第三章 机械系统运动微分方程的求解1

3-1-1 单自由度系统的振动
2）特解
位移动力放大系数
X
X st
1
[1 ( )2 ]2 [2 ( )]2
n
n
相位角
2 ( )
tan
1
(
n )2
n
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
在初始条件为 x&(0) x&0, x(0) x0 欠阻尼条件下，方程的定解
设特解： x2(t) X sin(t )
代入方程 m&x& cx& kx F0 sin t
m2 X sin(t ) cX cos(t ) kX sin(t ) F0 sint
作旋转矢量图
(kX
m2 X
)2
(c X
)2
F02
tan
kX
c X m2 X
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
位移动力放大n 系数 ，即发生共振现象。
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
振动稳定性设计准则
所有对于降低振动的工程应用场合，应使频率比在
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动
（2） 欠阻尼 1
特征根：1,2 ( i 1 2 )n 令 d n 1 2
方程的通解 x1 ent ( A1eidt A2eidt )
ent (c1 cosdt c2 sin dt)
利用 x(0) x0 x&(0) x&0 可得
3-1-1 单自由度系统的振动 2）特解
作旋转矢量图
(kX
m2 X
)2
(c X
)2
F02
tan
kX
c X m2 X
可得
X
F0
(k m2 )2 (c)2
arctan
c
k m2
F0 / k
(1 m2 )2 ( c )2
k
k
将
n
k m
c 2mn
X st
F0 k
代入上式得
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
满足初始条件:
x&(0) x&0, x(0) x0
根据微分方程理论,该方程解的形式为奇次通解与某个特解之和, 即
x(t) x1(t) x2(t)
x1(t) 为齐次通解 , x2(t) 为特解.
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 1）齐次通解 x1(t) 将奇次运动微分方程变成标准型:
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
m&x& cx& kx F(t)
满足初始条件:
x&(0) x&0, x(0) x0
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
2. 单自由度振动系统简谐激励作 用下的响应
运动微分方程:
m&x& cx& kx F0 sin t
c）从图3-1-5可知， 1 时系统的位移响应回到平衡状态的时间最短。因此 对于指针式仪表读数系统，常将系统的阻尼比调整 为临界阻尼，以达到稳定读数的目的
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 2）特解
特解的求法很多，有比较系数法、旋转矢量法、拉 氏变换法等，较简单快捷的方法是旋转矢量法
x
ent
( x0
cos d t
x&0 n x0 d
sin dt)
c x 1
0
c2
x&0 n x0 d
=ent
x02
(
x&0 n x0 d
)2
sin(d t
)
欠阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动
（3）临界阻尼 1
特征方程有两个重根即 1 2 = n
方程的通解
x1 ( A1 A2t)ent
利用 x(0) x0 x&(0) x&0 可得
x1 [x0 ( x&0 n x0 )t]ent
临界阻尼系统的自由衰减振动
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动 工程应用：
a)无阻尼自由振动 0
方程的解
x
x0
3-1-1 单自由度系统的振动 讨论
（1）过阻尼: 1
x1(t) ent ( A1e 2 1nt A2e ) 2 1nt
根据初始条件可以得到系数A1,A2的表达式
A1
x&0 ( 2n
2 1)n x0 2 1
A2
x&0
( 2n
2 1)n x0 2 1
过阻尼系统的自由衰减振动
,
&x& 2n x& n2 x 0
其中固有频率： n
k m
设方程的解为 x Aet
阻尼比
C C CC 2m n 临界阻尼 CC 2mn
( 2 2n n2 ) Aet 0
特征方程：
2 2n n2 0
特征根：
1 2n 2
4
2 2 n
4n2
(
2
2 1)n
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
cosnt
x&0
n
sin nt
x02
( x&0
n
)2
sin(nt
)
固有频率
n =
k m
b) 阻尼对振幅的影响
阻尼比越大，振幅衰减越大
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动 工程应用：
b) 阻尼对振幅的影响 阻尼比越大，振幅衰减越大
n (tk Td )
A e k
nTd
e ntk
A e k1
两边取自然对数，注意到 nTd dTd 2
1 ln Ak 2 Ak1
为了提高测量精度，常取n次振幅波动后对数衰减率作 为阻尼比的计算公式
1 ln Ak 2 n Akn
自由振动法测量单自由度振动系统的阻尼比
,
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
，
3-1-1 单自由度系统的振动 工程应用：
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt)
ent ( x0
cos d t
x&0 x0 d
sin dt)
[1
(
X st
)2 ]2 [2 (
)]2
sin(d t
)
n
n
上中的第一项为单自由度系统自由振动响应，当t
时，该项趋近于0。第二项为稳态解，表现为周期性运
动
其工程意义在于：
a)当频率比 1 时，振幅最大，当阻尼比 0 ，
第3章 机械系统运动微分方程的求解
• 3-1机械系统运动方程求解方法-解析法 • 3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法 • 3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数
值法
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
1.问题的提法 工程中大量的动力学问题都可以 归结于图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型,其动力学问题的数 学模型表示为常微分方程的初值 问题 控制方程: