江苏高等数学竞赛试题汇总

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江苏高等数学历年(本科三级)竞赛真题(史上最完整) 2

2010第十届高等数学（本科三级）竞赛题一、填空题（每小题4分，共32分）1) ()30sin sin sin lim x x x x→- = 2）()2arctan e tan ,xy x x y '=+=则3）设由y x x y =确定(),y y x =d d yx=则4）()2cos ,n y x y ==则5）21e d xx x x -=⎰6）设 2,,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f 可微，()()123,22,3,23,f f ''==则()()d z,2,1x y ==7) 设函数 (),F u v 可微，由 ()22,0F x z y z++=确定(),,z z x y =则 z z x y∂∂+=∂∂ 8）设22:2,0,d DD x y x y x y +≤≥=则二、（10分）设a 为正常数，使得 2e ax x ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的最小值。

三、（10分）设()f x 在[]01，上连续，且()()110d d f x x x f x x =⎰⎰，求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0d 0.f x x ξ=⎰四、（12分）求广义积分421d .1x x+∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。

求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

六、（12分）已知A B C D 是等腰梯形,8BC AD AB BC CD ++=，∥，求,AB BC AD 的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

七、（12分）求二重积分()22cossin d d ,Dx y x y +⎰⎰ 其中 22:1,0,0.D x y x y +≤≥≥2008第九届高等数学（本科三级）竞赛题一、填空题（每小题5分，共40分）1、若2arctan 2limx ax x x bx xπ→∞+=--，则=a ________________；=b ________________.2、()=+∑=∞→nk n k k 131lim________________. 3、()()()()10021---=x x x x x f ，则()=100'f ________________.4、常数=a ______,=b ______时，()bxxx ax x f +++=12在0→x 时，关于x 的无穷小的阶数最高.5、=⋅⎰2032cos sin πxdx x ________________. 6、()⎰∞=+12221dx x x ________________.7、设y x x z -=，则()=∂∂1,2n n yz________________.8、设D ：由0,==x x y ，1=y 所围，则⎰⎰=Dydxdy arctan ________________.二、（8分）设数列{}n x 为：n n x x x +==+6,111 ；求证：数列{}n x 收敛，并求极限。

江苏省专科第十届高等数学竞赛题

第十届专科竞赛题与评分标准一、填空题（每小题4分，共32分） 1) ()3sin sin sin limx x x x→- =16.2）()2arctan e tan ,x y x x y '=+=则()242etan sec 1xx x x x +++.3）设由yxx y =确定(),y y x =d d y x=则()()()()22ln ln 1ln ln 1.y x y y yx x y x x x y ----或4）()2cos ,n y x y==则 12cos 22n n x π-⎛⎫+⎪⎝⎭5） 21e d xx x x-=⎰exC x-+6) ()214arctan d 1x xx x =+⎰264π.7）圆 222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩，的面积为 16π8) 级数 ()111!2!nnn n n ∞=+-∑的和为 4e .3-二、（10分）设a 为正常数，使得 2e axx ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的最小值。

22ln e2ln ,axx x x ax a x≤⇔≤⇔≥解（3分）要求a 的最小值，只要求 ()2ln x f x x=的最大值。

（2分）令()()221ln 0x f x x-'== 得e,x = （2分）由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时()2e ef =所以为其最大值，（2分）故a 的最小值为 2e。

（1分）三、（10分）设()f x 在[]01，上连续，且()()110d d f x x x f x x =⎰⎰，求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0d 0.f x x ξ=⎰证法1：令()()()0d ,xF x x t f t t =-⎰ （3分）则()()()()()()1110=0,11d d d 0,F F t f t t f t t t f t t =-=-=⎰⎰⎰应用罗尔定理，()01,ξ∃∈，使得()0,F ξ'= （4分） ()()()()()0d d ,xxF x f t t x f x x f x f t t '=+-=⎰⎰而于是 ()()()0d d 0.F f t t f x x ξξξ'===⎰⎰（3分）证法2 ()()()()()0d ,00,,xF x fx x F F x fx '===⎰令则（3分）()()()()()1110011d d d 0F fx x x F x x x F x F x x'∴===-⎰⎰⎰()()()1101d ,d 0,F F x x F x x =-⇒=⎰⎰（3分）应用积分中值定理，存在 ()0,1,ξ∈ 使得()()()()1d 10,F x x F F ξξ=-=⎰于是 ()()0d 0.F f x x ξξ==⎰（4分）四、（12分）求广义积分 421d .1x x+∞-⎰22221111d d 2121x x xx+∞+∞=++-⎰⎰解原式（4分）111arctan ln22241x x x+∞+∞+=+- （4分）11arctan 2ln 3.424π=-- （4分）五、（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。

