常用的坐标变换.

Ay
Ar
sin
sin
A
cos
sin
A
cos
Az
Ar
cos
A
sin
Ar Ax sin cos Ay sin sin Az cos
A
Ax cos cos A
cos sin Az sin
A
Ax sin
Ay
cos
err r err
err
0,
er ,
r e
sin
,
er r er
er
0,
er 0
r
err ,
er 0
r e
cos
,
er
err sin
r e
cos
cos cos1 cos2 sin 1 sin 2 cos(1 2 )
A
B
C
B
C
A
C
A
B
Ax Ay Az
A B C Bx By Bz Cx Cy Cz
A
f
f
fg
f
g
f gffgg
f
g
g
f
f
g
g
f
fg
f
f
f
S
f
ds
V
f dV
L
f
dl
S
f
ds
S ds V 2 dV S ds V 2 2 dV
r r
rr 0
r 3
f r f
'
r
r
1 r r r3
f rr 0
2 1 rr 4r
e
1
r sin
u
er
u r
e
1 r
u
e
1
r sin
u
A
1 r2
r
r 2 Ar
1
r sin
sin A
1
r sin
A
er
e
e
r 2 sin r sin
r
A
r
Ar
rA
r sin A
2u
1 r2
r
r 2
u r
1
r 2 sin
sin
u
r2
1 sin
2
2u
2
函数在该点附近沿 l 方向的增量为
d r
grad
r
d
l
f div f
f rot f
grad
2
2 f f f
f
f
2
f
0
f 0
F fv gv Ffvgv
gv
fv
v f
gv
gv
v f
f
g
f
g
f
f dl
rot f
n
lim S 0
L
S
面元的法线方向与沿边界的绕行方向成右手螺旋 关系。 上式表明：旋度矢量在任一方向上的投影，等于 该方向上的环量面密度。
定义：标量场中的某点上定义一个矢量，其方向为 函数在该点变化率最大的方向，其大小等于这个最 大变化率的值，这个矢量叫做函数在该点的梯度。
ey
2 Az
ez
er
r
e
1 r
ez
z
A
1 r
r
rAr
1 r
A
Az z
u
er
u r
e
1 r
u
ez
u z
er r
e
ez r
A
r z
2u
1 r
r r
u r
1 r2
2u
2
2u z 2
2A
2
Ar
er
2
A
e
2
A
z
ez
Ar rA Az
er
r
e
1 r
数学补充
笛卡儿坐标系 圆柱坐标
x r cos
ex er cos e sin
y
r
sin
ey er sin e cos
z z
ez ez
圆柱坐标 笛卡儿坐标系
r x2 y2
tan1 y x
z z
er ex cos ey sin e ex sin ey cos
r
r3
r r3
0
ei a r i aei a r
av rv ar rv av
ex
x
ey
y
ez
z
ex
x
ey
y
ez
z
A
Ax
Ay
Az
x y z
ex ey ez
A
x y z
2 2 2 2
x 2 y 2 z 2
Ax Ay Az
2A
2 Ax
ex
2 Ay
ez 0 z
ez 0
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
ex er sin cos e cos cos e sin
ey
er sin
sin
e
cos
sin
e
cos
ez er cos e sin
r x 2 y 2 z 2
cos1
z
x 2 y 2 z 2
tan 1
y x
er e
ex ex
sin cos ey sin sin ez cos cos cos ey cos sin ez sin
e ex sin ey cos
A Axex Ayey Azez Ar er A e A e
Ax Ar sin cos A cos cos A sin
B
C
A
C
B
A
B
C
A
B
C
A
C
B
B
C
A
定义：设闭合曲面S 包围着体积V ，穿过S 的 矢量场的通量与V 之比，在V 0 时的极限称
为矢量场的散度。
div f lim
S f dS
V 0 V
dS 的正方向沿S 的外法线方向。
定义：在矢量场的某点上定义一个矢量，其方向为 该点有最大环量面密度的方向，其大小等于这个最 大环量面密度的值，这个矢量叫做该点的旋度。
2A
2
Ar
er
2
A
e
2 A
e
其中
2A r
2 Ar
2 r2
Ar
1
sin
sin A
1
sin
A
2A
2 A
2 r2
Ar
A
2sin 2
cos sin 2
A
2A
2 A
2
r 2 sin
Ar
ctg
A
2
A sin
ez ez
A
Ax ex
Ay ey
Az ez
ห้องสมุดไป่ตู้Ar er
A e
Az ez
Ax Ar cos A sin
Ay
Ar
sin
A
cos
Az
Az
Ar Ax cos Ay sin
A
Ax sin
Ay
cos
Az
Az
er
er
r er
z
e , e
r e
z
e
er ,
ez 0 r