2010-2014年高等数学(工本)00023历年试题及参考答案

2010-2014年高等数学(工本)00023历年试题及参考答案 全国2010年10月自学考试高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．在空间直角坐标系下，方程2x 2+3y 2=6表示的图形为（ ） A ．椭圆 B ．柱面 C ．旋转抛物面D ．球面2．极限021lim →→y x arcsin(x +y 2)=（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．π3．设积分区域22:y x Ω+≤R 2，0≤z ≤1，则三重积分⎰⎰⎰=+Ωdxdydz y xf )(22（ ）A ．⎰⎰⎰π200102)(Rdz r f drd θ B ．⎰⎰⎰π20012)(Rdz r f rdrd θC ．⎰⎰⎰+π20122)(Rrdz y x f dr d θD ．⎰⎰⎰π102)(Rdz r f rdrd θ4．以y =sin 3x 为特解的微分方程为（ ） A ．0=+''y y B ．0=-''y y C ．09=+''y y D ．09=-''y y5．设正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ）A ．∑∞=+1100n nuB ．∑∞=++11)(n n n u uC ．∑∞=1)3(n nuD ．∑∞=+1)1(n nu二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．向量a ={1,1,2}与x 轴的夹角=α__________. 7．设函数22),(y x xy y x f -=，则=)1,(x yf __________.8．设∑是上半球面z =221y x --的上侧，则对坐标的曲面积分⎰⎰∑=dxdy y 3__________.9．微分方程x y y sin 3='+'''的阶数是__________.10．设)(x f 是周期为2π的函数，)(x f 在[)ππ,-上的表达式为[)[)⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=.π,0,23sin .0,π,0)(x x x x f )(x S 是)(x f 的傅里叶级数的和函数，则S （0） =__________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．设平面π过点P 1（1，2，－1）和点P 2（－5，2，7），且平行于y 轴，求平面π的方程. 12．设函数22ln y x z +=，求yx z∂∂∂2.13．设函数232y x e z -=，求全微分dz .14．设函数)2,(22xy y x f z -=，其中f (u , v )具有一阶连续偏导数，求xz ∂∂和y z ∂∂. 15．求曲面x 2+y 2+2z 2=23在点（1，2，3）处的切平面方程. 16．计算二重积分⎰⎰+D dxdy y x )sin(22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤a 2.17．计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由曲面z =x 2+y 2，z =0及x 2+y 2=1所围区域.18．计算对弧长的曲线积分⎰Cds x 2，其中C 是圆周x 2+y 2=4的上半圆. 19．计算对坐标的曲线积分⎰+-+-C dy y x dx y )21()31(，其中C 为区域D ：| x |≤1，| y |≤1 的正向边界曲线.20．求微分方程02=-+-dy e dx e y x y x 的通解. 21．判断无穷级数∑∞=--+1212)1(1n n n 的敛散性. 22．将函数51)(+=x x f 展开为x +1的幂级数. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．设函数)(x yz ϕ=，其中)(u ϕ为可微函数.证明：0=∂∂+∂∂y zy x z x24．设曲线y =y (x )在其上点（x , y ）处的切线斜率为xyx -24，且曲线过点（1，1），求该曲线的方程. 25．证明：无穷级数∑∞=-=++-+121)122(n n n n .全国2011年1月自学考试高等数学(工本)试题一、单项选择题(本大题共5小题。

每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.同向的单位向量是则与向量及点已知点AB B A ),4,1,5()3,1,7(-( )A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-31,32,32B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--31,32,32 C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--31,32,32 D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-31,32,32 2.设积分区域Ω：2222R z y x ≤++,则三重积分⎰⎰⎰Ω),,(dxdydz z y x f ，在球坐标系中的三次积分为（ ） A.⎰⎰⎰ππϕϕθϕθϕθ200)cos ,sin sin ,sin cos (Rdr r r r f d dB. ⎰⎰⎰ππϕϕθ20002sin ),,(Rdr r z y x f d dC. ⎰⎰⎰ππϕϕϕθϕθϕθ20002sin )cos ,sin sin ,sin cos (Rdr r r r r f d d D.⎰⎰⎰ππϕϕϕθϕθϕθ202sin )cos ,sin sin ,sin cos (Rdr r r r r f d d3.设F （x ,y ）具有连续的偏导数，且xF (x ,y )dx+yF (x,y )dy 是某函数u (x ,y )的全微分，则（ ） A.x Fy y F x∂∂=∂∂ B. x Fx y F y∂∂=∂∂ C. yF x F ∂∂=∂∂ D. xF x y F y∂∂-=∂∂4.微分方程x xe y y y =+'-''65的一个特解应设为y*=（ ） A.axe x B.x (ax +b )e x C.(ax +b )e xD.x 2(ax +b )e x5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（ ） A.()∑∞=+111n n nB.∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13101n nC. ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+121101n n nD. ∑∞=+1132n n n二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.点P （0，-1，-1）到平面2x +y -2z +2=0的距离为_____________. 7.设函数z =ex -2y,而x =t 2,y =sin t ,则dtdz=_____________. 8.设∑为球面2222a z y x =++,则对面积的曲面积分⎰⎰∑=dS _____________.9.微分方程==-''y y 的通解01_____________.10.设函数f (x )是周期为2π的函数,f (x )的傅里叶级数为()∑∞=--+-1212,cos 41π31n n nx n 则傅里叶级数b 3=_____________.三、计算题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)11.求过点P (2,-1,3),并且平行与直线⎩⎨⎧=+=-+13532z x z y x 的直线方程.12.设函数f (x ,y )=(1+xy )x,求.)1 , 1(xf∂∂13.设函数xyy x z -+=22,求全微分dz . 14.设函数z =f (e xy ,y ),其中f (u ,v )具有一阶连续偏导数,求yz x z ∂∂∂∂和. 15.求抛物面().5,1,13222处的切平面方程在点-+=y x z 16.计算二重积分()⎰⎰+Ddxdy y x 2,其中积分区域D:.422≤+y x 17.计算三重积分⎰⎰⎰Ωxdxdydz ,其中积分区域Ω是由1=++z y x 及坐标面所围成区域.18.计算对弧长的曲线积分()⎰-+Cds y x 12其中C 是y =3-x 上点A (0,3)到点B (2,1)的一段. 19.计算对坐标的曲线积分()()⎰++-Cdx y dy x 11,其中C 是摆线t y t t x cos 1,sin -=-=上点A(0,0)到点B (2π,0)的一段弧. 20.求微分方程.2的通解y x e dxdy-= 21.判断无穷级数()∑∞=-2ln 1n nn的敛散性.22.将函数()x x x f +=1ln )(2展开为x 的幂级数. 四、综合题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)23.求函数()4622,22-+--+=y x y xy x y x f 的极值.24.计算由曲面,322y x z +=三个坐标面及平面1=+y x 所围立体的体积.25.证明无穷级数全国2011年4月自学考试高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.已知a ={-1，1，-2），b =(1，2，3}，则a ×b =( ) A.{-7，-1,3} B.{7，-1，-3} C.{-7,1,3}D.{7,1，-3）2.极限222200)(3sin lim y x y x y x ++→→( ) A.等于0 B.等于31C.等于3D.不存在3.设∑是球面x 2+y 2+z 2=4的外侧，则对坐标的曲面积分⎰⎰∑x 2dxdy =( )A.-2B.0C.2D.44.微分方程22yx xy dx dy +=是( ) A.齐次微分方程 B.可分离变量的微分方程 C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微分方程5.无穷级数∑∞=023n n n的前三项和S 3=( )A.-2B.419 C.827 D.865 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.已知向量a ={2,2，-1），则与a 反方向的单位向量是_________. 7.设函数f (x ，y )=yx yx +-，则f （1-x ,1+x ）=_________. 8.设积分区域D ：x 2+y 2≤2，则二重积分⎰⎰Df (x ，y )dxdy 在极坐标中的二次积分为________.9.微分方程y 〞+y =2e x 的一个特解是y *=_________.10.设f (x )是周期为2π的函数，f (x )在[-π, π]，上的表达式为f (x )=⎩⎨⎧∈-∈),0[,)0,[,0ππx e x x S (x )为f (x )的傅里叶级数的和函数，则S (0)=_________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11.求过点P （-1,2，-3），并且与直线x =3+t ，y =t ，z =1-t 垂直的平面方程. 12.设函数z =，求全微分dz |(2,1).13.设函数z=f （cos （xy ），2x-y )，其中f （u ，v ）具有连续偏导数，求x z ∂∂和dyz∂. 14.已知方程e xy -2z +x 2-y 2+e z =1确定函数z=z (x,y )，求x z ∂∂和yz∂∂. 15.设函数z=e x （x 2+2xy ），求梯度grad f (x ，y ). 16.计算二重积分⎰⎰Dy 22x e -dxdy .其中积分区域D 是由直线y=x , x =1及x 轴所围成的区域.17.计算三重积分⎰⎰⎰Ω(1-x 2-y 2)dxdydz ，其中积分区域Ω是由x 2+y 2=a 2，z =0及z =2所围成的区域.18.计算对弧长的曲线积分⎰Cxds ，其中C 是抛物线y=x 2上由点A (0,0)到点B (2,4)的一段弧.19.验证对坐标的曲线积分⎰C(x+y )dx +(x-y )dy 与路径无关，并计算I=⎰-++)3,2()1,1()()(dy y x dx y x20.求微分方程x 2y 〞=2ln x 的通解. 21.判断无穷级数∑∞=+1)11ln(n n 的敛散性. 22.将函数f (x )=x arctan x 展开为x 的幂级数.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23.设函数z =arctan yx，证明.02222=∂∂+∂∂y z x z24.求由曲面z =xy ，x 2+y 2=1及z =0所围在第一卦限的立体的体积. 25.证明无穷级数∑∞==+1.1)!1(n n n全国2011年10月自学考试高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。