江苏省第十四届高等数学(本科四级)竞赛试题

2017年江苏省普通高等学校非理科专业第十四届高等数学（本科四级）竞赛试题解答题：作答时给出相应解题步骤，计算或证明过程（共11小题，总计100分）1.（10分）求下列极限：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++∞→n n n n n n 2222211lim ；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++∞→2222222211lim n n n n n n . 2.（5分）已知函数f (x )在x=2处连续，42)(lim 2=--→x x x f x ，试证函数f (x )在x=2处可导，并求f′(2). 3.（5分）设[x ]表示实数x 的整数部分，试求定积分x xx d ][412⎰. 4.（5分）设,21;102)(2≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 交换二次积分⎰⎰-+10112d )(d y y x x f y 的次序，并求此二次积分的值. 5.（10分）判断下列命题是否成立？若判断成立，给出证明，若判断不成立，则举一反例，并加以证明其不成立.命题1：若函数f (x )，g (x )在x=a 处皆不连续（a ∈R ），则f (x )+g (x )在x=a 处不连续；命题2：若函数f (x )，g (x )在x=a 处皆连续（a ∈R ），但不可导，则f (x )+g (x )在x=a 处不可导；6.（13分）已知曲线)1(22x x y -=，（1）求单调区间与极值；（2）求凹凸区间；（3）求渐近线；（4）画出此曲线的简图.7.（8分）已知()n n n x n 2)1ln(2)1ln(2-+++=，试判别数列{x n }的单调性.8.（10分）设n ∈N*，⎰=20d sin 2sin πx xnx I n ，（1）求I n -I n-1（n ≥2）；（2）试求定积分⎰=203d sin 6sin πx xx I . 9.（10分）若直线L 通过点P (2,3,12)，与已知直线L 1：⎩⎨⎧=-+=--002z y x z y x 垂直且相交，试求直线L 的方程，并求点P 到直线L 1的距离.10.（12分）求函数332263)(9),(y x y x x y y x f ++-+-=的极值.11.（12分）设{}420),(22≤+≤+≤=y x y x y x D ，，试求二重积分σ⎰⎰++D y x y x d 22.。

江苏省第十届高等数学竞赛试题

江苏省第十届高等数学竞赛试题（本科二级）考试时间：2010年6月5日上午 8:30—11:30一、填空题（每小题4分，共8小题）1、 =-→30)(sin )sin(sin sin limx x x x 求 2、 ='+++=y 求, 1)1x ln(x 已知y 22x3、 =-⎰dx e x x x 214、，x cos y 2==(n)y 求5、 =-⎰+∞2411dx x 求6、022*********{=+-+≤+--++z y x z y x z y x ，求该区域面积S=7、 =='='-=)1,2(21|,3)2,3(,2)2,3(),,2(z dz y x y x f f f 求且已知8、 =-+∑∞=1!2!)1(1n n n n n二、;)()(],[)(dx x xf dx x f b b a x f ba ba ⎰⎰=上连续，满足在求证：存在),,(b a ∈ξ使得 ⎰=ξa x f 。

0)(（10分）三、为侧面的中点，为，边长为正方体F D C E D C B A ABCD 1111112-的中心，11BCC B 求（1）形成的二面角；与底面平面ABCD EF A 1（2）积。

截正方体得到的截面面EF A 1 （10分）四、等腰梯形ABCD ，其中AB+BC+CD=8，梯形绕AD 边旋转，得到的旋转体体积最大，求AD ，BC ，AB 的长。

