r ，（1）当124r r +<，即两圆外离时，动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，①均内切时11||PC r r =-，22||PC r r =-，此时1212||||||||PC PC r r -=-， 当12r r ≠时，此时P 点的轨迹是以1C ，2C 为焦点的双曲线， 当12r r =时，此时点P 在1C ，2C 的垂直平分线上．②均外切时11||PC r r =+，22||PC r r =+，此时1212||||||||PC PC r r -=-． 此时P 点的轨迹是与①相同．③与一个内切与一个外切时，不妨设与圆1C 内切，与圆2C 外切， 11||PC r r =-，22||PC r r =+，2112||||PC PC r r -=+与圆2C 内切，与圆1C 外切时，同理得，1212||||PC PC r r -=+ 此时点P 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．（2）当124r r +>，两圆相交，动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切， ④均内切时轨迹和①相同． ⑤均外切时轨迹和①相同⑥与一个内切另一个外切时，不妨设与圆1C 内切，与圆2C 外切， 11||PC r r =-，22||PC r r =+，1212||||PC PC r r +=+此时点P 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的椭圆．与圆2C 内切，与圆1C 外切时，同理得1212|||PC PC r r +=+， 此时点P 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的椭圆． 故选：BCD ．三、填空题（将正确答案填在答题卡相应位置，每题5分，共20分）13．实轴长为12，离心率为2，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为2136108y -= ． 【解答】解：根据题意，要求双曲线的实轴长为12，则212a =，即6a =， 又由其离心率2e =，即2ce a==，则有12c =，则b ==，又由双曲线的焦点在x 轴上，则其标准方程为：22136108x y -=； 故答案为：22136108x y -=． 14．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，且*21()n n n a a a n N ++=-∈，则2020a = 1- ． 【解答】解：法一：令1n =，则321514a a a =-=-=； 令2n =，则432451a a a =-=-=-；令3n =，则543145a a a =-=--=-；令4n =，则6545(1)4a a a =-=---=-； 令5n =，则7654(5)1a a a =-=---=； 令6n =，则8761(4)5a a a =-=--=； ∴数列{}n a 为周期为6的周期数列，20203366441a a a ⨯+∴===-．法二：*21()n n n a a a n N ++=-∈①， 321n n n a a a +++=-②，①+②得32121n n n n n n a a a a a a ++++++=-+-， 3n n a a +∴=-，63n n n a a a ++∴=-=，{}n a 周期为6， 2020336644a a a ⨯+∴==，∴由11a =，25a =，得34a =，41a =-．15．已知直线1:350l x y +-=，2:310l kx y -+=．若1l ，2l 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k = 1± ．【解答】解：由题意知，1l ，2l 与两坐标轴围成的四边形有一组对角互补．由于直线1:350l x y +-=是一条斜率等于13-的固定直线，直线2:310l kx y -+=经过定点(0,1)A ，当直线2l 的斜率大于零时，应有12l l ⊥，3∴1()13k ⨯-=-，解得1k =．当直线2l 的斜率小于零时，如图所示：设直线1l 与y 轴的交点为B ，与x 轴的交点为C ，2l与x 轴的交点为D ，要使四边形ABCD 是圆内接四边形，应有ABC ∠与ADC ∠互补，即tan tan ABC ADC ∠=-∠． 再由1tan(90)3BC ABC K ︒+∠==-，可得tan 3ABC ∠=，tan 33AD ADC K k ∴∠=-==，解得1k =-．综上可得，1k =或1k =-， 故答案为：1±．16．已知数列{}n a 中，11a =，1(2,)n n a a n n n N --=∈…，设12321111n n n n nb a a a a +++=+++⋯+，若对任意的正整数n ，当[1m ∈，2]时，不等式213n m mt b -+>恒成立，则实数t 的取值范围是 (,1)-∞ ．【解答】解：11a =，1(2,)n n a a n n n N --=∈…，当2n …时，1n n a a n --=，121n n a a n ---=-，⋯，212a a -=， 并项相加，得：1(1)32n a a n n -=+-+⋯++， 1123(1)2n a n n n ∴=+++⋯+=+， 又当1n =时，111(11)12a =⨯⨯+=也满足上式， ∴数列{}n a 的通项公式为1(1)2n a n n =+， 12321111n n n n nb a a a a +++∴=+++⋯+222(1)(2)(2)(3)2(21)n n n n n n =++⋯++++++1111112()1223221n n n n n n =-+-+⋯+-+++++211222()112123123n n n n n n n=-==++++++， 令1()2(1)f x x x x =+…，则21()2f x x'=-，当1x …时，()0f x '>恒成立， ()f x ∴在[1x ∈，)+∞上是增函数，故当1x =时，()min f x f =（1）3=，即当1n =时，1()3n max b =，对任意的正整数n ，当[1m ∈，2]时，不等式213n m mt b -+>恒成立， 则须使211()33n max m mt b -+>=， 即20m mt ->对[1m ∀∈，2]恒成立，即t m <的最小值， 可得得1t <，∴实数t 的取值范围为(,1)-∞，故答案为：(,1)-∞．四、解答题（将解题步骤，必要的文字说明和计算结果写在答题卡相应位置，共70分） 17．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． 149a a ∴+=，14238a a a a ==．解得11a =，48a =或18a =，41a =（舍)， 解得2q =，即数列{}n a 的通项公式12n n a -=；（2）1(1)211n n n a q S q -==--， 1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-∴===-， ∴数列{}n b 的前n 项和11223111111111111121n n n n n T S S S S S S S S +++=-+-+⋯+-=-=--．18．如图，DP y ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且||3||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时，（1）求点M 的轨迹方程．（2）过点1(1,)3Q 作直线l 与点M 的轨迹相交于A 、B 两点，使点Q 被弦AB 平分，求直线l的方程．【解答】解：（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，则(0,)D y ，0y y =，0||||DP x =，||||DM x =， ||3||DM DP =，03x x ∴= 003x x y y =⎧⎨=⎩， ∴003x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩① P 在圆221x y +=上，∴2201x y +=， 把①代入可得：2219x y +=．||3||DM DP =，||0DP ∴≠，0x ∴≠， ∴221(0)9x y x +=≠． （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．代入可得：221119x y +=，222219x y +=，相减可得：12121212()()()()09x x x x y y y y +-++-=．又122x x +=，1223y y +=．∴22093l k +=，可得：13l k =-． ∴直线l 的方程为：11(1)33y x -=--，化为：320x y +-=． 19．黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色，黄河的水源来自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的．只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊．在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄河和洮河在汛期的水流量均为32000/m s ，黄河水的含沙量为32/kg m ，洮河水的含沙量为320/kg m ，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换31000m 的水量，即从洮河流入黄河31000m 的水混合后，又从黄河流入31000m 的水到洮河再混合．（1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量；（2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于30.01/kg m ？（不考虑泥沙沉淀）【解答】解：（1）在第二个观测点时，洮河流入黄河31000m 的水混合后， 黄河的含沙量为：3220002010008/3000kg m ⨯+⨯=，又从黄河流入31000m 的水到洮河再混合后，洮河的含沙量为38100020100014/2000kg m ⨯+⨯=．（2）设在第n 个观测点时黄河的含沙量为n a ，洮河的含沙量为n b ， 由题意有12a =，120b =，且110002*********n n n nn b a a b a +++==， 1110001000220003n n n nn b a a b b ++++==， 所以111()3n n n n b a b a ++-=-，1118b a -=，所以1118()3n n n b a --=⨯，根据题意，有1118()0.013n -⨯<，即131800n ->，解得7n >，所以从第8个观测点开始．20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为别为1F 、2F ，且过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A 为椭圆上一位于x 轴上方的动点，2AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求ABC ∆面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC 的方程．【解答】解：（1）将两点代入椭圆方程，有2222111213124a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）因为A 在x 轴上方，可知2AF 斜率不为0，故可以设2AF 的方程为1x ty =+，22221(2)21021x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 得1221222212t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以12||||AB y y =-= 设原点到直线2AF 的距离为d，则d =所以2ABC OAB S S ∆∆= 12||2AB d =⨯⨯⨯==，ABC ∆．在0t =时取到等号成立，此时AB 的方程为：1x =，可得，A，(1,B，(1,C -，此时BC的方程为：y = 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点1F ，2F ，M 是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且△12MF F的周长为4+． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:(0)l y kx m k =+≠是圆224:3O x y +=的切线，l 与椭圆C 交与不同的两点Q ，R ，证明：QOR ∠的大小为定值．【解答】解：（1）由椭圆的定义可知周长为224a c +=+ 焦点在圆上，所以b c =，222c a b =-，解得2,a b c ===所以椭圆方程为22142x y +=． （2=，即22344m k =+， 联立22222(12)4240142y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由韦达定理可得21221222412412m x x k kmx x k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩，1212()()y y kx m kx m ∴=++221212()()k x x km x x m =+++222222222222444121212m k k k m m k m k k k --=-+=+++，∴22121224()()12m k y y kx m kx m k -=++=+， ∴2212122344021m k OP OQ x x y y k --=+==+， ∴2ROQ π∠=为定值．22．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球A 是指该球的球心点A ．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：（1）如图，设母球A 的位置为(0,0)，目标球B 的位置为(4,0)，要使目标球B 向(8,4)C -处运动，求母球A 球心运动的直线方程；（2）如图，若母球A 的位置为(0,2)-，目标球B 的位置为(4,0)，能否让母球A 击打目标B 球后，使目标B 球向(8,4)-处运动？（3）若A 的位置为(0,)a 时，使得母球A 击打目标球B 时，目标球(4,0)B 运动方向可以碰到目标球11(8,)2-，求a 的最小值（只需要写出结果即可）【解答】解：（1）点(4,0)B 与点(8,4)C -的直线方程为：40x y +-=，依题意，知A ，B 两球碰撞时，球A 的球心在直线40x y +-=上，且在第一象限， 此时||2AB =，设A ，B 两球碰撞时球A 的球心坐标为(,)a b ，则有：4020,0a b a b +-=⎧=>>⎪⎩，解得：4a =b =，即：A ，B 两球碰撞时球A的球心坐标为(4A '， 所以，母球A运动的直线方程为：y ==（2）(0,2)A -，(4A '-，要使B 沿着40x y +-=的方向移动，则AA '的斜率小于等于1，而1AA k '==>， 故不可能让母球A 击打目标球B 球后，使目标球B 向(8,4)-运动；（3）得a 最小为2-．。
江苏省连云港市2019-2020学年度高二上学期期末考试试题 数学【含解析】
2.双曲线 的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线的定义求得。
【详解】双曲线 的渐近线方程是 ，故选：B.
