高中数学跟踪检测-直线与方程含解析
完整版)直线与方程测试题及答案解析
完整版)直线与方程测试题及答案解析1.若过点(1,2)和(4,5)的直线的倾斜角是多少？A。
30° B。
45° C。
60° D。
90°2.如果三个点A(3,1)。
B(-2,b)。
C(8,11)在同一直线上，那么实数b等于多少？A。
2 B。
3 C。
9 D。
-93.过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是什么？A。
y + 2 = (3/√3)(x + 1) B。
y - 2 = 3/2(x - 1) C。
3x - 3y + 6 - 3 = 0 D。
3x - y + 2 - 3 = 04.直线3x - 2y + 5 = 0和直线x + 3y + 10 = 0的位置关系是？A。
相交 B。
平行 C。
重合 D。
异面5.直线mx - y + 2m + 1 = 0经过一定点，则该点的坐标是多少？A。
(-2,1) B。
(2,1) C。
(1,-2) D。
(1,2)6.已知ab < 0，bc < 0，则直线ax + by + c = 0通过哪些象限？A。
第一、二、三象限 B。
第一、二、四象限 C。
第一、三、四象限 D。
第二、三、四象限7.点P(2,5)到直线y = -3x的距离d等于多少？A。
√(23/2) B。
√(2/23) C。
√(23+5) D。
√(22)8.与直线y = -2x + 3平行，且与直线y = 3x + 4交于x轴上的同一点的直线方程是什么？A。
y = -2x + 4 B。
y = (1/2)x + 4 C。
y = -2x - 3 D。
y = (2/3)x - 39.如果直线y = ax - 2和直线y = (a+2)x + 1互相垂直，则a 等于多少？A。
2 B。
1 C。
-1 D。
-210.已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x - y + 2 = 0，直角顶点是C(3,-2)，则两条直角边AC，BC的方程是什么？A。
3x - y + 5 = 0.x + 2y - 7 = 0 B。
高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测(四) 直线的极坐标方程 Word版含解析
课时跟踪检测(四) 直线的极坐标方程一、选择题1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )A ．ρ＝cos θB ．ρ＝sin θC ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1解析：选C 设P (ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos θ＝1，即为此直线的极坐标方程．2．7cos θ＋2sin θ＝0表示( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选A 两边同乘ρ，得7ρcos θ＋2ρsin θ＝0.即7x ＋2y ＝0，表示直线．3．(陕西高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1解析：选B 在直角坐标系中，圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.从而垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0，x ＝2，即θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2.4．(安徽高考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B. 4＋π29 C. 1＋π29 D. 3 解析：选D 点⎝⎛⎭⎫2，π3对应的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)，故所求两点间距离d ＝(1－1)2＋(3)2＝ 3.二、填空题5．把极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1化为直角坐标方程是________________________． 解析：将极坐标方程变为32ρcos θ＋12ρsin θ＝1，化为直角坐标方程为32x ＋12y ＝1， 即3x ＋y －2＝0. 答案：3x ＋y －2＝06．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是________．解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，将点的极坐标⎝⎛⎭⎫22，π4化为直角坐标为(2,2)， 由于22＋(2－2)2＝4，点(2,2)与圆心的连线的斜率k ＝2－22－0＝0， 故所求的切线方程为y ＝2，故切线的极坐标方程为ρsin θ＝2.答案：ρsin θ＝27．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2， C 1与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫22，0， 此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22. 答案：22三、解答题8．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．解：由题意知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)，即2x －y ＋7＝0.设M (ρ，θ)为直线上任意一点，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直角坐标方程2x －y ＋7＝0，得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0，这就是所求的极坐标方程．9．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1， 解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.10．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A ，B 两点，且|AB |＝6.求直线AB 的极坐标方程．解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1.A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－2cos (θ1＋π)＝31＋2cos θ1. |AB |＝|ρ1＋ρ2| ＝⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1＝⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1， ∴11－4cos 2θ1＝±1， ∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2，θ＝π4或θ＝3π4.。
高三数学直线方程试题答案及解析
高三数学直线方程试题答案及解析1.平面直角坐标系中，直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是()A．y＝2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝－2x＋3D．y＝2x－3【答案】D【解析】在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，点B关于点(1,1)对称的点为N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为y＝2x－3，故选D 项．2.如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．2B．6C．3D．2【答案】A【解析】由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2．故选A．3. [2014·武汉调研]直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0【答案】D【解析】设直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线为l2，则l2的斜率为－，且过直线x－2y＋1＝0与x＝1的交点(1,1)，则l2的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.4.平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，命题：①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点；③如果与都是有理数，则直线必经过无穷多个整点；④如果直线经过两个不同的整点，则必经过无穷多个整点；⑤存在恰经过一个整点的直线；其中的真命题是（写出所有真命题编号）．【答案】①④⑤【解析】不与坐标轴平行的直线中横坐标为整数时，纵坐标为分数，同理纵坐标为整数时，横坐标为分数，即不经过任何整点，所以①正确，③不正确. 直线中与都是无理数，但经过唯一一个整数点所以②不正确，⑤正确.设直线经过整数点则直线必经过点由于不同时成立，所以点有无数个.【考点】直线整点5.过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是．【答案】【解析】直线，设，，则由有B为AC中点，则，∴，则带入直线中，有，∴.【考点】直线方程、中点坐标公式.作x轴6.（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（1）求该椭圆的标准方程；（2）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①∵离心率，∴②联立①②得：，所以b2=8．把b2=8代入②得，a2=16．∴椭圆的标准方程为；（2）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8又P（）在椭圆上，所以．整理得，．代入t2+r2=8，得．解得：．所以，．此时．满足椭圆上的其余点均在圆Q外．由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．故所求椭圆方程为．7.直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）【答案】D【解析】由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D．8.已知直线l：y＝3x＋3，那么直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程为____________．【答案】7x＋y＋22＝0【解析】由得交点坐标P .又直线x－y－2＝0上的点Q(2，0)关于直线l的对称点为Q′，故所求直线(即PQ′)的方程为，即7x＋y＋22＝0.9.直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．【答案】2x＋11y＋16＝0【解析】在直线l1上取一点A(2，0)，又设点A关于直线l的对称点为B(x，y)，则解得B ．又l1与l2的交点为M(3，－2)，故由两点式可求得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.10.求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．【答案】2x＋11y＋16＝0【解析】由解得a与l的交点E(3，－2)，E点也在b上．(解法1)设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－.则，解得k＝－.代入点斜式得直线b的方程为y－(－2)＝－ (x－3)，即2x＋11y＋16＝0.(解法2)在直线a：2x＋y－4＝0上找一点A(2，0)，设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x，y)，由解得B .由两点式得直线b的方程为，即2x＋11y＋16＝0.(解法3)设直线b上的动点P(x，y)关于l：3x＋4y－1＝0的对称点为Q(x0，y)，则有解得x0＝，y＝.Q(x0，y)在直线a：2x＋y－4＝0上，则2×－4＝0，化简得2x＋11y＋16＝0，即为所求直线b的方程．(解法4)设直线b上的动点P(x，y)，直线a上的点Q(x0，4－2x)，且P、Q两点关于直线l：3x＋4y－1＝0对称，则有消去x，得2x＋11y＋16＝0或2x＋y－4＝0(舍)．11.已知直线的点斜式方程为y－1＝－ (x－2)，则该直线另外三种特殊形式的方程为______________，______________，______________．【答案】y＝－x＋，，【解析】将y－1＝－ (x－2)移项、展开括号后合并，即得斜截式方程y＝－x＋.因为点(2，1)、均满足方程y－1＝－ (x－2)，故它们为直线上的两点．由两点式方程得，即.由y＝－x＋知，直线在y轴上的截距b＝，又令y＝0，得x＝.故直线的截距式方程为12.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．【答案】（1）见解析（2）x－2y＋4＝0.【解析】(1)证明：由已知得k(x＋2)＋(1－y)＝0，∴无论k取何值，直线过定点(－2，1)．