生活中的变量关系
2.1生活中的变量关系
§2.1 生活中的变量关系【学习目标】1.通过学习结合实例来理解生活中变量之间的依赖关系和函数关系，特别要注意这两种关系之间的区别和联系；2． 2.结合初中学习过的函数，能描述因变量随自变量而变化的依赖关系；3． 3.激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。
【学习重点】判断变量与变量间是否存在函数关系【学习难点】生活中变量关系与函数关系的区分预习案 一、相关知识 知识链接1：初中阶段我们已经知道常量与变量的含义，即在某个变化过程中，数值保存不变的量叫作______，可以取不同数值的量叫作______。
知识链接2：初中数学中函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果当变 量x 在某变化范围内任意取一个数值时，变量y 按照一定的法则总有_______确定的数值与它 对应，则称y 是x 的函数，通常_______叫自变量，_______叫因变量。
知识链接3：现实生活充满变化，在初中数学、物理等学科中我们都接触过一个变量随着 另一个变量而变化的实例，这些变量之间都有依赖关系吗？都是函数关系吗？ 二、教材助读 阅读课本p23实例分析，思考在高速公路的情况下，有哪些变量存在？哪些变量与变量之间无依赖关系，哪些变量与变量之间有依赖关系？它们是函数关系吗？ 问题1：高速公路的里程数与修建的年数之间有无依赖关系？若有它们是函数关系吗？ 问题2：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，行驶的路程与时间有无依赖关系？若有，它们是函数关系吗？问题3:观察课本 p24图2-2的高速公路加油站的图片，探究储油量v 与油面高度h ；储油量v 与油面宽度w 是否存在依赖关系？若有依赖关系，那它们是函数关系吗？为什么？问题4.进一步分析上述储油罐问题，讨论：还有哪些常量？哪些变量？ 哪些变量之间存在依赖关系？ 导学案装 订线哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？自主整理：非依赖关系：在变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值_______发生任何变化，这两个变量间具有非依赖关系。
生活中的变量关系
一枚炮弹发射后，经过26 s落在地面击中目 标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位： m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130 t－5 t2. 问题1：炮弹飞行时间t的变化范围的数集A是什
么？
提示：A＝{t|0≤t≤26}．
问题2：炮弹距地面的高度h的变化范围的数集B
是什么？ 提示：B＝{h|0≤h≤845}． 问题3：高度h与时间t是否具有依赖关系？是函 数关系吗？为什么？
提示：具有，且是函数关系．因为对于数集A中
的任意一个时间t，按照h＝130 t－5 t2，在数集B中都 有唯一确定的高度h和它对应．
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对 于集合A中 任何一个 数x，在集合B中都存在 唯一确定 的
数f(x)与之对应，那么就把 对应关系 f叫做定义在集合A上
[一点通]
1．求函数定义域的方法：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的 实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内 的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数
(
)
1 D．[－4，＋∞) 12 1 2 解析：∵f(x)＝x ＋x＝(x＋2) －4，－1≤x<1，
1 ∴－4≤f(x)<2， 1 即值域为[－4，2)．
答案：C
8．函数 y＝2x－ x－1的值域是________．
解析：函数的定义域是{x|x≥1}． 令 x－1＝t，则 t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1， ∴y＝2(t ＋1)－t＝2t 15 ∵t≥0，∴y≥ 8 .
[例1]
《生活中的变量关系》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
第二章 函数2.1生活中的变量关系1.从实际生活中的例子出发，让学生认识到日常生活中各种变量之间的依赖关系，能利初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别．2.在观察事物的变量间关系过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力，发展数学应用意识．重点：感受生活中处处有变量，加深理解初中的函数概念．难点：依赖关系和函数关系的差别． 一、新课导入 生活中变化的事物无处不在，你感受到了哪些事物的变化？请举例并加以说明？ 例如：温度随四季的变化，身高随年龄的变化，汽车行驶里程随时间的变化等． 设计意图：引导学生用数学的眼光，关注生活中的变量．二、新知探究活动1：分析生活中的变化现象，认识变量之间的关系．问题1：生活中温度的变化．我们能感受到每天温度的变化，怎么刻画这种变化呢？在一个标准大气压下定义了摄氏零度的概念，这样就可以用温度值的大小表示温度的变化，温度的变化与季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等很多客观因素都有关系．引导学生依据生活中的情境，围绕以下问题进行小组讨论交流：⑴生活情境是什么？其中的变化怎样描述？这种变化有什么需要说明的条件吗？ ⑵变化的过程中存在哪些变量？哪些常量？⑶变量之间是什么关系？这种关系是怎样描述的？答案：⑴生活情境是每天温度的变化，这种变化用温度值描述，这种变化要限制季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等客观因素．⑵变化过程中一个标准大气压下摄氏零度是常量，季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等是变量．⑶对于季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等每一个不同的值都对应一个温度． 设计意图：通过一个简单的例子，引导学生用数学的方式分析生活现象．◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程问题2：高速公路的加油站经过高速公路的加油站时，你是否想过，汽油存在哪儿？是怎么储存的？如图是某高速公路加油站的图片.加油站的油是存放在地下，常用圆柱体罐储存.储油罐的长度为d，截面半径为r，油面高度为h、油面宽度为w、储油量记作V.这些量哪些是常量，哪些是变量？量与量之间存在着怎样的关系？这些关系是同一类关系吗？有什么不同？答案：储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h、油面宽度w、储油量V是变量.当油面高度h和油面宽度w发生变化时，储油量V也随之改变即油面高度h和油面宽度w与储油量V是依赖关系．但这两种关系又不完全相同，对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V与它对应．而对于油面宽度w取定一个值可以有两种油面高度和它对应．设计意图：在较为复杂的问题情境中，理解变量之间的依赖关系和函数关系，提升对函数概念的认识．问题3：阅读下面材料，回答问题．自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅速发展，截至2017年年底运营里程突破25 000 km.下图表示的是中国高铁年运营里程的变化．从图中可以看出：随着时间的变化，高铁运营里程与年份存在着依赖关系．依据图中的数据，你能得出哪些结论？答案：通过观察图不难看出，（1）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多．（2）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系．对于年份的每一个取值，都有唯一的运营里程与它对应．初中我们学习过函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．判断两个变量是否有函数关系：对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应．因此在问题2与问题3中，储油量V是油面高度h的函数，高铁运营里程是年份时间的函数，但是储油量V不是油面宽度w的函数．设计意图：通过以上三个问题的分析，复习初中的函数概念，即在一个变化的过程中，有两个变量x，y，对于变量x的每一个取值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数，其中x是自变量．另外，在现实生活中，要确定两个变量之间是否具有函数关系，关键是判断对于变量x的每一个取值，变量y是否都有唯一确定的值与之对应，这点非常重要，需要学生认真理解．活动2：分析事物中变量间的函数关系，叙述刻画函数关系的不同方法．阅读下面的材料，思考以下问题，学生之间交流讨论．（1）确认变量之间是否存在函数关系．（2）材料中采用什么方法描述函数关系的？材料1：表2-1记录了几个不同气压下水的沸点：条曲线画在同一平面直角坐标系中，每一条曲线表示在一个观测点的观测情况．材料3：某地电力公司为鼓励市民节约用电，采取阶梯电价，即按月用电量分段计费办法.居民每月应缴电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW•h）的关系是y={0.4883x,0≤x≤240,0.5383x−12,240<x≤400,0.7883x−112,x>400．答案：（1）材料1，2，3中的变量之间均存在着函数关系．（2）材料1，2，3分别用列表法、图象法和解析法来表示函数．尤其是在材料3中，给定范围内，对于自变量x的取值范围不同所对应的函数关系也不同，我们称这样的函数为分段函数．设计意图：通过分析学生理解材料中隐含着函数的三种表示法：列表法、图象法和解析法．活动3：1.对于问题２中的储油罐的问题中还有很多量，如储油罐长度、油面面积等，找出这些量中的常量和变量，并指出哪些变量之间是函数关系．答案：（1）常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等；变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；（2）储油量和油的体积、储油量和圆柱底面上弓形的面积、油的体积和油面宽度之间都存在依赖关系；（3）储油量是油体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上弓形面积的函数．2.选定超市、邮局、公路或其他一个场景，观察分析其中有哪些常量和变量，哪些变量之间是函数关系？答案：略．结论很开放，由学生交流各自的结论．设计意图：鼓励学生积极思考，让学生体会到生活中的函数关系非常普遍，数学源于生活，用于生活．三、应用举例1．某电器商店以2 000元/台的价格购进了一批电视机，然后以2100元/台的价格售出，随着售出台数的变化，商店的利润是怎样变化的？利润和售出的台数之间存在函数关系吗？答案：随着售出台数的变化，商店的利润也会增加，利润和售出的台数间存在函数关系．2.坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系？答案：坐电梯时，电梯距地面的高度随时间的确定而确定．3.在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？答案：在一定量的水中加人燕糖，糖水的浓度随所加蔗糖的质量的确定而确定．四、课堂练习1．下列各组中两个变量间之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？（1）球的体积和它的半径；（2）速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；（3）家庭的收入与其消费支出；（4）正三角形的面积和它的边长．πr3的关系．答案：（1）中，球的体积V与半径r间存在V=43（2）中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系．（3）中，家庭收入与其消费支出间存在关系，但具有不确定性．a2的关系．（4）中，正三角形的面积s与其边长a间存在s=√34综上可知（1）（2）（3）（4）中两个变量间都存在依赖关系，其中（1）（2）（4）是函数关系．2．下图是我国某年某地降雨量的统计情况，图中横轴为月份（单位：月），纵轴为降雨量（单位：cm）.由图中曲线可判断该地该年的降雨量与时间是否具有函数关系？答案：因为对于该年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应，故可得该年的降雨量与时间具有函数关系，且自变量是时间，因变量是降雨量．五、课堂小结1.依赖关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的改变引起变量y的改变，则这两个变量是依赖关系．2.函数关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，则这两个变量是函数关系，在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．3.依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系．六、布置作业教材第51页习题2-1A组、B组．。
