电磁场与电磁波课件之分离变量法

线性组合仍然是方程的解。
位函数 ( x , y )的通解为
( x , y ) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
( A sin k x B
n 1 n n

n
cos k n x)(Cn sinh k n y Dn coshk n y )
(3)
若令 k 2 代替 k 2 ，可得另一形式通解
( ) A cos k B sin k
R( ) C k D k
( , ) ( A cos k B sin k )(C k D k )
通常变量 的变化范围为0 2 ，那么位函数随 的变化一定是以
2 为周期的周期函数。因此分离常数 k 一定是整数，以保证函数的
周期为2。即 n (n 0,1,2,) k

且 0 ，则通解为 B0
( , ) C0 D0 ln ( An cos n Bn sin n )(Cn n Dn n )
n 1
圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：
y

பைடு நூலகம்
Dn 0 (n 1,2,)
nx ny ny 则 ( x , y ) An sin (Cn sinh Dn cosh ) a a a n 1

nx ny AnCn sin sinh a a n 1

An sin
n 1

nx ny sinh a a
z 方向为无限长，槽
y
b
0 x
内空间的电位函数满足直角坐标系中
的二维拉普拉斯方程。
2 0
0
U0
（矩形槽内）
( x ,0) 0
(0 x a)
( x , b) 0
(0 , y) 0 x (a , y ) U 0
(0 x a)
不同的形式。
当 k = 0 时，二常微分方程的解为
X ( x) A0 x B0
Y ( y) C0 y D0 (1)
( x , y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
当 k ≠ 0 时，二常微分方程的解为
X ( x) A sin kx B cos kx Y ( y) C sinh ky D coshky
1 d 2 dR 1 d d m2 r sin 2 0 R dr dr sin d d sin
可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与 r 无关。因此，与前
同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令
d 2 X ( x) k 2 X ( x) 0 dx2
d 2Y ( y ) k 2Y ( y ) 0 dy2
由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方程式被简化为二个一
维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方 程又具有同一结构，因此它们解也一定具有相同的形式。 式中 k 称为分离常数，它的取值不同，常微分方程的解也有
双曲函 数
( x , y) ( A sin kx B cos kx)(C sinh ky D coshky)
式中 A, B, C, D 为待定常数。
(2)
为满足给定的边界条件，分离变量k 通常取一系列特定的值 kn （n=1，2，┄）。
含变量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的
§3.6
基本思想:
分 离 变 量 法
①把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未 知函数仅是一个坐标变量的函数。 ②代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个 常微分方程。 ③分别求解这些常微分方程，并利用场域及边界条件确定其中 的待定常数，从而得到位函数的解。
方
应
式：所求场域的边界面应与某一正交坐标系的坐标面重合。
n 1
0 A0 a(C0 y D0 ) An sin kn a(Cn sinh kn y Dn coshk n y )
0 A0 a(C0 y D0 ) An sin kn a(Cn sinh kn y Dn coshk n y )
n 1

为使上式对 y 在 0 b内成立，则
令
(r , , ) R(r ) ( )( )
代入上式，得
sin 2 d 2 dR sin d d 1 d 2 0 r sin 2 R dr dr d d d
与前同理， 的解应为
( ) A sin m B cos m
( y 0 , 0 x a ) 0
( y a ,0 xa ) 100 sin x a
( x a , 0 y a ) 0
例
由四块沿 z 轴方向放置的金属板围成的矩形长槽，四条棱线处
有无限小间隙以保证相互绝缘。试求槽内空间的电位分布。
解: 设金属板沿
a E0
x
电场线
等位面
3. 球坐标系中的分离变量法
具有球面边界的问题，可采用球坐标系中的分离变量法求解。 电位微分方程在球坐标系中的展开式为
1 2 1 1 2 0 r 2 sin 2 2 2 2 r sin r r r r sin
2
令其解为 代入上式求得
( , ) R( )( )
d dR 1 d 2 d d 2 0 R d
上式中第二项仅为变量 的函数，而第一项与 无关，因此二项均 应为常数，令
d dR 1 d 2 k2 R d d d 2
(0 y b) (0 x a)
(0 x a )
(a , y ) 0
( x , 0) 0
( x , b) U 0
由于槽内电位
x 0
0 和 x a 0 ，则其通解形式为
( x , y ) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
n 1
An sin
n 1

nx ny ny (Cn sinh Dn cosh ) a a a
( x , 0) 0
n 1
(0 x a) 代入上式，得
nx a
0 An Dn sin
nx 0 An Dn sin a n 1