【点睛】此题是容易题，考查双曲线的基本定义。
3.“M＜N”是“ ” （ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【详解】因为 ， ， ，故 ， ，故选:BD。
【点睛】此题考查充分条件和必要条件的概念，属于基础题。
12.设P是椭圆C： 上任意一点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，则（ ）
A.PF1＋PF2＝ B. ﹣2＜PF1﹣PF2＜2
C. 1≤PF1·PF2≤2D. 0≤ ≤1
【答案】ACD
【解析】
【分析】
15.已知椭圆C： (a＞b＞0)的焦距为2．准线方程为x＝3，则该椭圆的标准方程是_______；直线 与该椭圆交于A，B两点，则AB＝_______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
分析】
根据椭圆的定义和准线方程可求得第一问，联立椭圆和直线方程再通过韦达定理计算可求得第二问。
【详解】 ，解得 ，再解出 ，所以椭圆的标准方程是 。设A坐标为 ，B坐标为 ，直线AB的斜率为k。则
13.准线方程为 的抛物线的标准方程是．
【答案】
【解析】
抛物线的准线方程为 ，说明抛物线开口向左，且 ，所以抛物线的标准方程是 ．
14.中国古代数学某名著中有类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，毎天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了_______里．
2019-2020学年河南省郑州市实验中学高二上学期第一次月考数学试题(含答案解析)
2019-2020学年河南省郑州市实验中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题 1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）A ．B ．2C ．3D ．【答案】A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【详解】 在中，由正弦定理得，所以，故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。
2．在数列{}n a 中，已知31a =，53a =，79a =则{}n a 一定（ ） A ．是等差数列 B ．是等比数列C ．不是等差数列D ．不是等比数列【答案】C【解析】依据等差、等比数列的定义或性质进行判断。
【详解】因为532a a -=，756a a -=，7553a a a a -≠-，所以{}n a 一定不是等差数列，故选C 。
【点睛】本题主要考查等差、等比数列定义以及性质的应用。
3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列结论不正确的是（ ） A ．2222cos a b c bc A =+- B ．sin sin a B b A = C ．cos cos a b C c B =+ D ．cos cos sinC a B b A +=【答案】D【解析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】选项A,是余弦定理，所以该选项正确； 选项B,实际上是正弦定理sin sin a b A B=的变形，所以该选项是正确的； 选项C,由于sin sin(),sin sin cos cos sin ,cos cos A B C A B C B C a b C c B =+∴=+∴=+,所以该选项正确；选项D,cos cos 2(sin cos sin cos )2sin()2sin a B b A R A B B A R A B R C +=+=+=,不一定等于sinC,所以该选项是错误的. 故选D 【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理实行边角互化，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4．在等差数列中，若.，则（ ）A ．100B ．90C ．95D ．20【答案】B【解析】利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到.【详解】 数列为等差数列，，.【点睛】考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题.5．各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为n S ,若1010S =,3070S =, 则40S 等于 A ．150 B ．-200C ．150或-200D ．-50或400【答案】A【解析】根据等比数列的前n 项和公式化简S 10＝10，S 30＝70，分别求得关于q 的两个关系式，可求得公比q 的10次方的值，再利用前n 项和公式计算S 40即可． 【详解】因为{a n }是等比数列，所以有1010(1)101a q S q -==-，3030(1)701a q S q-==-二式相除得，3010171q q-=-，整理得102017q q ++= 解得102q=或103q =-（舍）所以有40401010(1)1(1)1a q S qa q S q--=--=401011q q -- =4121512-=- 所以401015S S ==150．答案选A ． 【点睛】此题考查学生灵活运用等比数列的前n 项和的公式化简求值，是一道综合题，有一定的运算技巧，需学生在练习中慢慢培养． 6．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30︒的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30︒的等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】 由正弦定理可知sin sin sin A B C a b c ==，又sin cos cos A B Ca b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==. 所以45B C ==o .所以180454590A =--=o o o o . 所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.7．设ABC ∆的内角A B C 、、所对边分别为130a b c a b A ︒===，，，，．则该三角形（ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定【答案】C【解析】利用正弦定理以及大边对大角定理求出角B ，从而判断出该三角形解的个数． 【详解】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以，sin sin b A B a ==，b a ∴>，B A ∴>， 60B ∴=o 或120o ，因此，该三角形有两解，故选C.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时可以充分利用解的个数的等价条件来进行判断，具体来讲，在ABC ∆中，给定a 、b 、A ，该三角形解的个数判断如下： （1）A 为直角或钝角，a b >，一解；a b ≤，无解；（2）A 为锐角，sin a b A =或a b ≥，一解；sin b A a b <<，两解；sin a b A <，无解.8．数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为 A ．(,0]-∞ B ．[0,)+∞C ．(,2)-∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】数列{a n }单调递增⇔a n+1＞a n ，可得：n+1+1a n +＞n+an，化简解出即可得出． 【详解】数列{a n }单调递增⇔a n+1＞a n ，可得：n+1+1a n +＞n+an，化为：a ＜n 2+n ． ∴a ＜2． 故选C ． 【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin cos 0b A B =，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ）A ．B ．2C ．1D ．2【答案】C【解析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =Q，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >Q，sin 0B B ∴-=，tan B ∴=，则3B π=.a Q 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．10．已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =（ ）A ．3223n n- B ．2332n n- C ．1223n n- D ．2132n n- 【答案】A【解析】递推关系式乘以12n +，再减去3，构造等比数列求通项公式. 【详解】因为156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1122213n n n n a a ++⋅=⋅+，整理得()11223233n n n n a a ++⋅-=⋅-，所以数列{}23nn a -是以14233a -=-为首项，23为公比的等比数列.所以1422333n nn a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3223n nn a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查构造数列求通项公式.一般地，譬如11n n n a pa q ++=+的形式，通常通过除以1n q +来进行构造；而对于形如1n n a pa q +=+的形式，则通过待定系数来构造.11．已知在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c 且BC 边上的高为2a ,则c bb c+的最大值为( ) A． BC ．2D ．4【答案】A【解析】先由题得到22sin a bc A =，再化简22222cos 2cos c b c b a bc A a A b c bc bc bc+++===+=2sin 2cos 4A A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求函数的最大值.【详解】 由题意可知，11sin 222a a bc A ⨯⋅=，得22sin a bc A =，所以22222cos 2cos c b c b a bc A a A b c bc bc bc+++===+=2sin 2cos 4A A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由BC 边上的高为2a 可得02A π<<，故当4A π=时c bb c+的最大值为故答案为A 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12．设正项数列{}n a 满足12a =，()2211220n n n n na a a n a ++--+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，(例如[]1.61=，[]1.62-=-)则222122019232020a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋯⋯+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】C【解析】分解因式，累乘法求得通项公式，根据题意，再进行求解. 【详解】数列{}n a 满足12a =，()2211220n n n n na a a n a ++--+=，整理得()()1120n n n n na n a a a ++-++=⎡⎤⎣⎦， 由于数列为正项数列，所以()12n n na n a +=+，整理得12n n a n a n++=， 故111n n a n a n -+=-，122n n a n a n --=⋯-，4242a a =，2131a a =， 各式相乘得到()1112n n n a a ⨯+=⨯，又12a =，所以()1na n n =+.则()21111nn n a n n++==+， ①当1n =时，11n=，212112a =+=； ②当1n >时，()10,1n∈，则 ()211n n n a n ⎡⎤++⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=11n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=1. 所以222122019232020220182020a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋯⋯+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故选：C. 【点睛】本题考查递推公式的整理化简、累乘法求通项公式，以及根据题意构造新数列的能力，本题中根据题意构造数列()21nn a +是问题的关键.本题属于数列综合题.二、填空题13．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和且13n n S A +=-，则A =________.【答案】3【解析】由n S ，可以求得数列的前三项，根据这三项构成等比数列，利用等比中项即可求参数. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和且13n n S A +=-，∴21139a S A A ==-=-，()()32213918a S S A A =-=---=， ()()433323354a S S A A =-=---=∵1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2213a a a =，∴()2189454=-⨯，解得3A =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质；一般地，在等比数列中，1111n n n a aS q Aq A q q=-+=---. 14．已知锐角ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos b a a C -=，则2cos cos()A C A -的取值范围是__________.【答案】22⎛ ⎝⎭【解析】由正弦定理，条件等式转化角的关系，化简所求的式子，转化角A ，求出A 的范围，即可求得结论. 【详解】sin sin 2sin cos sin()sin B A A C C A A -=⇒-=，,0,,2222C A A C A A C A πππ-<-<<<∴-==Q ，22(,)6432C A A B A πππππ⎧=⎪⎪⇒∈⎨⎪=-⎪⎩＜＜，2cos cos()AC A -23cos ,22A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为:23,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查正弦定理的应用，以及两角和差正弦公式的应用，属于中档题.15．若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为________． 【答案】15【解析】试题分析：因为1020T T =，所以所以{}n a 是正项递增等比数列,所以，所以最小.【考点】等比数列的性质.16．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a ，b ，c 是ABC △的内角A ，B ，C 的对边为.若sin 2sin cos C A B =，且2b ，1，2c 成等差数列，则ABC △面积S 的最大值为________. 5【解析】先根据正弦定理得c 2cos a B =,再根据余弦定理化简得 【详解】因为sin 2sin cos C A B =，所以c 2cos a B =,因此222c 2,2a c b a a b ac+-=⨯=,因为2b ，1，2c 成等差数列，所以2b +2c =2, 因此222222222222115416516524242165251625a c b c S a c c c c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---=--+⨯=⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦（），即ABC V 面积S 的最大值为5. 【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足11a =．若5a ，2a ，1a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn S n =+-.【解析】（1）根据对比中项的性质即可得出一个式子，再带入等差数列的通项公式即可求出公差．（2）根据（1）的结果，利用分组求和即可解决． 【详解】（1）因为521,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =，所以()2141d d +=+，即22d d =， 因为0d ≠，所以2d =， 所以21n a n =-；（2）因为1212n n b n -=-+，所以()()01113521222n n S n -=+++⋯+-++++L ，()12112212nn n +--=+-， 221n n =+-.【点睛】本题主要考查了等差数列通项式，以及等差中项的性质．数列的前n 的求法，求数列前n 项和常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的三条对边分别为a ，b ，c ，，cos sin b C C a =. （1）求角B ；（2）点D 在边BC 上，4AB =，32CD =，3cos 5ADC ∠=.求AC . 【答案】（1）6π；（2）2 【解析】（1）利用正弦定理将边化角，结合()sin sinA B C =+进行化简即可；（2）利用（1）中结论，及已知条件，在ABD n 中用正弦定理求AD ，再在ADC n 中，用余弦定理求AC .【详解】（1）由cos 3sin b C b C a +=，利用正弦定理得:sin cos 3sin sin sin B C B C A +=，即sin cos 3sin sin sin cos cos sin B C B C B C B C +=+，得3sin sin cos sin B C B C =，又()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以3sin cos B B =，得3tan 3B =，又()0,B π∈， 所以6B π=. （2）根据题意，作图如下：由3cos 5ADC ∠=，()0,ADC π∠∈， 所以234sin 155ADC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭， 又因为180ADB ADC ︒∠=-∠，所以4sin sin 5ADB ADC ∠=∠=； 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AD AB B ADB =∠又4AB =，6B π=， 所以14sin 524sin 25AB B AD ADB ⨯⋅===∠； 在ACD ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠2253533222225⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4=解得2AC =.【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角的能力，涉及()sin sinA B C =+，同时考查了利用正弦定理，余弦定理解求解三角形的能力.属解三角形综合基础题.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（Ⅰ）37； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】(Ⅰ) 在BDC V 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案. (Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC V 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯， ∴43sin BDC ∠=． (Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴43113536027)(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=⨯--⨯= ⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABD AD BAD BAD ⨯∠⨯∠===∠∠， ∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和． 【答案】(1) 221n a n =-；(2)221n n +. 【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得{}n a 的通项公式.（2）将{}n a 的通项公式代入,可得数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列{}n a 满足()123212=n a a n a n ++⋯+- 2n ≥时,()()12132321n a a n a n ++⋯+--﹣＝∴()212n n a -= ∴221n a n =- 当1n =时,12a =,上式也成立 ∴221n a n =- （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+ ∴数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和 1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1212121n n n =-=++ 【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.21．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）S =【解析】（Ⅰ）由正弦定理化简得到答案.（Ⅱ）1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，平方，代入公式利用余弦定理得到答案. 【详解】（Ⅰ）因为()acos 2cos B c b A =-，由正弦定理得()sin cos cos 2sin sin A B A C B =-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，所以()sin 2sinccos A B A +=， 因为()sin sin 0A B C +=≠，所以1cos 2A =， 又因为(0,)A π∈，所以3A π=．（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以2232c b bc ++=，①又根据余弦定理，有2222222cos 416a b c bc A b c bc =+-=+-==，② 联立①②，得8bc =．所以ABC ∆的面积1S bcsinA 2== 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，向量加减，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.22．数列{}n a 的前n 项和113n n S a =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使n T m ≤成立的实数m 最小值. 【答案】（1）13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭；（2）221332nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，32. 【解析】（1）由已知可先求得首项1a ，然后由113n n S a =+，得11113n n S a ++=+，两式相减后可得数列的递推式，结合1a 得数列{}n a 是等比数列，从而易得通项公式； （2）对数列{}n b 可用错位相减法求其和．不等式n T m ≤恒成立，可转化为先求n T 的最大值．【详解】（1）由111113a S a ==+得132a =. 由113n n S a =+，可知11113n n S a ++=+， 可得111133n n n a a a ++=-，即12n n a a +=-. 因为10a ≠，所以0n a ≠，故112n n a a +=- 因此{}n a 是首项为32，公比为12-的等比数列， 故13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知13122n n n b -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭. 所以01213113213313122222222n n n T -⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ① 两边同乘以12-得 123131132133131222222222n n n T ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ② ①②相减得12311331313131311222222222222n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+-+-++⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 从而133113312222122212n n n n T -⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=-⋅- ⎪⎝⎭+ 于是221332n n T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当n 是奇数时，221332n n T n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为221302n n n T T n ++⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭， 所以132n T T ≤=. 当n 是偶数时，2212()()3323n n T n =-+< 因此32n T ≤. 因为n T m ≤， 所以32m ≥，m 的最小值为32. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，前n 项和公式，考查错位相减法求和．适用错位相减法求和的数列一般是{}n n a b ，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．。
2019-2020学年辽宁省实验中学、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高一上学期期末考试数学试题
2019-2020高一上学期期末辽宁省五校联考数学试卷一. 选择题1．已知集合{}124A =，，，集合{}2log (1)1B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}14，B ．{}24，C ．{}12，D ．{}42．用反证法证明命题“若220a b +=，则a ，b 全为0（a ，b R ∈）”，其假设正确的是（ ）A ．a ，b 至少有一个不为0B ．a ，b 至少有一个为0C ．a ，b 全不为0D ．a ，b 中只有一个为03．已知函数2()log (39)x f x =- ）A ．(23)，B ．(34]，C ．(24]，D ．(23)(34]，，4．已知2log 3.4a =， 1.22.1b =，0.3log3.8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b c a << D ．c b a <<5．设0a >且1a ≠，则“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”是“函数()xf x a =在R 上是减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7. 点O 在ABC ∆内部，520AO AB AC --=，则AOB ∆与ABC ∆的面积比为（ ） A. 51 B. 52 C. 53 D. 548. 若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f 在)0,(-∞上是减函数，0)2(=f ，则不等式0)(≥x f 的解集为（ ）A. ),2[]2,(+∞⋃--∞B. ]2,0[]2,(⋃--∞C. ]2,0(]2,(⋃--∞D. ]2,2[- 9. 函数()()222x f x x x e =+的图象大致是（ ）A. B. C. D.10. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次，甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”.从以上回答分析，丙是第一名的概率是（ ）A.31 B. 41 C. 51 D. 6111. 已知函数x x x f 2)(2+=，m x g x +=)21()(，若对任意]2,1[1∈x ，存在]1,1[2-∈x ，使得)()(21x g x f ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A.]2,(-∞B. ]25,(-∞C. ),2[+∞D. ),25[+∞12. 已知函数)0(1)(11<-=++x ee xf x x 与xx ae e x g -=2)(的图像上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A.)11,(e +-∞B. ),1(+∞-eC. )11,(e --∞D. ),12(+∞-e二. 填空题13. 求2,3,5,6,8,10,12,13,15,16,18,19的25%的分位数_________.14. 已知平面向量(2,-1),(1,1),-2,1a b c ===（），如果//a kb c +（），则实数k 的值为____...15. 若2个正实数x ，y 满足211x y+=，且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是____.16. 已知函数()()1022-10xx f x f x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，，，（1）()2f =_____；（2）若方程f （x ）=32x +a有且仅有一个实根，则实数a 的取值范围_______.三. 解答题17．已知命题p ：{}2230A x x x x R =--≤∈，， 命题q ：{}22240B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈，， （1）若[13]AB =，，求实数m 的值；（2）若p 是q ⌝的充分条件，求实数m 的取值范围．18. 已知幂函数)()(322Z m x x f m m∈=++-是奇函数，且)2()1(f f <.（1）求m 的值，并确定)(x f 的解析式；（2）求函数()()22212log log f x f x y ⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦，]2,21[∈x 的值域.19. 港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件，从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，有测量结果得到如果所示的频率分布直方图，质量指标落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4:2:1（1）求这些桥梁构件质量指标值的平均值；（2）用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中抽取2件桥梁构件，求这2件桥梁构件都在区间[45,65)内的概率.20. 已知ABC ∆中，AB mAM =，AC nAN =，（0m >，0n >），若MN 与BC 交于点O ，且点O 为BC 的中点.（1）如果ABC ∆内一点D 满足420DA BD BC -+=，求DODA的值； （2）求12m n+的最小值.21. 已知函数()22f x x mx =--. （1）当1m =时，13212223x xx n f -⎛⎫≤--⎪⎝⎭在[]1,1x ∈-上恒成立，求n 的取值范围. （2）若函数()22f x x mx =--的两个零点分别为12,x x ，若对[]1,1m ∀∈-，[]1,1a ∀∈-，不等式22123x x t at -≤-+恒成立，求实数t 的取值范围.22. 已知函数()f x 的定义域为D ，对于给定的()*k k N ∈，若存在[],a b D ⊆，使得函数()f x 满足：①函数()f x 在[],a b 上是单调函数；②函数()f x 在[],a b 上的值域是[],ka kb ，则称[],a b 是函数()f x 的k 级“理想区间”.（1）判断函数3y x =是否存在1级“理想区间”，若存在，请写出它们所有的“理想区间”（只需要直接写出结果）；（2）证明：函数()xf x e =存在3级“理想区间”；（ 2.71828e ≈）；（3）设函数()241xg x x =+，[]0,1x ∈，若函数()g x 存在k 级“理想区间”，求k 的值.。
吉林省松原市宁江区实验高级中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题 PDF版含答案
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广东省惠州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试数学试题含解析
一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1.若复数 （其中 为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
分析〗
化简得到 ，再计算共轭复数得到答案.