新教材高中数学第二章函数1生活中的变量关系课件北师大版必修第一册
[归纳提升] 依赖关系的判断方法与步骤 对于两个变量，如果一个变量的改变影响另一个变量，则这两个变 量具有依赖关系，否则不具有依赖关系．
【对点练习】❶ 下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？ (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯 中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的 关系； (2)商品的价格与销售量； (3)某同学的学习时间与其学习成绩．
2．俗语“名师出高徒”说明 A．名师与高徒之间具有依赖关系 B．名师与高徒之间具有函数关系 C．名师是高徒的函数 D．高徒是名师的函数 [解析] 说明名师与高徒之间存在依赖关系．
(A)
3．下列各量间不存在依赖关系的是
(D)
A．人的年龄与他(她)拥有的财富
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
[解析] (1)由图象可知甲、乙到达终点所用的时间分别为 12 s，12.5 s．故甲先到达终点；
(2)v 乙＝1120.05＝8(m/s)．
4．给出下列关系： ①人的年龄与体重之间的关系； ②抛物线上的点与该点坐标之间的关系； ③橘子的产量与气候之间的关系； ④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系． 其中不是函数关系的有__①__③__④____． [解析] 由已知关系判断得，①③④中关系不确定，故不是函数关 系，只有②是函数关系．
D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数
(2)汽车的“燃油效率”是指汽车每 消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了 甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油 效率情况，下列叙述中正确的是( D )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶 5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙 车比用乙车更省油
生活中的变量关系 教案
总课题函数总课时第课时课题生活中的变量关系课型多媒体新授课教学目标知识目标：通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．能力目标：培养学生信息收集和处理能力，分析、解决问题能力和交流、合作能力。
情感目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系教学难点培养广泛联想的能力和热爱数学的态度教学过程教学内容备课札记教师活动学生活动（一）、引入新课世界是变化的.变量及变量之间的依赖关系在生活中随处可见.我们在初中学习过的函数就描述了因变量随自变量而变化的依赖关系.初中学习过的函数描述了两个变量:因变量y与自变量x,之间什么样的依赖关系？初中关于函数的定义：在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，就有唯一确定的y值与之对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
（二）、知识探索：问：在高速公路情景下，你能发现哪些函数关系？学生回答独立思考对问题3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？问题小结：（1）．生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有函数关系，只有满足对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，才称它们之间有函数关系。
（2）．构成函数关系的两个变量，必须是对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的y值与之对应。
（3）．确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量是因变量，另一个变量是自变量。
2、思考交流（1）进一步分析上述储油罐问题,讨论:还有哪些常量? 哪些变量？哪些变量之间存在依赖关系？哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？（2）请列举一些与公路交通有关的函数关系.（3）请思考在其他情境下存在的函数关系,例如：邮局,机场等.学生回答教学过程教学内容备课札记教师活动学生活动（三）、知识体验（课堂练习及课外作业）1.某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机,然后以2100元一台的价格售出,随着售出台数的变化商店获得的收入是怎样变化的?其收入和售出的台数之间存在函数关系吗?2.坐电梯时,电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系?学生回答3.在一定量的水中加入蔗糖,在达到饱和之前糖水的浓度与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系?如果是函数关系,指出自变量和因变量.（四）、课堂小结：1.充分感受现实世界中大量存在着的变量与变量之间的依赖关系.2.函数是一类特殊的依赖关系,它同样普遍存在着.教学反思：。
举例说明生活中的变量
举例说明生活中的变量
标题，生活中的变量。
生活中充满了各种各样的变量，它们时刻影响着我们的生活。
从天气的变化到
人际关系的变动，都是我们无法控制的变量。
让我们通过一些例子来看看生活中的变量是如何影响我们的。
首先，天气是一个常见的变量。
在夏天，天气可能会变得非常炎热，而在冬天
则可能会变得非常寒冷。
这种变化会影响我们的日常生活，比如我们可能会选择不同的衣服来适应不同的天气，或者改变我们的活动计划来应对天气的变化。
其次，人际关系也是一个重要的变量。
我们的家人、朋友和同事都会影响我们
的生活。
他们的情绪、行为和决定都会对我们产生影响。
