图解法和单纯形法求解线性规划问题

图解法和单纯形法求解以下线性规划问题

1。1 图解法解线性规划问题

只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下：

(1)以变量x1为横坐标轴，x2为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面坐标直

角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内.

(2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。

(3)画出目标函数等值线,并确定函数增大（或减小）的方向。

(4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。

然而，由于图解法不适用于求解大规模的线性规划问题，其实用意义不大.

1。2 单纯形法解线性规划问题

它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。

单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解,对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别;若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。

单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解.②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件,引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善）,即得到问题的最优解.⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界,则终止迭代。

1.3 线性规划问题的标准化

使用单纯形法求解线性规划时,首先要化问题为标准形式

所谓标准形式是指下列形式:

∑==

n

j j j

x c

z 1

max

⎪⎩⎪⎨⎧=≥==⋅⋅∑=),,2,1(0),,1(1n j x m i b x a t s j

n

j i j ij

当实际模型非标准形式时，可以通过以下变换化为标准形式： ①当目标函数为∑==

n

j j j

x c

z 1

min 时,可令Z ′=-Z ，而将其写成为

∑=-='n

j j j x c z 1

min

求得最终解时，再求逆变换Z=—Z ′即可。

②当s ·t ·中存在i n in i i b x a x a x a ≤+++ 2211形式的约束条件时,可引进变量

⎩⎨

⎧≥+++-=++0)

(1

22111n n in i i i n x x a x a x a b x 便写原条件成为

⎩⎨

⎧≥=++++++01

12211n i

n n in i i x b x x a x a x a 其中的x n +1称为松驰变量，其作用是化不等式约束为等式约束。

同理，若该约束不是用“≤”号连接，而是用“≥”连接，则可引进松驰变量

⎩⎨

⎧≥-+++=++0)(1

22111n i

n in i i n x b x a x a x a x 使原条件写成

⎩⎨

⎧≥=-++++0

1111n i

n n in i x b x x a x a

2 单纯形法

2.1 单纯形法的基本原理

单纯形法迭代原理： （1） 确定初始可行解

① 当线性规划问题的所有约束条件均为≤号时，松弛变量对应的系数矩阵即

为单位矩阵，以松弛变量为基变量可确定基可行解。

② 对约束条件含≥号或=号时，可构造人工基，人为产生一个m ×m 单位矩阵

用大M 法或两阶段法获得初始基可行解。

（2） 最优性检验与解的判别（目标函数极大型）

① 当所有变量对应的检验数均非正时，现有的基可行解即为最优解。若存在

某个非基变量的检验数为零时，线性规划问题有无穷多最优解；当所有非基变量的检验数均严格小于零时，线性规划问题具有唯一最优解。 ② 若存在某个非基变量的检验数大于零，而该非基变量对应的系数均非正，

则该线性规划问题具有无界解（无最优解）。

③ 当存在某些非基变量的检验数大于零，需要找一个新的基可行解，基要进

行基变换。

2。1 确定初始可行解

确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定,为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中,系数矩阵Ａ中前m 个系数列向量恰好构成一个可行基,即Ａ=（ＢＮ)，其中Ｂ=（Ｐ1，Ｐ2，…Ｐm ）为基变量x1,x2，…xm 的系数列向量构成的可行基，Ｎ=（Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn 的系数列向量构成的矩阵。

所以约束方程AX=b 就可以表示为B B N N X AX=(BN)=BX +NX =b X ⎛⎫

⎪⎝⎭

用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：-1-1

B N X =B b-B NX

若令所有非基变量N X =0，则基变量-1

B X =B b

由此可得初始的基本可行解1B b X=0-⎛⎫

⎪⎝⎭

2.2 最优性检验

假如已求得一个基本可行解1B b X=0-⎛⎫

⎪⎝⎭，将这一基本可行解代入目标函数，可求得相

应的目标函数值1-1

B N B B b Z=CX=(

C C )=C B b 0-⎛⎫ ⎪⎝⎭

其中B 12m N m+1m+2n C =(c ,c ,c ), C =(c ,c ,c )分别表示基变量和非基变量所对应的价

值系数子向量.

要判定-1B Z=C B b 是否已经达到最大值,只需将-1-1

B N X =B b-B NX 代入目标函数，使目

标函数用非基变量表示，即：

B B N N -1-1B B N N B N N N

X Z=CX=(C C )X =C X +C X =C (B b-B NX )+C X ⎛⎫

⎪

⎝⎭

m+1m+2-1-1B N N B m+1,m+1,

n n x x

C B b+σX C B b+(σσσ)x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

其中-1

N N B m+1m+1n =C -C B N=(,,)σσσσ称为非基变量ＸN 的检验向量,它的各个分量

称为检验数。若σN 的每一个检验数均小于等于0，即σN ≤0，那么现在的基本可行解就是最优解。

2.3 解的判别

定理1:最优解判别定理

对于线性规划问题{}

n maxZ=CX,D=X R /AX=b,X 0∈≥,若某个基本可行解所对应

的检验向量-1

N N B =C -C B N 0σ≤，则这个基本可行解就是最优解.

定理2：无穷多最优解判别定理