10.若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
∵f（x）=ex（sinx+acosx）在 上单调递增，
∴f′（x）=ex〖（1-a）sinx+（1+a）cosx〗≥0在 上恒成立，
∵ex＞0在 上恒成立，
∴（1-a）sinx+（1+a）cosx≥0在 上恒成立，
其中恰有2只做过测试的取法有： ， ， ， ， ， ，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为
故选：
〖点 睛〗本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.
6.在正方体 中，点E为上底面A1C1的中心，若 ，则x，y的
值是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
〖答 案〗A
〖解 析〗
试题分析：根据题意，结合正方体的性质，可知 ,所以有 ， ，故选A．
在直角 中， ， ，
即 ，所以 得 ，又 ，所以
故选：
〖点 睛〗本题考查了双曲线的离心率的取值范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定 是解题的关键.
8.已知直三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗C
〖解 析〗
黑龙江省大庆实验中学2019_2020学年高一数学上学期第一次月考试题(含解析)
黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合2，3，，，则A. B. C. D.2.下列各组函数表示同一函数的是A. ，B. ，C. ，D. ，3.函数的定义域为A. B. C. D.4.已知函数，则A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是偶函数，且在上是增函数C. 是奇函数，且在上是减函数D. 是偶函数，且在上是减函数5.函数的单调递增区间为A. B. C. D.6.设偶函数的定义域为R，当时是增函数，则，，的大小关系是A. B.C. D.7.函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.8.已知函数，若，则A. 2B. 4C. 6D. 89.设，且，则A. B. 10 C. 20 D. 10010.集合，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.已知函数，且是单调递增函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.记不大于x的最大整数为，定义函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是A. B.C. ，D.二、填空题（本大题共4小题）13.计算： ______ ．14.已知函数在区间上的最大值是，则实数a的值为______．15.函数的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是______用区间表示16.已知函数其中a，b为常数，，且的图象经过，若不等式在上恒成立，则实数m的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知全集．求，，；若，求实数a的取值范围．18.已知函数．用定义证明在上是增函数；求函数在区间上的值域．19.若二次函数满足，且．求的解析式；设，求在上的最小值的解析式．20.设函数是定义在R上的奇函数，当时，确定实数m的值并求函数在R上的解析式；求满足方程的x的值．21.定义在R上的函数对任意x，都有，且当时，．求证：为奇函数；求证：为R上的增函数；若对任意恒成立，求实数k的取值范围．22.定义：若函数在某一区间D上任取两个实数，，都有，则称函数在区间D上具有性质T．试判断下列函数中哪些函数具有性质给出结论即可；；；．从中选择一个具有性质T的函数，用所给定义证明你的结论．若函数在区间上具有性质T，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．把A中元素代入中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把，2，3，4分别代入得：，4，7，10，即4，7，，2，3，，．故选D．2.【答案】C【解析】解：A．的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；B.的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；C.的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数；D.的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数．故选：C．通过求定义域可判断选项A，B，D的两函数都不是同一函数，从而A，B，D都错误，只能选C．考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同．3.【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则，得，得，即或，即函数的定义域为，故选：D．根据函数成立的条件进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性，指数函数及其性质，属于基础题．由已知得，即函数为奇函数，由函数为增函数，为减函数，结合“增”“减”“增”，可得答案．【解答】解：函数的定义域为，，，即函数为奇函数，又由函数为增函数，为减函数，故函数为增函数．故选A．5.【答案】D【解析】解：令，可得函数的对称轴为：，，是减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，故选：D．利用指数函数的单调性，通过二次函数的性质可得结论．本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由偶函数与单调性的关系知，若时是增函数则时是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故选：A．由偶函数的性质，知若时是增函数则时是减函数，此函数的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故比较三式大小的问题，转化成比较三式中自变量，，的绝对值大小的问题．本题考点是奇偶性与单调性的综合，对于偶函数，在对称的区间上其单调性相反，且自变量相反时函数值相同，将问题转化为比较自变量的绝对值的大小，做题时要注意此题转化的技巧．7.【答案】C【解析】解：因为为奇函数，所以，于是等价于，又在单调递减，，．故选：C．根据函数的奇偶性以及函数的单调性求出x的范围即可．本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查转化思想，是一道常规题．8.【答案】B【解析】解：函数，，，，且，解得，．故选：B．推导出，，且，推导出，由此能求出的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：，，又，．故选：A．直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．10.【答案】A【解析】解：集合，，，当时，，解得，当时，，解得．综上，实数a的取值范围是．故选：A．当时，；当时，，由此能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查集合的包含关系、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.【答案】A【解析】解：函数，函数为递增函数，，即，解得．故选：A．分段函数的单调递增则需在每一段上单调递增，且在端点处也满足条件列出不等式组求解即可．本题主要考查了函数单调性的性质，以及分段函数的单调性，同时考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：，，又当时，；当时，，当时，当时，；同理，当时，，不等式恒成立，则，所以，则实数a的取值范围或，故选：B．这是一道取整的问题，先要弄清楚的取值情况，求的最值时，先平方在求的方法；这是一道信息题，也是常见的信息，先要对信息进行分析处理，以及平方求最值方法的应用，也可用均值不等式求最值；13.【答案】3【解析】解：：．故答案为：3．直接利用对数运算法则化简求解即可．本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，是基础题．14.【答案】或【解析】解：二次函数对称轴，开口向下，，则函数在单调递减，时，，解得，，则函数在单调递增，时，，解得，故答案为：或．由函数的解析式可知，对称轴，开口向下，进而求解．考查二次函数对称轴，开口方向，单调区间，在特定区间内的最值．15.【答案】【解析】解：函数的图象如图，时，，时函数是增函数，函数的图象不经过第二象限，．故答案为：．根据条件作出函数的图象，利用数形结合求解即可．本题主要考查基本函数的图象变换，通过变换了解原函数与新函数的图象和性质．16.【答案】【解析】解：由题意：函数的图象经过，．可得，解得那么不等式在上恒成立，是递减函数，当时，y取得最小值为．则实数m的最大值为．故答案为：．根据函数的图象经过，求解a，b的值，带入不等式，根据指数的单调性即可求解m的最大值．本题考查了指数函数的单调性求解最值问题．属于基础题．17.【答案】解：，，，，；，，，，，的取值范围是．【解析】可以求出集合B，然后进行交集、并集和补集的运算即可；根据可得出，从而可得出．考查描述法的定义，交集、并集和补集的运算，以及子集、并集的定义．18.【答案】解：证明：任取，，且，又由，则，，，故，即；在单调递增；由知，在单调递增，则，故在上的值域是．【解析】根据题意，任取，，且，用作差法证明即可，根据题意，由的结论可得在上单调性，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及函数的值域，属于基础题．19.【答案】解：解：设二次函数的解析式为由已知：，又对称轴为当即时在上单调递增当即时在上单调递减当即时在单调递减，在单调递增，综上可知：【解析】利用待定系数法设二次函数的方程，由，且可求得方程；根据区间与轴的关系讨论二次函数的单调性，进而求得最小值．本题主要考察二次函数解析式的求法，根据函数的单调性求函数的最值和分类讨论的思想．20.【答案】解：根据题意，是定义在R上的奇函数，则当时，，解可得：，设，则，则，又由，则，故；当时，，令，得，即，解可得或，即，；又由是定义在R上的奇函数，则当时根为；综合可得：方程的根为，，【解析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得：，即可得函数的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案；根据题意，由函数的解析式，当时，，令可得此时方程的根，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式的求法，属于基础题．21.【答案】证明：令，得得令，得，，为奇函数，证明：任取，，且，，，，，即，是R的增函数；解：，，是奇函数，，是增函数，，，令，下面求该函数的最大值，令则当时，y有最大值，最大值为，，的取值范围是．【解析】利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数，证明为奇函数；利用函数单调性的定义，结合抽象函数，证明为增函数利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可．本题主要考查抽象函数的应用，利用抽象函数研究函数的奇偶性单调性，以及二次函数的应用．综合性应用．22.【答案】解：具有性质T．如果选择证明如下：任取两个实数，则，具有性质T．由于在区间上具有性质T，任取，则．，的取值范围是，【解析】根据函数的图象判定具有性质T．选择证明如下：任取两个实数即可．由于在区间上具有性质T，任取，则，只需在、上恒成立，可求实数a的取值范围．本题以函数为载体，考查新定义，考查恒成立问题，解题的关键是对新定义的理解，恒成立问题采用分离参数法．。
2019-2020学年人教A版贵州省贵阳市高二第一学期(上)期末数学试卷试题及答案(理科) 含解析
2019-2020学年高二第一学期（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．若命题p：∀x∈R，2x﹣x＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x﹣x＜0 B．∀x∈R，2x﹣x≤0C．D．2．贵阳市某中学高二年级共有学生1800人，为进行体质监测，现按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为36的样本，已知样本中共有女生17人，则高二年级的男生人数约为（）A．850 B．950 C．1050 D．11003．把十进制数19转化为三进制数时，其末位数字是（）A．3 B．2 C．1 D．04．抛物线y＝3x2的准线方程为（）A．B．C．D．5．平面α的一个法向量是＝（4，1，﹣），平面β的一个法向量是＝（，﹣1，3），则平面α与平面β的位置关系是（）A．垂直B．平行C．既不平行也不垂直D．不确定6．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．B．C．D．7．在某校举行的校园十佳歌手大赛中，五位评委给一位歌手给出的评分分别为x1＝9.5，x2＝9.6，x3＝9.7，x4＝9.8，x5＝9.9，运行程序框图，其中是这五个数据的平均值，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝0.02，即5个数据的标准差为0.02B．S＝0.02，即5个数据的方差为0.02C．S＝9.7，即5个数据的标准差为9.7D．S＝9.7，即5个数据的方差为9.78．已知关于变量x，y的线性回归方程为，且x，y的一些相关数据如表所示，则表格中m的值为（）x 1 2 3 4y0.8 m 1.4 1.5A．1 B．1.05 C．1.2 D．29．有下列三个命题：①设命题p：若m是质数，则m一定是奇数．那么￢p真命题；②在△ABC中，“sin A＝sin B”是“cos A＝cos B”的充要条件；③“若x＞1，则|x|＞1”的否命题是“若x＞1，则|x|≤1”．其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．010．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c．若直线与椭圆的一个交点M满足∠MF2F1＝2∠MF1F2，则该椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．二．填空题（每题4分，共20分）11．84和126的最大公约数为．12．已知F1（﹣3，0），F2（3，0）是双曲线C的两个焦点，且直线是该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的标准方程为．13．如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件），若这两组数据的中位数和平均数都相等，则x+y的值为．14．如图，在三棱锥S﹣ABC中，已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA＝AC＝AB，点E、F分别在SC和BC上，且，，则直线EF与直线AC所成角的余弦值为．15．设P为方程表示的曲线上的点，M、N分别为圆（x+4）2+y2＝4和圆（x﹣4）2+y2＝1上的点，则|PM|+|PN|的最小值为．三．解答题（每题8分，共32分）16．设命题p：方程表示双曲线；命题q：“方程表示焦点在x轴上的椭圆”．（1）若p和q均为真命题，求m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．17．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表：组号分组频率第1组[160，165）0.05第2组[165，170）0.35第3组[170，175）①第4组[175，180）0.20第5组[180，185] 0.10（1）求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；（2）根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数（结果都保留两位小数）．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面△ADP为等腰直角三角形，PA＝PD，AB＝PB＝2，点E为棱AD的中点．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19．在区间[1，6]上任取一个数记为a，在区间[1，5]上任取一个数记为b．（1）若a，b∈N*，求直线ax﹣by＝1的斜率为的概率；（2）若a，b∈R，求直线ax﹣by＝1的斜率为的概率．四．阅读与探究（本题8分）20．阅读以下材料，然后回答（1）、（2）两个问题：例3如图1，设点A，B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM的斜率之积是，求点M的轨迹方程．分析：设点M的坐标为（x，y），那么直线AM，BM的斜率就可以用含x，y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是，因此可以建立x，y之间的关系式，得出点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（﹣5，0），所以，直线AMD的斜率同理，直线BM的斜率由已知有：化简，得点M的轨迹方程为：．（1）如图2，点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状；（2）结合阅读材料及（1）的结果，你有什么发现？请写出你的结论（不需证明）．以下第（3）问是附加题，考生可选做，做对的2分，不做不扣分．（3）仿照材料中例3和问题（1），请你提出一个变式问题，不需解答．参考答案一、选择题（每题4分，共40分）1．若命题p：∀x∈R，2x﹣x＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x﹣x＜0 B．∀x∈R，2x﹣x≤0C．D．解：命题为全称命题，则命题p：∀x∈R，2x﹣x＞0，则￢p是．故选：D．2．贵阳市某中学高二年级共有学生1800人，为进行体质监测，现按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为36的样本，已知样本中共有女生17人，则高二年级的男生人数约为（）A．850 B．950 C．1050 D．1100解：贵阳市某中学高二年级共有学生1800人，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为36的样本，样本中共有女生17人，则高二年级的男生人数约为：1800×＝950．故选：B．3．把十进制数19转化为三进制数时，其末位数字是（）A．3 B．2 C．1 D．0解：19÷3＝6 (1)6÷3＝2 02÷3＝0 (2)故19（10）＝201（3），可得把十进制数19转化为三进制数时，其末位数字是1，故选：C．4．抛物线y＝3x2的准线方程为（）A．B．C．D．解：抛物线y＝3x2的标准方程为：x2＝y，所以抛物线的标准方程为：y＝﹣．故选：D．5．平面α的一个法向量是＝（4，1，﹣），平面β的一个法向量是＝（，﹣1，3），则平面α与平面β的位置关系是（）A．垂直B．平行C．既不平行也不垂直D．不确定解：∵平面α的一个法向量是＝（4，1，﹣），平面β的一个法向量是＝（，﹣1，3），＝4×+1×（﹣1）+（﹣）×3＝0，∴平面α与平面β的位置关系是垂直．故选：A．6．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．B．C．D．解：如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，圆内接正六边形的边长为R，面积为6××R2×sin＝；则所求的概率为P＝＝．故选：B．7．在某校举行的校园十佳歌手大赛中，五位评委给一位歌手给出的评分分别为x1＝9.5，x2＝9.6，x3＝9.7，x4＝9.8，x5＝9.9，运行程序框图，其中是这五个数据的平均值，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝0.02，即5个数据的标准差为0.02B．S＝0.02，即5个数据的方差为0.02C．S＝9.7，即5个数据的标准差为9.7D．S＝9.7，即5个数据的方差为9.7解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝，由x1＝9.5，x2＝9.6，x3＝9.7，x4＝9.8，x5＝9.9的平均数为9.7，故S表示5个数据的方差，代入计算可得：S＝0.02，故选：B．8．已知关于变量x，y的线性回归方程为，且x，y的一些相关数据如表所示，则表格中m的值为（）x 1 2 3 4y0.8 m 1.4 1.5A．1 B．1.05 C．1.2 D．2解：，，样本点的中心为（2.5，），代入线性回归方程为，得，解得：m＝1．故选：A．9．有下列三个命题：①设命题p：若m是质数，则m一定是奇数．那么￢p真命题；②在△ABC中，“sin A＝sin B”是“cos A＝cos B”的充要条件；③“若x＞1，则|x|＞1”的否命题是“若x＞1，则|x|≤1”．其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0解：①设命题p：若m是质数，则m一定是奇数．例如2是质数，但是偶数，所以命题是假命题，那么￢p真命题；所以①正确；②在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B，故有cos A＝cos B，反之成立，故在△ABC中，“sin A＝sin B”是“cos A＝cos B”的充要条件；②正确；③“若x＞1，则|x|＞1”的否命题是“若x≤1，则|x|≤1”．所以③不正确；故选：B．10．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c．若直线与椭圆的一个交点M满足∠MF2F1＝2∠MF1F2，则该椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．解：因为直线过椭圆左焦点，且斜率为，所以∠MF1F2＝30°，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF2F1＝20°，∠F1MF2＝90°，故|MF1|＝c，|MF2|＝c，由点M在椭圆上知，c+c＝2a．故离心率e＝＝＝．故选：D．二．填空题（每题4分，共20分）11．84和126的最大公约数为42 ．解：126＝84+42，84＝42×2．∴84和126的最大公约数为42．故答案为：42．12．已知F1（﹣3，0），F2（3，0）是双曲线C的两个焦点，且直线是该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的标准方程为．解：由题意，c＝3，双曲线的焦点坐标在x轴上，直线是该双曲线的一条渐近线，所以＝，a2+b2＝9，∴b＝，a＝2，∴双曲线C的标准方程为：；故答案为：；13．如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件），若这两组数据的中位数和平均数都相等，则x+y的值为12 ．解：由已知中甲组数据：43，51，56，64，60+x；的中位数为56，故乙组数据：45，53，50+y，59，67；的中位数也为65，即y＝6，将y＝6，代入乙组可得乙组数据的平均数为：56，这两组数据的平均值也相等，故x＝6，所以：x+y＝6+6＝12；故答案为：12．14．