(2)解：令y＝0得A点坐标为，令x＝0得B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)，∴S＝|2k＋1|＝ (2k＋1)＝≥ (4＋4)＝4.△AOB当且仅当4k＝，即k＝时取等号．即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，即x－2y＋4＝0.13.若点A(3,5)关于直线l:y=kx的对称点在x轴上,则k是()A．B．±C．D．【答案】D【解析】设点A(3,5)关于直线l:y=kx的对称点为B(x,0),依题意得解得k=.14.经过直线x+2y-3=0与2x-y-1=0的交点且和点(0,1)的距离等于1的直线方程为.【答案】x-1=0【解析】设所求直线的方程为(x+2y-3)+λ(2x-y-1)=0,即(1+2λ)x+(2-λ)y-3-λ=0,由于点(0,1)到该直线的距离为1,即1==,所以|2λ+1|=,解得λ=2.故所求直线方程为(x+2y-3)+2(2x-y-1)=0,即x-1=0.15.已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值为________．【答案】2＝＝2，解得a＝2.【解析】依题意得kAB16.设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且.若直线PA的方程为，则直线PB的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】点P的横坐标为2，设纵坐标为y，直线PA的方程为，∴P(2,3)∵|PA|="|PB|," ∴∠PAB=∠PBA, 又直线PA的斜率=1，∴直线PB的斜率=-1∴直线PB的方程为y-3=-(x-2)===>x+y=5.17.已知直线与圆有交点，且交点为“整点”，则满足条件的有序实数对（）的个数为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】由圆的方程得到圆心即原点，半径，而圆上的“整点”有四个，分别是：，如图所示：根据图形得到可以为：直线有序实数对可以为：，共8个，故选B18.如图，线段AB的两个端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，，点M是线段AB上一点，且点M随线段AB的滑动而运动。
(江苏专版)高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十三)直线与方程理(含解析)苏教版
（江苏专版）高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十三）直线与方程理（含解析）苏教版课时跟踪检测（四十三） 直线与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通模拟)将直线y ＝2x 绕原点逆时针旋转π4，则所得直线的斜率为________．解析：设直线y ＝2x 的倾斜角是α，则tan α＝2，将直线y ＝2x 绕原点逆时针旋转π4，则倾斜角变为α＋π4，∴所得直线的斜率k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3. 答案：－32．(2018·南通中学月考)过点P (－2,4)且斜率k ＝3的直线l 的方程为________． 解析：由题意得，直线l 的方程为y －4＝3[x －(－2)]，即3x －y ＋10＝0. 答案：3x －y ＋10＝03．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限， 所以k ＋6＞0且k ＋2＜0，所以－6＜k ＜－2. 答案：(－6，－2)4．(2018·南京名校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π5．(2019·无锡模拟)已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，若这条直线不经过第二象限，则实数a 的取值范围是________．解析：若a －2＝0，即a ＝2时，直线方程可化为x ＝15，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a －2≠0，直线方程可化为y ＝3a －1a －2x －1a －2，此时若直线不经过第二象限，则3a －1a －2≥0，1a －2≥0，解得a ＞2. 综上，满足条件的实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)6．(2018·南京调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为________．解析：由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1，故其倾斜角为3π4.答案：3π4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·泰州模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是________． 解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)， 所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0. 答案：3x ＋y ＋3＝02．(2018·泗阳中学检测)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设P (x,1)，Q(7，y )，则x ＋72＝1，y ＋12＝－1，所以x ＝－5，y ＝－3，即P (－5,1)，Q(7，－3)，故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.答案：－133．(2019·苏州调研)已知θ∈R ，则直线x sin θ－3y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：设直线的倾斜角为 α，则tan α＝33sin θ， ∵－1≤sin θ≤1，∴－33≤tan α≤33，又α∈[0，π)，∴0≤α≤π6或5π6≤α＜π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π4．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k PA ＝1－00－－1＝1，所以实数k的取值范围是[0,1]．答案：[0,1]5．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以y ＝4－x ，所以x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.答案：86．(2019·南京模拟)过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．解析：若直线的截距不为0，可设为x a ＋y a＝1，把P (2,3)代入，得2a ＋3a＝1，a ＝5，直线方程为x ＋y －5＝0.若直线的截距为0，可设为y ＝kx ，把P (2,3)代入，得3＝2k ，k ＝32，直线方程为3x －2y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0. 答案：x ＋y －5＝0或3x －2y ＝07．已知直线l ：y ＝kx ＋1与两点A (－1,5)，B (4，－2)，若直线l 与线段AB 相交，则实数k 的取值范围是______________．解析：易知直线l ：y ＝kx ＋1的方程恒过点P (0,1)， 如图，∵k PA ＝－4，k PB ＝－34，∴实数k 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞. 答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞8．若直线l ：x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)可知直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b≥2b a ·2ab＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号，所以a ＋b ≥3＋22，故直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋2 2.答案：3＋2 29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)求实数m 的取值范围；(2)若直线l 的斜率不存在，求实数m 的值； (3)若直线l 在x 轴上的截距为－3，求实数m 的值； (4)若直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值．解：(1)当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或m ＝3； 令2m 2＋m －1＝0，解得m ＝－1或m ＝12.所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)由(1)易知，当m ＝12时，方程表示的直线的斜率不存在．(3)依题意，有2m －6m 2－2m －3＝－3，所以3m 2－4m －15＝0，所以m ＝3或m ＝－53，由(1)知所求m ＝－53.(4)因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1.由－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43或m ＝－1(舍去)．所以直线l 的倾斜角为45°时，m ＝43.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·无锡期末)过点(2,3)的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB (O 为坐标原点)面积最小时，直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的斜率为k ，且k ＜0，所以直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.令x ＝0，得y ＝3－2k ，所以B (0，3－2k )；令y ＝0，得x ＝2－3k，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫2－3k，0.则△AOB 的面积为S ＝12(3－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋6－9k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k·－4k ＝12，当且仅当－9k ＝－4k ，即k ＝－32时等号成立，所以直线l 的方程为3x ＋2y －12＝0.答案：3x ＋2y －12＝02．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－exe x＋12＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：123．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点 (－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k＜0且1＋2k ＞0，所以k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十五直线与方程含解析
