最新椭球面上几种曲率半径
(整理)地球椭球的基本几何参数及相互关系
§7.1地球椭球的基本几何参数及相互关系7.1.1地球椭球的基本几何参数地球椭球参考椭球 具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。
地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。
有关元素O 为椭球中心；NS 为旋转轴；a 为长半轴；b 为短半轴；子午圈（或径圈或子午椭圆）；平行圈（或纬圈）；赤道。
旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）来决定的，即：椭圆的长半轴： a椭圆的短半轴： b椭圆的扁率： α=-a b a (7-1)椭圆的第一偏心率： ab a e 22-= (7-2) 椭圆的第二偏心率： b b a e 22 -=' (7-3)其中：a 、b 称为长度元素；扁率α反映了椭球体的扁平程度，如α=0时，椭球变为球体；α=1时，则为平面。
e 和e /是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。
五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a 或b ），人们习惯于用a 和α表示椭球的形状和大小，便于级数展开。
引入下列符号：ba c 2= tgB t =B e 222cos '=η (7-4)式中B 为大地纬度，c 为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）， 两个常用的辅助函数，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数，B e V B e W 2222cos 1sin 1'+=-= (7-5)传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来，200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多，数值各异的椭球参数。
由于卫星大地测量的发展，使推求总地球椭球体参数成为可能，自1970年以后的椭球参数都采用了卫星大地测量资料。
第四讲 椭球面上几种曲率半径讲解材料
构成直角三角形
QK Ne 2
OK
Ne 2 sin B
OQ
Ne 2 cos
B
P
W
O
B
E
Q
K
S
P点的法线
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
（Normal transversal curvature radius at random directions)
1、法截面、法截线的概念
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合
X ’
（两次转轴)
第一次转轴： P-X’Y’Z’绕Y’ 顺时针旋转(90°+B)，使Z’轴 与P 点的椭球面法线重合，得 坐标系P-X’’Y’’Z’’
Z
X
’
”
P
90°+B Y
Y’
B
Z ”
O
”
K
第一次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
第二次转轴
转换关系为
X
x coAs siA n 0x
YRZ(A)ysiA n coAs 0y
Z
z 0 0 1z
X ”
x
PA
yY”
zZ
B”
OO
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
椭球大地测量学
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一系大地测量教研室
第四讲 椭球面上几种曲率半径
子午圈的曲率半径
r N cosB
xra NhomakorabeacosB W
N
a W
N
c V
B B=0o 0o<B<90o B=90o
N
N0=a a<N<c N90=c
说明
卯酉圈即赤道 N↗ B↗
卯酉圈 子午圈
3.主曲率半径的计算 主曲率半径：
子午圈曲率半径M
卯酉圈曲率半径N
级数展开
4.任意法截线的曲率半径
尤拉公式： 1 cos2 A sin2 A
M
RA M
N
RA
N
c os2
MN AM
s in 2
A
1
N 2 cos2
A
N V 2 12 M
A
A
P
N
N
1 e'2 cos2 B cos2 A
说明：
⑴ 法截线的方位角以子午圈的北方向为基准
本节主要内容
• 椭球面上的几种曲率半径
1. 子午圈曲率半径 2. 卯酉圈曲率半径 3. 主曲率半径的计算 4. 任意法截线的曲率半径 5. 平均曲率半径
法截面：过椭球面上任意一点可作一条 垂直于椭球面的法线，包含这条法线 的平面叫法截面。
法截线（弧）：法截面与椭球面的交线 叫法截线。
法截线（弧）上各点处的曲率半径如休 计算？
作业与思考
1. 法截线和法截面定义。 2. M的计算公式。 3. 已知B=36°42´35.2354″，L＝
117°51´43.7653″。 （1）计算M、N、R、c、d的值。 （2）M、N的1秒变化值。 （3）大地方位角为A＝45处法截弧的曲率
地球椭球体的基本要素和公式麻辣GIS
