圆周运动临界问题
第五讲：圆周运动临界问题
第五讲：圆周运动临界问题物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态.1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F m＝m v2 r，静摩擦力的方向一定指向圆心．(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．例、如图所示，质量相等的A、B物体置于粗糙的圆盘上，圆盘的摩擦因数为μ，A、B通过轻绳相连，随圆盘一起做圆周运动且转动的角速度ω由0逐渐增大，A的转动半径为r，B的转动半径为2r，重力加速度为g，分析：①A、B滑动的临界角速度大小；①此时若A、B间轻绳被拉断，分析A、B的运动情况.【解析】①方法一：整体法：2μmg=mrω2+m·2r·ω2方法二：等效质点法：质心在AB的中点处【例题】如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()A.A的向心加速度最大B.B和C所受摩擦力大小相等C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑最大静摩擦力提供向心力：2μmg =2m·32r·ω2，故临界角速度：ω=μg 3r. ①绳断瞬间：A 的向心力小于最大静摩擦力，故仍做圆周运动；B 的向心力大于最大静摩擦力，B 做离心运动.2．与弹力有关的临界极值问题(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．例、如图所示，用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为F T ，重力加速度为g ，分析：F T 随ω2变化的图像.【解析】情况一：a ≤g tan θ，小球与锥面接触，对小球受力分析，将向心加速度分解到沿绳方向和垂直绳方向.则有：T =m g cos θ+ml sin 2θω2，N =mg sin θ－12ml sin2θω2情况二：a >g tan θ，小球离开锥面，绳力T =mlω2 故T 与ω2的函数图像如图所示.【例题】一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O 的上方h 处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m 的小球B ，绳长AB ＝l >h ，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g )( )A.12πg hB.πghC.12πg l针对训练题型1：摩擦力有关的临界问题1．如图，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g 取10m/s2）（多选）2．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（）A．当ω＜时，绳子没有弹力B．当ω＞时，A、B仍相对于转盘静止C．ω在＜ω＜范围内时，B所受摩擦力大小不变D．ω在0＜ω＜范围内增大时，A所受摩擦力大小先不变后增大（多选）3．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（）A．此时绳子张力为3μmgB．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外C．此时圆盘的角速度为D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动4．如图所示，表面粗糙的水平圆盘上叠放着质量相等的两物块A、B，两物块到圆心O的距离r＝0.2m，圆盘绕圆心旋转的角速度ω缓慢增加，两物块相对圆盘静止可看成质点．已知物块A与B间的动摩擦因数μ1＝0.2，物块B与圆盘间的动摩擦因数μ2＝0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（）A．根据f＝μF N可知，B对A的摩擦力大小始终等于圆盘对B的摩擦力大小B．圆盘对B的摩擦力大小始终等于B对A的摩擦力大小的2倍C．圆盘旋转的角速度最大值ωmax＝rad/sD．如果增加物体A、B的质量，圆盘旋转的角速度最大值增大（多选）5．如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块，B物块用长为0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计。
圆周运动——临界问题
mg
F1
此时最低点的速度为：
问：当v2的速度等于0时，杆对球的支持力为多少？
F支=mg
此时最低点的速度为：
结论：使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放置的管型轨道，其半径为R，管内有一质量为m的小球有做圆周运动，小球的直径刚好略小于管的内径。
四、圆周运动的周期性 利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。
例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（ ） A.小球过最高点时速度为零 B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m C.小球过最高点时绳对小的拉力mg D.小球过最高点时速度大小为
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求： （1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度； （2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
思考：在最高点时，什么时候外管壁对小球有压力，什么时候内管壁对小球有支持力什么时候内外管壁都没有压力？小球在最低点的速度v至少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？
圆周运动的临界问题
汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向
心力是由摩擦力提供的，A错误； 汽车转弯的速度为 20 m/s 时，根据 Fn＝mvR2，得所需的向心力为 1.0×104 N，没有超过最大静摩擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C 错误； 汽车安全转弯时的最大向心加速度为 am＝Fmf＝7.0 m/s2，D 正确.
ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
√B.小物体受到的摩擦力可能背离圆心 √C.若小物体与盘面间的动摩擦因数为 23，则 ω 的最大值是 1.0 rad/s
D.若小物体与盘面间的动摩擦因数为 23，则 ω 的最大值是 3 rad/s
当物体在最高点时，也可能受到重力、支持力与 摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面 向上(即背离圆心)，也可能沿斜面向下(即指向圆 心)，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受 到的摩擦力越小，故A错误，B正确； 当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时 小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向 圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN＝mgcos 30°， 摩擦力Ff＝μFN＝μmgcos 30°，又μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R，解 得ω＝1.0 rad/s，故C正确，D错误.
例2 (多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在 水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘 间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从 静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大 静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是
竖直面内圆周运动的临界问题
圆周运动中的临界问题
（当 v rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件： v rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
如图所示，固定在竖直平点为轨道最高点，DB为竖
特点
在最高点时，没有物体支 撑，只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉 力，又能产生支持力
圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动 ①轻绳模型 ：
能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0，小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
m gmR 2 v临界 Rg
轻绳模型
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没 有力的作用：
B、的压力 D、24N的压力
例3：长L＝，质量可以忽略的的杆，其下端
固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小 球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过 最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m／s时:
②当A的速率v2＝4m／s时:
变式训练
.一轻杆下端固定一质量为M的小球,上端连在轴 上,并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻 力，在最低点给小球水平速度v0时,刚好能到达最 高点,若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大,
2
双体转动模型
如图所示，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直 面内转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的 小球A和B，球心到轴O的距离分别为，。已知 A球转到最低点时速度为vA=4m/s，问此时A、B 球对杆的作用力的大小和方向？
B
vB
vA
A
谢谢观赏
N
fA AB mg
变式训练
圆周运动中的临界问题
3 rad/s 1.0 rad/s
0.5 rad/s
• 在质量为M的电动机的飞轮上，固定 着一个质量为m的重物，重物到转轴 的距离为r，如图所示，为了使放在地 面上的电动机不会跳起，电动机飞轮 的角速度不能超过( )
A． C．
M m g mr M m g mr
B． D． Mg
mr
M m g mr
m R O
v0 N
M
如图所示，质量为m的物体随水平传送带 一起匀速运动,A为传送带的终端皮带轮， 皮带轮半径为r，要使物体通过终端时， 能水平抛出，皮带轮的转速至少为：（ ）
A
如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固 定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴 距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静 止。物体与盘面间的动摩擦因数为 /2（设最 大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的 夹角为30°，g取10m/s2。则ω的最大值是 A 5 rad/s B C D
gr
N=0
v2 mg m r
v gr
在最高点时速 度应不小于
gr
V>=0 F向>=0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn V>=0 F向>=0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
在最高点速度 应大于等于0 在最高点速度 应大于等于0
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动 的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同， 所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
3.如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径 为R，顶部有一个入口，在的正下方 处 有一个出口，一质量为 m的小球沿切线 方向的水平槽射入圆筒内，要使小球从 B处飞出，小球射入入口的速度 满足什 么条件? 在运动过程中球对筒的压力 多大？
圆周运动的临界问题-高考物理复习
力提供向心力，有μmg＝mω2lsin θ，解得 ω＝ 4gl，可得
当 ω≤ 4gl时绳子无张力，ω> 4gl时绳子有张力，故 A、B 正确；圆台对木箱恰好无支持力时，有 mgtan θ＝mω2lsin θ，
解得 ω＝ 53gl ，即当 ω≥ 故 C 正确，D 错误。
53gl 时，圆台对木箱无支持力，
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研透核心考点
2.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律 方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛 顿第三定律求出压力。
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研透核心考点