（12分）五、满足：已知区域求D dxdy y x D ,)sin (cos 22⎰⎰+。

0,0,122≥≥≤+y x y x （12分）六、）的积分。

，）到（，沿曲线从（）（求1100)1(2-++++⎰dy y x dx e y x Lx 曲线L 的方程。

：)10(2)21(222{≤≤=≤≤=+x x y x x y x L （12分）七、已知}{n a 单调增加，113213;5,2,1-+-====n n n a a a a a a 满足且 ),2(*N n n ∈≥n n a x 1=设，的敛散性。

江苏省高等数学竞赛试题-解析几何部分

解析几何1.椭圆2226x y +=到直线4x y +=的最大和最小距离。

解2226x y +=上点(,)x y 到4x y +=的距离1d (,)42x y x y =+-，()221d (,)42x y x y =+-。

令()()22214262F x y x y λ=+-++-， ()()'''22420440260x y F x y x F x y x F x y λλλ⎧=+-+=⎪⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎪⎩ 解得21x y =±⎧⎨=±⎩17d(2,1),d(2,1),22=--=所以71maxd ,mind 22==。

2.已知两平面曲线(,)0,(,)0f x y x y ϕ==，又(,)αβ和(,)ζη分别为两曲线上点，试证如果这两点是这两条曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-。

证问题为求22201212()()u d x x y y ==-+-在条件11(,)0f x y =及22(,)0x y ϕ=下的最值。

20111222(,)(,)F d f x y x y λλϕ=++，则由111122221211211221222()02()02()02()0x x y y x x y y F x x f F y y f F x x F y y λλλϕλϕ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪⎨=--+=⎪⎪=--+=⎪⎩得1212112212121122(,)(,)(,)(,)x x y y f x y x y x x y y f x y x y ϕϕ-==-，若20u d =在1122,,,x y x y αβζη====处达到最值，其中(,)0,(,)f αβϕζη==，则必有1212(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，即(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，证毕。

江苏数学竞赛试题及答案

江苏数学竞赛试题及答案【试题一】题目：求证：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

【答案】证明：我们使用数学归纳法来证明这个等式。

1. 当\( n = 1 \)时，左边为\( 1^2 = 1 \)，右边为\( \frac{1\cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \)，等式成立。

2. 假设当\( n = k \)时等式成立，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \)。

3. 当\( n = k + 1 \)时，我们需要证明\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)。

4. 根据假设，将\( k \)的和代入，得到\( \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 \)。

5. 简化上述表达式，我们得到\( \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)，这正是我们需要证明的等式。

6. 因此，根据数学归纳法，对于任意正整数\( n \)，等式成立。

【试题二】题目：已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求\( f(x) \)的极值。

【答案】解：首先求导得到\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。

令\( f'(x) = 0 \)，解得\( x = 0 \)或\( x = 2 \)。

1. 当\( x < 0 \)或\( x > 2 \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递增。

2. 当\( 0 < x < 2 \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递减。

江苏省高数竞赛选拔题

高等数学竟赛练习题二
一、填空题(每小题4分,共40分)
1. 设{ EMBED Equation.DSMT4 |lim ()0→+∞+-=x ax b , 则 , .
2. 设当时，函数与是同阶无穷小，则常数 .
3. 设，则 .
4. 已知函数在点处连续，且，则
.
5. 设常数，则方程在区间内的实根的个数为 .
6. 设，其中在点的某邻域内有定义，则在点处可导的充分必要条件是 .
7. 抛物线在点处的曲率半径为 .
8. 设（为正整数），，则
.
9. .
10. 设，则 .
二、求．
三、已知，且求．
四、计算（）．
五、设曲线在点处的切线方程为，试求：
．
六、设，等分闭区间，分点为
，
求．
七、设 ,
(1) 求函数的单调区间与极值;
(2) 求函数的图形的凹凸区间与拐点．
八、设在上连续，在内可导,且，证明: 在内至少存在一点，使.
九．设在上二阶可导，且，，证明：
在上单调减少。