如图，在三棱锥S﹣ABC中，已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA＝AC＝AB，点E、F分别在SC和BC上，且，，则直线EF与直线AC所成角的余弦值为．解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥AC，∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，设SA＝AC＝AB＝3，∵点E、F分别在SC和BC上，且，，∴E（0，2，1），F（2，1，0），A（0，0，0），C（0，3，0），＝（2，﹣1，﹣1），＝（0，3，0），设直线EF与直线AC所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴直线EF与直线AC所成角的余弦值为．故答案为：．15．设P为方程表示的曲线上的点，M、N分别为圆（x+4）2+y2＝4和圆（x﹣4）2+y2＝1上的点，则|PM|+|PN|的最小值为9 ．解：∵P为方程表示的曲线上的点，∴P是椭圆方程为上任意一点，∴其焦点坐标为F1（﹣4，0），F2（4，0），∴两圆：（x+4）2+y2＝4和（x﹣4）2+y2＝1的圆心分别为F1（﹣4，0），F2（4，0），又点P为椭圆为上任意一点，∴|PF1|+|PF2|＝12，由图可知，|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|﹣3＝9；故答案为：9．三．解答题（每题8分，共32分）16．设命题p：方程表示双曲线；命题q：“方程表示焦点在x轴上的椭圆”．（1）若p和q均为真命题，求m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．解：（1）若p为真命题，则（1﹣m）（m+2）＜0，得m＞1，或m＜﹣2，若q为真命题，则m2＞2m＞0，得m＞2，故p和q均为真命题时，取交集得，m的取值范围为：m＞2．（2）因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假，当p真q假时，，解得m＜﹣2，或1＜m≤2，当p假q真时，，无解综上，实数m的取值范围为m＜﹣2或1＜m≤2．17．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表：组号分组频率第1组[160，165）0.05第2组[165，170）0.35第3组[170，175）①第4组[175，180）0.20第5组[180，185] 0.10（1）求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；（2）根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数（结果都保留两位小数）．解：（1）由频率分布表的性质得：①处应填写的数据为：1﹣（0.05+0.35+0.20+0.10）＝0.30．完成频率分布直方图如下：（2）平均数为：0.05×162.5+0.35×167.5+0.3×172.5+0.2×177.5+0.1×182.5＝172.25．∵0.05+0.35+x＝0.5，解得x＝0.1，∴中位数为：170+0.1＝170.10．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面△ADP为等腰直角三角形，PA＝PD，AB＝PB＝2，点E为棱AD的中点．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面△ADP为等腰直角三角形，PA＝PD，AB＝PB＝2，点E为棱AD的中点．∴PE⊥AD，PE＝1，BE⊥AD，BE＝＝，∴PE2+BE2＝PB2，∴PE⊥BE，∵AD∩BE＝E，∴PE⊥平面ABCD．（2）解：以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1），C（﹣2，，0），＝（1，﹣，0），＝（0，，﹣1），＝（﹣2，，﹣1），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，），设直线AB与平面PBC所成角为θ，∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．19．在区间[1，6]上任取一个数记为a，在区间[1，5]上任取一个数记为b．（1）若a，b∈N*，求直线ax﹣by＝1的斜率为的概率；（2）若a，b∈R，求直线ax﹣by＝1的斜率为的概率．解：（1）∵在区间[1，6]上任取一个数记为a，在区间[1，5]上任取一个数记为b，a，b∈N*，∴a＝1，2，3，4，5，6，n＝1，2，3，4，5．∴基本事件总数N＝6×5＝30，直线ax﹣by＝1的斜率为，即，也就是2a≤b，满足条件的基本事件（a，b）有6个，分别是：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），∴直线ax﹣by＝1的斜率为的概率P＝；（2））∵在区间[1，6]上任取一个数记为a，在区间[1，5]上任取一个数记为b，a，b ∈R，∴有序实数对（a，b）满足，而满足直线ax﹣by＝1的斜率为，即，如图：S ABCD＝5×4＝20，．∴直线ax﹣by＝1的斜率为的概率P＝．四．阅读与探究（本题8分）20．阅读以下材料，然后回答（1）、（2）两个问题：例3如图1，设点A，B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM的斜率之积是，求点M的轨迹方程．分析：设点M的坐标为（x，y），那么直线AM，BM的斜率就可以用含x，y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是，因此可以建立x，y之间的关系式，得出点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（﹣5，0），所以，直线AMD的斜率同理，直线BM的斜率由已知有：化简，得点M的轨迹方程为：．（1）如图2，点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状；（2）结合阅读材料及（1）的结果，你有什么发现？请写出你的结论（不需证明）．以下第（3）问是附加题，考生可选做，做对的2分，不做不扣分．（3）仿照材料中例3和问题（1），请你提出一个变式问题，不需解答．解：（1）设M（x，y），则AM斜率k1＝，BM斜率k2＝．∴k1k2＝•＝（y≠0），整理得，4x2﹣9y2＝100（y≠0），即（y≠0）；（2）点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是k时，①当k＜0（k≠﹣1）时，M的轨迹为焦点在x轴或y轴的椭圆（不含与x轴的交点或y ≠0）；②当k＞0时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点）；（3）设点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（5，0），直线AM、BM相交于M，且它们的斜率之积为﹣1时．求点M的轨迹方程．。
四川省成都七中实验学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷(理科)Word版含解析
四川省成都七中实验学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．）1．已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（0，﹣3），（0，3）C．（﹣，0），（，0）D．（0，﹣），（0，）2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或23．直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于（）A．0 B．﹣20 C．0或﹣20 D．0或﹣104．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．25．设A为圆（x﹣1）2+y2=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x6．直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不确定7．已知（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的斜率是（）A．B．C．D．8．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．B．C．D．9．过定点（1，2）可作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．﹣3＜k＜2 C．k＜﹣3或k＞2 D．以上皆不对10．已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为（）A．B．C．D．011．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）12．如图所示，已知椭圆C： +y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M与C的焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得=，=，D是椭圆C上一点，延长MD到N，若=+，则|PN|+|QN|=（）A．10 B．5 C．6 D．3二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a=．14．椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，，则=．15．若直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后与圆x2+y2=1相切，则m=．16．已知实数x、y满足方程x2+y2+4y﹣96=0，有下列结论：①x+y的最小值为；②对任意实数m，方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解；③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为y=3；④若x，y∈N*，则xy的值为36或32．以上结论正确的有（用序号表示）三、解答题（共6小题，共70分）17．已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x ﹣2y﹣6=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．18．求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过两点；（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点．19．（1）△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求它的外接圆的方程；（2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．20．已知椭圆的短轴长为4，焦距为2．（1）求C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A、B 两点，求AB的长．21．已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切（Ⅰ）求圆M的标准方程；（Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1x2，求直线L的方程．22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．四川省成都七中实验学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．）1．已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（0，﹣3），（0，3）C．（﹣，0），（，0）D．（0，﹣），（0，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得该椭圆的焦点在y轴上，且a2=10，b2=1，计算可得c的值，进而由焦点坐标公式可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为，则其焦点在y轴上，且a2=10，b2=1，则c2=a2﹣b2=9，即c=3，故其焦点的坐标为（0，3），（0，﹣3）；故选：B．2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，所以=，所以（x+3）2=25．解得x=2或﹣8．故选C．3．直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于（）A．0 B．﹣20 C．0或﹣20 D．0或﹣10【考点】两条平行直线间的距离．【分析】直线x+2y﹣5=0，可化为2x+4y﹣10=0，利用直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，建立方程，即可求出a．【解答】解：直线x+2y﹣5=0，可化为2x+4y﹣10=0，∵直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，∴=，∴a=0或﹣20．故选：C．4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【考点】简单线性规划．【分析】1．作出可行域2目标函数z的几何意义：直线截距2倍，直线截距去的最大值时z也取得最大值【解答】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．5．设A为圆（x﹣1）2+y2=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x【考点】轨迹方程．【分析】结合题设条件作出图形，观察图形知图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，由此能求出其轨迹方程．【解答】解：作图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，其轨迹方程为（x﹣1）2+y2=2．故选B．6．直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线y=kx+1﹣2k=k（x﹣2）+1，恒过点P（2，1），只需判断点P（2，1）与椭圆的位置关系即可．【解答】解：直线y=kx+1﹣2k=k（x﹣2）+1，恒过点P（2，1），∵，∴点P（2，1）在椭圆内部，∴直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为相交．故选：A．7．已知（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的斜率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设直线l被椭圆+=1所截得的线段AB，A（x1，y1），B（（x2，y2），⇒+=0，⇒，【解答】解：设直线l被椭圆+=1所截得的线段AB，A（x1，y1），B（（x2，y2）线段AB中点为（1，1），∴x1+x2=2，y1+y2=2，⇒+=0，⇒，l的斜率是．故选：C8．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【分析】由kx+y+1﹣k=0，得y=﹣k（x﹣1）+1，斜率为﹣k，分别求出k BC，k AC，由此利用数形结合法能求出k的取值范围．【解答】解：由kx+y﹣k﹣1=0，得y=﹣k（x﹣1）+1，∴直线过定点C（1，1），又A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），讨论临界点：当直线l 经过B 点（﹣3，﹣2）时，k BC =﹣k==，结合图形知﹣k ∈[，+∞）成立，∴k ∈（﹣∞，﹣]； 当直线l 经过A 点（2，﹣3）时，k AC =﹣k==﹣4，结合图形知﹣k ∈（﹣∞，﹣4]，∴k ∈[4，+∞）．综上k ∈（﹣∞，﹣]∪[4，+∞）． 故选：C9．过定点（1，2）可作两直线与圆x 2+y 2+kx +2y +k 2﹣15=0相切，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞2B ．﹣3＜k ＜2C ．k ＜﹣3或k ＞2D ．以上皆不对【考点】圆的切线方程．【分析】把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，可求k 的范围，根据过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k 的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x +k ）2+（y +1）2=16﹣k 2，所以16﹣k 2＞0，解得：﹣＜k ＜，又点（1，2）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，解得：k＞2或k＜﹣3，则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2，）．故选D10．已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为（）A．B．C．D．0【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．【分析】根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，根据椭圆方程求得焦距，进而利用三角形面积公式和内切圆的性质建立等式求得P点纵坐标，最后利用向量坐标的数量积公式即可求得答案．【解答】解：椭圆+=1的a=2，b=，c=1．根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，不妨设P是椭圆+=1上的第一象限内的一点，S△PF1F2=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•==|F1F2|•y P=y P．所以y p=．则=（﹣1﹣x p，﹣y P）•（1﹣x P，﹣y P）=x p2﹣1+y p2=4（1﹣）﹣1+y p2=3﹣=故选B．11．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选D12．如图所示，已知椭圆C： +y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M与C的焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得=，=，D是椭圆C上一点，延长MD到N，若=+，则|PN|+|QN|=（）A．10 B．5 C．6 D．3【考点】椭圆的简单性质．【分析】由向量线性运算的几何意义可得，故而DF2∥QN，DF1∥PN，于是，于是=5a．【解答】解：∵，即，∴，∴，又，，∴，，∴，∴DF2∥NQ，DF1∥NP，∴，，∴，根据椭圆的定义，得|DF1|+|DF2|=2a=4，∴，故选A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a=﹣8．【考点】直线的斜率．【分析】由题意和直线的斜率公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：由题意可得AC的斜率等于AB的斜率，∴=，解得a=﹣8故答案为：﹣814．椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，，则=8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义及椭圆标准方程求得到|PF1|+|PF2|=2a=6，由∠F1PF2=90°可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=（2c）2=20，两边平方即可求得|PF1|•|PF2|．【解答】解：∵椭圆方程：圆，∴a2=9，b2=4，可得c2=a2﹣b2=5，设|PF1|=m，|PF2|=n，∵∠F1PF2=90°，可得PF1⊥PF2，m+n=6，m2+n2=20∴36=20+2mn得2mn=16，即mn=8，∴|PF1|•|PF2|=8．故答案为：815．若直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后与圆x2+y2=1相切，则m=23或13．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的方程，找出圆心坐标和半径r，根据平移规律“上加下减，左加右减”表示出平移后直线的方程，根据平移后直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心坐标为（0，0），半径r=1，直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后解析式为：3（x﹣2）+4（y﹣3）+m=0，即3x+4y+m﹣18=0，由此时直线与圆相切，可得圆心到直线的距离d==1，解得：m=23或13．故答案为23或13．16．已知实数x、y满足方程x2+y2+4y﹣96=0，有下列结论：①x+y的最小值为；②对任意实数m，方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解；③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为y=3；④若x，y∈N*，则xy的值为36或32．以上结论正确的有①③④（用序号表示）【考点】圆的一般方程．【分析】根据圆的标准方程得到圆的参数方程，由x+y=﹣2+10sin（θ+45°）≥﹣2﹣10，判断①正确；方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0表示过点（0，8）的直线系，而点程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0表示过点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上，故直线和圆可能相切、相交，判断②不正确；由圆的对称性、切线的对称性知，A，B关于y轴对称，求出点M到AB的距离为15，故AB的方程为y=18﹣15=3，判断③正确；利用圆x2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），从而得到x，y∈N*时xy的值，判断④正确．【解答】解：方程x2+y2+4y﹣96=0 即x2+（y+2）2=100，表示以（0，﹣2）为圆心，以10为半径的圆．令x=10cosθ，y=﹣2+10sinθ，有x+y=﹣2+10sin（θ+45°）≥﹣2﹣10，故①正确；方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）即m（x﹣2y+16）﹣（2x+y﹣8）=0，表示过x﹣2y+16=0 与2x+y﹣8=0交点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上，故有的直线和圆有两个交点，有的直线和圆有一个交点，故②不正确；过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A，B，由圆的对称性、切线的对称性知，A，B关于y轴对称．而切线MA=，MA 与y轴的夹角为30°，点M到AB的距离为MA•cos30°=15，故AB的方程为y=18﹣15=3，故③正确；圆x2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），若x，y∈N*，则xy的值为36或32，故④正确．