2.(2024·北京丰台高三期中)如图5甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做 圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点 时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的 一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的
0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在
竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确
的是( D )
A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2 m/s
图3
B.当小球在最高点的速度为 4 m/s 时，轻绳拉力为 15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为 45 N，小球的最大速度不能超过 4 2 m/s
目录
研透核心考点
1.(多选)如图2所示，在水平圆台的转轴上的O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l， 细绳的一端连接一个小木箱，木箱里坐着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹 角为θ＝53°，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊的总质量为m，木箱 与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8， cos 53°＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水
圆周运动临界问题
圆周运动的临界问题通常涉及到物体在竖直平面内做变速圆周运动的情况，如轻绳模型过最高点或最低点的情况，以及物体通过其他特殊点的情况。
在这些情况下，临界状态通常是由于圆周运动的向心力和离心力的平衡状态被打破所导致的。
以轻绳模型过最高点为例，当物体通过最高点时，轻绳对物体的拉力与物体的重力相等，即T = mg。
当拉力大于或小于重力时，物体将处于超重或失重状态，并可能出现临界情况。
在这种情况下，可以通过牛顿第二定律和向心力公式来求解物体的运动状态。
在求解时，首先根据题意确定物体通过最高点时的受力情况，然后根据牛顿第二定律列式，最后根据向心力公式求解出物体在最高点时的速度。
根据速度的大小，可以判断出物体是否处于临界状态，并求出相应的临界条件。
需要注意的是，在圆周运动的临界问题中，物体的运动状态可能会发生突变，因此需要特别注意物体的加速度和速度的变化情况。
此外，在求解临界条件时，需要将物体的运动状态与受力情况结合起来考虑，并灵活运用向心力和牛顿第二定律进行求解。
圆周运动中的临界问题
三、解决圆周运动中临界问题的一般方法
1、对物体进行受力分析 2、找到其中可以变化的力以及它的临界值 3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值 4、用向心力公式求出运ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学量（线速度、角速度、周期、
半径等）的临界值
四、实例分析
例1：如图，在质量为M的电动机的飞轮上，固定着一个 质量为m的重物（m的体积和大小可忽略），重物m到飞 轮中心距离为R，飞轮匀速转动时，为了使电动机的底 座不离开地面，转动的角速度ω最大为多少？
滑水平面上。 （1）当小球以ω= （2）当小球以ω=
g 做圆锥摆运动时，绳子张力多大？桌面支持力多大？ L
做圆周运动时，绳子张力多大？桌面受到的压力多大？ 4g
L
θ
四、实例分析
例5： 如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两
端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问： （1）球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧。 （2）当角速度为3 rad／s时，上、下两绳拉力分别为多大？
二、水平面内的圆周运动
O
A
O’
水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转 轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，物 块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求 转盘转动的最大角速度是多大？
物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ ，圆筒的半 径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少 为多少？
提供的向心力的临界值决定了圆周运动角速度的临界值
物例（体42：）与如当圆图角筒，速壁长度的为为动L3摩的ra擦绳d／因子s数，时为下，μ端上，连、圆着下筒质两的量绳半为拉径m力为的分R小别，球为若，（多要上大物2端？）体接不于杆滑天球下花，板模圆上型筒，的当中角把：速绳度子F至拉可少直正为时多，可少绳负？与竖直方F向供夹可角为θ=6任0°意。 值
圆周运动的临界问题
解：在最高点F向=G+T, 即G+T=mv2/r
T=mv2/r-mg≥0
小球经过最高点的速度：v gr
线或绳
讨论：
①、当 v gr 时，细绳对小球没有拉力作用。向心
力只由小球所受重力提供。
②、如果 v＞ gr ，轻绳对小球存在拉力。
③、如果 v＜ gr ，小球无法到达圆周的最高点
练习：如图，在“水流星”表演中，绳长为 1m，水桶的质量为2kg,若水桶通过最高点的 速度为4m/s，求此时绳受到的拉力大小。
变式训练2：如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其
轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端 拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆 锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
⑴当v＝ gl 6
时，求绳对物体的拉力；
练习：长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端 固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A 绕O点做圆周运动,在A通过最高点时，试讨论在下列 两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m/s时 ②当A的速率v2＝4m/s时
A
L
O
小结：
一．水平面内的圆周运动的临界问题
处理这类问题的关键是分析出静摩擦力的变化，从 而结合其他力分析出指向圆心的合外力的变化，以 确定圆周运动的其他物理量的变化范围。
mgt0 am n ω 1 2L 3s0 i3n00
B
30 0
45 0
C
将已知代入解得ω1＝2.4 rad/s
②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC
增大。设角速度达到ω2时，TAC=0，则③ω＝3 rad／s，此时两绳拉
物理-2.3.3 圆周运动中的临界问题
例2.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大
静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分 别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确
(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角α＝60°，则小球的角速度ω′为多 大？
