第6章信号分析与处理

信号x(t)的频谱X()就 是将 (t)的频谱 W () 沿频率轴搬移 0
由全部能量集中在0 处，分散到全部频 率轴上。
截短（有限化处理），就等于将该序列乘以一个矩形窗:
y(t ) w(t ) cos(0t )
t 2 t
1 w(t ) 0
分辨率必须满足：
f (2.02 - 2) 0.02Hz
于是采样长度最小为： L
1 50s f
采样点数 N 即为： N L f s 50 10 500
为了能应用FFT算法，采样点数 N 可选为512。
本章小结 DFT的概念及其公式推导； 频谱混迭现象及采样定理；
6. 信号分析与处理
本章主要内容
傅立叶级数及周期信号频谱特点； 傅立叶变换的概念； DFT的概念及其公式推导； 频谱混迭现象及采样定理； 时域有限化和频谱泄漏； 抑制频谱泄漏、栅栏效应的措施 DFT参数选择。
概述
信号的频谱分析是揭示信号在频域特征的 信号分析方法。 理论依据：由法国工程师傅立叶于1807年 提出的，后人称为傅立叶分析理论。
是泄漏引起的，它们不是信号的真正谱线，如下下所示。
（3）N’=512, T’ ’=100 s
• 半带宽=
1 1 19.5Hz NTs
谱线间隔=
1

1 19.5Hz NTs
• 半带谱线间隔 故可输出谱线：0，19.5，39，58.5，78， 97.5，117，136.5……（Hz）； • 过零点谱线：2.5，22，41.5，61，80.5，119.5，139， ……（Hz）； • 可输出谱线全部输出 • 这个情况下，既存在栅栏效应，也存在泄漏，但谱线 97.5Hz已经很接近信号实谱线100Hz，由泄漏引入的谱 线均接近零点，数值很小。 • 为了防止产生泄漏，应使窗长为信号周期整数倍。
频谱泄漏现象的实验演示
6.５.2 泄漏的抑制措施
1、增大采样（截断）长度
50Hz的方波信号
信号的采样长度为0.06 秒，对应 的频谱产生明显的泄漏现象。
信号的采样长度增长，近似为0.3 秒，对 应的频谱所产生的泄漏现象明显减小。
2、合理选择窗函数： 应当选择主瓣窄而旁瓣衰减较大的窗 函数。常用的窗函数有汉宁窗、三角窗、 哈明窗等。
j 2 nk / N
]e
j 2 nk / N
得正、逆离散傅立叶变换式：
DFT：
YK Y (k ) y (n) e
n 0 N 1 j 2 nk / N nk y (n) WN n 0 N 1
(k 0,1, N 1)
IDFT：
yn y(n) Y (k ) e
3、合理选择截取长度： 保证采样长度是信号周期的整数倍
6.6 栅栏效应
如果是非周期函数，其频谱是连续的， 经采样和DFT运算，得到的频谱则是离散的， 那么，离散谱线之间的频率分量就被“挡住” 而损失掉，这种效应称为栅栏效应。 周期函数也同样存在栅栏效应。
1 1 f ＝ 谱线间隔 L N Ts
6.7 DFT 参数选择原则
选择原则
根据采样定理选择采样周期Ts；： 根据频谱分辨力的要求选择采样长度L： L N TS
若是周期信号，调节L使其为信号周期 的整数倍
使采样点数N 满足2的幂次方，以实现 fs DFT运算；
N
f
例题
信号
x(t )由三个正弦组成，其频率分别是
f1 2Hz f 2 2.02Hz
f3 2.08Hz 即： x(t ) sin(2 f1t ) sin(2 f2t ) sin(2 f3t ) 用DFT分析
信号频谱，试确定相关参数。 解：为使不发生频谱混叠，根据采样定理得：
f s 2 2.08 4.16Hz
选定 f s ＝10Hz，即 Ts ＝ 0.1s 进行采样。欲分辨出三个频率，则频谱
6.4 频谱混迭与采样定理
6.4.1 频谱混迭
y(t ) comb(t ) x(t )
（a）无混叠现象（f S 2Fmax （b）频谱混叠( f S 2Fmax ） ）
为保证采样后信号能真实地保留原始 模拟信号信息，信号采样频率必须至少为 原信号中最高频率成分的2倍。称为采样定 理。即：

2
利用欧拉公式，可进一步表示为：
y (t ) w(t ) j0t [e e j0 t ] 2
根据频移特性可得:
1 Y ( ) [W ( 0 ) W ( 0 )] 2
频谱泄漏所带来的问题
频域曲线产生很多“皱纹”，频率分量增加； 如信号为两幅值一大一小频率很接近的余弦波形 合成，当其中一个小幅值余弦波的主瓣落入大幅值 余弦波的第一负旁瓣内时，其主瓣将被“ 吞没 ”。 因而会产生分析误差；
频域上离散化：
f k f (k 0,1 N 1)
显然输出最高频率为：
FS ( N 1) f N f
其它：
dt Ts
df f


k 0
N 1
代入（1）式中得：
1 y(n, Ts ) N
[ y(n T )e
k 0 n 0 S
N 1 N 1

T
y (t )e jmt dt
为傅里叶级数系数，
也称频谱系数。记为
1 Y (m1 ) y (t )e jmt dt T T
6.1.3 周期信号的频谱特点
离散性 谐波性 收敛性
物理解释
6.2 傅立叶变换和非周期信号频谱
由傅立叶级数推导出傅立叶变换公式
T
离散谱