十二届江苏省高等数学竞赛本科一级解答

y2 = 1 沿逆时针方向. b2 ∫∫ 2. 求曲面积分 xdydz + xzdzdx,
Σ
其中， Σ : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z ≥ 0) 取上侧.
x−y x+y dx+ 2 dy . x2 + y 2 x + y2 2′ 2′ 2′
1. 解
L
(b2 x2
a2 b2 (x − y ) a2 b2 (x + y ) dx+ 2 2 dy = 2 2 2 2 + a y )(x + y ) (b x + a2 y 2 )(x2 + y 2 )
L
∂P y 2 − x2 − 2xy ∂Q = = (x, y ) ̸= (0, 0) 时，，由Green 公式知 ∂x ∂y x2 + y 2 ∫ 2π x−y x+y x−y x+y 原式 = dx + 2 dy = dx + 2 dy = dθ = 2π. 2 2 2 2 x + y2 x + y2 L x +y x2 +y 2 =ε2 x + y 0 ∫∫ 2. 解
(x4 + sec2 x − 1)dx
3′ 3′
2. 解设切点为 (a, a2 ), 切线为 y − a2 = 2a(x − a), 将 (2, 3) 代入得 a = 1, 3, 于是切线
为 y = 2x − 1, y = 6x − 9. ∫ 2 ∫ 3 2 2 所求面积为： S = (x − 2x + 1)dx + (x2 − 6x + 9)dx = . 3 1 2 三、（每小题

江苏高等数学竞赛试题汇总定稿版

江苏高等数学竞赛试题汇总HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x =4.21xx e dx x-=⎰5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x =5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）

江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→561434lim4x x x2. =+++∞→433321limn n n 3. =?→xx tdtt x x 3230sin sin lim4.)1ln(x y -=，则=)(n y5.=?xdx x arctan 26.=211arccosdx xx 7.点)3,1,2(-到直线22311zy x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n knn n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223∑=∞→+-i n i n n n（2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求21)1(cos limxx f x --→三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。

（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<="" 0时，)(x="" f="" p="" 严格减少，)(lim="">x f x →存在，且)0(f 是)(x f 的极小值。

（2）函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导（0>δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。