综上，①③④正确，故答案为：①③④．三、解答题（共6小题，共70分）17．已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x ﹣2y﹣6=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出交点坐标，利用与直线x﹣2y﹣6=0垂直，求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，根据点到直线的距离公式，建立方程，即可求实数a的值．【解答】解：（1）联立两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0，得交点（1，6），∵与直线x﹣2y﹣6=0垂直，∴直线l的方程为2x+y﹣8=0；（2）∵点P（a，1）到直线l的距离为，∴=，∴a=6或1．18．求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过两点；（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程；（2）由椭圆，求得焦点坐标，设所求椭圆的方程为，（a2＞5），将A（﹣3，2）代入椭圆方程，求得a2的值，即可求得椭圆的标准方程．【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0，m≠n），∵椭圆经过点，∴，解得m=，n=，∴所求的椭圆方程为；（2）∵椭圆的焦点为F（±，0），∴设所求椭圆的方程为，（a2＞5），把点（﹣3，2）代入，得，整理，得a4﹣18a2+45=0，解得a2=15，或a2=3（舍）．∴所求的椭圆方程为．19．（1）△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求它的外接圆的方程；（2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】（1）首先设所求圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，然后根据点A （5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）在圆上列方程组解之；（2）由已知得AB⊥AC，AB=4，AC=5，BC=12，由此求出△ABC内切圆的半径和圆心，由此能求出△ABC内切圆的方程．【解答】解：（1）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，①因为A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是，可解得a=2，b=﹣3，r=25，所以△ABC的外接圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=25．（2）∵△ABC三个顶点坐标分别为A（0，0），B（5，0），C（0，12），∴AB⊥AC，AB=5，AC=12，BC=13，∴△ABC内切圆的半径r==2，圆心（2，2），∴△ABC内切圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．20．已知椭圆的短轴长为4，焦距为2．（1）求C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A、B 两点，求AB的长．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆的短轴长为4，焦距为2．可得a，b；（2）过F1倾斜角为45°的直线l：y=x+1．把y=x+1．代入圆的方程为：．得7x2+8x﹣8=0，由韦达定理及弦长公式可计算AB．【解答】解：（1）∵椭圆的短轴长为4，焦距为2．∴a=2，c=1，b=，椭圆的方程为：．（2）由（1）得椭圆C的左焦点F1（﹣1，0），过F1倾斜角为45°的直线l：y=x+1．把y=x+1．代入圆的方程为：．得7x2+8x﹣8=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），x1，+x2=﹣，x1x2=﹣，AB==．21．已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切（Ⅰ）求圆M的标准方程；（Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1x2，求直线L的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），由直线3x﹣4y+9=0与圆M相切可求出a值，进而可得圆M的标准方程；（Ⅱ）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，满足条件，当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，可求出满足条件的k值，进而得到直线L的方程，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），∵直线3x﹣4y+9=0与圆M相切∴=3．解得a=2，或a=﹣8（舍去），所以圆的方程为：（x﹣2）2+y2=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于A（0，），B（0，﹣），此时+=x1x2=0，所以x=0符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2=9，整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）所以由已知得：整理得：7k2﹣24k+17=0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣把k值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k）2﹣16（1+k2）=48k+20k2中，判别式的值都为正数，所以，所以直线L为：，即x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0综上：直线L为：x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a、b的值，代入椭圆方程即可；（2）设A、B、P的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理及向量知识，即可求t的范围．【解答】解：（1）由题意知，…1分所以．即a2=2b2．…2分又∵椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，∴，…3分，则a2=2．…4分故椭圆C的方程为．…6分（2）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得…7分且，．∵足，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．当t=0时，不满足；当t≠0时，解得x==，y===，∵点P在椭圆上，∴，化简得，16k2=t2（1+2k2）…8分∵＜，∴，化简得，∴，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，解得，即，…10分∵16k2=t2（1+2k2），∴，…11分∴或，∴实数取值范围为…12分。
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试文科数学试卷 Word版含解析 (2)
北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4 B．C．1 D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．25．（4分）命题“∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是（）A．∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限B．∃k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限C．∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限D．∀k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB=4，AC=3，BD=12，则线段CD的长为．14．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知直线l：y=x+t与椭圆C：x2+2y2=2交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴长和焦点坐标；（Ⅱ）若|AB|=，求t的值．17．（12分）如图所示的几何体中，直线AF⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF为梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求证：直线BD⊥平面ACF；（Ⅲ）若直线AE⊥CF，求a的值．18．（10分）已知椭圆，经过点A（0，3）的直线与椭圆交于P，Q两点．（Ⅰ）若|PO|=|PA|，求点P的坐标；（Ⅱ）若S△OAP=S△OPQ，求直线PQ的方程．北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：直线的倾斜角与斜率之间的关系解答：解：设倾斜角为θ，θ∈可得，解得m=4．故选：A．点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B点评：本题考查三视图、三棱柱的体积，本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．基础题．4．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．2考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系结合弦长公式即可得到结论．解答：解：圆心到直线的距离d=，则直线l被圆O所截的弦长为==，故选：C点评：本题主要考查直线和圆相交的应用，根据圆心到直线的距离结合弦长公式是解决本题的关键．5．（4分）命题“∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是（）A．∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限B．∃k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限C．∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限D．∀k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：命题为特称命题，则根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限，故选：C点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的性质是解决本题的关键．7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，利用线面垂直的判定判定AD⊥面BCE，由此说明A正确；由三垂线定理结合∠BEC为锐角三角形说明B错误；举例说明C错误；由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明D错误．解答：解：如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了线线垂直与线面平行的判定，考查了空间想象能力，是中档题．8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）A．B．C．D．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化简方程+|y|=1，得到x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，通过图象观察，即可得到到原点距离的最小值．解答：解：+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故选A．点评：本题考查曲线方程的化简，考查两点的距离公式的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=1或﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行关系可得向量相等，排除截距相等即可．解答：解：当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣1点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想11．（4分）已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7．考点：椭圆的定义．专题：计算题．分析：椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．解答：解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：7点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，属于基础题．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意和椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，由椭圆的性质即可求出椭圆C的离心率．解答：解：因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单几何性质的应用，解题的关键确定点P的位置，属于中档题．13．（4分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB=4，AC=3，BD=12，则线段CD的长为13．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由于本题中的二面角是直角，且两线段都与棱垂直，可根据题意作出相应的长方体，CD恰好是此长方体的体对角线，由长方体的性质求出其长度即可．解答：解：如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC，BD分别在α，β内垂直于棱l，AB=4，AC=3，BD=12，作出以线段AB，BD，AC为棱的长方体，CD即为长方体的对角线，由长方体的性质知，CD==13．故答案为：13．点评：本题考查与二面角有关的线段长度计算问题，根据本题的条件选择作出长方体，利用长方体的性质求线段的长度，大大简化了计算，具体解题中要注意此类问题的合理转化．14．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点F，设P（m2，m），运用两点的距离公式，结合条件|AP|=|PF|，计算可得m，再由两点的距离公式计算即可得到结论．解答：解：抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，同时考查两点的距离公式的运用，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：（1）由已知中直线过点A我们可以设出直线的点斜式方程，然后化为一般式方程，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线的方程；（2）设出P点的坐标，借助坐标来表示两个向量的数量积，再根据P在圆上的条件，进而得到结论．解答：（本小题满分10分）解：（ I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（ II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系是关键，还考查了向量数量积的坐标表示．16．（12分）已知直线l：y=x+t与椭圆C：x2+2y2=2交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴长和焦点坐标；（Ⅱ）若|AB|=，求t的值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出椭圆的标准方程，即可求椭圆C的长轴长和焦点坐标；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程转化为一元二次方程，结合弦长公式进行求解即可．解答：解：（ I）因为x2+2y2=2，所以，所以，所以c=1，所以长轴为，焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．（ II）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．因为，消元化简得3x2+4tx+2t2﹣2=0，所以，所以，又因为，所以，解得t=±1．点评：本题主要考查椭圆方程的应用和性质，以及直线和椭圆相交的弦长公式的应用，转化一元二次方程是解决本题的关键．17．（12分）如图所示的几何体中，直线AF⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF为梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求证：直线BD⊥平面ACF；（Ⅲ）若直线AE⊥CF，求a的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）由AB∥CD，DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D，可证平面ABF∥平面DCE即可证明CE∥平面ABF．（II）先证明AC⊥BD，AF⊥BD，即可证明直线BD⊥平面ACF．（Ⅲ）连接 FD，易证明CD⊥AE．又AE⊥CF，可证AE⊥FD．从而可得，即有，即可解得a的值．解答：（本小题满分12分）解：（ I）因为ABCD为正方形，所以AB∥CD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D．所以平面ABF∥平面DCE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）而CE⊂平面EDC，所以CE∥平面ABF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为AF∩AC=A，所以直线BD⊥平面ACF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）连接 FD．因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CD，又CD⊥AD，AD∩AF=A所以CD⊥平面ADEF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以CD⊥AE．又AE⊥CF，FC∩CD=C，所以AE⊥平面FCD，所以AE⊥FD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以，所以==解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）．点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考察了转化思想，属于中档题．18．（10分）已知椭圆，经过点A（0，3）的直线与椭圆交于P，Q两点．（Ⅰ）若|PO|=|PA|，求点P的坐标；（Ⅱ）若S△OAP=S△OPQ，求直线PQ的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由|PO|=|PA|，得P在OA的中垂线上，求出中垂线方程，代入椭圆方程进行求解即可求点P 的坐标；（Ⅱ）求出直线方程，联立直线和椭圆方程，转化为一元二次方程，结合三角形面积之间的关系即可得到结论．解答：解：（ I）设点P（x1，y1），由题意|PO|=|PA|，所以点P在OA的中垂线上，而OA的中垂线为，所以有．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）把其代入椭圆方程，求得x1=±1．所以或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设Q（x2，y2）．根据题意，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+3，所以．消元得到（3+4k2）x2+24kx+24=0，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为S△OAP=S△OPQ，所以S△OAQ=2S△OPQ，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）所以有|x1|=2|x2|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）因为，所以x1，x2同号，所以x1=2x2．所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）解方程组得到，经检验，此时△＞0，所以直线PQ的方程为，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）法二：设Q（x2，y2），因为S△OAP=S△OPQ，所以|AP|=|PQ|．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）即点P为线段OQ的中点，所以x2=2x1，y2=2y1﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）把点P，Q的坐标代入椭圆方程得到﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解方程组得到或者，即，或者．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以直线PQ的斜率为或者，所以直线PQ的方程为，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题主要考查椭圆方程的应用和性质，直线和椭圆相交的性质，利用设而不求的思想是解决本题的关键．考查学生的运算能力．。
应县第一中学校高二数学上学期期末考试试题理含解析
14.已知p：（x－m)2〉3(x－m）是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
【答案】｛m｜m≥1或m≤－7｝
【解析】
由命题p中的不等式（x－m）2〉3(x－m)变形，得（x－m)(x－m－3)>0，解得x〉m＋3或x〈m；
【详解】双曲线 ： 的右焦点为 ， 由 ,可得直线 的方程为 ， , 设直线 与双曲线相切，且切点为左支上一点， 联立 ，可得 ，
由 , 解得 （4舍去），
可得 到直线 的距离为 ，
即有 的面积Байду номын сангаас最小值为 ．
故答案为: ．
【点睛】本题考查三角形的面积的最小值的求法,注意运用联立直线方程和双曲线方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
【详解】(Ⅰ）当 t＝1 时，
≤3 在［1，＋∞)上恒成立，故命题 q 为真命题．
（Ⅱ)若 p∨q 为假命题，则 p,q 都是假命题．
当 p 为假命题时，Δ＝ －4<0，解得－1〈t〈1；
当 q 为真命题时， ≤4 －1，即 －1≥0，解得 t≤ 或 t≥
∴当 q 为假命题时,
∴t 的取值范围是 .