课时跟踪检测（四十五） 直线与方程[A 级基础题一一基稳才能楼高]1 . （2019 •合肥模拟，上3)直线 1 : x sin 30 ° + y cos 150 ° + 1 = 0 的斜率是( )B. .3C.—3DY2 .（2019 •永州模拟）已知直线l i ：x + y + 1 = 0 ,l2：x + y — 1 = 0,则直线11与直线丨2之间的距离为（）A . 1B. 2C. 3D. 2解析：选B|1 +1|由平行线间的距离公式可知，直线丨1与直线丨2之间的距离为 ---- =2.3. （2019 •成都月考）当点P （3,2）到直线mx-y + 1— 2m = 0的距离最大时，m 的值为（）A. .2C.— 1B . 0 D . 1解析：选C直线mx- y + 1 — 2m = 0过定点Q(2,1)，所以点F (3 , 2)到直线mx — y + 1 — 2m = 0的距离最2 — 1大时，P Q 垂直直线，即 m ・_ =— 1，二n =— 1,故选C.3 — 24. （2019 •济宁模拟）过点（一10,10）且在x 轴上的截距是在 y 轴上截距的4倍的直线的方程为（ ）A. x —y = 0B. x + 4y — 30 = 0C. x + y = 0 或 x + 4y — 30= 0D. x + y = 0 或 x — 4y — 30= 0解析：选C 当直线经过原点时，此时直线的方程为x + y = 0,满足题意.当直线不经过原点时，设直x y 15 x 2y线方程为4a + a = 1，把点（—10,10）代入可得a = y ，故直线方程为 加+ 15= 1，即x + 4y — 30= 0.综上所述,可知选C.5. （2019 •深圳月考）若两直线kx — y + 1 = 0和x — ky = 0相交且交点在第二象限，则 k 的取值范围是 （ ）A. （ —1,0） B . （0,1] C. （0,1）D . （1 ,+^）解析：选A设直线I 的斜率为k ，则k =-sin 30 cos 150kkx —y+ 1 = 0, x= 1—k2，1••• {解得｛x—ky = 0, 11y=1—k2，rr k—k2< 0,解析：选A 由题意知k工土 1.联立1—k2> 0，a = — 6, 得 即P (2,5)关于x + y + 1 = 0对称的点的坐标为(一6, — 3).故选C.b =— 3,[B 级保分题一一准做快做达标]1 . (2019 •广州月考)已知点A (1 , - 3),政—1,3 3)，则直线AB 的倾斜角是()A . 60°B . 30° C. 120°D . 150°解析：选C 设直线AB 的倾斜角为a .•- A (1 , 3) , B ( — 1,3 3),C. 5解析：选 C 点A (2,5)到直线I : x — 2y + 3= 0的距离为d =|2 —引={5.故选C.寸1 + 43 .(2019 •安庆模拟)若直线h ：x + 3y + m = 0( m > 0)与直线I 2 ：2x + 6y — 3= 0的距离为，10,则m =( )17A . 7 B.— C. 14D. 17解析：选 B 直线I 仁x + 3y + m = 0( m> 0)，即2x + 6y + 2m = 0，因为它与直线I 2： 2x + 6y — 3 = 0的距 离为{10，所以|2严3|={10,求得m = ¥• V+ 36 Y24 .已知点P ( x , y )在直线x + y — 4= 0上，贝U x + y 的最小值是( )A . 8B . 2 2 C. 2D . 16•/ 0°< a v 180°, • I a = 120° .故选 C.2. (2019 •惠阳月考 )点A (2,5)到直线I : x — 2y + 3= 0的距离为( )A . 2 5B逅B.5\|'3,. tan a =— 『3,—1v k v 0.故选 A.6. (2019 •银川月考)点P (2,5)关于x + y + 1 = 0对称的点的坐标为( )A . (6,3)B . (3 , — 6) C. ( — 6, — 3)D . ( — 6,3)a — 2—1 =— 1,解析：选 C 设点P (2,5)关于x + y +1= 0的对称点为 Q(a , b )，则a + 2 飞+b + 52+ 1= 0, ...k A = 3J3^=—1 — 1D.解析：选A 因为点P(x, y)在直线x + y—4= 0上，所以x2+ y2的最小值即为原点到直线x + y—4= 0| — 4| L 2距离的平方，d = -------- = 2 2, d = 8.^1T 7 ¥5.(2019 •重庆第一中学月考)光线从点 A — 3,5)射到x 轴上，经x 轴反射后经过点 巳2,10)，则光线 从A 到B 的距离为()A . 5 2B . 2 5 C. 5 10D . 10 5解析：选C 点B (2,10)关于x 轴的对称点为 B (2 , — 10),由对称性可得光线从 A 到B 的距离为| AB | = —3—?2+ [5 ——出 _2= 5 10.故选 C.6. (2019 •黄陵期中)不论m 为何值，直线(m- 1)x + (2 m- 1)y = m- 5恒过定点( )A. 1，— 1 B . ( — 2,0) C. (2,3)D . (9 , — 4)解析：选 D •••直线方程为(m- 1)x + (2 m- 1)y = m- 5, •••直线方程可化为 (x + 2y — 1) im^ ( — x — y + 5) = 0.x + 2y — 1 = 0,x = 9,•••不论 m 为何值，直线(m- 1)x + (2m- 1)y = m-5恒过定点，• *故—x — y + 5 = 0,y =— 4.选D.7.(2018 •成都五校联考)已知 代B 是x 轴上的两点，点 P 的横坐标为2，且| PA = | PB ，若直线PA 的方程为x — y + 1 = 0,则直线PB 的方程是( )A . 2x + y — 7= 0B . x + y — 5= 0 C. 2y — x — 4= 0D . 2x — y — 1 = 0解析：选B 由| PA = |PB 得点P 一定在线段 AB 的垂直平分线上，根据直线 PA 的方程为x — y + 1 = 0, 可得A ( — 1, 0)，将x = 2代入直线x — y + 1 = 0，得y = 3,所以F (2,3)，所以耳5,0)，所以直线PB 的方程 是 x + y —5= 0，选 B.& (2019 •大庆一中期末)设点A — 2,3) , B (3,2)，若直线ax + y + 2= 0与线段AB 没有交点，贝U a 的解析：选B 直线ax + y + 2 = 0过定点R0,— 2)，可得直线 PA 的斜率k pA = — |，直线PB 的斜率k pB =取值范围是(A.一OO(4 B. —-,、"5 C. 〔-2 D. ——OO3,+，-3 u 1,+-4 3 24 5 4 4 5 3.若直线ax + y + 2= 0与线段AB 没有交点，则—㊁＜-a v 3解得—㊁＜ a v ㊁，故选B.9.(2019 •河南新乡期末)三条直线l 1： x — y = 0, I 2： x + y — 2= 0, l 3： 5x — ky— 15 = 0构成一个三角 形，贝U k 的取值范围是( )A. k € RB. k € R 且 k ^± 1, k 工0C. k € R 且心 土 5, k 工一10D. k € R 且心土5, k Ml解析：选 C 由 11// 丨3，得 k = 5 ;由 12 13,得 k =— 5;由 x — y = 0 与 x + y — 2 = 0,得 x = 1, y = 1, 若(1,1)在13上，则k =— 10.若l 1, I 2, I 3能构成一个三角形，则k M±5且k M — 10,故选C.10. (2019 •淮安期末)若三条直线 x + y — 2 = 0, mx-2y + 3 = 0, x — y = 0交于一点，则实数 m 的值为解析：直线x + y — 2= 0, x — y = 0的交点为(1,1)，所以m-2+ 3= 0,解得m =— 1. 答案：—111. ________________________________________________________________________________ 与直线I 仁3x +2y — 6= 0和直线丨2： 6x + 4y — 3 = 0等距离的直线方程是 _____________________________________________________- 153x + 2y + c = 0，则 | c + 6| = C + ：，解得 C = — ~7,所以 I 的方程为 12x + 8y — 15 = 0.2丨 4答案：12x + 8y — 15= 0 12 .直线l : x cos a +3y + 2 = 0的倾斜角的取值范围是解析： 3 I 2： 6x + 4y — 3 = 0化为3x + 2y — ^= 0,所以11与I 2平行，设与I 1, I 2等距离的直线I 的方程为 解析：设直线l 的倾斜角为0 ,依题意知，0，直线l的斜率 k =—身COS a , ■/ COS a € [ —1,1],33答案：0, n 6 u13. 已知直线l : x — my^ 3m = 0上存在点 M 满足与两点 为3，则实数m 的取值范围是 __________________ .解析：设 Mx , y )，由 k MA- k MB = 3, 得总•右3，即y 2= 3X 2 - 3联立， x2—，得暮 3》+ 也 + 6 = 0.y 2= 3x 2— 3, 切 J mn 5 n n u _v ，nA — 1, 0),B (1,0)连线的斜率k MA 与k MB 之积要使直线l : x — my+ , 3m= 0上存在点M 满足与两点 A — 1, 0) , B (1,0)连线的斜率k MA 与 k MB 之积为3,则△=2— 24年一31>0,即即6.即 tan 0 € —_33,二k€打,14. (2019 •江苏如皋联考)“ m= 3” 是“两直线 li ：m 灶 3y +2 = 0 和 I 2： x + ( m-2)y + m-1= 0平行” 的 ________ 条件.(在“充分不必要”“必要不充分”"充要”“既不充分也不必要”中选一个填空)解析：若11 //丨2,则m (m-2) — 3 = 0,解得m= 3或m=- 1(此时两直线重合，舍去)，所以m = 3,必要性成立；若 m= 3, k 1 = k 2, 11 //12,充分性成立，所以" m= 3”是"两直线I 1： mx^ 3y + 2= 0和12： x + (m —2)y + m-1 = 0平行”的充要条件.答案：充要15. (2019 •四川达州月考)已知直线I 过点(1,2)且在x , y 轴上的截距相等. (1) 求直线I 的一般方程；(2) 若直线I 在x , y 轴上的截距不为 0,点P ( a , b )在直线I 上，求3a + 3b 的最小值.解：(1)①截距为 0 时，I : y = 2x ;②截距不为 0 时，k =— 1, I : y — 2=— (x — 1) , - y = — x + 3. 综上，I 的一般方程为2x — y = 0或x + y — 3 = 0.3(2)由题意得 I : x + y — 3= 0,.•• a + b = 3,「. 3 + 3>2 3 ・3= 2 3 b = 6：/3,当且仅当 a = b =㊁时， 等号成立，••• 3a + 3b 的最小值为6 3.16. 已知点 P (2 , — 1).(1) 求过点P 且与原点的距离为 2的直线I 的方程； (2) 求过点P 且与原点的距离最大的直线I 的方程，最大距离是多少？解：(1)过点P 的直线I 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2 , — 1)，显然，过P (2 , — 1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时I 的斜率不存在，其方程为 x = 2.若斜率存在，设I 的方程为y + 1 = k (x — 2), 即 kx — y — 2k — 1 = 0.此时I 的方程为3x — 4y — 10= 0.综上，可得直线I 的方程为x = 2或3x — 4y — 10= 0. (2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点 图. 由 I 丄 OP 得 k I k o P=— 1,1所以 k l = — — = 2.k OP由直线方程的点斜式得 y + 1 = 2( x — 2)，即2x — y — 5= 0. 所以直线2x — y — 5= 0是过点P 且与原点O 的距离最由已知得| — 2k — 1| =2,解得 k = |.答案:所以实数m 的取值范围是垂直的直线，如大的直线,。
人教A版高中数学必修二第三章《直线与方程》检测题含答案.docx
第三章《直线与方程》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1. 不论刃为何值，直线(m —\)x+ (2/7?—l)y=/77—5恒过定点()( \\ A. 1,—— B. (-2,0) C. (2,3) D. (9, -4) I 2丿 '2.x — y — 3 S 02. 已知不等式组x + y-3>0表示的平面区域为M,若以原点为圆心的圆0与M 无公x — 2y + 3 n 0共点，则圆。
的半径的取值范围为()A. (0,—)B. (3匹,+8)C. (0,VK)U(3^,+8)D. (0,—)U(3V2,+oo) 3. 若直线厶：x+ay+6=0与厶：U-2)%+3y+2a=0平行,则厶与厶之间的距离为 ()A. V2B.吨C. V3D.出3 84. 若点A (l,l)关于直线y = kx + b 的对称点是3(-3,3),则直线y = kx + b 在y 轴上 的截距是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知直线/I ：x-y-l=0,动直线?2：(k + l)x +炒+ k = 0(kw/?)，则下列结论够 误的是( )A.存在k, I 、使得厶的倾斜角为90。
B.对任意的k, I 、与厶都有公共点C.对任意的4人与厶都不重合D.对任意的人与厶都不垂皐 3(-3,-2),直线1过点且与线段AB 相交，则1的斜 率k 的取值范围( A. k> — ^ik<-4 43 C. — 一 <^<4 D.4 7.图中的直线/,,/2,/3的斜率分别是，则有( )B. k y <k }< k 2C. k 3<k 2< k 、D. k 2<k y < k 、6.设点 A (2,—3),)B. -4<k<-4 以上都不对A. ky<k 2< k 3TV TV 27V 5 7TA. 3 B . 6 c. 3 D . 69. 直线3x + y-4 = 0的斜率和在y 轴上的截距分别是（）A. 一3,4B. 3,-4C. -3,-4D. 3,410. 过点（一2, 1）,且平行于向量v=（2, 1）的直线方程为（）A. % — 2y + 4 = 0B. % 4- 2y — 4 = 0C. % — 2y — 4 = 0D. % + 2y + 4 =11・过点水3, 3）且垂直于直线4x + 2y - 7 = 0的直线方程为A. y = -x + 2B. y = —2x + 7 C ・ y = -x + - D. y = -x - 丿 2 J 丿 22 丿 2212. 在平面直角坐标系中，己知A （l,-2）, B （3,0）,那么线段A3中点的坐标为（）. A.（2,-1） B.（2,1） C.（4,-2） D. （-1,2）二、填空题13. 已知G,b,c 为直角三角形的三边长，C 为斜边长，若点在直线Z ：Q + by + 2c = 0上，则加2 +/?2的最小值为 __________ ・14. me R ,动直线 l }\x + my -1 =（）过定点 动直线 /2: nix - y- 2m + A /3 = 0 定点3,若直线1与人相交于点P (异于点A,B),则\PAB 周长的最大值为15. ______________________________________________________________ 过点(2, —3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ________________________ 16. 定义点POoJo)到直线上似+ By + C = 0(护+ B 2^ 0)的有向距离为d =已知点Pi ，P2到直线2的有向距离分别是心,〃2,给出以下命题: ① 若di — d.2 - ② 若心+ d = =0,则直线P1P2与直线2平行；=0,则直线EE 与直线/平行；③若心+ 〃2 = 0,则直线RE 与直线2垂直；④若didzVO,则直线ED 与直线2相交; 其中正确命题的序号是 ___________________ •三、解答题17. 求符合下列条件的直线方程：(1) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0平行;(2) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0垂直;(3) 过点P(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等.18.己知ZMBC的三个顶点坐标分别为＞1(-4,-2), B(4,2), C(1 , 3).(1)求边上的高所在直线的一般式方程；(2)求边4B上的中线所在直线的一般式方程.19.已知直线/ :3x + 2y-2 + 22x + 4y + 22 = 0(1)求证：直线1过定点。