比如，如果我们的朋友突然改变了计划，可能会影响我们原本的安排。
或者如果我们的同事情绪低落，可能会影响我们的工作效率。
另外，经济状况也是一个重要的变量。
通货膨胀、失业率和股市波动都会对我
们的生活产生影响。
比如，如果通货膨胀导致物价上涨，我们的购买力可能会下降。
或者如果失业率上升，我们可能会面临失业的风险。
总之，生活中的变量无处不在，它们时刻影响着我们的生活。
我们无法完全控
制这些变量，但我们可以通过适应和调整来应对它们。
在面对变量时，我们需要保持灵活性和适应性，以便更好地适应生活的变化。
生活中自变量和因变量的例子
生活中常见的自变量和因变量的例子1.喝水量（自变量）和体重（因变量）。
当一个人喝了更多的水时，他的体重通常会增加。
2.学习时间（自变量）和考试成绩（因变量）。
学生花费更多时间学习时，通常会获得更好的成绩。
3.消费金额（自变量）和信用卡账单（因变量）。
当人们消费的金额增加时，他们的信用卡账单通常也会相应地增加。
4.运动量（自变量）和睡眠质量（因变量）。
当人们运动量增加时，他们的睡眠质量通常会提高。
5.温度（自变量）和冰淇淋销量（因变量）。
当天气变得更热时，人们通常购买更多的冰淇淋。
6.研究时间（自变量）和论文质量（因变量）。
当研究者花费更多的时间进行研究时，他们的论文质量通常会提高。
7.饮食习惯（自变量）和健康状况（因变量）。
当人们养成更健康的饮食习惯时，他们的健康状况通常也会得到改善。
8.年龄（自变量）和记忆力（因变量）。
当人们年龄增加时，他们的记忆力通常会下降。
9.交通方式（自变量）和二氧化碳排放量（因变量）。
当人们使用公共交通工具而不是开车上班时，城市中的二氧化碳排放量通常会减少。
10.睡眠时间（自变量）和情绪状态（因变量）。
当人们睡眠时间不足时，他们通常会感到疲倦和情绪低落。
11.节食（自变量）和身体健康（因变量）。
当人们采用不适宜的节食方式时，他们的身体健康通常会受到损害。
12.儿童看电视时间（自变量）和学业成绩（因变量）。
研究发现，当儿童花费更多时间看电视时，他们的学业成绩通常会下降。
13.个人收入（自变量）和幸福感（因变量）。
当人们的收入增加时，他们的幸福感通常也会增加。
14.社交活动（自变量）和心理健康（因变量）。
当人们积极参与社交活动时，他们的心理健康通常会得到提高。
15.家长教育程度（自变量）和儿童成就感（因变量）。
研究表明，家长的教育程度与儿童的成就感有密切关系。
16.空气质量（自变量）和健康状况（因变量）。
当空气污染严重时，人们的健康状况通常会受到影响。
17.工作压力（自变量）和心理健康（因变量）。
生活中的变量关系课件高一数学北师大版(2019(完整版)
典例剖析
例6：某地电公司为励市民节约用电,采取阶梯电价，即按月用电量分段 计费办法居民每月应缴电费y(单位：元)与用电量x(单位kW·h)的关系是
对于变量“用电（x）”的每一个值，变量“应缴电费（y）” 都有唯一的值与之对应，所以应缴电费是用电量的函数，如图2-4.
探究新知
例如：一定量的水银，温度与其体积间存在函数关系，温度越高水银 的体积越大.因此，可以用这个体积表示温度，这就是制造温度计的 依据. 在银行，给定本金和利率后，活期存款的利息依存款的天数而定，利 息是天数的函数，天离和出手速度、出手角度出手高 度均有关系当出手速度和出手高度确定之后，调整好出手角度，会使 铅球掷得更远一些这时，运动员的掷远距离是出手角度的函数.
探究新知
总结：形如上述的函数，一般叫作分段函数。 生活中存在着许许多多的函数关系。正是函数概念中的关键词”
每一个” “唯一”“对应”恰当地反映了事物特征。
探究新知
总结：形如上述的函数，一般叫作分段函数。 生活中存在着许许多多的函数关系。正是函数概念中的关键词”
每一个” “唯一”“对应”恰当地反映了事物特征。
巩固练习
1.某电器商店以2000元/台的价格购进了一批电视剧，然后以2100 元/台的价格售出，随着售出台数的变化，商店的利润是怎样变化 的？利润和售出的台数之间存在函数关系吗？ 2.坐电梯时，电梯地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系? 3.在一定量的水中加人蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之 间存在怎样的依赖关系?
2.1 生活中的变量关系
典例剖析
例1、图2-1是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体 储油罐储存汽油等燃料。储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高 度h，油面宽度w、储油量V是变量。
2.1生活中的变量关系课件-高一上学期数学北师大版
（2）水稻的亩产量与施肥量；
（4）抛物线上的点与该点坐标间.
解：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）存在依赖关系，是函数关系；
（2）存在依赖关系；
注：要确定变量间的函数关系，需
（2）存在依赖关系；
先分清谁是自变量，谁是因变量.
（4）存在依赖关系，是函数关系；
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1. 根据依赖关系和函数关系的定义，判断下列语句的正误.
对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有
20 12
唯一确定的值与之对应.
O
函数 M 局部图象
1 2 3 4 5 m / kg
思考：在生活中，有许多可用分段函数描述的实际问题，请你举出几个事例？
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
生活中存在着许多的函数关系. 很多时候，函数概念的关键词“每一个” “唯一”“对应”恰当地反映了事物特征. 例如：一定量的水银，其温度与体积间存在函数关系；温度越高，水银的体积越 大，因此，可以用这个体积表示温度，这就是制造温度计的依据；
新授课 2.1 生活中的变量关系
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 从生活实例出发，了解生活中变量间的依赖关系； 2. 利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的区别与联系； 3.了解分段函数的基本概念.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点 1：依赖关系和函数关系 回顾：初中阶段学习过哪些函数？ 正比例函数：y = kx； ー次函数：y = ax + b； 一元二次函数：y = ax2 + bx + c.
············ 244，29 m 30.