所以圆心到直线的距离
可解得 ，所以切线方程为
当在x轴与y轴上的截距不为0时，设切线方程为
所以 ,解得 或 (舍)，即切线方程为
所以共有3条切线方程
所以选C
【点睛】本题考查了点到直线距离 简单应用，直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.给出下列两个命题，命题 “ "是“ ”的充分不必要条件;命题q：函数 是奇函数，则下列命题是真命题的是( ）
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y 2=2，则其圆心和半径分别为（ ）A ．（1，0），2B ．（﹣1，0），2C ．D ．2．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ）A ．B ．1C ．2D ．43．双曲线4x 2﹣y 2=1的一条渐近线的方程为（ ）A ．2x+y=0B ．2x+y=1C ．x+2y=0D ．x+2y=14．在空间中，“直线a ，b 没有公共点”是“直线a ，b 互为异面直线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知A ，B 为圆x 2+y 2=2ax 上的两点，若A ，B 关于直线y=2x+1对称，则实数a=（ ）A ．B ．0C ．D ．16．已知直线l 的方程为x ﹣my+2=0，则直线l （ ）A ．恒过点（﹣2，0）且不垂直x 轴B ．恒过点（﹣2，0）且不垂直y 轴C ．恒过点（2，0）且不垂直x 轴D ．恒过点（2，0）且不垂直y 轴7．已知直线x+ay ﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a 的取值是（ ）A ．2B ．±2C ．﹣2D ．08．已知两直线a ，b 和两平面α，β，下列命题中正确的为（ ）A ．若a ⊥b 且b ∥α，则a ⊥αB ．若a ⊥b 且b ⊥α，则a ∥αC ．若a ⊥α且b ∥α，则a ⊥bD ．若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ． 12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 ．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 ．14．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 的两组对边均不平行．①在平面PAB 内不存在直线与DC 平行；②在平面PAB 内存在无数多条直线与平面PDC 平行；③平面PAB 与平面PDC 的交线与底面ABCD 不平行；上述命题中正确命题的序号为 ．15．已知向量，则与平面BCD 所成角的正弦值为 ．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为 ，表面积为 ．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC 的三个顶点坐标为A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．19．已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．故选：A．4．在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解．【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0 C．D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，C的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于a的方程，即可得到实数a的值．【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x即可得出定点，再利用斜率即可判断出与y轴位置关系．【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，故选：B．7．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×4﹣a•a=0，解得a值排除重合可得．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A8．已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥α B．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D ，若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β或者a 在平面β内，故D 错误；故选：C ．9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出P 的坐标，设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==，可得∠APB=120°，即可求出cos ∠APB ．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P 的横坐标为3，不妨取点P （3，2），设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==， ∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos ∠APB=﹣． 故选：C ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1P 的长度的最大值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设P （a ，b ，0），则D 1（0，0，2），E （1，2，0），B 1（2，2，2），=（a ﹣2，b ﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2）， ∵B 1P ⊥D 1E ，∴=a ﹣2+2（b ﹣2）+4=0，∴a+2b ﹣2=0，∴点P 的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD 中点F ，则点P 在线段AF 上，当A 与P 重合时，线段B 1P 的长度为：|AB 1|==2； 当P 与F 重合时，P （0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B 1P 的长度||==3， 当P 在线段AF 的中点时，P （1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B 1P 的长度||==． ∴线段B 1P 的长度的最大值为3．故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ∃x ∈R ，x 2＜0 ． 【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0． 故答案为：∃x ∈R ，x 2＜0．12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a ．【解答】解：椭圆x 2+9y 2=9即为+y 2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 （2，+∞） ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得m ＞0且m ﹣2＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【考点】棱锥的结构特征．【分析】①用反证法利用线面平行的性质即可证明．②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，即可判断；③用反证法利用线面平行的性质即可证明．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出与平面BCD所成角的正弦值．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为2，底边的高为1，棱锥的高为．棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程．【分析】（1）证明•=﹣16+16=0，可得⊥，即可证明△ABC 是直角三角形；（2）求出△ABC 的外接圆的方程，利用△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求m 的值．【解答】（1）证明：∵A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC 是直角三角形；（2）解：△ABC 的外接圆是以BC 为直径的圆，方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=25，∵△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出CC 1∥AA 1，AD ∥BC ，从而平面AA 1D ∥平面CC 1B ，由此能证明AE ∥平面CC 1B ． （Ⅱ）法1：推导出AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD ，以AB ，AD ，AA 1分别x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A 1D ⊥平面ABE ．法2：推导出AA 1⊥AB ，AB ⊥AD ，从而AB ⊥A 1D ，再由AE ⊥A 1D ，能证明A 1D ⊥平面ABE ．（Ⅲ）推导出平面EFD ⊥平面ABE ，从而二面角D ﹣EF ﹣B 为90°，设，且λ∈[0，1]，则G （2，2，3λ），再由A 1D ⊥BG ，能求出CG 的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，所以CC 1∥AA 1，因为ABCD 是正方形，所以AD∥BC，因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），，，因为，所以，所以A1D⊥平面ABE．法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，所以AB⊥A1D．因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，所以A1D⊥平面ABE．（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面ABE．因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．19．已知椭圆G ：的离心率为，经过左焦点F 1（﹣1，0）的直线l 与椭圆G 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，且点C 在线段AB 上．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若|AF 1|=|CB|，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b 2=a 2﹣c 2=3，则椭圆G 的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），由消y ，并化简整理得（4k 2+3）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，因为点C ，F 1都在线段AB 上，且|AF 1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=（x 2，y 2﹣y C ），所以﹣1﹣x 1=x 2，即x 1+x 2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．。
2019-2020学年山东省宁阳县第四中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省宁阳县第四中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则（ ） A ．ac bc > B ．a c b c ->-C ．22a b >D ．11a b< 【答案】B【解析】利用不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】∵a ＞b ，∴a ﹣c ＞b ﹣c ，因此B 正确．c≤0时，A 不正确；取a=﹣1，b=﹣2，C 不正确；a ＞0＞b 时，D 不正确. 故选B ． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知368,7S S ==，则789a a a ++等于( )A ． 18B ．18-C ．578D ．558【答案】A【解析】根据等比数列的性质36396,,S S S S S --成等比数列求解即可. 【详解】因为78996a a a S S ++=-,且36396,,S S S S S --也成等比数列,63781S S -=-=-. 即8,－1,96S S -成等比数列,所以968()1S S -=,即9618S S -= 所以78918a a a ++= 故选：A 【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和性质,属于基础题型.3．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：623OP OA OB OC =++，则（ ）A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面 【答案】B【解析】由已知得111632OP OA OB OC =++，可得1111632++=，利用共面向量定理即可判断出． 【详解】解：由已知得111632OP OA OB OC =++， 而1111632++=， ∴四点P 、A 、B 、C 共面．故选：B ． 【点睛】本题考查了共面向量定理，属于基础题．4．已知双曲线22215x y a -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A B ．3C ．5D ．【答案】A【解析】抛物线焦点为()3,0,故2253,2a a +==,双曲线焦点到渐近线的距离等于b ,所以选A .5．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，且2OM MA =，BN NC =，则MN =（ ）A ．221332a b c ++ B ．111222a b c +- C ．211322a b c -++ D ．121232a b c -+ 【答案】C【解析】根据MN ON OM =-，再由2OM MA =，BN NC =，得到()()2211,3322a OM OA ON OB OC cb =+===+，求解.【详解】因为MN ON OM =-，又因为()()2211,3322a OM OA ON OB OC c b =+===+， 所以211322MN a b c =-++.故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，对一切自然数n ，都有1n n S nT n =+，则55a b 等于（） A ．34B ．56C ．910D ．1011【答案】C【解析】取9n =代入计算得到答案. 【详解】()()19199595999,922a ab b S a T b ++====，59591199a S b T ∴==， 又∵当9n =时，99910S T =，5959910a Sb T ∴==．故选:C ． 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和与通项的关系，判断9n =是解题的关键. 7．不等式2210ax x -+>对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+ B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞【答案】B【解析】把不等式2210ax x -+>对1()2,x ∈+∞恒成立，转化为221a x x >-恒成立，结合二次函数的性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，不等式2210ax x -+>对1()2,x ∈+∞恒成立，即221a x x>-恒成立， 设22211()11f x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，由1()2,x ∈+∞可得()10,2x ∈， 所以()(1)1max f x f ==，只需1a >，即a 的取值范围为()1,+∞. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中合理利用分离参数，转化为二次函数的最值问题是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.8．已知抛物线2:4C y x =的焦点F 和准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-，则||AB =（ ） A ．23B ．43C ．323D ．163【答案】C【解析】由题设||,|FA |3a,FB a ==解三角形求出a 的值，再求|AB|的值得解. 【详解】由题设||,|FA |3a,|AB|4a FB a ==∴=过点B 作BC ⊥l,垂足为C,则|BC|=a, 1cos 44a CBF a ∠==， 设准线l 交x 轴与D,则128cos cos ,,433DFA CBA a a ∠=∠==∴= 所以832||4433AB a ==⋅=. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、多选题9．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8 【答案】ABD【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，求得13a d =-，根据数列{}n a 是递增数列，得到,A B 正确；再由前n 项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d dS n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 由7722d nn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误， 令27022n d dS n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确.故选：.ABD 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，结合数列的函数性进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式,其中正确的有（ ）A ．1ab ≤B ≤C ．222a b +≥D ．112a b+≥ 【答案】ACD【解析】依据基本不等式相关知识分别检验证明或举出反例即可的出选项. 【详解】由题：0,0,2a b a b >>+= 由基本不等式可得：2()12a b ab +≤=，所以A 正确；当1a b ==2=>B 错误；222a b ab +≥，所以222222()2()4a b a b ab a b +≥++=+=，即222a b +≥，所以C 正确； 因为20()12a b ab +<≤=，所以121,2,2a bab ab ab+≥≥≥ 即112a b+≥，所以D 正确. 故选：ACD 【点睛】此题考查基本不等式的应用，注意适用范围，对每个选项依次验证，必须要么证明其成立，要么举出反例，能够熟记常用的基本不等式的变形对提升解题速度大有帮助. 11．给出下列命题，其中正确命题有（ ） A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底 【答案】ABCD【解析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面， 又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确． 故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点是12F F P 、，是椭圆上一点，若122PF PF =，则椭圆的离心率可以是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】BCD【解析】由椭圆的定义和题设条件122PF PF =， 求得1242,33PF a PF a ==，再在12PF F ∆中，结合三角形的性质，得到223a c ≤，求得离心率的范围，即可求解.【详解】由椭圆的定义，可得122PF PF a +=，又由122PFPF =， 解得1242,33PF a PF a ==， 又由在12PF F ∆中，1212||PF PF F F -≤，可得223a c ≤，所以13c e a =≥， 即椭圆的离心率e 的取值范围是1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟练椭圆的离心率的概念，合理应用椭圆的定义和三角形的性质，得到关于,a c 的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、填空题13．命题“2[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定为__________．【答案】200[2,),4x x ∃∈+∞<【解析】全称命题的否定为特称命题. 【详解】命题“2[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定为200[2,),4x x ∃∈+∞<. 故答案为：200[2,),4x x ∃∈+∞<【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.14．已知数列满足221n S n n =-+，则通项公式n a =______ ．【答案】2,143,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】根据数列的通项公式n a 和前n 项和n S 的关系，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，当1n =时，12112a =-+=，当2n ≥时，1n n n a S S -=-=22212(1)(1)1]4[3n n n n n -+----+=-，当1n =时，12a =，不满足43n a n =-，所以通项公式为2,143,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．故答案为：2,143,2n n n =⎧⎨-≥⎩【点睛】本题主要考查了数列的通项公式n a 和前n 项和n S 的关系，其中解答中熟记数列的通项公式n a 和前n 项和n S 的关系，准确运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，上底面中心为O ，则异面直线AO 与1DC所成角的余弦值为______3【解析】由题意，连接1AB 和1OB ，结合正方体的结构特征，得到异面直线AO 与1DC 所成角即为直线AO 与1AB 所成角，设1OAB θ∠=，在直角1AOB ∆中，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，连接1AB 和1OB ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则12AB a =， 在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//AB DC ，所以异面直线AO 与1DC 所成角即为直线AO 与1AB 所成角，设1OAB θ∠=， 在直角1AA O ∆中，可得22221126()22a a AO AA AO a =+=+=在直角1AOB ∆中，可得11632cos 22aAO AB aθ===. 3【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中结合正方体的结构特征，得到异面直线AO 与1DC 所成角即为直线AO 与1AB 所成角是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．设椭圆22162x y += 与双曲线2213x y -= 有公共焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 等于__________．【答案】13【解析】试题分析：，，，则，，【考点】1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理；四、解答题17．已知命题p ：“曲线2122:128x yC m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线222:11x y m t m t C +=---表示双曲线”．（1）若命题p 是真命题，求m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求t 的取值范围． 【答案】（1）(4,2)(4,)--+∞；（2）[4,3][4,)--+∞.【解析】（1）根据椭圆的标准方程，得到p 为真命题，则满足228280m m m ⎧>+⎨+>⎩，即可求解；（2）求得命题q 为真时，得到1t m t <<+，再根据p 是q 的必要不充分条件，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】（1）命题:p “曲线2122:128x yC m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”，若p 为真命题，则满足228280m m m ⎧>+⎨+>⎩，解得42m -<<-或4m >，即m 的取值范围(4,2)(4,)--+∞.（2）若命题q 为真，则())(10m t m t ---<，即1t m t <<+，因为p 是q 的必要不充分条件，则{|}142{|m t m t m m ≠⊂<<+-<<-或4}m >即412t t -≤≤+≤-或4t ≥，解得43t -≤≤-或4t ≥. 即实数t 的取值范围[4,3][4,)--+∞. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，以及利用充分、必要条件求解参数问题，其中解答熟记椭圆的标准方程，以及合理利用充分、必要条件转化为集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．【答案】(1) 221n a n =-；(2)221n n +. 【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得{}n a 的通项公式. （2）将{}n a 的通项公式代入,可得数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的表达式.利用裂项法即可求得前项和. 【详解】（1）数列{}n a 满足()123212=n a a n a n ++⋯+-2n ≥时,()()12132321n a a n a n ++⋯+--﹣＝ ∴()212n n a -= ∴221n a n =- 当1n =时,12a =,上式也成立 ∴221n a n =- （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+ ∴数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和 1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n =-=++ 【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.19．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+x +b ＞0的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）． （Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）求不等式ax 2-（c +b ）x +bc ＜0的解集． 【答案】(Ⅰ)1,2a b ==-；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合根与系数的关系得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得1,2a b ==-；(Ⅱ)结合(I)的结论化简不等式，然后分类讨论即可求得不等式的解集. 试题解析：（Ⅰ）由题意知-2和1是方程ax 2+x +b =0的两个根， 由根与系数的关系，得，解得；（Ⅱ）由a =1、b =-2，不等式可化为x 2-（c -2）x -2c ＜0， 即（x +2）（x -c ）＜0；则该不等式对应方程的实数根为-2和c ；所以，①当c =-2时，不等式为（x +2）2＜0，它的解集为∅； ②当c ＞-2时，不等式的解集为（-2，c ）； ②当c ＜-2时，不等式的解集为（c ，-2）． 20．设数列的前项和为，且，数列满足，点在上，（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1），（2）. 【解析】（1）利用与的递推关系可以的通项公式；点代入直线方程得，可知数列是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.【详解】由可得，两式相减得，．又，所以．故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．由点在直线上，所以．则数列是首项为1，公差为2的等差数列．则因为，所以．则，两式相减得：．所以．【点睛】用递推关系求通项公式时注意的取值范围，所求结果要注意检验的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.21．如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点.(I)证明：AE⊥PD；(II)设AB＝PA＝2，①求异面直线PB与AD所成角的正弦值；②求二面角E －AF －C 的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）①4②5 【解析】（Ⅰ）通过AE BC ⊥得到AE AD ⊥，再证明PA AE ⊥，AE ⊥平面P AD ，然后证明AE PD ⊥；（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，①求出()BP =-，()020AD =，，，得到异面直线PB 与AD 所成角的正弦函数值；②求出平面AEF 的一法向量，平面AFC 的一法向量，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值． 【详解】（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒， 可得ABC ∆为正三角形.因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥. 又//BC AD ，因此AE AD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以PA AE ⊥.而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A ⋂=， 所以AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD . 所以AE PD ⊥（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,AE AD AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，又,E F 分别为,BC PC 的中点，所以(0,0,0)A ，1,0)B -，C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，E ，1,,1)22F ，①(3,1,2),(0,2,0)BP AD =-=,.∴3cos ,||BP AD BP AD BP AD ⋅-===⋅,设异面直线PB 与AD 所成角为α，∴sin α=②31(3,0,0),(,,1).2AE AF == 设平面AEF 的一法向量为111(,,),m x y z =则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，因此11110,10.2x y z =++= 取11,(0,2,1),z m =-=-则 因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A =，所以 BD AFC ⊥平面， 故BD 为平面AFC 的一法向量. 又BD=()， 所以 cos ,m BD=55m BD m BD⋅==.因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5【点睛】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、利用法向量夹角求空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知曲线C 上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 距离之和为4，直线l 交曲线C 于,A B 两点，O 为坐标原点． （1）求曲线C 的方程；（2）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若直线l 过点(0,2)Q ，求OAB ∆面积的最大值，以及取最大值时直线l 的方程．【答案】（1）22143x y+=（2）证明见解析；（32y x =+或2y x =+ 【解析】（1）利用椭圆的定义可知曲线为2,1a c ==的椭圆，直接写出椭圆的方程． （2）设直线:l ()0,0y kx b k b =+≠≠，设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM ，然后推出直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（3）设直线方程是2y kx =+与椭圆方程联立，根据面积公式12122AOB S x x ∆=⨯⨯-=，代入根与系数的关系，利用换元和基本不等式求最值. 【详解】（1）由题意知曲线Γ是以原点为中心，长轴在x 轴上的椭圆，设其标准方程为22221x y a b +=，则有2,1a c ==，所以2223b a c =-=，∴22143x y += .（2）证明：设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+≠≠， 设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y则由22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得()223412x kx b ++=，即()2223484120k xkbx b +++-=∴122834kb x x k +=-+，∴12024234x x kbx k+==-+ ， 20022433434k b by kx b b k k =+=-+=++， 0034OM y k x k==-， ∴直线OM 的斜率与 l 的斜率的乘积=4334OM k k k k ⋅=-⋅=-为定值 （3）点()()1122,,,A x y B x y ，由222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22341640k x kx +++=， >0∆ ，解得214k >121222164,3434k x x x x k k +=-=++ ∴12122AOBS x x ∆=⨯⨯-===设()241,0,k t t -=∈+∞AOB S ∆== 16816t t++≥当4t =时，AOB S ∆.此时2414k -=，即2k =±所以直线方程是2y x =+ 【点睛】本题考查椭圆定义及方程、韦达定理的应用及三角形面积的范围等问题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．。
精品解析：福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
故函数在 上单调递减，在 上单调递增， 错误；
，根据单调性知 ， 正确；
， ，故方程 有实数解， 正确；
，易知当 时成立，当 时， ，设 ，
则 ，故函数在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，且 .