高考数学复习课时跟踪检测-直线与方程含解析
课时跟踪检测（四十五） 直线与方程[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A 。
33B 。
3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ,则k ＝－sin 30°cos 150°＝33。
2．(永州模拟)已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0,l 2：x ＋y －1＝0,则直线l 1与直线l 2之间的距离为( ) A ．1 B 。
2 C 。
3D ．2解析：选B 由平行线间的距离公式可知,直线l 1与直线l 2之间的距离为|1＋1|2＝2。
3．(成都月考)当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时,m 的值为( ) A 。
2 B ．0 C ．－1D ．1解析：选C 直线mx －y ＋1－2m ＝0过定点Q(2,1),所以点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时,P Q 垂直直线,即m ·2－13－2＝－1,∴m ＝－1,故选C 。
4．(济宁模拟)过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋4y －30＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0D ．x ＋y ＝0或x －4y －30＝0解析：选C 当直线经过原点时,此时直线的方程为x ＋y ＝0,满足题意．当直线不经过原点时,设直线方程为x 4a ＋y a ＝1,把点(－10,10)代入可得a ＝152,故直线方程为x 30＋2y15＝1,即x ＋4y －30＝0。
综上所述,可知选C 。
5．(深圳月考)若两直线kx －y ＋1＝0和x －ky ＝0相交且交点在第二象限,则k 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(1,＋∞)解析：选A 由题意知k ≠±1。
高一数学直线与方程试题答案及解析
高一数学直线与方程试题答案及解析1.两平行直线y=kx＋b1与y=kx+b2之间的距离是（）A．b1－b2B．C．D．【答案】B【解析】略2.已知直线L：Ax+By+C=0，（A，B不同时为0）。
若点（1，1）到L的距离为1，则A，B，C应满足的关系式是----------------------。
【答案】（A+B+C）2=A2+B2【解析】根据点到直线距离公式可得，整理可得3.的三个顶点坐标分别为A（2，6），B（-4，3）,C（2，-3）,则BC边上的高线的长为--------------。
【答案】【解析】所在直线的斜率为，则所在直线方程为，即。
而高经过点，所以边上的高线的长等于点到直线的距离4.已知M(sinα, cosα), N(cosα, sinα)，直线l: xcosα+ysinα+p="0" (p<–1)，若M, N到l的距离分别为m, n，则A．m≥n B．m≤n C．m≠n D．以上都不对【答案】A【解析】点到直线的距离，点到直线的距离。
因为，所以，则，故选A5.已知A, B, C为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a, b, c，已知直线xsinA+ysinB+sinC=0到原点的距离大于1，则此三角形为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】因为直线到原点的距离大于1，所以，则。
由正弦定理可得，则。
再由余弦定理有，即为钝角，所以此三角形为钝角三角形，故选C6.与直线2x+3y–6=0关于点(1, –1)对称的直线是A．3x–2y+2=0B．2x+3y+7=0C．3x–2y–12=0D．2x+3y+8=0【答案】D【解析】设是所求直线上任一点，P关于点（1，-1）的对称点为则又点Q在直线2x+3y–6=0上，。
即故选D7.方程2x2+9xy+10y2–7x–15y+k=0表示两条直线，则过这两直线的交点且与x–y+2=0垂直的直线方程是A．x+y–1=0B．x+y–2=0C．x+y+1=0D．x+y+2=0【答案】D【解析】设方程表示直线和直线，其中都是整数，则有，即，所以，可得。
高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测(十二) 直线的参数方程 Word版含解析
课时跟踪检测(十二) 直线的参数方程一、选择题1．已知曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆D ．射线解析：选D 由y ＝t 2－1，得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故曲线所表示的是一条射线．2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：选B 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来求距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即(2－5)2＋(－1－0)2＝10.3．(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14B ．214 C. 2D ．2 2解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3消去t ，得x －y －4＝0，C ：ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ，∴圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝4x ， 即(x －2)2＋y 2＝4，∴C (2,0)，r ＝2. ∴点C 到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，∴所求弦长等于2r 2－d 2＝2 2.故选D.4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ (φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6B.π4C.π3D.π6或5π6解析：选D 直线化为yx ＝tan α，即y ＝tan α·x ，圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4，∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13，∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6.二、填空题5．已知点A (1,2)和点B (－1,5)在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)上，则它们所对应的参数分别为________．答案：0，－16．若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为________．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝______；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得 l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k 1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·⎝⎛⎭⎫－k 2＝－1⇒k ＝－1. 答案：4 －1 三、解答题8．(福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤25，即实数a 的取值范围是[－25，25]．9．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ， 解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.10．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (t 为参数，－3≤t ≤3)． (或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y －3≤y ≤3)法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ(θ为参数，－π3≤θ≤π3)．。
高一数学第三章直线与方程测试题及答案解析
第三章 直线与方程A 组一、选择题1．若直线x ＝1的倾斜角为 α；则 α( )． A ．等于0B ．等于πC ．等于2π D ．不存在2．图中的直线l 1；l 2；l 3的斜率分别为k 1；k 2；k 3；则( )． A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 23．已知直线l 1经过两点(－1；－2)、(－1；4)；直线l 2经过两点(2；1)、(x ；6)；且l 1∥l 2；则x ＝( )．A ．2B ．－2C ．4D ．14．已知直线l 与过点M (－3；2)；N (2；－3)的直线垂直；则直线l 的倾斜角是( )．A ．3π B ．32π C ．4π D ．43π 5．如果AC ＜0；且BC ＜0；那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．设A ；B 是x 轴上的两点；点P 的横坐标为2；且|P A |＝|PB |；若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0；则直线PB 的方程是( )．A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝07．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )． A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝ 0D ．3x ＋19y ＝08．直线l 1：x ＋a 2y ＋6＝0和直线l 2 : (a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点；则a 的值 是( )．(第2题)A ．3B ．－3C ．1D ．－19．将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a ＞0)个单位；再沿x 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l'；此时直线l' 与l 重合；则直线l' 的斜率为( )．A ．1＋a a B ．1＋－a aC ．aa 1＋ D ．aa 1＋－10．点(4；0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是( )． A ．(－6；8) B ．(－8；－6)C ．(6；8)D ．(－6；－8)二、填空题11．已知直线l 1的倾斜角 1＝15°；直线l 1与l 2的交点为A ；把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°；则直线l 2的斜率k 2的值为 ．12．若三点A (－2；3)；B (3；－2)；C (21；m )共线；则m 的值为 ． 13．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0；1)；B (1；0)；C (3；2)；求第四个顶点D 的坐标为 ．14．求直线3x ＋ay ＝1的斜率 ．15．已知点A (－2；1)；B (1；－2)；直线y ＝2上一点P ；使|AP |＝|BP |；则P 点坐标为 ．16．