复变函数复习样题

注意红颜色字体

一、解答下列各题（每小题5分，共60分）

1、设b a ,是实数，函数i y bx axy z f )()(22++=在复平面解析，求b a ,.

解：Cauchy-Riemann 方程，y ay 2=，bx ax 2-=，解出

2=a ，1-=b . 注：考察函数解析的充要条件，会求函数的导数y

v y u i x v i x u z f ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=

'1)( 2、求)1(i Ln +，并指出其主值.

解：解：)24(2ln )1(|1|ln )1(ππk i i Arg i i i Ln ++=+⋅++=+（Z k ∈）； 其主值为 42ln )1ln(π

i i +=+

注：此题考察对数函数，复习乘幂函数及其主值

3、求⎰+c

dz iy x )(2，其中 C 是沿曲线 2x y = 由点 0=z 到点 i z +=1。

解： C ：2x t y t

=⎧⎨=⎩ 即 2z t it =+ 原式=21()(12)0t it ti dt ⎧⎪++⎨⎪⎩

=3123

31002(1)(2)(1)[]34t i t t i dt i i t ++=++⎰ =115(1)[]3266

i i i ++=-+ 注：掌握复变函数积分计算的一般方法

4、计算⎰C

z dz z e z sin 3，其中1||:=z C ,方向为正向 解：因被积函数z e z z f z

sin )(3=在复平面解析，由Cauchy-Goursat 定理，

0sin 3=⎰C z dz z e z 。 注：考察柯西-古萨基本定理，注意复习柯西积分公式 P85内容.

5、计算⎰+C

z dz z e 326，其中1||:=z C ，方向为正向. 解：用高阶导数公式，i i e i dz z e z z C

z πππ44!22|)6(!2260)2(232==+=+=⎰ 注：考察高阶导数公式，须记住

6、求幂级数1

11(1)n n n z n

∞-=-∑的和函数，并注明其收敛域。

解：求得收敛半径为1R =, 令111()(1)

n n n S z z n ∞-==-∑, 则当1z <时, 11

1()(1)1n n n S z z z ∞-=-'=-=+∑, 01()ln(1)1z

S z dz z z -⇒==-++⎰(主值). 注：会求收敛半径，记住几个常用的函数的泰勒展开式，例如z

e z z z -11,,cos ,sin 等 7、求1

1)(-=

z e z f 的奇点，并指出奇点类型. 解：解：1)(-=z e z g 的零点为i k π2（Z k ∈），显然它们都是孤立奇点； 而01)2('2≠==i k e i k g ππ，所以这些点都是)(z g 的1级零点； 所以1

1)(-=

z e z f 的全部奇点是i k π2（Z k ∈），且都是1级极点。 注：孤立奇点分类，可取奇点，m 级极点，本性奇点，会判断类型

8、求22)(z

e z

f z +=在孤立奇点0=z 处的留数。 解：0=z 是f 的2级极点，故 1lim )2(lim !11]0),([Re 0220==+=→→z z z z e z

e z dz d z

f s 。 注：P156

9、求积分dz z z C ⎰

+1sin 2，其中2||:=z C ，方向为正向。 解：1

sin )(2+=z z z f 在复平面上有两个奇点 i ，i -，且都包含在曲线C 内； 由留数定理，]),1sin [Re ],1sin [(Re 21sin 222i z z s i z z s i dz z z C -+++=+⎰

π i e

e i i i i i i πππ)1(sin 2)2)sin(2sin (2-==--+=。 注：会用留数定理求积分，此类题目可以用柯西积分公式求解

10、计算积分2220d .(4)(1)

x x x +∞

++⎰ 解 记2222220d 1d (4)(1)2(4)(1)

x x I x x x x +∞+∞-∞==++++⎰⎰ 2221πi(Res(,i)(4)(1)x x =++2221Res(,2i)(4)(1)

x x +++ 3i 225ππi(i).9294288=-+=⨯⨯ 注：P164,

二、（10分）将函数)

2)(1(1)(--=

z z z f 分别在圆环域1||0<

)2)(1(1--z z ()0

0121

(1)(2)

11312121221112n n n n n n n n z z z z z z z ∞∞==∞+=--=--⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝

⎭∑∑∑ （分）（6分）（分） 在圆环域1<|z －2|<+∞上的Laurent 级数为 （有两种方法，下面是其一） ∵21111-+=-z z 2

11121-+⋅-=z z 10

)2(1)1(+∞=--=∑n n n z 原式2

0)2(1)1(+∞=--=∑n n n

z （2分） +∞<-<|2|1z 注：参照P132例一

三、（10分）求解析函数()f z u iv =+已知22()1u x y xy f i i =-+=-+，.

解: 容易验证函数u 是全复平面上的调和函数, 利用C R -方程, 先求出v 的两个偏导数:

2,2v u v u y x x y

x y y x ∂∂∂∂=-=-==+∂∂∂∂ 线积分法： (,)(0,0)(2)(2)x y v y x dx x y dy C ⇒=

-+++⎰(为什么与积分路径无关?) 220011()(2)222

x y x dx x y dy C x xy y C =-+++=-+++⎰⎰ 222211()()(2)22

f z x y xy i x xy y C ⇒=-++-+++ 22211()()(1)22

x iy i x iy iC i z iC =+-++=-+ 又因为()1f i i =-+, 所以12

C =, 于是21()(1)22i f z i z =-+. 注：考察调和函数定义，会用偏积分法，不定积分法或者线积分法求解析函数

四、如果()f z 在区域D 内解析, 而且满足下列条件之一, 则()f z 在D 内为一常数.

(1)()0f z '= (2)Re ()f z 为常数 (3)|()|f z 为常数

证明: (1)()0u v v u f z i i x x y y ∂∂∂∂'=+=-≡∂∂∂∂, 由()0f z '=, 0u u v v x y x y

∂∂∂∂⇒===≡∂∂∂∂, 所以u v ，为常数, 于是函数()f z 在D 内为一常数.