第一节 生活中的变量关系
第一节生活中的变量关系【教学目标】1、知识与技能了解生活中处处充满变量关系．掌握变量关系和函数关系的区别和联系，会判断变量关系是否是函数关系．2、过程与方法通过公路上的实际例子，引起学生积极思考和交流，使学生认识到生活中处处有变量之间的依赖关系，并利用初中对函数的认识理解函数关系．3、情态与价值通过对生活中变量的讨论，培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度．【重点难点】区分生活中的变量关系是否是函数关系．【教学过程】一、章节引入师：请同学们翻开课本，阅读第二章引言．（让学生自己阅读章节引言，初步了解本章要学习的内容）二、导入新课师：我们的生活中存在着各种各样的变量，人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产和亩施肥量是函数关系吗？球体的体积和球半径是函数关系吗？如何判断变量之间是否是函数关系？本节课我们就一起来研究这个问题．（教师板书课题）三、新知探究师：请同学们回顾一下初中所学函数知识，回答问题：（几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述）（1）初中我们学习的函数定义是什么？（2）如何判断两个变量之间的关系是函数关系？生：（1）函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，y是因变量．（2）当且仅当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，则变量x和y之间具有函数关系，并且y是x的函数．师：在高速公路的情境下，你能发现哪些变量存在依赖关系？（教师给学生充分思考和交流的时间）四、应用示例例1：我国自1988年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，于1998年底位居世界第八；1999年底位居世界第四；2000年底位居世界第三；2001年底超过加拿大，位居世界第二．（如表2-1）根据表内数据作图（如图2-1）（1）高速公路的里程数和年度的变化有什么特点？（2）高速公路的里程数和年度两个变量是函数关系吗？活动：学生利用函数的概念判断两个变量之间是否是函数关系，并学着用语言描述因变量与自变量之间的关系．生：（1）从1988年到2001年，高速公路里程数随年度的增加而不断增加，其中从1999年到2000年增长速度最快．（2）给定一个确定的年度，都有唯一确定的高速公路里程数和它对应，所以高速公路的里程数可以看作因变量，年度看成自变量，高速公路的里程数是年度的函数．师：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中每个时刻都有唯一的行驶路程与之对应．行驶路程（因变量）随时间（自变量）的变化而变化，行驶路程是时间的函数．同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数．师：具有依赖关系的两个变量中只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值对应，才称它们之间有函数关系．例2：如图2-2是高速公路加油站的圆柱体储油罐图，储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度为h、油面宽度、储油量v是变量．这些变量中请指出哪两个具有依赖关系，哪两个变量具有函数关系．解：储油量v和油面高度h存在依赖关系；储油量v和油面宽度存在依赖关系；油面高度h和油面宽度也存在依赖关系．油面高度h每取定一个值，都有唯一的一个储油量v与之对应，所以储油量v是油面高度h的函数；而油面宽度每取定一个值都有两个储油量v的值与之对应，所以储油量v不是油面宽度的函数；当油面宽度每取定一个值都有两个油面高度h的值与之对应，所以油面高度h不是油面宽度的函数．师：函数关系一定是依赖关系，但是依赖关系不一定的函数关系．请同学们思考下面的问题：（1）进一步分析上述储油罐问题，讨论：还有哪些是常量？哪些是变量？哪些变量之间存在依赖关系？哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？（2）请举出一些与公共交通有关的函数关系．（3）请思考在其它情境下存在的函数关系，例如邮局、机场等．（教师应该为学生留下必要的时间和空间，让其自主地活动，之后让学生试着表述，教师将学生的回答梳理）五、巩固练习课本P25练习1、2、3．解：1、随着售出台数的增加，商店获得的收入也就越多，售出的台数每确定一个值，都有唯一的商店收入值与之对应，所以商店收入是售出台数的函数．2、坐电梯时，给定一个具体的时间就相应的确定一个电梯距地面的高度，电梯距地面的高度是时间的函数．3、加入的蔗糖质量决定糖水的质量浓度，这种依赖关系是函数关系，其中加入蔗糖的质量为自变量，糖水的质量浓度为因变量．六、小结本节课学习了用定义法判断两个变量之间的函数关系．七、作业课本P25习题2-1，A组1、2．。
举例说明生活中的变量
举例说明生活中的变量标题，生活中的变量。
生活中的变量就像数学中的未知数，它们是不断变化的因素，影响着我们的生活。
在日常生活中，我们可以发现许多变量，它们可以是时间、人际关系、工作环境、经济状况等等。
这些变量会不断地影响着我们的生活，让我们的生活变得丰富多彩。
举例来说，时间是一个常见的变量。
随着时间的推移，我们的生活会发生许多变化。
比如，一个人在不同的阶段会有不同的生活方式和需求。
在学生时代，时间可能被用来学习和成长；而在工作后，时间可能被用来兼顾工作和家庭。
时间的变化会让我们的生活节奏有所不同，也会让我们的生活方式有所改变。
另一个例子是人际关系。
人际关系是一个复杂的变量，它可以影响着我们的情绪和行为。
比如，一个人的朋友圈子可能会随着时间的推移而发生变化，新的朋友进入，旧的朋友离开。
这些变化会影响着我们的心情和生活态度，让我们的生活变得更加多姿多彩。
工作环境也是一个重要的变量。
随着工作环境的变化，我们可能会面临新的挑战和机遇。
比如，一个人可能会在不同的公司工作，面对不同的同事和领导，这些变化会让我们的工作方式和态度有所不同。
经济状况也是一个重要的变量。
随着经济状况的波动，我们的生活方式和消费习惯也会发生变化。
比如，当经济状况良好时，我们可能会更加大手大脚地消费；而当经济状况不佳时，我们可能会更加谨慎地管理自己的财务。
总的来说，生活中的变量是不可避免的，它们会不断地影响着我们的生活。
我们需要学会适应这些变化，让自己的生活变得更加丰富多彩。
只有在不断地适应变化中，我们才能更好地享受生活的乐趣。
【数学】2.1《生活中的变量关系》课件(北师必修1)
世界是变化的.变量与变量的依 赖关系在生活中随处可见,与我们 息息相关.函 数它描述了因变来自随自变量而变化的依赖关系.