五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。

（1）求切线L 的方程。

(完整版),江苏省高校历届专科类数学竞赛试题汇总,推荐文档

江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知，则．21()d f x dx x ⎡⎤=⎣⎦()f x '=2．．1ln 0lim (tan )xx x +→=3．　．=⎰4．若级数收敛，则的取值为．11(2)66n n nn n a n -∞=-+∑a 5．．[()()]sin aaf x f x xdx -+-=⎰二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数的可去间断点为（）．21()(1)x e f x x x -=-A ． B ．C ．D ．无可去间断点0,1x =1x =0x =2．设，则当时，是的（）．21()sin,()sin f x x g x x x==0x →()f x ()g x A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小C ．高阶无穷小D ．等价无穷小3．设常数，函数在内零点个数为（）．0k >()ln xf x x k e=-+(0,)+∞A ．B ．C ．D ． 32104．设对一切满足，若且，则函数()y f x =x 240y y y '''--=0()0f x >0()0f x '=在点（）．()f x 0x A ．取得极大值B ．取得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调减少5．过点且与直线垂直的平面方程是（）．(2,0,3)-2470,35210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩A ． B ．16(2)1411(3)0x y z --+++=(2)24(3)0x y z --++=C ．D ．3(2)52(3)0x y z -+-+=16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设，求常数．2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dxx x x +∞→+-+=⎰,a b 四、（6分）已知函数由方程组确定，求．()y y x =(1)0,10y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩220t d y dx =五、（6分）设在上连续，在内可导，且对于内的一切均有(),()f x g x [,]a b (,)a b (,)a b x ，证明：若在内有两个零点，则介于这两个零点之()()()()0f x g x f x g x ''-≠()f x (,)a b 间，至少有一个零点．()g x 六、（6分）设，其中是实数，且12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++ 12,,,n a a a ，试证：|()||sin |f x x ≤12|2|1n a a na +++≤ 七、（6分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作切线与抛物线2y x =2(,)a a a 所围成的图形面积最小？241y x x =-+-八、（6分）当时，的导数与为等价无穷小，0x →220()()()xF x x t f t dt '=-⎰2x 求．(0)f '九、（8分）求级数的收敛域及和函数.21(21)n n n x∞+=+∑十、（8分）将展为的幂级数，并指明收敛域．1()arctan1xf x x+=-x 十一、（6分）求．581x xdx x -+⎰十二、（8分）设可微函数在上有定义，其反函数为，且满足()f x 0x >()g x，试求．3()211()(8)3f xg x dxx x =-⎰()f x 第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．．40ln(1)lim 1cos(1cos )x x x →-=--2．设，则，．0lim(0)x c c +→=≠k =c =3．设在上可导，下列结论中成立的是．()f x [1,)+∞A ．若，则在上有界lim ()0x f x →+∞'=()f x [1,)+∞B ．若，则在上无界lim ()0x f x →+∞'≠()f x [1,)+∞C ．若，则在上无界lim ()1x f x →+∞'=()f x [1,)+∞4．设，则　．2ln(1),arctan x t y t t =+=+22d ydx=5．设由确定，则．()1yex y x x -+-=+()y y x =(0)y ''=6．　．(arcsin arccos )x x dx -=⎰7．．4+∞=⎰8．幂级数的收敛域为．11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑ 二、（8分）设在上连续且单调减少，，求证：()f x [0,)+∞0a b <<．()()b aa f x dxb f x dx ≤⎰⎰三、（9分）设．()sin f x kx x =+（1）若，求证：在上恰有一个零点；1k ≥()f x (,)-∞+∞（2）若，且在上恰有一个零点，求常数的取值范围．01k <<()f x (,)-∞+∞k 四、（8分）求．2201tan 2x x e dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ⎧+++-+=Γ⎨+-=⎩（1）当为何值时为一圆？（2）当时，求的圆心和半径．k Γ6k =Γ六、（8分）求直线绕轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与1211x y z-==-y 所包围的立体的体积．0,2y y ==七、（9分）求．2222123123lim 2222n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ 八、（9分）设为常数，试判别级数的敛散性，何时绝对收敛？何时k 221(1)(ln )nk n n x ∞=-∑条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．是周期为的奇函数，当时，，则当()f x π0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin cos 2f x x x =-+时，．,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x =2．当时，与为等价无穷小，则， 0x →sin cos x x x -kcx k =c =．3．．2tan2lim(sin )xx x π→=4．．2222lim 14n n n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ 5．已知，则当时，．2()ln(1)f x x x =-2n >()(0)n f=6．．2(1)(1)x x e x dx xe +=-⎰7．以直线为对称轴，且半径的圆柱面方程为．x y z ==1R =8．．1(1)2nn nn ∞==+∑二、（10分）设在上连续，在内可导，，()f x [,]a b (,)a b ()f a a =，求证：在内至少有一点，使得．221()()2baf x dx b a =-⎰(,)a b ξ()()1f f ξξξ'=-+三、（10分）设．在的边界上22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤D y x =任取一点，设到原点的距离为，作垂直于，交的边界P P t PQ y x =D 于．224y x -=Q （1）试将的距离表示为的函数；（2）求绕旋转一周的旋转体体,P Q ||PQ t D y x =积．四、（10分）设在上有定义，在处连续，且对一切实数()f x (,)-∞+∞()f x 0x =有，求证：在上处处连续．12,x x 1212()()()f x x f x f x +=+()f x (,)-∞+∞五、（10分）设为常数，方程在上恰有一根，求的取值范围．k 110kx x-+=(0,)+∞k 六、（10分）已知点与，在平面上求一点，使得(1,0,1)P -(3,1,2)Q 212x y z -+=M 最小．||||PM MQ +七、（10分）求幂级数收敛域11(32)n n nn x n ∞=+∑ 第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．．