【练习】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对 称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴距离r＝0.1 m处有一质 量为0.1 kg的小物体恰好能与圆盘始终保持相对静止．物体与盘 面间的动摩擦因数为0.8(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面 与水平面的夹角为37°(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6)，求：
B．只有A仍随圆盘一起转动，不会发生滑动
C．两物体均沿半径方向滑动，A靠近圆心、B远离圆心
D．两物体均沿半径方向滑动，A、B都远离圆心
分析过程
【练习】如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A 放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量 也为m.若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，则转盘转动的角速度ω在什么范围内， 才能使物体A随转盘转动而不滑动？(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加 速度为g)
(1)圆盘转动的角速度ω的大小； (2)小物体运动到最高点时受到的摩擦力．
所需向心力恰好只由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω12
解得：ω1＝
μg r
(2)如图乙所示，将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度ω2＝
专题 圆周运动临界问题
专题 圆周运动的临界问题一．水平转台上与静摩擦力有关的临界问题在转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化。
关键：（1）找出与最大静摩擦力对应的临界条件 （2）牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变1．单个物体做圆周运动【例1】如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。
物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。
求：⑴当转盘角速度ω1＝μg 2r 时，细绳的拉力T 1 ⑵当转盘角速度ω2＝3μg 2r时，细绳的拉力T 22．绳子连接两个物体在圆心的一侧做圆周运动【例2】一圆盘可以绕其竖直轴在图所示水平面内转动，A 、B 物体质量均为m ，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L 的轻绳连在一起。
若将A 放在距轴心为L 的位置，A 、B 之间连线刚好沿半径方向被拉直，随着圆盘角速度ω的增加，摩擦力或绳子拉力会出现不同的状态，（两物体均看作质点）求：（1）ω1＝Lg 3μ时，细绳的拉力T 1和A 所受的摩擦力f 1（2）ω1＝Lg 53μ时，细绳的拉力T 2和A 所受的摩擦力f 23.绳子连接两个物体分别在圆心的两侧做圆周运动【例3】(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B ，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A ＝r ，R B ＝2r ，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )A ．此时绳子张力为3μmgB ．此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆内C ．此时圆盘的角速度为2μg rD ．此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动【针对训练1】如图所示，水平转台上的小物体A 、B 通过轻绳连接，转台静止时绳中无拉力，A 、B 的质量分别为m 、2m ，A 、B 与转台间的动摩擦因数均为μ， A 、B 离转台中心的距离分别为1.5r 、r ，当两物体随转台一起匀速转动时，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（ ）A ．绳中无拉力时，A 、B 物体受到的摩擦力大小相等B ．当绳中有拉力时，转台转动的角速度应大于√μg rC ．若转台转动的角速度为√6μg r ，则A 、B 一起相对转台向B 离心的方向滑动D ．物体A 所受的摩擦力方向一定指向圆心【针对训练2】（多选）如图所示，圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动。
6.4圆周运动的临界问题人教版高中物理必修二PPT课件
（3）水平面内圆周运动临界问题的分析技巧
①在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω 变化时，物体有远
离或向着圆心运动的趋势（半径有变化）。这时要根据物体的受 力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别 是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
最高点：T mg m 条件是：FT＝0。
R 当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；
①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；
小球恰好过最高点的条件：T 0, v gr ②确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些0接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
（1）在最高点水不流出的最小速率为 6 m/s． （2）水对桶底的压力为2.5N．
如图所示，一质量为m的小球，用长为L轻杆固定住，使其在竖直面 内作圆周运动.(1)若小球恰好能通过最高点，则小球在最高点是多少？ 小球的受力情况如何？(2)若小球在最低点受到杆子的拉力为3mg，则小 球在最低点的速度是多少？
③当 v＝ gr时，FN＝0 ，mg＝mvr2
④当 v＞ gr时，FN＋mg＝mvr2，FN 指向圆心并随 v 的增大而增大
(2)最低点： F拉1-mg
m
v12 R
F拉 1
mg
m
v12 R
物理情景
细绳拉着小球 在竖直平面内
运动
小球在竖直放 置的光滑圆环
内侧运动
小球固定在轻 杆上在竖直面
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题的分析方法:首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值． 一、竖直面内圆周运动的临界问题(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界=（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力 注意1能过最高点的条件：v ≥，当v ＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．2不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 【例题1】如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤，则有关小球能够上升到最大高度（距离底部）的说法中正确的是（ ）A、一定可以表示为 B 、可能为 C 、可能为R D 、可能为R答案：BC【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动， 因为桥面不能对汽车产生拉力．【例5】如图所示，赛车在水平赛道上作900转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r1和r2，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ．试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为v m。