画出函数图象，如图所示：当 时有ห้องสมุดไป่ตู้个交点.
综上所述：存在实数 ，使得方程 有 个实数解， 正确；
16.设过原点的直线与双曲线 ： 交于 两个不同点， 为 的一个焦点，若 ， ，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形，计算得到
，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形.
，则 ， ，
， ，故 .
【详解】 ， ，取 得到 .
故函数在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增.
对比图象知： 满足条件.
故选： .
【点睛】本题考查了根据导数求单调区间，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
7.若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设函数 ，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到 ，得到答案.
C.当 ， 时，方程不成立，错误；
D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确；
故选： .
【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解.
10.（多选题）如图，在长方体 中， ， ， ，以直线 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，则（）
2019-2020学年湖北省黄冈市高二上学期期末考试数学试题及答案
2019-2020学年湖北省黄冈市高二上学期期末考试数学试题及答案一、单选题1．命题“任意x R ∈，都有21x x ++＞0”的否定为（）A ．对任意x R ∈，都有21x x ++≤0B ．不存在x R ∈，都有21x x ++≤0C ．存在0x R ∈，使得2001x x ++＞0D ．存在0x R ∈，使得2001x x ++≤02．某赛季某篮球运动员每场比赛得分统计如图所示，则该篮球运动员得分的中位数为（）A ．23B ．20C ．21.5D ．223．已知变量x 与y 满足关系0.89.6y x =+，变量y 与z 负相关.下列结论正确的是（）A ．变量x 与y 正相关，变量x 与z 正相关B ．变量x 与y 正相关，变量x 与z 负相关C ．变量x 与y 负相关，变量x 与z 正相关D ．变量x 与y 负相关，变量x 与z 负相关4．甲、乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率为12，乙获胜的概率为14，则甲不输的概率（）A ．34B ．14C ．18D ．125．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学能力比赛，决出第一到第五名的名次（无并列名次）.甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“虽然你们都没有得到第一，但你们也都不是最后一名”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有（）A ．36种B ．48种C ．18种D ．54种6．91x ⎫+⎪⎭常数项为（）A ．120B ．35C ．84D ．567．手机给人们的生活带来便捷，但同时也对中学生的生活和学习造成了严重的影响，某校高一几个学生成立研究性学习小组，就使用手机对学习成绩的影响随机抽取了该校100名学生的期末考试成绩并制成如下的表，则下列说法正确的是（）成绩优秀成绩不优秀合计不用手机401050使用手机54550合计4555100（附22⨯列联表2K 公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）()2P K k ≥0.0100.0050.001k6.6357.87910.828A ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩有关.B ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩无关.C ．有99.5%的把握认为使用手机对学习成绩无影响.D ．无99%的把握认为使用手机对学习成绩有影响.8．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，E 为11C D 的中点，F 为BC 的中点，则异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为（）A ．16-B ．66C ．612D ．169．下列结论中①若空间向量()123,,a a a a = ，()123,,b b b b = ，则312123a a ab b b ==是//a b的充要条件；②若2x <是x a <的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为2a <；③已知α，β为两个不同平面，a ，b 为两条直线，m αβ= ，a α⊂，b β⊂，a m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥r r”的充要条件；④已知向量n 为平面α的法向量，a为直线l 的方向向量，则//a n 是l α⊥的充要条件.其中正确命题的序号有（）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①②③④10．甲、乙两人进行羽毛球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是23，各局比赛是相互独立的，采用5局3胜制，那么乙以3:1战胜甲的概率为（）A ．827B ．227C ．881D ．328111．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中1，3至少选一个，若1，3都选则0不选，这样的五位数中偶数共有（）A ．144个B ．168个C ．192个D ．196个12．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前50项和为（）A ．2025B ．3052C ．3053D ．3049二、填空题13．已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动，则应从高一年级的学生志愿者中抽取______人.14．已知()26012661a a x a x a x x =+++-+ ，则0123456a a a a a a a -+-+-+=______.15．如图所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱1AA 的长为2，11120A AB A AD ∠=∠=︒.若11AC xAB y AD z AA =++，则x y z ++=______；则1AC 的长为______.16．某同学利用假期参加志愿者服务，现有A ，B ，C ，D 四个不同的地点，每天选择其中一个地点，且每天都从昨天未选择的地点中等可能地随机选择一个，设第一天选择A 地点参加志愿者服务，则第四天也选择A 地点的概率是______，记第n 天（*n N ∈）选择地点A 的概率为n P ，试写出当2n ≥时，n P 与1n P -的关系式为______.三、解答题17．已知()1,4,2a =- ，()2,2,4b =-.（1）若()()//3ka b a b +-，求实数k 的值.（2）若()()3ka b a b +⊥-，求实数k 的值.18．已知一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品.（1）求一、二、三等品各取到一个的概率；（2）记X 表示取到一等品的件数，求X 的分布列和数学期望.19．根据统计调查数据显示：某企业某种产品的质量指标值X 服从正态分布(),196N μ，从该企业生产的这种产品（数量很大）中抽取100件，测量这100件产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1.（1）求这100件产品质量指标值落在区间[)65,75内的频率；（2）根据频率分布直方图求平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若μ取这100件产品指标的平均值x ，从这种产品（数量很大）中任取3个，求至少有1个X 落在区间()36,78的概率.参考数据：30.18140.006≈，若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；()220.9545P X μσμσ-≤≤+=；()330.9973P X μσμσ-≤≤+=.20．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，2PD DC ==，点E 在线段PD 上且13DE DP =，点F 是PC 的中点.（1）证明：//BF 平面AEC ；（2）求二面角C EA D --的余弦值.21．一只昆虫的产卵数y 与温度x 有关，现收集了6组观测数据与下表中.由散点图可以发现样本点分布在某一指数函数曲线21c xy c e =⋅的周围.温度/x C ︒212325272931产卵数y /个711212466114令ln z y =，经计算有：xy61ii z=∑61iii x y=∑61i ii x z=∑()621ii x x =-∑2640.519.506928526.6070（1）试建立z 关于x 的回归直线方程并写出y 关于x 的回归方程21c xy c e=⋅.（2）若通过人工培育且培育成本()g x 与温度x 和产卵数y 的关系为()()ln 9.97180g x x y =⋅-+（单位：万元），则当温度为多少时，培育成本最小？注：对于一组具有线性相关关系的数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线 vu βα=⋅+ 的斜率和截距的最小二乘公式分别为 ()()()121nii i nii uu v vuuβ==--=-∑∑， v u αβ=-⋅ .22．有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取8件，经检验都为优质品时接受这批产品，若优质品数小于6件则拒收；否则做第二次检验，其做法是从产品中再另任取3件，逐一检验，若检测过程中检测出非优质品就要终止检验且拒收这批产品，否则继续产品检测，且仅当这3件产品都为优质品时接受这批产品.若产品的优质品率为0.9.且各件产品是否为优质品相互独立.（1）记X 为第一次检验的8件产品中优质品的件数，求X 的期望与方差；（2）求这批产品被接受的概率；（3）若第一次检测费用固定为1000元，第二次检测费用为每件产品100元，记Y 为整个产品检验过程中的总费用，求Y 的分布列.（附：50.90.590≈，60.90.531≈，70.90.478≈，80.90.430≈，90.90.387≈）数学试题参考答案1-10DCBAA CADBB11-12BD13．3；14．64；15．3；16．29()*111(2,)3n n P n N P n -=-≥∈17．解:()2,42,24ka b k k k +=-+-+ ,()37,2,14a b -=--.(1)∵()()//3ka b a b +- ,∴242247214k k k -+-+==--,∴13k =-.(2)∵()()3ka b a b +⊥-,∴()()()()()2742224140k k k -⨯++⨯-+-+⨯-=,∴7427k =.18．解:(1)一、二、三等品各取到一个的概率为1112343927C C C P C ==.(2)X 的取值为0,1,2,()37395012C P X C ===,()122739611122C C P X C ====,()2127391212C C P X C ===,X 的分布列为X012P51212112∴()1222123E X =+=.19．解:(1)设在区间[]75,85内频率为a ,则有0.040.120.190.30421a a a ++++++=,∴0.05a =,∴20.1a =,即落在区间[)65,75内的频率为0.1.(2)200.04300.12400.19500.30x =⨯+⨯+⨯+⨯600.2700.1800.0550+⨯+⨯+⨯=.(3)依题意有50μ=,14σ=,∴即为2x μσμσ-<<+,∴()1136780.68270.95450.818622P x <<=⨯+⨯=.则至少有一个落在区间3678x <<内的概率()3110.81860.994P =--=.20．解:如图建立空间直角坐标系.则有)3,1,0A-,)3,1,0B,()0,0,0D ,20,0,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()002P ,,,()0,2,0C ,()0,1,1F .(1)设平面AEC 的法向量(),,n x y z = ,则n EA ⊥ ,n AC ⊥,∴23,1,3EA ⎫=--⎪⎭ ,()3,3,0AC =,∴2303330y z x y --=⎪-+=⎩,令1y =,则3x =3z =,∴)3,1,3n =.又()3,0,1BF = ,且330BF n ⋅=-+= ,∴BF n ⊥ .又BF ⊄平面AEC ,∴//BF 平面AEC .(2)设平面EAD 的法向量为(),,n x y z =,∴n EA ⊥ ,n DE ⊥ ,20,0,3DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,∴2303203y z z --=⎨⎪=⎪⎩,∴0z =,令1x =,则3y =,∴()3,0n =,∴3339132cos 13θ==⨯.故二面角C EA D --的余弦值为3913.21．解:(1)由21c xy c e =⋅得21ln ln y c x c =+.令ln z y =,得21ln z c x c =+.由表格,得()()66116i i i i i i x x z z x z x z ==--=-⋅∑∑526.602619.5019.6=-⨯=.∴219.60.2870c ==,又21ln z c x c =+,∴119.50ln 0.2826 4.036c =-⨯=-.∴0.28 4.03ln z x y =-=,∴0.28 4.03x y e -=.(2)()()0.28 4.039.97180g x x x =--+20.2814180x x =-+()20.28255x =-+.即25x =时,()g x 取最小值.答:温度为25C ︒时,培育成本最小.22．解(1)依题意有:()8,0.9X B ,()80.97.2E X =⨯=,()80.90.10.72D X =⨯⨯=.(2)产品被接受的概率()8662773880.90.90.10.90.10.9P C C =+⨯+⨯⨯890.90.90.817=+=.(3)Y 的取值为1000元、1100元、1200元、1300元.()()662773810.90.10.90.11000P Y C C =-⨯+⨯=610.90.469=-=.()11000.5310.10.0531P Y ==⨯=,()12000.5310.90.10.04779P Y ==⨯⨯=.()20.5310.910.130301104P Y =⨯⨯==.分布列为:Y1000110012001300P0.4690.05310.047790.43011。
广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷含详解
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，两边平方后展开整理，即可求得 ，则 的长可求．
【详解】解： ，
，
， ，
， ，
．
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.已知等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ，若 ，则
1.“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
∴“ ”是“ ”的充分必要条件．
故选C
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
2.在等差数列 中，若 的值是
11.已知点 和点 ，直线 ， 的斜率乘积为常数 ，设点 的轨迹为 ，下列说法正确的是（）
A.存在非零常数 ，使 上所有点到两点 ， 距离之和为定值
B.存在非零常数 ，使 上所有点到两点 ， 距离之和为定值
C.不存在非零常数 ，使 上所有点到两点 ， 距离之差的绝对值为定值D.不存在非零常数 ，使 上所有点到两点 ， 距离之差的绝对值为定值
【详解】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2 ，
则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2 ，
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝ ，
则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，
则有 ＝ ，变形可得BC＝ ＝ ＝ ，
吴兴区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
吴兴区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2．设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．3．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．D．上是减函数，那么b+c（）A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣4．高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（）A．B．C．D．5．设a=60.5，b=0.56，c=log0.56，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6． 设，为正实数，，，则=（）a b 11a b+≤23()4()a b ab -=log a b A.B. C.D.或01-11-0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力.7． 直线l 将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是（ ）A ．x ﹣y+1=0，2x ﹣y=0B ．x ﹣y ﹣1=0，x ﹣2y=0C ．x+y+1=0，2x+y=0D ．x ﹣y+1=0，x+2y=08． 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为时，则输入的值为（ ）21A ．B ．C ．或D ．或21-1-21-109． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除10．设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣311．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．612．函数y=f （x ）在[1，3]上单调递减，且函数f （x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（ ）A ．f （2）＜f （π）＜f （5）B ．f （π）＜f （2）＜f （5）C ．f （2）＜f （5）＜f （π）D ．f （5）＜f （π）＜f （2）二、填空题13．函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ．14．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为21()sin cos sin 2f x a x x x =-+6x π=()f x （）A ．1B ．±1CD ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．15．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．16．命题“∃x ∈R ，2x 2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．17．若与共线，则y= ．18．