22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭2．．23001lim(1)xt x e dt x-→-=⎰3．若，则，　．lim )0x ax b →+∞++=a =b =4．设，则　．2sin ()(1)xf x x x e=++(0)f ''=5．设，则．2ln(1),arctan x t y t =+=221t d ydx =-=6．．1ln[()()]()()x bx a x a x b dx x a x b +++⋅+=++⎰7．为空间的4个定点，与的中点分别为，（为常,,,A B C D AB CD ,E F ||EF a =0a >数），为空间的任一点，则的最小值为．P ()()PA PB PC PD ++A 8．已知点为原点，则四面体的外接球面的方(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),ABC O --OABC 程为．二、（8分）设，试问：为何值时，在2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩,,a b c ()f x处一阶导数连续，但二阶导数不存在．0x =三、（9分）过点作曲线的切线．(1,5)3:y x Γ=L （1）求的方程；（2）求与所围平面图形的面积；L ΓL D （3）求图形的的部分绕轴旋转一周所得立体的体积．D 0x ≥x 四、（8分）设在区间上是导数连续的函数，，()f x [0,)+∞(0)0,|()()|1f f x f x '=-≤求证：．|()|1,[0,)xf x e x ≤-∈+∞五、（8分）求．120arctan (1)xdx x +⎰六、（9分）设圆柱面被柱面截下的（有限）部分221(0)x y z +=≥222z x z =++为．为计算曲面的面积，我们用薄铁片制作的模型，其中∑∑∑为上三点，将沿线段剪开并展成平面图形．建(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --∑∑BC D 立平面直角坐标系，使位于轴正上方，点的坐标为．试写出的边界的方程，D x A (0,5)D 并求的面积．D 七、（9分）对常数，讨论级数何时绝对收敛？何时条件收敛？p 11(1)n n ∞+=-∑何时发散？八、（9分）求幂级数的收敛域与和函数．212nnn n ∞=∑第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．，时，．a =b =2||limarctan ||2x ax x x bx x π→∞+=--2．．11lim(2)nn k k k →∞==+∑3．设，则．()(1)(2)(100)f x x x x x =--- (100)f '=4．当，时，在时关于的无a =b =2()1xf x ax x bx=+++0x →x 穷小的阶数最高．5．．2221(1)x dx x +∞=+⎰6．点关于平面的对称点的坐标为．(2,1,1)-25x y z -+=7．通过点与直线：的平面方程为．(1,1,1)-,2,2x t y z t ===+8．幂级数的和函数为，收敛域为．1nn nx∞=∑二、（8分）设数列为，求证数列收敛，并求其{}nx 111,(1,2,)n x x n +=== {}n x 极限．三、（8分）设函数在上连续，求证：存在，()f x [,]a b (0),()0baa f x dx >=⎰(,)a b ξ∈使得．()()af x dx f ξξξ=⎰四、（8分）将平面上的曲线绕直线旋转一周得xOy 222()(0)x b y a a b -+=<<3x b =到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积．五、（8分）求．200lim sin()tt tx dx +→⎰六、（10分）在平面内作一条直线，使该直线经过另一直线:220x y z ∏+-=Γ与平面的交点，且与垂直，求直线的参数方程．221,:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩∏ΓL Γ七、（8分）判别级数的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）．)11(1)1n n ∞+=--∑八、（10分）求函数的幂级数展开式，并指出其收敛域．222()(1)(12)x f x x x +=-+第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1．．30sin sin(sin )lim x x x x →-=2．，则．2arctan()tan x y x e x =+y '=3．设由确定，则．y x x y =()y y x =dy dx=4．，则．2cos y x =()n y =5．．21x x e dx x -=⎰6．．2140arctan()1x x dx x =+⎰7．圆的面积为．2222220,42219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩8．级数的和为．11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑二、（10分）设为正常数，使得对一切正数成立，求常数的最小值．a 2axx e ≤x a三、（10分）设函数在上连续，且，求证：存在()f x [0,1]1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰，使得．(0,1)ξ∈()0a f x dx ξ=⎰四、（12分）求反常积分．4211dx x +∞-⎰五、（12分）过原点作曲线的切线，求该切线、曲线与轴所围(0,0)ln y x =-ln y x =-x 的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积．x 六、（12分）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面正1111ABCD A B C D -E 11D C F 方形的中心．（1）试求过点的平面与底面所成的二面角的值；11BCC B 1,,A E F ABCD （2）试求点到过点的平面的距离．D 1,,AEF 七、（12分）已知数列单调增加，满足{}n a 123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ，记，判别级数的敛散性．(2,3,)n = 1n n x a =1n n x ∞=∑第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1．．0x →=2．．333412lim x n n →∞+++= 3．．30230sin lim sin x x t tdt x x →=⎰4．，则．ln(1)y x =-()n y =5．．2arctan x xdx =⎰6．．11arccos x dx x=7．点到直线的距离为．(2,1,3)-13122x y z -+==-8．级数为条件收敛，则常数的取值范围是．2(1)1kn n n n ∞=--∑k 二、（每小题6分，共12分）（1）求．3322131lim ()n i n n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑（2）设在处可导，且，求．()f x 0x =(0)1,(0)2f f '==20(cos 1)1lim x f x x →--三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明．（1）函数在上有定义（），当时，严格增加，当()f x (,)δδ-0δ>0x δ-<<()f x 时，严格减少，存在，且是的极小值．0x δ<<()f x 0lim ()x f x →(0)f ()f x （2）函数在上一阶可导（），为极值，且为曲线()f x (,)δδ-0δ>(0)f (0,(0))f 的拐点．()y f x =四、（10分）求一个次数最低的多项式，使得它在时取极大值，在时()P x 1x =134x =取极小值．14-五、（12分）过原点作曲线的切线，设是以曲线、切线及轴为(0,0):x y e -Γ=L D Γx 边界的无界区域．（1）求切线的方程；（2）求区域的面积；（3）求区域绕轴旋L D D x 转一周所得旋转体的体积．六、（12分）点在平面的两侧，过点作球面(1,2,1),(5,2,3)A B --:223x y z ∏--=,A B 使其在平面上截得的圆最小．∑∏Γ（1）求直线与平面的交点的坐标；AB ∏M （2）若点是圆的圆心，求球面的球心坐标与该球面方程；M Γ∑（3）证明：点确是圆的圆心．M Γ七、（12分）求级数的和．1(1)(1)2nn n n n n ∞=++-∑。