转弯时，车做圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小．为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到v m。
圆周运动中的临界问题
(1)不滑动
质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图甲、乙所
示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速
度也达到最大，即Ffm＝m
vm2 r
，解得vm＝m
Ffm r m
。
• 这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度。
圆周运动中的临界问题
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(2)绳子被拉断
创新微课 现在开始
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
当物体从某种特性变化为另一 种特性时，发生质的飞跃的转折状 态，通常叫做临界状态，出现临界 状态时，即可理解为“恰好出 现”，也可理解为“恰好不出现”
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圆周运动中的临界问题
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1．水平面内圆周运动的临界问题
圆周运动中的临界问题
• 解析：设物体M和水平面保持相对静止，当ω具有最 小值时，M有向圆心运动的趋势。所以M受到的静摩 擦力方向沿半径向外，且等于最大静摩擦力，隔离 M分析受力有
• T－fm＝Mω2r，又T＝mg • 0．3×10－2＝0.6ω×0.2，ω1＝2.9rad/s • 当ω具有最大值，M有离开圆心趋势。M受的最大静
的来源。
圆周运动中的临界问题
用长L＝0.6m的绳系着装有m＝0.5kg水的小桶，在竖直平面内做 圆周运动，成为“水流星”。g＝10m/s2。求：
(1)最高点水不流出的最小速度为多少？ (2)若过最高点时速度为3m/s，此时水对桶底的压力多大？
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圆周运动中的临界问题
小
结
处理临界问题的解题步骤
摩擦力2N、指向圆心，隔离M受力分析有
• T＋fm＝Mω2r • 又T＝mg,0.3×10＋2＝0.6ω×0.2，ω2＝6.5rad/s • 所以ω的范围是2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s。
圆周运动的临界问题
圆周运动的临界问题临界问题是高考考查的热点，特别是圆周运动中的临界问题，知识覆盖面广，题型多样，并且与生活实际息息相关，是同学们必须重点掌握的知识．1.圆周运动中的临界问题的分析方法首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．2.竖直平面内作圆周运动的临界问题（1）绳模型如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点。
①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=m v2/R→v临界=Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）②能过最高点的条件：v≥Rg，当v＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力（2）杆模型如图，球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：①当v＝0时，N＝mg（N为支持力）②当0＜v＜Rg时，N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力．③当v=Rg时，N＝0④当v＞Rg时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N为拉力，方向指向圆心）注意：管壁支撑情况与杆一样。
杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．（3）拱桥模型如图所示，此模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v=rg 时，F N=0，物体将飞离最高点做平抛运动。
若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s= 2R。
例1长度为L＝0.5 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是 2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到（）A.6.0N的拉力B.6.0N的压力C.24N的拉力D.24N的压力解析小球在A点的速度大于gL时，杆受到拉力，小于gL时，杆受压力。
v0=gL=10×0.5 m/s＝ 5 m/s由于v＝2.0 m/s＜ 5 m/s，我们知道过最高点时，球对细杆产生压力。
专题七 圆周运动的临界问题
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
条件分析
①绳的临界:张力 ;②接触面滑动的临界: ;③接触面分离的临界: .分析时一般先假设达到临界状态后,再分析结论.
C
A.小球通过最高点时的最小速度 B.小球通过最高点时的最小速度 C.小球在水平线 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线 以上的最高点的速度可以为零，故A、B错误;小球在水平线 以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力 与小球重力在背离圆心方向的分力 的合力提供向心力，即 ，因此外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C正确;小球在水平线 以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D错误.
考向二 “杆-球”模型
例4 如图甲所示，轻杆一端固定在 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为 的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 ，小球在最高点的速度大小为 ，其 图像如图乙所示.则( )
A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为 C. 时，在最高点杆对小球的弹力方向向上D. 时，在最高点杆对小球的弹力大小为
√
√
√
变式2 如图所示，相同的物块 、 用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上.当圆盘绕转轴转动时，物块 、 始终相对圆盘静止.下列关于物块 所受的摩擦力 随圆盘角速度的平方 的变化关系正确的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 角速度慢慢增大，一定是长绳挂着的那个球先离开圆锥筒，选项A正确，B错误；设小球离开圆锥筒后，绳子的拉力为 ，绳子长度为 ，与竖直方向的夹角为 ，由 ， ，联立解得 ，而 ，为小球到圆锥筒顶点的高度，所以两个球都离开圆锥筒后，它们的高度一定相同，选项C正确；而细绳中拉力 ，即两个球都离开圆锥筒时两端绳子的拉力不一定相同，选项D错误.