为使上式对 x 在0 a内成立，且 An 0 则
例
横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为U 0的金
属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。
试求此导体槽内的电位分布。 解: 导体槽在 z 方向为无限长，槽内 电位满足直角坐标系中的二维拉普拉
b
U0
斯方程。
2 0
（导体槽内D域）
(0 , y) 0
(0 y b)
An AnCn
( x , b) U 0
n 1
(0 x a) 代入上式，得
nx nb sinh a a
U 0 An sin
nx nb sinh a a n 1 nx 为确定常数 An，将 U 0 在区间 (0 , a) 上按 sin 展开为傅里叶级数， a 即 nx U 0 f n sin a n 1 U 0 An sin
为使上式对 y 在 0 b内成立，则 Bn 0 (n 0,1,2,) 则 ( x , y ) A0 x(C0 y D0 ) An sin k n x(Cn sinh k n y Dn coshk n y )
n 1
(a , y ) 0
(0 y b) 代入上式，得
(0 y b)
O
0
a
x
(0 y b)
2. 圆柱坐标系中的分离变量法 具有圆柱面边界的问题，可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。 电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 ( , ) 2 2 0
d 2 X ( x) d 2Y ( y ) Y ( x) X ( x) 0 2 2 dx dy
代入上式，得
两边再除以 X(x)Y(y)，得
1 d 2 X ( x) 1 d 2Y ( y ) 0 2 2 X ( x) dx Y ( y ) dy
只与x有 关
只与y有 关
要使上式成立，式中每一项都必须为常数。此常数写成 k 2 。
用：求解二维拉普拉斯方程的边界问题。
1. 直角坐标系中的分离变量法 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系 中的分离变量法。
无源区中电位满足的拉普拉斯方程为
在直角坐标系中的展开式为 令
2 0
2 2 2 0 2 x y
( x, y) X ( x)Y ( y)
A0 0
An sin kn a 0 (n 1,2,)
其中 An不能为零，否则 0，故有 sin k n a 0
得
kn
n a
(n 1,2,)

则 ( x , y ) A0 x(C0 y D0 ) An sin k n x(Cn sinh k n y Dn coshk n y )
( A sin k x B
n 1 n n

n
cos k n x)(Cn sinh k n y Dn coshk n y )
(3)
(0 , y) 0
(0 y b) 代入上式，得
n 1
0 B0 (C0 y D0 ) Bn (Cn sinh k n y Dn coshk n y )
1 d 2 dR r n(n 1) R dr dr
d2R dR r 2r n(n 1) R 0 2 dr dr
2
式中n 为整数。这是尤拉方程，其通解为
R(r ) Cr n D r n 1
导体槽内电位分布情况为
例
一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位
为 100 sin x ，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电 a 位的分布。 解：选定直角坐标系
2 2 2 2 2 0 （D域内） x y ( x 0 , 0 y a ) 0
( x , y ) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
( A sinh k x B
n 1 n n

n
coshk n x)(Cn sin k n y Dn cos k n y )
(4)
解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件。
解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。
即
1 d dR 2 k R 0 d dr
d 2 k 2 0 d 2
式中k为分离常数
k 0
( ) A0 B0
R( ) C0 D0 ln
( , ) ( A0 B0 )(C0 D0 ln )
k 0

4U 0 n 1,3,5, 2 a nx n f n U 0 sin dx 0 a a 0 n 2,4,6,
4U 0 n 1,3,5, fn nb An nb n sinh a sinh 0 n 2,4,6, a 导体槽内电位函数为 4U 0 1 nx ny ( x , y) sin sinh n 1,3, n sinh nb a a a