江苏省数学竞赛试题及答案

江苏省数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -12. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数除以5的余数是多少？A. 2B. 3C. 4D. 53. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 1004. 下列哪个表达式等于 \( \frac{1}{2} \)？A. \( \frac{3}{6} \)B. \( \frac{2}{4} \)C. \( \frac{1}{3} \)D. \( \frac{3}{8} \)5. 一个数的75%是150，那么这个数是多少？B. 300C. 400D. 5006. 一个班级有40名学生，其中3/5是男生，那么这个班级有多少名女生？A. 8B. 12C. 16D. 207. 一个数的1/3加上它的1/4等于这个数的多少？A. 7/12B. 1/2C. 5/12D. 1/38. 下列哪个数是最小的正整数？A. 1B. 2C. 3D. 49. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 32B. 48C. 64D. 1610. 一个数的3倍加上15等于这个数的5倍，这个数是多少？B. 10C. 15D. 20二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个数的2倍减去8等于36，这个数是_________。

12. 一本书的价格是35元，打8折后的价格是_________元。

13. 一个长方形的长是15厘米，宽是长的2/3，那么宽是_________厘米。

14. 一个数的1/4加上它的1/2等于这个数的_________。

15. 一个数的倒数是1/5，这个数是_________。

16. 一个数的75%加上25等于这个数本身，这个数是_________。

17. 一本书的总页数是360页，小明第一天读了总页数的1/4，第二天读了总页数的1/6，小明两天共读了_________页。

江苏省高等数学竞赛试题汇总

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x =4.21xx e dx x-=⎰5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-L()2,3,,n =L 记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x =5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂ 8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且110()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x+∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