P 25 P27
生活中的变量关系
问题提出 在我们生活中，变量与变量之 间存在依赖关系的实例有哪些？
初中学习过的函数描述了两个变量: 因变量y与自变量x之间什么样的依赖关系？ 因变量y随自变量x的变化而变化： 即一个x的取值有唯一确定的值y与之对应 则称 y是x的函数.
设在一个变化过程中有两个变量 x与y, 如果对于x的每一个值, y都有
唯一的值与它对应, 那么就说 y是 x
的函数. x叫做自变量.
问题提出 在高速公路的情景下,你能发 现哪些函数关系?
思考交流 1. 请列举一些与公路有关 的函数关系.
2. 请思考在其它环境下存 在的函数关系.
注 意
并非有依赖关系的两个变量
都有函数关系.
教材P.25 A组T2.
生活中的变量关系-北师大版必修1教案
生活中的变量关系-北师大版必修1教案一、教学目标1.了解变量、常量、函数的基本概念和关系；2.通过实例学习变量、常量、函数在生活中的应用；3.培养学生对于变量关系的思辨和探究能力；4.提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点重点1.变量、常量的概念和区别；2.函数的概念和基本形式。
难点1.变量、函数的实际应用；2.理解函数的返回值和参数的概念。
三、教学内容和方法教学内容1.变量的概念和使用；2.常量的概念和区别；3.函数的概念和基本形式；4.生活中的实际应用。
教学方法1.案例教学法；2.互动式教学法。
四、教学过程1.引入通过生活中的实例引出变量、常量的概念。
比如：购物时的价格、数量、优惠券等都是变量；而超市的会员卡则是常量。
2.定义和区分变量、常量的概念讲解变量和常量的含义和区别，重点讲解变量在生活中的实际应用，比如：小明每天步行上下学路程相同，但所用时间不同。
如果时间用t表示，路程用s表示，那么t 就是变量，s就是常量。
3.函数的概念和基本形式讲解函数的定义和基本形式，重点讲解函数的返回值和参数的概念，比如：煮饭时，煲饭的时间和水的重量是有关系的。
这个关系可以表示为：V=f(t,w)，其中V是煲出的饭的重量，t是煲饭的时间，w是加入的水的重量。
在这个函数中，t和w是参数，V是返回值。
4.生活中实际应用通过实际例子让学生体会变量、常量、函数在生活中的应用。
比如：垃圾分类需要一个评价标准，一般是参照各类垃圾对环境的危害程度。
比如家庭垃圾中的果皮、纸屑等过期的有机物可以通过堆肥处理变成有机肥，可以视为一种“变量”；而废旧材料则需要通过回收处理给予循环利用，这些废旧材料对于不同材质、颜色甚至是否有污染等都需要评估，因此就是“函数”；而废弃物的分类标准则是“常量”。
5.总结和拓展在总结中让学生回顾重点和难点，进一步加深对变量关系的理解和应用。
在拓展环节中可以引入更多实际生活中的例子，让学生参与讨论，探究实际中的变量关系。
生活中的变量关系课件
2．矩形面积为15，如果矩形长为x,宽为y， 对角线长为d，周长为l，你能获得关于这些 量的哪些函数关系？并分别指出它们的自变 量和因变量．(写出3个即可)
15 解：可构成函数关系的有：①y＝ ，x 是自 x 15 变量，y 是因变量；②x＝ ，y 是自变量，x y 225 2 2 2 是因变量；③d＝ x ＋y ＝ x ＋ 2 ，x 是 x 自变量，d 是因变量．(答案不唯一，还有如： 30 30 l＝2x＋ ，l＝2y＋ 等) x y
(2) 因为 x＝ 54>20，所以 y ＝ 10×54＋ 300＝ 840(元)，故这个班需要花 840 元购买门票．
(3) 因 为 20 人 所 购 买 门 票 需 花 20×25 ＝ 500(元)，而购买门票共花了 2000 元，所以人 数应超过了 20 人， 2000－500 法一：超过人数应为 ＝150(人)，故 10 总人数为 150＋20＝170(人)． 法二：将 y＝2000 代入 y＝10x＋300 可得：x ＝170(人)． 故旅游团总人数为 170 人．
典题例证·技法归纳
题型探究 题型一 变量间的关系
下列各组两个变量之间是否具有依赖 例1
关系？其中哪些是函数关系？
(1)人的身高与体重； (2)球的半径与体积； (3)家庭收入与支出．
【解】
序号 (1) (2) 内容分析 结论
人的身高和体重存在关 具有依赖关系, 系，但由多种因素确定 不是函数关系 球的半径和体积间存在
函数关系式；
(2) 利用 (1) 中函数关系式，确定某班 54 名学 生去该风景区游玩，为购门票应花多少钱？
(3)某旅游团购买门票共花了2000元，则该旅
生活中的变量关系
, < ≤ .
(2)在给定范围内,对于自变量x的不同取值,
对应关系也不同.
分段函数定义
在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，
需要用不同的解析式来表示的函数叫作分段函数．
环节五
小结
课堂小结
1．核心要点
2．数学素养
体会数学抽象的过程,加强数学抽象能力的
素养的培养.
谢谢观看
定性.
(4)中,正三角形的面积S与其边长a间存在 =
的关系.