地球椭球体的基本要素和公式麻辣GIS 地球椭球体的基本要素分为:长半径a(赤道半径)短半径b(极轴半径)扁率α第一偏心率和第二偏心率e, e’数学公式：α=(a−b)/a=1−b/ae2=(a2−b2)/a2=1−b2/a2e′2=(a2−b2)/b2=a2−b2−1e2=e′2/(1+e′2)e′2=e2/(1−e2)e2≈2α扁率和偏心率反映地球椭球体的扁平程度。
2.子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径法截面设过椭球面上任一点A作法线AL,通过A点法线的平面所截成的截面。
主法截面通过AL两个相互垂直法截面。
含有极值意义的两个主法截面是: 子午圈截面(AE1P1EP) 卯酉圈截面(QAW)如图：计算公式：M=a(1−e2)/(1−e2sin2ϕ)3/2N=a/(1−e2sin2ϕ)1/2上述公式中：a：长半径 e：第一偏心率 ϕ：纬度当椭球体选定后，a,e为常数；M，N随纬度的变化而变化。
当ϕ=00时M0=a(1−e2)N0=a当ϕ=900时M90=a/(1−e2)1/2N90=a/(1−e2)1/23.平均曲率半径和纬圈半径平均曲率半径（R）主法截面曲率半径的几何中数。
R=(M∗N)1/2=a(1−e2)1/2/(1−e2sin2ϕ)纬圈半径（r）r=Ncosϕ=acosϕ/(1−e2sin2ϕ)1/2在赤道上，ϕ=00，r=N=a在两极，ϕ=900，r=04.子午线弧长和纬线弧长子午线弧长:就是椭圆的弧长。
¯¯¯¯¯¯¯¯¯AA′=ds=Mdϕ=a(1−e2)dϕ/(1−e2sin2ϕ)3/2纬线（平行圈）的弧长:由于纬线为圆弧，故可应用圆周弧长的公式。
结论1. 同纬差的子午线弧长由赤道向两极逐渐增加,例如纬差 10的子午线弧长在赤道为110576米,而在两极为111695米;2. 同经差的纬线弧长则由赤道向两极缩短。
第7章椭球面讲义上的测量计算
(7 31)
B tg1( Z Ne2 sin B) X 2 Y2
(7 32)
H Z N(1 e2 ) sin B
(7 34)
• （7－31）可直接由（7－25）得到。
• （7－32）可根据右图得到。
• OP″＝x＝ X2 Y2
• 因等式右边也包含B，故需迭代计算， 其初始值可设为0; N值也需逐次迭代。
• 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。
• 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。
• 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。
• 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
WGS-84椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
6378137 (m)
ab
a
④第一偏心率：e a2 b2 a
⑤第二偏心率： e a2 b2 b
• e和e׳是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。
• 五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其 中至少应有一个是长度元素（如a或b）。习惯上通常用a和α。
计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。
• 椭球体有关元素——
O为椭球中心；
NS为旋转轴；
椭球基本知识
控制测量计算理论
六、地面观察值归算至椭球面
3、地面观察方向归算至椭球面 归算旳基本要求 地面观察方向归算至椭球面上有3个基本内容： 1) 将测站点铅垂线为基准旳地面观察方向换算成椭球面上以 法线方向为准旳观察方向； 2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间旳 法截线方向； 3) 将椭球面上旳法截线方向换算成大地线方向。
H H正常 (高程异常)
H H正 N (大地水准面差距)
控制测量计算理论
一、常用旳四种坐标系
2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴， 在赤道面上与X轴正交旳方向为Y轴，椭球体旳旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点旳位置 用X、Y、Z表达 。 空间直角坐标系旳坐标原点位于地球 质心（地心坐标系）或参照椭球中心（参 心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指 向起始子午面与地球赤道旳交点，y 轴垂 直于XOZ 面并构成右手坐标系。
4、平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作旳精度要求，在一定范围内，把
椭球面当成具有合适半径旳球面。取过地面某点旳全部方向 RA 旳平均值
来作为这个球体旳半径是合适旳。这个球面旳半径——平均曲率半径R：
R MN 或
R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