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行；且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是 ．17．若一束光线沿着直线x －2y ＋5＝0射到x 轴上一点；经x 轴反射后其反射线所在直线的方程是 ．三、解答题18．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6(m ∈R ；m ≠－1)；根据下列条件分别求m 的值：①l 在x 轴上的截距是－3；②斜率为1．19．已知△ABC 的三顶点是A (－1；－1)；B (3；1)；C (1；6)．直线l 平行于AB ；交AC ；BC 分别于E ；F ；△CEF 的面积是△CAB 面积的41．求直线l 的方程．20．一直线被两直线l 1：4x ＋y ＋6＝0；l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点；求该直线方程．.21．直线l 过点(1；2)和第一、二、四象限；若直线l 的横截距与纵截距之和为6；求直线l 的方程．第三章 直线与方程(第19题)参考答案A 组 一、选择题 1．C解析：直线x ＝1垂直于x 轴；其倾斜角为90°． 2．D解析：直线l 1的倾斜角 α1是钝角；故k 1＜0；直线l 2与l 3的倾斜角 α2；α3 均为锐角且α2＞α3；所以k 2＞k 3＞0；因此k 2＞k 3＞k 1；故应选D ．3．A解析：因为直线l 1经过两点(－1；－2)、(－1；4)；所以直线l 1的倾斜角为2π；而l 1∥l 2；所以；直线l 2的倾斜角也为2π；又直线l 2经过两点(2；1)、(x ；6)；所以；x ＝2． 4．C解析：因为直线MN 的斜率为1－＝2－3－3＋2；而已知直线l 与直线MN 垂直；所以直线l 的斜率为1；故直线l 的倾斜角是4π． 5．C解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝B A-＜0；在y 轴上的截距BC D ＝－＞0；所以；直线不通过第三象限．6．A解析：由已知得点A (－1；0)；P (2；3)；B (5；0)；可得直线PB 的方程是x ＋y －5＝0． 7．D 8．D 9．B解析: 结合图形；若直线l 先沿y 轴的负方向平移；再沿x 轴正方向平移后；所得直线与l 重合；这说明直线 l 和l ’ 的斜率均为负；倾斜角是钝角．设l ’ 的倾斜角为 θ；则tan θ＝1＋－a a． 10．D解析：这是考察两点关于直线的对称点问题．直线5x ＋4y ＋21＝0是点A (4；0)与所求点A'(x ；y )连线的中垂线；列出关于x ；y 的两个方程求解．二、填空题 11．－1．解析：设直线l 2的倾斜角为 α2；则由题意知： 180°－α2＋15°＝60°；α2＝135°；∴k 2＝tan α2＝tan (180°－45°)＝－tan45°＝－1． 12．21． 解：∵A ；B ；C 三点共线； ∴k AB ＝k AC ；2＋213－＝2＋33－2－m ．解得m ＝21． 13．(2；3)．解析：设第四个顶点D 的坐标为(x ；y )； ∵AD ⊥CD ；AD ∥BC ； ∴k AD ·k CD ＝－1；且k AD ＝k BC ． ∴0－1－x y ·3－2－x y ＝－1；0－1－x y ＝1． 解得⎩⎨⎧1＝0＝y x (舍去)⎩⎨⎧3＝2＝y x所以；第四个顶点D 的坐标为(2；3)． 14．－a3或不存在． 解析：若a ＝0时；倾角90°；无斜率． 若a ≠0时；y ＝－a 3x ＋a 1 ∴直线的斜率为－a3． 15．P (2；2).解析：设所求点P (x ；2)；依题意：22)12()2(-++x ＝22)22()1(++-x ；解得x ＝2；故所求P 点的坐标为(2；2)．16．10x ＋15y －36＝0．(第11题)解析：设所求的直线的方程为2x ＋3y ＋c ＝0；横截距为－2c ；纵截距为－3c；进而得 c = －536． 17．x ＋2y ＋5＝0．解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于x 轴对称；故将直线方程中的y 换成 －y ．三、解答题 18．①m ＝－35；②m ＝34． 解析：①由题意；得32622---m m m ＝－3；且m 2－2m －3≠0． 解得 m ＝－35． ②由题意；得123222-+--m m m m ＝－1；且2m 2＋m －1≠0． 解得 m ＝34． 19．x －2y ＋5＝0．解析：由已知；直线AB 的斜率 k ＝1311++＝21． 因为EF ∥AB ；所以直线EF 的斜率为21． 因为△CEF 的面积是△CAB 面积的41；所以E 是CA 的中点．点E 的坐标是(0；25)． 直线EF 的方程是 y －25＝21x ；即x －2y ＋5＝0． 20．x ＋6y ＝0．解析：设所求直线与l 1；l 2的交点分别是A ；B ；设A (x 0；y 0)；则B 点坐标为 (－x 0；－y 0)．因为A ；B 分别在l 1；l 2上；所以⎪⎩⎪⎨⎧0＝6－5＋3－0＝6＋＋40000y x y x①＋②得：x 0＋6y 0＝0；即点A 在直线x ＋6y ＝0上；又直线x ＋6y ＝0过原点；所以直线l 的方程为x ＋6y ＝0．21．2x ＋y －4＝0和x ＋y －3＝0．①②解析：设直线l 的横截距为a ；由题意可得纵截距为6－a ．∴直线l 的方程为1＝－6＋aya x ．∵点(1；2)在直线l 上；∴1＝－62＋1a a ；a 2－5a ＋6＝0；解得a 1＝2；a 2＝3．当a ＝2时；直线的方程为142=+y x ；直线经过第一、二、四象限．当a ＝3时；直线的方程为133=+yx ；直线经过第一、二、四象限．综上所述；所求直线方程为2x ＋y －4＝0和x ＋y －3＝0．。
高中数学北师大必修2课时跟踪检测：(十六) 直线方程的两点式和一般式 Word版含解析
课时跟踪检测（十六） 直线方程的两点式和一般式层级一 学业水平达标1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y2＝0 B.x 2＋y 3＝0 C.x 2＋y3＝1 D.x 2－y 3＝1 解析：选C 由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y3＝1.2．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 3．直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0解析：选C 由于直线过第一、二、三象限，故其a ＜0，b ＞0.4．直线2x ＋y ＋7＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a ，b 的值是( ) A ．a ＝－7，b ＝－7 B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7解析：选D 令x ＝0得y ＝－7，∴b ＝－7，令y ＝0得x ＝－72，∴a ＝－72.5．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0解析：选A ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上．∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.6．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是________． 解析：直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－32.答案：－327．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：由题意，k ＝tan 60°＝3，点斜式方程：y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x433＋y－4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0. 答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝08．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为____________．解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.答案：x －3y ＋24＝09．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． 解：设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya ＝1. 则6a ＋1＋－2a＝1， 解得a ＝2或a ＝1，则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.10．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程． 解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点， 由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点， 由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.层级二 应试能力达标1．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．6解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2m m ＋2，∴2mm ＋2＝3，∴m ＝－6. 2．两条直线l 1：y ＝kx ＋b ，l 2：y ＝bx ＋k (k ＞0，b ＞0，k ≠b )的图像是( )解析：选C 由k ＞0，b ＞0可知，直线l 1和l 2的倾斜角都是锐角，且在y 轴上的截距为正，所以A 、B 、D 错误．3．直线x －y －1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.14 B ．2 C ．1D.12解析：选D 由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为12.4．若直线Ax ＋By ＋C ＝0通过第二、三、四象限，则系数A ，B ，C 需满足条件( ) A ．A ，B ，C 同号 B ．AC ＜0，BC ＜0 C ．C ＝0，AB ＜0D ．A ＝0，BC ＜0解析：选A 将直线方程化为点斜式为y ＝－A B x －CB.由题意知直线过二、三、四象限，则有⎩⎨⎧－AB＜0，－CB ＜0.由此可知A ，B ，C 同号．5．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．解析：(1)过原点时，设为y ＝kx ，则k ＝－32，∴y ＝－32x .(2)不过原点时，设为x a ＋y－a＝1，∴将点(－2,3)代入得a ＝－5，∴所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0. 答案：3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝06．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是________． 解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，所以B ≠0，且－AB ＝5，即A ＝－5B ，又A －2B ＋3C ＝0， 所以－5B －2B ＋3C ＝0， 即C ＝73B .此时直线的方程化为－5Bx ＋By ＋73B ＝0.即－5x ＋y ＋73＝0，故所求直线的方程为15x －3y －7＝0. 答案：15x －3y －7＝07．求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解：(1)当直线过原点时，设为y ＝kx ，由点A (－5,2)得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.8．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，显然，A ′坐标为(3，－2)，连接A ′B ，则A ′B 所在直线即为反射光线．∴由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋13＋1，即2x ＋y －4＝0.同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)， 由两点式可得直线AB ′的方程为y －2－6－2＝x －3－1－3，即2x－y－4＝0，∴入射光线所在直线方程为2x－y－4＝0，反射光线所在直线方程为2x＋y－4＝0.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。
高考数学专题《直线与直线方程》习题含答案解析
