基本初等函数知识点总结

基本初等函数知识点总结

一、指数函数的概念

（1）、指数函数的定义

一般地，函数x

y a =（0a >，且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 （2）、因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数0a >且1a ≠的前提下，x R ∈。

（3）、指数函数x y a =（0a >且1a ≠）解析式的结构特征 1、底数：大于0且不等于1的常数。 2、指数：自变量x 。 3、系数：1。

二、指数函数的图象与性质

一般地，指数函数x

y a =（0a >，且1a ≠）的图象与性质如下表：

三、幂的大小比较方法

比较幂的大小常用方法有：（1）、比差（商）法；（2）、函数单调性法；（3）、中间值法：

要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。

四、底数对指数函数图象的影响

（1）、对函数值变化快慢的影响

1、当底数1a >时，指数函数x

y a =是R 上的增函数，且当0x >时，底数a 的值越大，函数图象越“陡”，说明其函数值增长得越快。

2、当底数01a <<时，指数函数x

y a =是R 上的减函数，且当0x <时，底数a 的值越小，函数图象越“陡”，说明其函数值减小得越快。 （2）、对函数图象变化的影响

指数函数x y a =与x y b =的图象的特点：

1、1a b >>时，当0x <时，总有01x x a b <<<；当0x =时，总有1x x a b ==；当

0x >时，总有1x x a b >>。

2、01a b <<<时，当0x <时，总有1x x a b >>；当0x =时，总有1x x a b ==；当

0x >时，总有01x x a b <<<。

五、对数的概念

（1）、对数：一般地，如果x a N =（0a >，且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2）、常用对数：我们通常把以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数10log N 简记为lg N 。

（3）、自然对数：我们通常把以无理数e （ 2.71828e =）为底的对数称为自然对数，

为了简便，N 的自然对数log e N 简记为ln N 。

六、对数的基本性质

根据对数的定义，对数log a N （0a >，1a ≠）具有如下性质： 1、0和负数没有对数，即0N >； 2、1的对数是0，即log 10a =； 3、底数的对数等于1，即log 1a a =；

4、对数恒等式：如果把b a N =中的b 写成log a N ，则log a N

a

N =。

七、对数运算性质

如果0a >且1a ≠，0M >，0N >，那么 （1）、()log log log a a a MN M N =+； （2）、log log log a

a a M

M N N

=-； （3）、log log n a a M n M =（n R ∈）。

八、换底公式

设log a N x =，则x a N =，两边取以b 为底的对数，则有

log log log log log x b b b a b N a x a N a ===⋅，又log 0b a ≠，log log log b a b N

N a

=

，由此得

到对数的换底公式。

换底公式的两个推论：

log log m n a a n N N m =

，1

log log a b b a

=

。 九、对数函数

（1）、对数函数的定义

一般地，我们把函数log a y x =（0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，

函数的定义域为()0+∞，

。 （2）、一个函数是对数函数的条件

1、系数为1；

2、自变量x 出现在真数的位置上，且0x >；

3、底数0a >，且1a ≠。 （3）、常用对数函数与自然对数函数 1、常用对数函数：以10为底的对数函数lg y x =为常用对数函数。 2、自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数ln y x =为自然对数函数。

十、对数函数的图象与性质

一般地，对数函数log a y x =（0a >，且1a ≠）图象与性质如下表：

十一、幂函数

一般地，函数y x α

=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

十二、幂函数的图象

幂函数y x α=在第一象限的图象特征：

（1）、1α>，图象过点()00，，()11，，下凸递增，如3y x =。 （2）、01α<<，图象过点()00，，()11，，上凸递增，如1

2

y x =。

（3）、0α<，图象过点()11，，下凸递减，且向两坐标轴无限逼近，如1

y x -=。

十三、常见的幂函数的性质

（1）、所有的幂函数在()0+∞，上都有定义，并且图象都通过点()11，； （2）、若0α>，则幂函数的图象过原点，并且在区间[)0+∞，上为增函数； （3）、若0α<，则幂函数图象在区间()0+∞，

上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋向于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；

（4）、当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数。

十四、函数零点的概念

对于函数()y f x =，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()y f x =的零点。 由函数零点的概念可知，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标。

十五、函数零点的判定（存在性定理）

一般地，如果函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间()a b ，内有零点，即存在()c a b ∈，，使

得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。

以上结论称为零点存在性定理，它是判断函数()y f x =的零点是否存在的方法。

十六、二分法

一般地，对于图象在区间[]a b ，上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而