所以，Ｒ等于该点子午圈曲率半径Ｍ和卯酉圈曲率半径Ｎ旳几何
控制测量计算理论
三、地球椭球及其定位
1、椭球旳几何参数及其关系
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
4.7 大地主题解算
• 4.7.4 高斯平均引数反算公式 • 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:
73
4.7 大地主题解算
74
4.7 大地主题解算
75
4.7 大地主题解算
• 4.7.5 白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想: 以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅助球 面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭球面 上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面 上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球 面上的计算结果换算到椭球面上。
33
4.4 椭球面上的弧长计算
34
4.4 椭球面上的弧长计算
如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内 的弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个 弧长约为4 0 0 0 8 5 4 9 . 9 9 5 m。即一象限子午线弧 长约为10000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需 按(11.42)式分别算出相应的X１及X２，而后取差：Δ Ｘ＝Ｘ２－Ｘ１，该ΔＸ即为所求的弧长。 当弧长甚短(例如X≤40km，计算精度到0.001m)，可 视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度 点的子午圈的曲率半径Mｍ
47
4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 垂线偏差改正 以测站A为中心 作出单位半径的 辅助球,u是垂线 偏差，它在子午 圈和卯酉圈上的 分量分别以ξ,η表示， M是地面观测目标m在球 面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1)
48
4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 标高差改正
49
4.6 将地面观测值归算至椭球面
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第02讲-地球椭球基本要素与公式
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地球椭球体定向：在天文大地测量中首先选取一个 对某个国家比较适中的大地测量原点，并从此点出发通 过事先布设的三角网点进行几何测量和大地经纬度测量 ，逐一求出各网点的垂线偏差，再以上述的测量结果将 事先设置的地球椭球面位置调整到最理想的位置上。这 种定向，相对于全球而言，只能是局部定向。局部定向 的地球椭球体，称为参考椭球体。
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旋转椭球体（地球椭球体）—— 地球的数 学表面，是对地球形体的二级逼近，用于测量 计算的基准面。
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对地球形状测定后，还必须确定大地水准面与椭球
体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合 最好的一个地球椭球体 — 参考椭球体，这项工作就是 参考椭球体的定向。
大地纬度：指参考椭球面上某点的垂直线 （法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬 为负。
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（3）地心经纬度
以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同 大地经度λ，地心纬度是指参考椭球面上某点和 椭球中心连线与赤道面之间的夹角ψ。
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在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理 坐标。
测量与制图工作将以参考椭球体表面作为几何参考 面，将大地体上进行的大地测量结果归算到这一参考面 上。
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地理坐标
用经纬度表示地面点位的球面坐标。常见的 地理坐标有三种： （1）天文经纬度 （2）大地经纬度 （3）地心经纬度