专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x−ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C 2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（ ）ABC．D【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-==故选C.3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （）．A．过点)2-BC ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解【详解】点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l的斜率tan k θ==60°，故B ，C 正确；由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误．故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）．A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误.【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误；∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m =m =B 选项正确；直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-，令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确．故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0°【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确；对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确；对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误；对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确．故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______.【答案】32-43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距.【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43.故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y =【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可.【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒，又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2，所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =．故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________．【答案】-4；2【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案.【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //，334a -∴=，解得4a =-；∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________.【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34.因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=，所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|PA |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________．【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围.【详解】因为||AB ==||||PA PB +=，由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1），画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3，所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解.【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=，又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，练提升即2b a =时取“=”，由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,2N ，那么||MN 的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3），所以动点M 在以PQ5,2=圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=，所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，，则直线方程为：故选l θ1sin(22p q-=l 20y --=40y +-=0x -=360y +-=122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-23πθ=tan θ=1y x -=-40y +-=B4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________.【答案】240x y -+= (0,1)-【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行，所以设方程为()201x y n n -+=≠，因为直线过点(2,1)M -，代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+， 则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=.7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1)求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ；(2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程．【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2.【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求.【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2），即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m 2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意，综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，()4,B n -在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值；（2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式.【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4），把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8，所以反比例函数解析式为8y x=，把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2；（2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上，所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ，所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==，在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==，而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1，所以144m n-+=，而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2，则A （2，4），B （﹣4，﹣2），设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -.（1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2） 不存在这样的直线；理由见解析．【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意．②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=．（2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，=，而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB V 是等腰直角三角形，||AB =l 过点(1,1)P 与AOB V 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标；（2）试写出表示AMN V 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩…，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标；(2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMN S V 的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解.【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k +=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.(2)当1k …时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭，1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭.当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩…，当1k …时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+.综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）.A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】练真题由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5，故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果.【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=，所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（ ）A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d =，故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故N （12，12），把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=．②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时b 13＞，点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即1122N MB y ⋅⋅=，即 111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 212b b=-0，求得 b 12＜，故有13＜b 12＜．③若点M 在点A 的左侧，则b 13＜，由点M 的横坐标b a--＜1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ．两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞1，故有1b 13＜．综上可得b 的取值范围应是 112⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①③⑤【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；②令直线为：，则直线经过整点，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得：即直线经过整点x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --直线经过无穷多个整点，③正确；④令直线为：，则不过整点，④错误；⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤∴l l 1132y x =+ll y =()0,0。