连续谱
f
0
非周期信号频谱的特点
6.3 离散傅里叶变换（DFT）
6.3.1 基本概念
离散傅立叶变换是傅立叶变换CFT经过时域
和频域有限化和离散化处理后导出的计算机系统
分析信号频谱的公式。它实际来源于CFT。
6.3.2 离散傅立叶变换式的推导 在理解对信号在时域上离散化和有限化处理
过程的基础上，加深对采样定理、频谱泄漏、栅
栏效应等物理概念的理解，从而掌握对信号进行
数采卡
用于降低被测信号的最高频率 截止频率：
f f m
限制X(t)的高频上限
容易实现
fs 2 fm
，避免过高苛刻要求
Biblioteka Baidu
fs
6.5 时域有限化与频谱泄漏
6.5.1 频谱泄漏产生的原因
以余弦信号为例，说明对一个非时限信号进行有 限化处理所引起的泄漏问题。

2
2
能量集中在 0 处，高度为无限大
2 2 Am am bm
信号中的 m 次谐波分量的幅值； 信号中的 m 次谐波分量的初相角； 称为幅频谱； 称为相频
m arctan(bm / am )
Am Am (m）
m m (m )
傅立叶级数的复数形式
y (t )
m


cm e jmt
式中
cm
1 T
频谱分析时各主要参数的选择方法。
先将CFT的正、逆公式合写为： 对信号在时域上进行离散化：
t n TS
y(t ) [ y(t )e j 2 ft dt ]e j 2 ft df

(1)
(n 0,1, N 1)
采样的长度是有限的，信号长度为：
L ( N 1) TS N TS
时域有限化和频谱泄漏；
抑制频谱泄漏、栅栏效应的措施；
DFT参数选择。
n 0
N 1
j 2 nk / N
Y ( K ) WN nk n 0
N 1
(n 0,1, N 1)
思考 原连续信号在时域离散化后所得信号与原信号 的频谱是否一致？都相应发生那些变化？
采样周期如何选择？
对信号进行时域有限化处理后所得信号频谱会 发生那些变化？
采样长度L如何选择？
6.1 傅立叶级数
6.1.1 傅立叶级数的基本思想
任一周期函数（信号）都可由基波及与基波 频率成整数倍的幅值不同的三角函数合成，称 之为傅立叶级数。 对非周期函数，若是时限的，则将函数以其 持续时间为周期，对信号进行周期延拓，变成 周期信号后，可用傅立叶级数展开。
6.1.2 傅里叶级数的数学基础
• 可输出谱线：0，50，100，150，200，……（Hz）共256条； • 其中过零点的谱线：0，50，150，200，……（Hz）； • 实际输出普线：100Hz，故无栅栏效应也无泄漏。
• 2）采样点数N＝256，采样间隔T’＝100 s
1 1 • 半带宽= NT 39Hz s
抑制措施：增大采样长度L；
频谱泄露举例
• 设余弦信号的频率为f0=100Hz，为方便起见，以f为 横轴画X(f)频谱图
• （1）采样点数N＝256，采样间隔T=78.125s，且频谱图 X(f)-f如图1－25所示，则可计算得到下列数据： • 半带宽=
1


1 50Hz NTs
1 1 50Hz • 谱线间隔= NTs
1 39Hz 谱线间隔= NTs
1
• 可输出谱线：0，39，78，117，156，……（Hz）； • 过零点的谱线：22，61，139，178，……（Hz）(以f0 为中 心，向两边递减39Hz而得）； • 实际输出谱线：可输出谱线全部输出。 • 然而，信号得频率f0=100Hz谱线却被栅栏挡住未能检测出 来，而实际输出谱线0，39，78，117，156……（Hz）均
设 y(t ) 为一周期信号并满足狄里赫利条件， 则可用傅立叶级数展开，展开形式分实数（三 角函数）形式和复数形式。
傅立叶级数的三角函数形式
a0 ¥ y (t ) (am cos m1t bm sin m1t ) 2 m1 a0 ¥ Am sin( mt jm ) 2 m1
香农采样定理
信号经采样后，其频谱为原信号频谱的周期延拓，延 拓的周期为 1/ TS ，且在幅值上为原信号频谱幅值的 1/ TS 倍。 若连续信号的最高频率为
Fmax,则当
f S 2Fmax
时，频域波形会产生混叠。
抑制频谱混叠的方法：
传感器 预滤波器
采样定理： 加预滤波器
放大器
fs 2 fm