综上可知(1)(2)(3)(4)中两个变量间都存在依赖关系,其
中(1)(2)(4)是函数关系.
判断两个变量间有无依赖关系,主要看其中一个变量变
化时,是否会导致另一个变量随之变化.而判断两个具有
依赖关系的变量是否具有函数关系,关键是看两个变量
天的气温曲线图。为了方便比较，将两条曲线画在了同一
直角坐标系中。
问题：分析每一条曲线是
否表示了一个函数关系
每一条曲线都表示了一个函数关系，反映的都
是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的
“气温”值和它对应。
微练
分析：弹簧的伸长量x与弹力y的关系
弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系y=kx，其中
k为劲度系数。对于变量“伸长量”的每一个值，变
(2)速度不变的情况下,汽车行驶的路程与行驶时间;
(3)家庭的收入与其消费支出;
(4)正三角形的面积和它的边长.
解:(1)中,球的体积V与半径r间存在 =
的关系.
(2)中,在速度不变的情况下,行驶路程s与行驶时间t之
间存在正比例关系.
(3)中,家庭收入与其消费支出间存在关系,但具有不确
生活中的变量
生活中的变量
六（1）郝子胥
1.婴儿体重的变化
从表格中可以发现：婴儿的体重随着月龄的变化而变化 关系式：w=4100+700t （月龄t ，体重w ）
2.汽车行驶（匀速）的路程
关系式1：路程=100*时间
从这个关系式中可以发现：路程随着时间的变化而变化 关系式2：速度*时间= 100km
从这个关系式中可以发现：速度越快，时间越短；速度越慢，时间越长
3.
从这两个圆柱中可以发现：高一样，半径大，体积就大（高
一样，体积随着半径的变化而变化）
4.单价数量与总量
上超市买东西，一种矿泉水，1.5元1瓶，买4瓶6元，买10瓶15元。
假设你只有3元，都买矿泉水，一种1.5元一瓶，另一种1元一瓶。
如果你买1.5元一瓶的，那你可以买2瓶；如果你买1元一瓶的，那你可以买3瓶。
从这段文字中可以得出：
1.东西的总价随着东西数量的变化而变化（买的越多，花钱越多）
2.总价一样时，数量随着价格的变化而相反的变化（价格越贵，数量越少，东西越便宜，数量越多）。
两个变量的关系分类
两个变量的关系分类变量啊，就像生活中的两个人，关系那叫一个复杂多样。
咱先说说正相关的变量关系。
这就好比你赚钱的多少和你能买的东西的好坏。
你工资越高，能买的东西就越好呗。
就像水涨船高一样。
你每个月挣一千块的时候，可能只能买些便宜的地摊货，等你月入一万了，那就能去专柜挑挑拣拣了。
这两个变量，一个增加，另一个也跟着增加，它们之间的关系就像是一对好朋友，你好我也好。
再看负相关。
这像啥呢？就像你吃的东西越不健康，你身体可能就越差。
你天天吃炸鸡喝可乐，身体的各项指标可能就往下掉。
一个变量增加，另一个变量就减少。
这就像两个人在拔河，一方用力，另一方就被拉过去了。
比如说温度和衣服的厚度。
温度越高，你穿的衣服就越薄，这两者之间就是负相关关系。
还有一种叫不相关。
这就有点像你今天出门先迈左脚还是右脚，和今天会不会下雨一样。
这两者之间完全没有联系。
你迈左脚出门，天该下雨还是下雨，你迈右脚出门，也不影响天气。
变量之间也是这样，一个变量怎么变，另一个变量根本不搭理它，完全按照自己的节奏来。
就像两条平行线，永远不会有交集。
那如果把变量比作两个人的话，正相关就是两个人互相扶持，一起进步。
负相关就是两个人背道而驰，你向东我向西。
不相关呢，就是两个陌生人，各自过各自的生活，谁也不影响谁。
有些变量之间的关系还不是那么简单直接的。
比如说，在一个复杂的生态系统里，兔子的数量和草的数量。
一开始兔子数量少的时候，草就长得茂盛，兔子有充足的食物，数量就会增加。
兔子数量增加了，草就会被大量吃掉，数量减少。
兔子没吃的了，数量又会减少，草又能慢慢长起来。
这就像是一场循环的舞蹈，两者的关系不是简单的正相关或者负相关，而是一种动态的、复杂的关系。
又比如说，在一个班级里，学生的学习时间和学习成绩。
有些学生学习时间很长，成绩却一般，有些学生学习时间短，成绩却很好。
这里面可能涉及到学习效率、学习方法等其他变量的影响。
这就像做菜，不是光有食材和时间就能做出美味的菜肴，还得看厨艺、调料等其他因素。
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属于函数关系的有____(_1_)_(2__)___.
大家好
14
练习
1、某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机， 然后以2100元的价格售出，随着售出台数的变化，商 店获得的收入是怎样变化的？其收入和售出 的台数 间存在函数关系吗？
设售出台数为x台，收入为y元，则y=(2100-2000)x 收入和台数间存在函数关系
储油量v与油面高度h存在 着依赖关系，储油量v与油 面宽度w也存在关依赖关 系 那个是函数关系?
大家好
11
实例分析
对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储 油量v和它对应，所以，储油量v是油面高度h 的函数.
对于油面宽度w的一个值可以有两种油面高度 和它对应，于是可以有两种储油量v和它对应， 所以，储油量v不是油面宽度w的函数.