北师大高中数学必修二课时跟踪检测：第二章 解析几何初步 §1 1 含解析
第二章解析几何初步§1直线与直线的方程1.2直线的方程(1)课时跟踪检测一、选择题1．过点(0,2)且斜率为－2的直线方程是()A．y＝－2x＋2B．y＝－2x－2C．y＝－2x－4 D．y＝－2x＋4解析：点斜式方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2. 答案：A2．过点A(3，1)且倾斜角为60°的直线方程为() A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2C．y＝33x－2 D．y＝33x＋2解析：直线的斜率k＝tan60°＝3，方程为y－1＝3(x－3)，即y＝3x－2.答案：A3．直线l不经过第三象限，l的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则有()A．k·b>0 B．k·b<0C．k·b≥0 D．k·b≤0解析：由题意知k≤0，b>0，∴k·b≤0.答案：D4．已知直线方程y－3＝3(x－4)，则这条直线经过的已知点与倾斜角分别为()A．(4,3)，60°B．(3,4)，60°C．(－4，－3)，30°D．(4,3)，30°解析：由直线的点斜式方程：y－3＝3(x－4)，知斜率k＝3，∴倾斜角为60°，又过定点(4,3)．答案：A5．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是()A．x＝－1 B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)解析：所求直线斜率为22×2＝2，则y－1＝2(x＋1)．答案：C6．在等腰△ABO中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)解析：如图．∵AO＝AB，∴B(2,0)，k AB＝0－32－1＝－3，则直线AB点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．答案：D二、填空题7．已知直线的方程为y－3＝(a－2)(x＋1)，且其倾斜角为钝角，则a的取值范围是________．解析：由直线方程的点斜式可知直线的斜率k＝a－2，又∵直线的倾斜角为钝角，∴k＜0，即a－2＜0，∴a＜2.答案：(－∞，2)8．直线l的方程为y－x＋m2－m＋1＝0，直线l在y轴上的截距为－3，则m的值为________解析：令x＝0，则y＝－m2＋m－1.∵直线在y轴上截距为－3，∴－m2＋m －1＝－3，m2－m－2＝0，解得m＝－1或2.答案：－1或29．直线l经过点P(1,2)，且与直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距相等，则直线l的方程为__________________．解析：直线2x＋3y－9＝0在y轴上截距为3.即直线l与y轴交点的坐标为(0,3)，故直线斜率为3－20－1＝－1.∴直线l的方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0三、解答题10．根据下列条件，写出直线的方程．(1)斜率是33，经过点A(8，－2)；(2)斜率为－4，在y轴上的截距为7；(3)经过点A(－1,8)，B(4，－2)．解：(1)y＋2＝33(x－8)，整理得3x－3y－83－6＝0. (2)y＝－4x＋7，即4x＋y－7＝0.(3)k＝－2－84－(－1)＝－105＝－2，∴y－8＝－2(x＋1)，即2x＋y－6＝0.11．已知△ABC的三个顶点在第一象限，且A(1,1)，B(5,1)，A＝45°，B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边和BC边所在直线的方程．解：根据已知条件，画出示意图如图所示．(1)由题意知，直线AB 平行于x 轴，由A ，B 两点的坐标知，直线AB 的方程为y ＝1.(2)由题意知，直线AC 的倾斜角等于角A ，所以k AC ＝tan45°＝1.又直线经过点A (1,1)，所以直线AC 的方程的点斜式为y －1＝1·(x －1)，即y ＝x .同理可知，直线BC 的倾斜角等于180°－B ＝135°，所以k BC ＝tan135°＝－1，又直线过点B (5,1)，所以直线BC 的方程的点斜式为y －1＝－1·(x －5)，即y ＝－x ＋6.12．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y ＝16x ＋b .令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－6b ，∴S ＝12|b |·|－6b |＝3，即|b |2＝1|b |＝1，b ＝±1.∴所求方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.13．是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求直线l 的方程．解：假设存在满足题设条件的直线l 的方程，显然直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＋4＝k (x ＋5)．令x ＝0，得与y 轴的交点(0,5k －4)；令y ＝0，得与x 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －5，0. 由题意得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k －5·|5k －4|＝5.即25k2－30k＋16＝0(无解)或25x2－50k＋16＝0.解得k＝85或k＝25.所以直线l的方程为y＋4＝85(x＋5)或y＋4＝25(x＋5)．。
高一数学直线方程试题答案及解析
高一数学直线方程试题答案及解析1.过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0B．3x+2y+7=0C．2x﹣3y+5=0D．2x﹣3y+8=0【答案】A【解析】直线的斜率，由于垂直，因此所求直线斜率，因此直线的点斜式方程为，即.【考点】直线垂直和直线的点斜式方程.2.已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+3y﹣2=0的交点，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积S．【答案】(1);(2)【解析】(1)在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式和点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或过原点的直线；（2）与函数相结合的问题：解决这类问题，一是利用直线方程中的的关系，将问题化为关于或的函数，借助函数的性质解决；（3）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决；（4)求直线方程一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程的系数，这种方法叫待定系数法.试题解析：解：（Ⅰ）由，解得由于点的坐标是（﹣2，2）．则所求直线与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线的方程为2x+y+m=0．把点的坐标代入得2×（﹣2）+2+=0，即．所求直线的方程为2x+y+2=0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在轴．轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线与两坐标轴围成三角形的面积=×1×2=1．【考点】（1）求直线方程；（2）直线方程的应用.3.求经过P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线的方程.【答案】【解析】本小题最优解是设直线方程的截距式，但考虑到截距式的局限性（即不能表达过原点截距相等的直线方程），故分两类，一类过原点，一类截距相等不过原点的截距式：试题解析：设该直线在两轴上截距为a.那么，①当a=0时，直线过原点.由两点式求得直线方程为；②当a≠0时直线方程为把代入求得.直线方程为，由①②知所求直线方程是.【考点】直线方程的求解.4.光线从点发出，经过轴反射，再经过轴反射，最后光线经过点，则经轴反射的光线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】由题意可知，点关于轴的对称点与点关于轴的对称点的连线即为经轴入射光线的所在直线，易得：，根据对称性，可知反射光线的方程为，即.【考点】直线方程.5.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )A．x－y＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0D．x＋y＝0【答案】B【解析】因为点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,所以直线l是线段PQ的垂直平分线；由线段PQ的中点坐标为（2，3），，由直线方程的点斜式得：即，故选B.【考点】直线的方程.6.已知直线L：kx－y＋1＋2k＝0.(1)求证：直线L过定点；(2)若直线L交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线L的方程．【答案】(1)定点(－2，1); (2) x－2y＋4＝0.【解析】(1)由直线系方程:恒过两直线: 与的交点可知:只需将直线L的方程改写成:知直线L恒过直线与的交点(-2,1),从而问题得证;(2)先用k将点A和点B的坐标表示出来，由直线L 交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B知：k>0;然后再用含k的代数式将△AOB的面积为S表达出来，得到S是k的函数，再利用基本不等式就可求得使S取得最小值对应的k的值，从而就可写出直线L的方程.试题解析：(1)证明：由已知得: k(x＋2)＋(1－y)＝0， 3分令 x＋2="0" ， 1－y=0得: x=-2 ， y=1∴无论k取何值，直线过定点(－2，1) 5分(2)解：令y＝0得：A点坐标为令x＝0得：B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)， 7分∴S＝|2k＋1|＝ (2k＋1)△AOB＝≥ (4＋4)＝4 .10分当且仅当4k＝，即k＝时取等号．即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，即 x－2y＋4＝0. 12分【考点】1.直线方程;2.基本不等式.7.已知点A(1，1),B（-1，）直线过原点，且与线段AB有交点，则直线的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当直线过点时，；当直线过点时，；由图知，直线的斜率的取值范围为.【考点】直线的斜率、直线方程.8.求与直线垂直，且在两坐标轴上截距之和为3的直线的方程？【答案】【解析】设出直线的一般式方程，令，，令，代入求出可得到所求的直线方程试题解析：因与垂直，设的方程为令，，令则，所求直线方程为【考点】直线方程的一般式9.过点（1，2）且与直线平行的直线方程是 .【答案】【解析】与直线平行的直线方程可设为，把点（1，2）代入，求得，所以直线方程为.【考点】直线方程、两直线的位置关系.10.若直线过点且垂直于直线，则直线的斜截式方程是 .【答案】【解析】过点且垂直于直线的直线方程为，即．【考点】直线的方程，两条直线的位置关系．11.求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(，－1)；(2)在y轴上的截距是－5.【答案】（1）x－3y－6＝0.（2）x－3y－15＝0.【解析】解：∵直线的方程为y＝－x＋1，∴k＝－，倾斜角α＝120°，由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为.(1)∵直线经过点(，－1)，∴所求直线方程为y＋1＝ (x－)，即x－3y－6＝0.(2)∵直线在y轴上的截距为－5，∴由斜截式知所求直线方程为y＝x－5，即x－3y－15＝0.【考点】直线方程点评：主要是考查了直线方程的求解，属于基础题。