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题⼀、⽔平⾯内圆周运动的临界问题关于⽔平⾯内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界⼒的问题，具体来说，主要是与绳的拉⼒、弹簧的弹⼒、接触⾯的弹⼒和摩擦⼒有关。
1、与绳的拉⼒有关的临界问题例1 如图1⽰，两绳系⼀质量为kg m 1.0=的⼩球，上⾯绳长m l 2=，两端都拉直时与轴的夹⾓分别为o30与o45，问球的⾓速度在什么范围内，两绳始终张紧，当⾓速度为s rad /3时，上、下两绳拉⼒分别为多⼤？2、因静摩擦⼒存在最值⽽产⽣的临界问题例2 如图2所⽰，细绳⼀端系着质量为kg M 6.0= 的物体，静⽌在⽔平⾯上，另⼀端通过光滑⼩孔吊着质量为kg m 3.0=的物体，M 的中⼼与圆孔距离为m 2.0并知M 与⽔平⾯间的最⼤静摩擦⼒为N 2，现让此平⾯绕中⼼轴匀速转动，问转动的⾓速度ω满⾜什么条件可让m 处于静⽌状态。
（2/10s m g =）3、因接触⾯弹⼒的有⽆⽽产⽣的临界问题⼆、竖直平⾯内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平⾯内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最⾼点C图1图2和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最⾼点如图所⽰，⽤轻绳系⼀⼩球在竖直平⾯内做圆周运动过最⾼点的情况，与⼩球在竖直平⾯内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于⽆⽀撑的类型。
临界条件：假设⼩球到达最⾼点时速度为0v ，此时绳⼦的拉⼒（轨道的弹⼒）刚好等于零，⼩球的重⼒单独提供其做圆周运动的向⼼⼒，即rvm mg 20=，gr v =0，式中的0v 是⼩球过最⾼点的最⼩速度，即过最⾼点的临界速度。
（1）0v v = （刚好到最⾼点，轻绳⽆拉⼒）（2）0v v > （能过最⾼点，且轻绳产⽣拉⼒的作⽤）（3）0v v < （实际上⼩球还没有到最⾼点就已经脱离了轨道）例4、如图4所⽰，⼀根轻绳末端系⼀个质量为kg m 1=的⼩球，绳的长度m l 4.0=，轻绳能够承受的最⼤拉⼒为N F 100max =，现在最低点给⼩球⼀个⽔平初速度，让⼩球以轻绳的⼀端O 为圆⼼在竖直平⾯内做圆周运动，要让⼩球在竖直平⾯内做完整的圆周运动且轻绳不断，⼩球的初速度应满⾜什么条件？（2/10s m g =）2、轻杆模型过最⾼点如图所⽰，轻杆末端固定⼀⼩球在竖直平⾯内做圆周运动过最⾼点的情况，与⼩球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有⽀撑的类型。
专题圆周运动的临界问题课件高一下学期物理人教版必修第二册
细绳能够拉紧的条件为ωB>ωA,即______R_1_________R __2___，
B滑动时,即整体恰好滑动时吗μ1m1g+μ2m2g=m1 ω2R+m2 ω2r
2 g
若m1=m2,μ1=μ2=μ整体滑动临界角速度ω=_____R__ ___r___
g ❶产生拉力的临界角速度为ω1=___2__R _
§6.4.2 圆周运动的临界问题
R
圆周运动的临界问题
1.临界点：物理变化过程中，物理规律或物理现象发生变化的转折点 2.题型简述： 做圆周运动的物体，转速变化时，出现绳子恰好拉直或断裂、接触面产生最大 静摩擦、弹簧或轻杆弹力方向发生变化等，从而出现临界问题。 3.方法突破——步骤： （1）判断临界状态：有“恰好”字眼，表明题中有临界点；
但小球直径略小于管道直径，所以，压力和支持力不能同时产生。 ❶一般位置： 合力不等于向心力，向心力只是半径方向的分力 ❷最高和最低点：重力和弹力方向相同，合力指向圆心，合力等于向心力。
球过最高点时，设轻杆对小球产生的弹力FN方向向上， 由牛顿第二定律得：
故
由此可知：弹力FN的大小和方向随着经最高点时速度v的大小的 变化而变化。
叠加体特点: 1 g
上面物块临界角速度ω1=______R______
若m1=m2,下面物块临界角速度ω2=_______2___2_g_R __-___1_g___
角速度增大的过程中，两物体先后达到最大静摩擦力，不是同时达到，
临界角速度ω0小的__先___滑动
2.细绳拉力提供向心力
例题2、小物块质量为m，放在光滑水平旋转圆台上，在细绳拉力作用下随 圆台一起以角速度ω匀速转动，细绳长度为R,物块可看作质点，细绳拉力 多大？
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圆周运动临界问题用心 爱心 专心 竖直平面内的圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。
一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。
临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。
１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。