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六(1０分）曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围成的立体区域记为，
本科一级考生做
本科二级考生做
七(１0分）本科一级考生做1）设幂级数的收敛域为，求证幂级数的收敛域也为 ;2)试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明;若不正确举一反例说明.
本科二级考生做:求幂级数的收敛域与和函数
２006年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科）
8.级数条件收敛时,常数的取值范围是
二.（１0分)某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶,经2小时到达乙地停止,一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时,求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于公里/小时
三.(10分)曲线的极坐标方程为 ,求该曲线在所对应的点的切线的直角坐标方程,并求切线与轴围成图形的面积.求其极限
三.(8分)设在上具有连续的导数，求证
四.（8分）１)证明曲面
为旋转曲面
2)求旋转曲面所围成立体的体积
五．（10分)函数具有连续的二阶偏导数，算子定义为
1)求；2）利用结论1）以为新的自变量改变方程的形式
六．（8分)求
七．(9分)设的外侧,连续函数
七（9分)本科一级考生做:用拉格朗日乘数法求函数在区域上的最大值与最小值.
八(9分)设为所围成的平面图形，求．
2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)
一．填空(每题５分,共4０分)
１．是周期为的奇函数，且在处有定义,当时， ,求当时, 的表达式.
２．
3．
4. 时
５.
６． .
7.设可微，，，
8.级数的和为．
二.（10分）
设在上连续，且 ,求证:存在点，使得．
三.（10分）已知正方体的边长为2, 为的中点, 为侧面正方形的中点,（1)试求过点的平面与底面所成二面角的值。(2）试求过点的平面截正方体所得到的截面的面积.
四(12分)已知是等腰梯形， ,求的长，使得梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大。
则 .
8．设，为 ,则
.
二．(１0分)设在上连续，在内可导, , ,求证：内至少存在一点使得
三．（10分）设，在的边界上任取点 ,设到原点距离为，作垂直于，交的边界于
1)试将的距离表示为的函数;
2）求饶旋转一周的旋转体的体积
四（10分)已知点 ,在平面上求一点，使最小
五（１0分)求幂级数的收敛域。
六（10分）设可微, ，
，求．
七（10分)求二次积分
200４年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
一．填空(每题5分,共4０分）
1. 是周期为的奇函数，且在处有定义，当时， ,求当时，的表达式.
求
八．(9分）求的关于的幂级数展开式
2０06年江苏省高等数学竞赛试题(本科一、二级)
一．填空(每题5分,共40分）
１. ，
2.
3.
4.已知点，为坐标原点，则四面体的内接球面方程为
5．设由确定 ,则
６.函数中常数满足条件时，为其极大值.
7.设是上从点到的一段曲线, 时,曲线积分取最大值.
四（8分）设在上是导数连续的有界函数，，
求证：
五(１2分）本科一级考生做:设锥面被平面截下的有限部分为 .(1）求曲面的面积;（2)用薄铁片制作的模型, 为上的两点, 为原点,将沿线段剪开并展成平面图形，以方向为极坐标轴建立平面极坐标系,写出的边界的极坐标方程．
本科二级考生做：设圆柱面被柱面截下的有限部分为 .为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型, 为上的三点,将沿线段剪开并展成平面图形 ,建立平面在极坐标系,使位于轴正上方,点坐标为 ,写出的边界的方程,并求的面积.
四(8分）设在上是导数连续的函数, , ，
求证:
五(8分)求
六（9分）本科三级做:设 ,
证明在点处可微,并求
民办本科做:设圆柱面被柱面截下的有限部分为 .为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，为上的三点，将沿线段剪开并展成平面图形 ,建立平面在极坐标系，使位于轴正上方，点坐标为 ,写出的边界的方程,并求的面积.
8．设 ,则
二.(１0分）设为正常数,使得对一切正数成立，求常数的最小值三.(1０分）设在上连续，且，求证：存在点，使得 .
四．(1２分)求广义积分
五.（12分)过原点作曲线的切线,求该切线、曲线与轴所围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.
六、（12分）已知是等腰梯形, ，求的长，使得梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大。
江苏省高等数学竞赛试题汇总
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２010年江苏省《高等数学》竞赛试题(本科二级)
一填空题（每题4分,共32分）
1.
２. ，
3. ，
4.
5.
６.圆的面积为
7. , 可微, ，则
七（１2分)求二重积分，其中
2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级)
一.填空题（每题5分，共４０分)
１. ，时,
2. , 时在时关于的无穷小的阶数最高。
3.
４.通过点与直线的平面方程为
5.设则 =
6.设为围成区域,则
７.设为上从到的一段弧，则＝
8.幂级数的和函数为，收敛域为。
五（12分)求二重积分 ,其中
六、(12分）求 ,其中为曲线从到．
七.(1２分）已知数列单调增加，
记 ,判别级数的敛散性.
2０１0年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）
一填空题(每题４分,共32分）
1.
2. ，
3.设由确定 ,则
4. ,
5.
6．，可微， ,则
7设可微，由确定 ,则
一.填空（每题5分，共4０分）
1．
2.
３．，则
4.
５.设由确定，则
6．函数中常数满足条件时，为其极大值.
7.交换二次积分的次序 .
8.设，则
二.（８分)设 ,试问为何值时, 在处一阶导数连续,但二阶导数不存在.
三.(9分）过点作曲线的切线，（1）求的方程;（2）求与所围成平面图形的面积;（3)求图形的部分绕轴旋转一周所得立体的体积.