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课时跟踪检测（四十五） 直线与方程[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(合肥模拟)直线l :x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析:选A 设直线l 的斜率为k ,则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．(永州模拟)已知直线l 1:x ＋y ＋1＝0,l 2:x ＋y －1＝0,则直线l 1与直线l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析:选B 由平行线间的距离公式可知,直线l 1与直线l 2之间的距离为|1＋1|2＝ 2.3．(成都月考)当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时,m 的值为( ) A. 2 B ．0 C ．－1D ．1解析:选C 直线mx －y ＋1－2m ＝0过定点Q(2,1),所以点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时,P Q 垂直直线,即m ·2－13－2＝－1,∴m ＝－1,故选C.4．(济宁模拟)过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋4y －30＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0D ．x ＋y ＝0或x －4y －30＝0解析:选C 当直线经过原点时,此时直线的方程为x ＋y ＝0,满足题意．当直线不经过原点时,设直线方程为x 4a ＋y a ＝1,把点(－10,10)代入可得a ＝152,故直线方程为x 30＋2y15＝1,即x ＋4y －30＝0.综上所述,可知选C.5．(深圳月考)若两直线kx －y ＋1＝0和x －ky ＝0相交且交点在第二象限,则k 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(1,＋∞)解析:选A 由题意知k ≠±1.联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1＝0，x －ky ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k1－k 2，y ＝11－k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k1－k 2＜0，11－k 2＞0，∴－1＜k ＜0.故选A.6．(银川月考)点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为( ) A ．(6,3) B ．(3,－6) C ．(－6,－3)D ．(－6,3)解析:选C 设点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0的对称点为Q(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·－1＝－1，a ＋22＋b ＋52＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－3，即P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(－6,－3)．故选C.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(广州月考)已知点A (1,3),B (－1,33),则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．150°解析:选C 设直线AB 的倾斜角为α. ∵A (1,3),B (－1,33),∴k AB ＝33－3－1－1＝－3,∴tan α＝－3,∵0°≤α＜180°,∴α＝120°.故选C.2．(惠阳月考)点A (2,5)到直线l :x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5B.55C. 5D.255解析:选C 点A (2,5)到直线l :x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.故选C.3．(安庆模拟)若直线l 1:x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2:2x ＋6y －3＝0的距离为10,则m ＝( ) A ．7 B.172C ．14D ．17解析:选B 直线l 1:x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0),即2x ＋6y ＋2m ＝0,因为它与直线l 2:2x ＋6y －3＝0的距离为10,所以|2m ＋3|4＋36＝10,求得m ＝172.4．已知点P (x ,y )在直线x ＋y －4＝0上,则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2D ．16解析:选A 因为点P (x ,y )在直线x ＋y －4＝0上,所以x 2＋y 2的最小值即为原点到直线x ＋y －4＝0距离的平方,d ＝|－4|1＋1＝22,d 2＝8. 5．(重庆第一中学月考)光线从点A (－3,5)射到x 轴上,经x 轴反射后经过点B (2,10),则光线从A 到B 的距离为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析:选C 点B (2,10)关于x 轴的对称点为B ′(2,－10),由对称性可得光线从A 到B 的距离为|AB ′|＝－3－22＋[5－－10]2＝510.故选C.6．(黄陵期中)不论m 为何值,直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3)D ．(9,－4)解析:选D ∵直线方程为(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5, ∴直线方程可化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. ∵不论m 为何值,直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.故选D.7．(2018·成都五校联考)已知A ,B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为2,且|PA |＝|PB |,若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0,则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析:选B 由|PA |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上,根据直线PA 的方程为x －y ＋1＝0,可得A (－1,0),将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0,得y ＝3,所以P (2,3),所以B (5,0),所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0,选B.8．(大庆一中期末)设点A (－2,3),B (3,2),若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 解析:选B 直线ax ＋y ＋2＝0过定点P (0,－2),可得直线PA 的斜率k PA ＝－52,直线PB 的斜率k PB ＝43.若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点,则－52＜－a ＜43,解得－43＜a ＜52,故选B.9．(河南新乡期末)三条直线l 1:x －y ＝0,l 2:x ＋y －2＝0,l 3:5x －ky －15＝0构成一个三角形,则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1,k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5,k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5,k ≠1解析:选C 由l 1∥l 3,得k ＝5；由l 2∥l 3,得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0,得x ＝1,y ＝1,若(1,1)在l 3上,则k ＝－10.若l 1,l 2,l 3能构成一个三角形,则k ≠±5且k ≠－10,故选C.10．(淮安期末)若三条直线x ＋y －2＝0,mx －2y ＋3＝0,x －y ＝0交于一点,则实数m 的值为________． 解析:直线x ＋y －2＝0,x －y ＝0的交点为(1,1),所以m －2＋3＝0,解得m ＝－1. 答案:－111．与直线l 1:3x ＋2y －6＝0和直线l 2:6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________________． 解析:l 2:6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0,所以l 1与l 2平行,设与l 1,l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0,则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋32,解得c ＝－154,所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0. 答案:12x ＋8y －15＝012．直线l :x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．解析:设直线l 的倾斜角为θ,依题意知,θ≠π2,直线l 的斜率k ＝－33cos α,∵cos α∈[－1,1],∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33,即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.又θ∈[0,π),∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π13．已知直线l :x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1,0),B (1,0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3,则实数m 的取值范围是________________．解析:设M (x ,y ),由k MA ·k MB ＝3, 得y x ＋1·yx －1＝3,即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎨⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m2－3x 2＋23mx ＋6＝0. 要使直线l :x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1,0),B (1,0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3, 则Δ＝⎝⎛⎭⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3≥0,即m 2≥16.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞ 14．(江苏如皋联考)“m ＝3”是“两直线l 1:mx ＋3y ＋2＝0和l 2:x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个填空)解析:若l 1∥l 2,则m (m －2)－3＝0,解得m ＝3或m ＝－1(此时两直线重合,舍去),所以m ＝3,必要性成立；若m ＝3,k 1＝k 2,l 1∥l 2,充分性成立,所以“m ＝3”是“两直线l 1:mx ＋3y ＋2＝0和l 2:x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的充要条件．答案:充要15．(四川达州月考)已知直线l 过点(1,2)且在x ,y 轴上的截距相等． (1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 在x ,y 轴上的截距不为0,点P (a ,b )在直线l 上,求3a＋3b的最小值．解:(1)①截距为0时,l :y ＝2x ；②截距不为0时,k ＝－1,l :y －2＝－(x －1),∴y ＝－x ＋3. 综上,l 的一般方程为2x －y ＝0或x ＋y －3＝0.(2)由题意得l :x ＋y －3＝0,∴a ＋b ＝3,∴3a＋3b≥23a·3b＝23a ＋b ＝63,当且仅当a ＝b ＝32时,等号成立,∴3a＋3b的最小值为6 3.16．已知点P (2,－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少？解:(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,－1),显然,过P (2,－1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x ＝2.若斜率存在,设l 的方程为y ＋1＝k (x －2), 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2,解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上,可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图．由l ⊥OP ,得k l k OP ＝－1, 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2),即2x －y －5＝0. 所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|－5|5＝ 5.。