（注意：绳对小球只能产生拉力）（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用v · 绳 图va b v用心 爱心 专心 mg =2v m R v 临界Rg（2）小球能过最高点条件：v ≥Rg （当v Rg 生压力）（3）不能过最高点条件：v Rg（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。
）（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg（F 为支持力）（2）当0< v Rg F 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力）（3）当v =Rg 时，F =0（4）当v Rg F 随v 增大而增大，且F >0O 杆 图 b a用心 爱心 专心（F 为拉力）【案例剖析】例1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是 （ ）A ．球过最高点时，速度为零B ．球过最高点时，绳的拉力为mgC ．开始运动时，绳的拉力为2vm L D ．球Lg 解析：开始运动时，由小球受的重力mg 和绳的拉力F 的合力提供向心力，即20vF mg m L -=，2vF m mg L =+，可见C 不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，2v mg m L =，v Lg =A 、B 、C 均不正确。
故选：D 例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）A ．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零B ．球过最高点时，最小速度为RgC ．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反 O 图用心 爱心 专心D ．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力解析：小球用轻杆支持过最高点时，0v =临，故B不正确；当v Rg = F = 0故A 正确。
当0< v Rg 时，mg > F > 0，F 为支持力故D 正确。
当v Rg F >0，F 为拉力，故C 不正确。
故选：A 、D例3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg ，绳长L = 40cm ，求：（１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？（２）桶在最高点速率v = 3m/s 时，水对桶底的压力？解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。
即：20vmg m R ≤，则最小速率00.410v Rg ==⨯m/s = 2m/s（2）水在最高点速率大于v 0 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为F ，由牛顿第二定律有F + mg =2vm R ， F = 2v m R -mg = 6.25N ，由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力F / ＝F = 6.25N ，方向竖直向上。
【知识链接】如图6-11-4所示，地球可以看作一个巨大的拱形图用心 爱心 专心桥，桥面的半径就是地球半径R （约为6400km ）。
地面上有一辆汽车，重量是G = mg ，地面对它的支持力是F 。
汽车沿南北方向行驶，不断加速。
根据上面的分析，汽车速度越大，地面对它的支持力就越小，会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？驾驶员身体各部分之间的压力是多少？他这时可能有什么感觉？（g 取10m/s ２）【目标达成】1．如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O 在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F 可能 （ ） A ．是拉力 B ．是推力C ．等于零D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零O图用心 爱心 专心解析：到最高点临界速度为v Rg =临v v =临界时，F ＝0；当v v >临界时，F 为拉力。
故选：A 、C2．（1999年 全国）如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ） A ．a 处为拉力，b 处为拉力 B ．a 处为拉力，b 处为推力C ．a 处为推力，b 处为拉力D ．a 处为推力，b 处为推力解析：小球到最低点时，向心力向上，此时细杆的作用力与小球的重力的合力提供向心力，细杆作用力向上，一定为拉力；当到最高点时，向心力向下，当0v Rg ≤<时，F mg <向，此时为推力，当v Rg >F mg >向，此时为拉力。
故选：A 、B3．长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。
