带电粒子在匀强电场和匀强磁场中的运动分析

带电粒子在匀强电场和匀强磁场中的运动分析

作者：张杰

来源：《中学教学参考·理科版》2015年第11期

[摘要]文章利用运动合成和分解的思想，对带电粒子在匀强电场、匀强磁场或匀强电场与匀强磁场叠加的复合场中，可能进行的各种运动进行分析。

[关键词]带电粒子匀强电场匀强磁场

[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）320050

设带电粒子的质量为m，电量为q（q>0），初速度为v0，匀强电场的电场强度为E，匀强磁场的磁感应强度为B，粒子的初始位置为坐标原点。为方便讨论，当磁场存在时，固定磁场的方向沿Z轴的正方向；当电场方向与磁场方向垂直时，取电场方向为Y轴正方向；当初速度方向与电、磁场构成的平面垂直时，取初速度方向沿X方向。

一、带电粒子在匀强电场中的运动

取电场方向为Y轴正方向，则粒子可能的运动有以下三类。

1.匀加速直线运动

初速度v0沿Y轴正方向，有：

qE=ma，y=v0t+12at2

2.类平抛运动

初速度v0沿X轴正方向，有：

qE=ma x=v0t y=12at2

3.类斜抛运动

初速度v0在XY平面，沿X轴正方向的分量为v0x，沿Y轴正方向的分量为v0y。

带电粒子在匀强电场中做类斜抛运动的实例有：电子枪、示波管。

相关方程有：

qE=ma x=v0xt y=v0y+12at2

二、带电粒子在匀强磁场中的运动

磁场的方向沿Z轴的正方向，粒子可能的运动有以下三类。

1.匀速直线运动（初速度v0沿Z轴正方向）

z=v0t

2.匀速圆周运动（初速度v0沿X轴正方向），有：

Bqv0=mv02r T=2πmBq

粒子在XY平面做匀速圆周运动，半径为r，周期为T

3.等距螺旋线（如图1所示，图中给出了磁场、电场和初速度的X、Y、Z三个方向的分量）。

初速度v0在XZ平面，沿X轴正方向的分量为v0x，沿Z轴正方向的分量为v0z，有：Bqv0X=mv20Xr T=2πmBq

螺距z=v0zt

粒子的运动可以看成两个运动的合成，即XY平面的匀速圆周运动叠加Z轴方向的匀速直线运动，圆周运动的半径为r，周期为T。

带电粒子做这类运动的实例有：显像管、磁聚焦。

图1

三、带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动

1.匀速直线运动

磁场的方向沿Z轴的正方向，电场方向为Y轴正方向，初速度v0方向沿X方向。

并且满足Bqv0=qE 即v0=EB

粒子以速度v0沿X轴做匀速直线运动，带电粒子做这类运动的实例有：粒子速度选择器。

2.滚轮线运动（如图2所示）

磁场的方向沿Z轴的正方向，电场方向为Y轴正方向，初速度v0在XY平面内。将初速度v0分解为v1+vc（不一定正交分解），其中vc方向沿X正方向，大小满足|vc|=EB。

则Y轴方向有：Eqv0=qE

XY平面上有：Bqv1=mv12r

T=2πmBq x=vct

粒子的运动可以看成两个运动的合成，即XY平面内的匀速圆周运动（半径为r，周期为T）叠加X轴方向的匀速直线运动（速度为vc）。即为XY平面内的滚轮线，漂移方向为X轴正方向。

图2

3.空间等距滚轮线运动（如图3所示）

磁场的方向沿Z轴的正方向，电场方向为Y轴正方向，初速度v0方向沿X、Y、Z方向的分量分别为vox，voy，voz，同样将XY平面的速度分解（不一定正交分解），vxy分解为v1+vc，即v0x+v0y=v1+vc，其中vc方向沿X正方向，大小满足|vc|=EB。

Y轴方向有：Bqvc=qE

XY

平面上有：Bqv1=mv12r

T=2πmBq

X轴方向有：X=v0t Z轴方向有：Z=v0zt

粒子的运动可以看成三个运动的合成：XY平面的匀速圆周运动（半径为r，周期为T）叠加X轴方向的匀速直线运动（速度为vc）叠加Z轴方向的匀速直线运动（速度为v0z）。或将粒子的运动看成两个运动的合成：即为XY平面内的滚轮线叠加Z轴方向的匀速直线运动。

图3

四、带电粒子在平行的匀强电场和匀强磁场中的运动

磁场的方向沿Z轴的正方向，电场方向为Z轴正方向。

1.匀加速直线运动

初速度沿Z轴方向，有：

qE=ma z=v0zt+12at2

2.匀加距螺旋线（如图4所示）

初速度v0方向在XZ平面，沿X、Z方向的分量分别为v0x、v0z。

沿Z轴方向有：qE=ma z=v0zt+12at2

XY平面上有：Bqv0x=

mv2oxr，

T=2πmBq

粒子的运动可以看成两个运动的合成：XY平面的匀速圆周运动叠加Z轴方向的匀加速直线运动。

图4

五、带电粒子在斜交的匀强电场和匀强磁场中的运动

1.类平抛运动（如图5所示）

磁场B的方向沿Z轴的正方向，电场E的方向在YZ平面内，电场沿Y轴的分量为Ey，电场沿Z轴的分量为Ez，初速度v0方向沿X方向，并且满足Bqv0=qEy。

Y轴方向有：Bqv0=qEy

沿Z轴方向有：qEZ=ma Z=12at2

沿X轴正方向有：X=v0t

所以粒子的运动是XZ平面上的平抛运动。（若粒子还有Z方向上的初速度，粒子则做在XZ面上的斜抛运动，如图6所示）

图5

图6

2.空间变加速滚轮线运动（如图7所示）

磁场B的方向沿Z轴的正方向，电场E方向在YZ平面内，电场沿Y轴的分量为Ey，电场沿Z轴的分量为

Ez，初速度v0方向沿X、Y、Z方向的分量分别为v0x，v0y，v0z，同样将XY平面的速度分解（不一定正交分解），vxy分解为v1+vc，即v0x+v0y=v1+vc，其中vc方向沿X正方向，大小满足|vc|=EyB。

Y轴方向有：Bqvc=qEy

XY平面上有：Bqv1=mv12r T=2πmBq

X轴方向有：X=v0t

Z轴方向有：qE=ma Z=v0zt+12at2

粒子的运动可以看成三个运动的合成：XY平面的匀速圆周运动（半径为r，周期为T）叠加X轴方向的匀速直线运动（速度为vc）叠加Z轴方向的匀加速直线运动。或者将粒子的运动看成两个运动的合成：即为XY平面内的滚轮线叠加Z轴方向的匀加速直线运动。

图7

小结：带电粒子在匀强电磁场中的运动最终都可以分解为基本的运动：匀速直线运动、匀加速直线运动、匀速圆周运动。这三种运动可以在同一平面上，也可以在互相垂直的平面上。

（责任编辑易志毅）