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（1）天文经纬度
表示地面点在大地水准面上的位置，用天文 经度和天文纬度表示。
第四章 2椭球面上几种曲率半径
R
b c N a 2 1 e W2 V2 V W2
六、椭球面上几种曲率半径的关系
N RM
N90 R90 M90 c
为了便于记忆，N、R、M的公式可表示成有规律的形式
W 1 e2 sin 2 B V 1 e2 cos 2 B
椭球面上几种曲率半径
1 e2 1 e2 cos 2φ
• 大地极坐标系同大地坐标系的关系 (S，A) (L，B) Z a sinφ 大地主题解算
1 e2 Y a cosφ sin L 1 e2 cos 2φ 1 e2 1 e2 cos 2φ
上一讲应掌握的内容
（六） B、u、φ之间的关系 • 在赤道圈上： B=u=φ=0 • 在两极处: B=u=φ=90° • 在其他处: ∣B∣＞∣u∣＞∣φ∣
四、任意法截弧的曲率半径
大地方位角为A的任意法截弧的曲率半径，由 微分几何的尤拉公式得： T（北）
1 cos A sin A kA RA M N
RA MN N cos 2 A M sin 2 A
2 2
子午线 Q
A
卯酉线 P D（东）
N N RA 2 2 1 cos A 1 e '2 cos 2 B cos 2 A
• 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫作 法截面，法截面与椭球面 的交线叫法截线。有无数个法截面或法截线。 两个特殊的法截线：子午线、卯酉线。 对应有：子午线（圈）曲率半径， 卯酉线（圈）曲率半径 曲线的曲率是曲线弯曲程度的反映，它是用曲线上 无限邻近两点的切向量的交角对弧长的变化率来度 量的。 曲线上任一点的曲率的倒数称为曲率半径。 曲率越大或曲率半径越小，曲线的弯曲程度越高
中国地质大学(北京)《测量学》期末考试拓展学习(六)80
地大《测量学》（六）
第六章 小地区控制测量
椭球面上的测量计算
主要介绍：地球椭球的基本几何参数及相互关系，椭球面上的常用坐标系及其相互关系，椭球面上的几种曲率半径，椭球面上的弧长计算，大地线，将地面观测的方向值归算到椭球面，将地面观测的长度归算到椭球面，椭球面上三角形的解算，大地主题解算的高斯平均引数公式
一、地球椭球的基本几何参数及相互关系
（一）、五个基本几何参数
椭圆的长半轴： a
椭圆的短半轴： b
椭圆的扁率：
a b a
α-=
椭圆的第一偏心率：
e b
'= 椭圆的第二偏心率：
e =
注 意
决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a 或b ）。
为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：
2
222,tan ,cos a c t B e B b
η===' 22221sin ,1cos W e B V e B =-=-'
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980。
曲率半径
6、公式推导
(3) 任意方向法截线曲率半径
对法截线方程求二阶导数代入曲率半径公式可得
RA N 1 e'2 cos2 A cos2 B
公式说明
RA与L无关 RA与所在的纬度B、法截线方位角A有关 N为P点沿法线方向至椭球短轴的距离PK A为法截线方位角；e’为第二偏心率
第四讲 椭球面上几种曲率半径
(1) 形成
当A=0º 或180º 时，子午圈曲率半径，用M表示
二.子午圈曲率半径
(2) 公式
将A=0º 代入任意方向法截线曲率半径公式
RA N 1 e'2 cos2 A cos2 B
得
M R0
N 1 e 2 cos2 B
第四讲 椭球面上几种曲率半径
（Curvature radius of meridian）
2 2 W 1 e s i n B 2 2 V 1 e' cos B
W、V
W 1 2 V 1 e
M
a (1 e 2 ) c M 3 2 2 (1 e )
说明
在赤道上，M小于赤道半径。 M随纬度的升高而增大，其值 介于a(1-e2)和c之间
6、公式推导
Z
(1) P-xyz中的椭球面方程
两坐标系原点的位置关系：
P XP
ZP B
P2’
O
K
Y
P点在O-XYZ中的坐标
X
X P PP2 N cos B YP 0 2 Z P PP1 N (1 e ) si nB
P1’
P点坐标
第四讲 椭球面上几种曲率半径
N
PK N a W
椭球面上的测量计算
控制LO测GO量
三、任意法截弧的曲率半径
❖ 子午法截弧是南北方向，其方位角为00或1800； ❖ 卯酉法截弧是东西方向，其方位角为900或2700，
这两个法截弧在P点上是正交的。
控制LO测GO量
❖ 根据欧拉公式，由曲面上任意一点主曲率半径计算该点任意 方位角A的法截弧的曲率半径的公式为：
1 cos2 A sin2 A
R MN
上式即平均曲率半径的计算公式，表明，曲面任意一点的平均 曲率半径点是该点上主曲率半径的几何平均值。
控制LO测GO量
五、M、N、R的关系
❖ 椭球面上某一点的M、N、R值均是自该点起沿法线向内量取， 其长度通常是不相等的，由前面公式可知它们有如下关系： N>R>M