现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v ，则下列叙述正确的是 （ ）A ．v gL O · b图用心 爱心 专心B ．v 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大C ．v 由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大D ．v gL 大解析：这是“杆模型”，小球到最高点速度0v ≥， A 错；由2vF m L =向得，v 增大，F 向增大， B 对；当0< v Lg 时，弹力F 随v 减小而增大（F 为支持力），当v Lg 时，F 随v 增大而增大（F 为拉力）, C 错，D 对。
故选：B 、D4．质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是 （ ）A ．0B ．mgC ．3mgD ．5mg解析：到最高点临界速度为v ，则：2vmg m R =；当速度为2v 时，则：2(2)v F mg m R +=（F 为压力）；由上两式解得：F = 3mg 。
故选：C5．长为L 的细绳一端拴一质量为m 的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为1v 和2v ，细线所受拉力分别用心 爱心 专心 为1F 、2F ，则 （ ）A ．1v 5gLB ．2v = 0C ． 1F = 5mgD ．2F = 0解析：小球恰能通过最高点，细线拉力2F = 0，有22vmg m L =，得2v gL 221211222mv mg L mv =+g ，解得：1v 5gL 211v F mg m L -=，解得16F mg =。
故选：A 、D6．质量可忽略，长为L 的轻棒，末端固定一质量为m 的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v 必须满足的条件为 （ ）A ．v 2gLB ．v 3gL C ．v ≥gL D ．v 5gL 解析：小球到最高点速度1v ≥0，由机械能守恒得：22111222mv mg L mv =+g ，解得：v ≥gL C 7．如图6-11-7所示，一个高为h 的斜面，与半径为R 的圆形轨道平滑地连接在一起。
现有一小球从斜面的顶端无初速地滑下，若要使小球通过圆形轨道的顶端B 而不落下，则斜面的高度h 应为多大？ 解析：小球到达顶端B 速度为v ，则：22vmg m R ≤ 解得：v Rg2122mgh mg R mv =+gh 图B用心 爱心 专心 解得：52h R ≥ 8．如图6-11-8所示，杆长为L ，杆的一端固定一质量为m 的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O 在竖直平面内作圆周运动，求：（1）小球在最高点A 时速度A v 为多大时，才能使杆对小球m 的作用力为零？（2）小球在最高点A 时，杆对小球的作用力F 为拉力和推力时的临界速度是多少？（3）如m = 0.5kg, L = 0.5m, A v = 0.4m/s, 则在最高点A 和最低点B 时, 杆对小球m 的作用力各是多大? 是推力还是拉力? 解析： (1) 若杆和小球之间相互作用力为零，那么小球作圆周运动的向心力由重力mg 提供，2A mv mg L= 解得：A v Lg =(2) 若小球m 在最高点A 时受拉力F ，则21v F mg m L += 解得 1FL v gL Lg m =+>若小球m 在最高点A 时受推力F ，则22v mg F m L -= 解得：2FL v Lg Lg m =-<可见A v Lg 是杆对小球m 的作用力F 在推力和拉力之间突变的临界速度.(3) 杆长L = 0.5m 时，临界速度0.510v Lg ==⨯临m/s =2.2 m/s ，A v = 0.4m/s <v 临,杆对小球A图O A有推力AF 。
由2A A v mg F mL-= 解得： 2A A v F mg mL=-＝（20.50.40.5100.5⨯⨯-）N = 4.84N ，由A 到B只有重力做功，机械能守恒，设B 点所处水平面为参考面，则有2211222ABmv mg L mv +=g 解得： 2240.44100.5B A v v gL =+=+⨯⨯，在最低点B ，小球m 受拉力BF ，由2BBv F mg m L -=解得220.5 4.5(0.510)0.5B B v F mg m L ⨯=+=⨯+N = 25.3N【拓展提高】9．如图6-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD ，其A 点与圆心等高，D 点为轨道最高点，DB 为竖直线，AC 为水平线，AE 为水平面，今使小球自A 点正上方某处由静止释放，且从A 点进入 圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D ，则小球在通过D 点后 （ ）A ．会落到水平面AE 上B ．一定会再次落到圆轨道上C ．可能会落到水平面AE 上D ．可能会再次落到圆轨道上解析：小球刚好能过最高点时速度v Rg Bh A C D 图D 后作平抛运动，下落高度为R 时间为t 2R g平位移x = vt 2R >R ，所以，小球一定落在AE 上。