生活中的变量关系
大家好
1
• 回顾初中所学一次函数、二次函数，分析 其中两个变量x,y之间的关系。
初中所学的函数的定义是怎样的？
大家好
2
变量间的依赖关系
生活中处处有变量，变量之间充满了依赖关系
实例分析
我国的道路交通网，近十年的发展非常迅速.
大家好
3
实例分析
1、我国自1988年开始建设高速公路，全国高速公路 通车总里各，于1998年底，位居世界第八；1999年 底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三； 2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位.如下表 格：
4、日期与星期之间存在差怎样的依赖关系？这种依赖 关系是函数关系吗？如果是，指出自变量和因变量.
每一个日期都有一个星期几和它对应，所以它们存
在函数关系；日期是自变量，星期是因变量
星期不能作自变量，对于每一个星
星期可否作
期，有很多个日期，不具有单值性
为自变量？
大家好
16
练习
5、下列过程中，变量之间是否存在依赖关系，其中哪 些是函数关系： （1）地球绕太阳公转的过程中，二者的距离与时间的 关系 （2）在空中作斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与 时间的关系； （3）某水文观测点记录的水位与时间的关系； （4）某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系.
同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数.
大家好
7
问题研讨
以上问题在介绍高速公路的情况下，得到变量与变 量之间的一些依赖关系，你能联想到类似情景下， 如邮局、机场等变量之间的依赖关系吗？
大家好
8
例1 当你去电影院时，你联想到哪些变量之间的关系 呢？
解 (1)每张电影票都有唯一的座位与它对应，座位随 电影票的变化而变化，座位是电影票的函数.
大家好
12
问题研讨
进一步分析上述储油罐的问题,讨论: (1)还有哪些常量?哪些变量? (2)哪些变量之间存在依赖关系? (3)哪些依赖关系是函数关系?哪些依赖 关系不是函数关系?
大家好
13
例3 给出下列情境与关系
(1)某护士从上午8:00到下午2:00每小时量一次病人的体温,结果如下表:
时间 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 体温 37.2 37.3 37.4 37.6 38.0 38.1 38.4
1998～2001 年全国高速公路总里程
单位：千米
年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994
总里程 147
271
522
574
652
1145 1603
年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
总里程 2141 3422 4771 8733 11605 16314 19453
大家好
17
练习
6、在物理化学等学科中找出有函数关系的变 量的例子,并指出其中的自变量和因变量.
7、请找出至少五个生活中存在的函数关系的 实例,并与同伴交流.
大家好
18
小结
量与量之 间的关系
每一个自变量有惟 一确定因变量的值
依赖关系
函数关系
大家好
19
结束
大家好
20
大家好
4
实例分析
根据表内数据作图
大家好
5
实例分析
(1)高速公路里程数随时间的变化而变化.所以, 高速公路里程可以看成因变量,年度可以看成自 变量,从而高速公路里程数是年度的函数.
(2)从1988年到2001年,里程数是不断增加的, 其中从1999年到2000年增长得最快.
大家好
6
实例分析
2、一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个 时刻都有唯一行驶路程与它对应，行驶路程(因 变量)随时间(自变量)的变化而变化，行驶路程 是时间的函数。
(2)电影广告的宣传费用与它获得的利润对应,利润 是宣传费用的函数.
(3)电影的票价与它获得的利润对应,利润是电影票 价的函数.
例2 请举出现实生活中具变量之间关系的实例.
解 (1)物体的热量与温度有关;(2)声音与乐器有关系;(3) 亮度与视觉有关系;(4)数轴上的点与实数之间有关 系;(5)气候与日期有关系;(6)人的脑重与体重有关系.
19:30～22:00
的值，是否唯一确定因变
600 650 700
800 900
950
1000 1100
22:00～23:00
量的值.若是唯一的，则 500 550
600
700
800
850
900
1000
23:00～结束
是函数关系，否则，不是 400 450
500
600
700
750
800
900
关系：广告价格与播出时间长短的关系. 函数关系.
(2)班关上系4为5位:学同生学的,每分人数都与有学一号个的不关同系的;判学断号一,某次些数变学量测验间共的有3依6个赖不关同的分数.
(3)某电视台广告价格表(2001年1月份系报是价否,单位为：函元数） 关系，其关
时段
键是看对于每一个自变量 播出时间 10s
15s
20s
30s
40s
45s
50s
60s
大家好
9
变量之间的函数
只有满足对于其中一个变量的每一个值,另一 个变量都有唯一确定的值时,才称它们之间有 函数关系。
(1)正方形的周长与边长的关系式c=2∏r
(2)有的彗星轨迹是抛物线,其解析式为y=ax2(a≠0);
大家好
10
实例分析
3、下图是某高速公路加油站的图片，加油站常 用圆柱体储油罐储存汽油.储油罐的长度d、截面 半径r是常量；油面高度h、油面宽度w、储油量 v是变量.
2、坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎 样的依赖关系？
对于任一时间，电梯都有唯一高度.它们之间存在函 数关系
大家好
15
练习
3、在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量浓度与所加 蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？如果是函数关 系，指出自变量和因变量. 存在函数关系，其中蔗糖质量是自变量，糖水质量 浓度是因变量； 也可以糖水质量浓度是自变量，蔗糖的质量是因变量