❖ 只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：
dS DEdx sinB sinB
（dx取负号，是因为在子午 面直角坐标系中，点的横坐 标随纬度B的增大而缩小）
控制LO测GO量
❖两式相代得
dx 1 M
dB sinB
acos2B W
dx dB
a
W
sin
Bcos W2
B
dW dB
W 1e2sin2B
dWd1e2sin2B2e2sinB cosBe2sinB cosB
克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：
X 1. 8 1 B 6 1. 4 1 6 1 s 2 8 B 0 3 i 1 . n 8 0 3 4 s 6 4 2 B i 6 0 . 0 n 8 s 6 2 B in 2 X 1 . 8 1 B 3 6 1 . 7 2 s 1 1 B c 8 i B 0 1 3 n o 0 . 9 0 s 3 4 3 s B 2 c i 5 B 3 n 0 . o 6 9 s 5 B s 9 c i B n
大地测量学基础(椭球面上的几种曲率半径)
Ona Q1na sinB1 Onb Q2nbsinB2
b
A
a
B
O B 1 B 2 Q 2
Q1
由 Qn Ne2 ，得
na
Ona N1e2 sinB1
nb
Onb N2e2 sinB2
若 B1B2， Oan Obn
若A、B两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点有两条法
⑷了解大地线微分方程和克莱劳定理
—定义：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。
B
⑴ 大地线是一条空间曲线；
—性质：⑵ 大地线惟一，位于相对法截线之间。
C
—说明：⑴
1 3
A
其长度与法截线长度
相差为百万分之一毫米；
B
⑵地面观测值归算成大地线的
方向，距离。
A
3.大地线的微分方程和克莱劳方程 ⑴ 大地线的微分方程 描述p到p1时，dS与 dA、dL、 dB之间的关系 在微分直角三角形pp2p1中
截线。
说明：⑴相对法截线
A照准B：AaB叫A点的正法截线，B点的反法截线；
B照准A：BbA叫B点的正法截线，A点的反法截线。
⑵ 相对法截线的位置
BbA比AaB偏上。
B2B1， ObnOa， n
正反法截线的位置如课本图4-18 所示
⑶ 当A、B两点位于同一子午圈或平行圈时，正反法截线合 二为一。
⑷ 椭球面上A、B、C三点构不成三角形。（产生了矛盾） 2.大地线的定义和性质
个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的 闭合的圈，称为卯酉圈。
r N cos B
xr
a cos W
B
N
a W
N
几种主要的椭球公式
§6.3 几种主要的椭球公式过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。
包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。
椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。
6.3.1子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长ds DK =，相应地有坐标增量dx ，点n 是微分弧dS 的曲率中心，于是线段Dn 及Kn 便是子午圈曲率半径M 。
任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：dBdS M = 子午圈曲率半径公式为：32)1(W e a M -= 3V c M = 或 2V N M = M 与纬度B 有关．它随B 的增大而增大，变化规律如下表所示：6.3.2卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。
在图中E PE '即为过P 点的卯酉圈。
卯酉圈的曲率半径用N 表示。
为了推导N 的表达计算式，过P 点作以O '为中心的平行圈PHK 的切线PT ，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。
因卯酉圈也垂直于子午面，故PT 也是卯酉圈在P 点处的切线。
即PT 垂直于Pn 。
所以PT 是平行圈PHK 及卯酉圈E PE '在P 点处的公切线。
卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：W a N = Vc N = 6.3.3 任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180°。
卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或270°。
现在来讨论方位角为A 的任意法截弧的曲率半径A R 的计算公式。
任意方向A 的法截弧的曲率半径的计算公式如下：AB e N A N R A 22222cos cos 1cos 1'+=+=η （7-87）6.3.4 平均曲率半径在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。