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ．三、解答题19．设a ＞0，是R 上的偶函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：f （x ）在（0，+∞）上是增函数．20．在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点、两点，设xOy (2,0)C 24y x =A B ，．11(,)A x y 22(,)B x y （1）求证：为定值；12y y （2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程y AC 和弦长，如果不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）1111]已知函数()()1ln 0f x a x a a x =+≠∈R ，．（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（2）若在区间(0]e ，上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数的取值范围．22．已知函数（a ≠0）是奇函数，并且函数f （x ）的图象经过点（1，3），（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域．23．已知数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣19n+1，记T n=|a1|+|a2|+…+|a n|．（1）求S n的最小值及相应n的值；（2）求T n．24．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）求MC与平面EAC所成的角．吴兴区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，即x±y=0．根据圆（x﹣2）2+y2=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，可得，1=，∴=，，可得e=．故此双曲线的离心率为：．故选D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．2．【答案】D【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B故选D【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题3．【答案】B【解析】解：由f（x）在上是减函数，知f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈，则⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣．故选B．4． 【答案】 D 【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，故目标被击中的概率为1﹣=，故选：D ．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．5． 【答案】A【解析】解：∵a=60.5＞1，0＜b=0.56＜1，c=log 0.56＜0，∴c ＜b ＜a ．故选：A ．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题． 6． 【答案】B.【解析】，故2323()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+11a b a b ab++≤⇒≤，而事实上，2322()44()1184()82()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab ++⇒≤⇒=+≤⇒+≤12ab ab +≥=∴，∴，故选B.1ab =log 1a b =-7． 【答案】C【解析】解：圆x 2+y 2﹣2x+4y=0化为：圆（x ﹣1）2+（y+2）2=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为，直线l将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，∴直线l 的方程是：y+2=﹣（x ﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题． 8． 【答案】D 【解析】试题分析：程序是分段函数 ，当时，，解得，当时，，⎩⎨⎧=x y x lg 200>≤x x 0≤x 212=x1-=x 0>x 21lg =x 解得，所以输入的是或，故选D.10=x 1-10考点：1.分段函数；2.程序框图.11111]9． 【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．故应选B ．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧． 10．【答案】B【解析】解：若f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，则f （0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，当m=1时，f （x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，当m=﹣1时，f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣1|，此时为奇函数，满足条件，作出函数f （x ）的图象如图：则函数在上为增函数，最小值为﹣2，故正确的是B ，故选：B【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m 的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解． 11．【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=0满足条件n ＜i ，s=2，n=1满足条件n ＜i ，s=5，n=2满足条件n ＜i ，s=10，n=3满足条件n ＜i ，s=19，n=4满足条件n ＜i ，s=36，n=5所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为4，有n=4时，不满足条件n ＜i ，退出循环，输出s 的值为19．故选：B ．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 12．【答案】B【解析】解：∵函数y=f （x ）在[1，3]上单调递减，且函数f （x+3）是偶函数，∴f （π）=f （6﹣π），f （5）=f （1），∵f （6﹣π）＜f （2）＜f （1），∴f （π）＜f （2）＜f （5）故选：B【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 二、填空题13．【答案】1ln 2【解析】试题分析：()()111ln 2ln 2f x k f x ''=∴== 考点：导数几何意义【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.14．【答案】A 【解析】15．【答案】 84 ．【解析】解：（x2﹣）9的二项展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x18﹣3r，令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7===84，故答案为：84．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．16．【答案】﹣2≤a≤2【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：﹣2≤a≤2【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．17．【答案】 ﹣6 ．【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0解得y=﹣6故答案为：﹣6【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．18．【答案】 ﹣2 ．【解析】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，得，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵a＞0，是R上的偶函数．∴f（﹣x）=f（x），即+=，∴+a•2x=+，2x（a﹣）﹣（a﹣）=0，∴（a﹣）（2x+）=0，∵2x+＞0，a＞0，∴a﹣=0，解得a=1，或a=﹣1（舍去），∴a=1；（2）证明：由（1）可知，∴∵x＞0，∴22x＞1，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；【点评】本题主要考查函数单调性的判断问题．函数的单调性判断一般有两种方法，即定义法和求导判断导数正负．x=20．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为.1【解析】（2，进而得时为定值.1a =试题解析：（1）设直线的方程为，由AB 2my x =-22,4,my x y x =-⎧⎨=⎩得，∴，2480y my --=128y y =-因此有为定值．111]128y y =-（2）设存在直线：满足条件，则的中点，，x a =AC 112(,22x y E +AC =因此以为直径圆的半径，点到直线的距离AC 12r AC ===E x a =，12||2x d a +=-所以所截弦长为==．=当，即时，弦长为定值2，这时直线方程为．10a -=1a =1x =考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题.21．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；（2）()1a e e ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ，，．【解析】试题分析：（1）由1a =⇒()22111'x f x x x x -=-+=．令()'0f x =⇒1x =．再利用导数工具可得：极小值和单调区间；（2）求导并令()'0f x =⇒1x a =，再将命题转化为()f x 在区间(0]e ，上的最小值小于．当10x a =<，即0a <时，()'0f x <恒成立，即()f x 在区间(0]e ，上单调递减，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111]①若1e a≤，则()'0f x ≤对(0]x e ∈，成立，所以()f x 在区间(0]e ，上单调递减，则()f x 在区间(0]e ，上的最小值为()11ln 0f e a e a e e =+=+>，显然，()f x 在区间(0]e ，的最小值小于0不成立．②若10e a <<，即1a e>时，则有10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1a 1e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()'f x -0+()f x ↘极小值↗所以()f x 在区间(0]e ，上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，得1ln 0a -<，解得a e >，即()a e ∈+∞，，综上，由①②可知，()1a e e ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ，，符合题意．……………………………………12分考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.22．【答案】【解析】解：（1）∵函数是奇函数，则f （﹣x ）=﹣f （x ）∴，∵a ≠0，∴﹣x+b=﹣x ﹣b ，∴b=0（3分）又函数f （x ）的图象经过点（1，3），∴f （1）=3，∴，∵b=0，∴a=2（6分）（2）由（1）知（7分）当x ＞0时，，当且仅当，即时取等号（10分）当x ＜0时，，∴当且仅当，即时取等号（13分）综上可知函数f （x ）的值域为（12分）【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．23．【答案】【解析】解：（1）S n =2n 2﹣19n+1=2﹣，∴n=5时，S n 取得最小值=﹣44．（2）由S n =2n 2﹣19n+1，∴n=1时，a 1=2﹣19+1=﹣16．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n 2﹣19n+1﹣[2（n ﹣1）2﹣19（n ﹣1）+1]=4n ﹣21．由a n≤0，解得n≤5．n≥6时，a n＞0．∴n≤5时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣（a1+a2+…+a n）=﹣S n=﹣2n2+19n﹣1．n≥6时，T n=﹣（a1+a2+…+a5）+a6+…+a n=﹣2S5+S n=2n2﹣19n+89．∴T n=．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．24．【答案】【解析】（1）证明：∵AC=BC=AB，∴△ABC为等腰直角三角形，∵M为AB的中点，∴AM=BM=CM，CM⊥AB，∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AC，设AM=BM=CM=1，则有AC=，AE=AC=，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC==，在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM==，∴EM2+MC2=EC2，∴CM⊥EM；（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角，则MC与平面EAC所成的角为45°．。
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D．若 x ， y R ， xy 0 ，则 x y 2
yx
10.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难； 次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的
.
14．不等式 x 1 3 的解集是________． x
15.已知双曲线 x2 y2 1的离心率为 2，焦点与椭圆 x2 y 2 1的焦点相同，那
a2 b2
25 9
么双曲线的渐近线方程为
16．已知 ab 1 , a,b 0,1 ，那么 1 2 的最小值为_______
2
1a 1b
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
D．此人后三天共走了 42 里路 11.若数列{an} 满足：对任意正整数 n ，{an1 an} 为递减数列，则称数列{an} 为“差
-2-
递减数列”．给出下列数列{an}(n N*) ，其中是“差递减数列”的有 (
)
A． an 3n
B． an n2 1
C． an n
D．
an
ln
n n 1
4.已知等比数列 an 为单调递增数列，设其前 n 项和为 Sn ，若 a2 2 ， S3 7 ，则
a5 的值为（
）
A．16
B．32
5.下列不等式或命题一定成立的是(
C．8 )
D． 1 4
①lg(x2+ 1 )⩾lgx(x>0); 4
②sinx+ 1 ⩾2(x≠kπ,k∈Z)； sin x
③x2+1⩾2|x|(x∈R); A. ①② B. ②③
22. （本小题满分 12 分）
已知椭圆
C1：
x a
2 2
y2 b2
1a b 0 ，F 为左焦点，A 为上顶点，B(2,0)为右顶点，
若 7 AF 2 AB ，抛物线 C2 方程；
(2)是否存在过 F 点的直线，与 C1 和 C2 交点分别是 P，Q 和 M，N，使得
S△OPQ=
1 2
S△OMN？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
平行，则实数 n 的值是（
）
A．6
B．－6
C．4
D．－4
3. 已知椭圆 C： x2 y 2 1a b 0 ，若长轴长为 6，且两焦点恰好将长轴三等
a2 b2
分，则此椭圆的标准方程为（
）
A. x2 y 2 1 98
B. x2 y 2 1 36 32
C. x2 y 2 1 95
D. x2 y 2 1 16 12
）
A．192
B．96
C．93
D．189
8．已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1a b 0 的左右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e,若椭圆上存
在点
P,使得
PF1 PF2
e ，则该离心率 e 的取值范围是（
）
A. 2 1,1
B.
2 2
,1
C. 0, 2 1
D.
0,
2
2
二、多项选择：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9. 给出下面四个推断，其中正确的为 ( ) A．若 a ， b(0,) ，则 b a 2
ab
B．若 x ， y (0, ) ，则 lgx lgy 2 lgx lgy
C．若 a R ， a 0 ，则 4 a 4
骤.
17.（本题满分 10 分）
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 a2 a5 25 ， S5 55 .
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）设 anbn
1 3n
1
，求数列
bn
的前
n
项和
Tn.
18．(本小题满分 12 分) 设集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必 要条件，试求满足条件的实数 a 组成的集合．
保密★启用前
高二数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1．设 a b 0，则下列各不等式一定成立的是 (
)
A． a2 ab b2
B． a2 ab b2
C． a2 b2 ab
D． a2 b2 ab
2．已知向量 a ＝(0，1，1)， b ＝(1，－2，1)．若向量 a + b 与向量 c ＝(m，2，n)
19.（本题满分 12 分）
已知 a R ，函数 f x a 1 .
x
-3-
（1）若 f x 2x 对 x 0,2恒成立，求实数 a 的取值范围。 （2）当 a=1 时，解不等式 f x 2x .
20.（本题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 上的动点 M x, yx 0 到点 F2,0的距离减去
12.若将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则下列结论中正确的是（
）
A.异面直线 AB 与 CD 所成的角为 60
B. AC BD
C. ACD 是等边三角形
D.二面角 A BC D 的平面角正切值是 2
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．命题 p：“ x 0 ，都有 x2 x 0 ”的否定：
④ y x2 3 (x∈R)最小值为 2. x2 2
C. ①③ D. ②④
-1-
6． 已知关于 x 的不等式 (a2 4)x2 (a 2)x 1 0 的解集为空集,则实数 a 的取值
范围是(
)
A.[2, 6] 5
B. [2, 6) 5
C. ( 6 ,2] 5
D. (,2] [2,)
7. 设 Sn 为数列an 的前 n 项和,满足 Sn 2an 3 ，则 S6 （
M 到直线 x 1的距离等于 1. (1)求曲线 C 的方程；
(2)若直线 y kx 2 与曲线 C 交于 A，B 两点，求证：直线 FA 与直线 FB 的倾斜
角互补.
21. （本题满分 12 分） 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 1， AA1 2 ， E 为 BB1 中点． （1）证明： AC D1E ． （ 2 ）求 DE 与平面 AD1E 所成角的正弦值．