立体几何(空间几何体的面积、体积)

立体几何

第二讲：空间几何体的面积、体积

一．基础知识

1．多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

3.柱、锥、台、球的表面积和体积

二．经典案例

案例一：

①(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的

截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()

A．122π B．12π C．82π D．10π

解析设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝22，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.

②(2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何

体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )

A ．90π

B ．63π

C ．42π

D ．36π

解析 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．

将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32

×6×12＝63π.故选B.

③(2019·衡水中学调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.6

B.4

C.223

D.20

3

解析 由三视图知该几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱(如图)，且挖去的三棱柱的高为1，底面是边长为2

的等腰直角三角形，故几何体体积V ＝23－1

2×2×2×1＝6.

④(2018·烟台模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.163

B.203

C.169

D.209

解析 由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为2的正方形为底面，高为2的四棱锥，其体积为V 1＝13×2×2×2＝83；右侧为一个直三棱柱，其底面如俯视图所示，高为2，其体积为V 2＝1

2×2×2×2＝4， 所以该几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝83＋4＝20

3，故选B.

⑤某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为________．

解析如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的

底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为

3 2，

所以该组合体的体积V＝1

3×

1

2×(2＋1)×

3

2×1＋

1

4×

4

3π×13＝

3

4＋

π

3.

案例二：

①(2019·长春东北师大附中模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为()

A．34π B ．25π C．41π D．50π

解析根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是4，3，3的长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以有R＝

42＋32＋32

2＝34

2，从而求得其表面积为S＝4πR2＝34π，故选A.

②已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，

AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172

B ．210 C.13

2

D ．310

解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .

又AM ＝12BC ＝52，OM ＝1

2AA 1＝6， 所以球O 的半径R ＝OA ＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎫522＋62＝132.

③已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.

若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________.

解析 如图，连接OA ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，所以OA ⊥SC ，OB ⊥SC .

因为平面SAC ⊥平面SBC ，平面SAC ∩平面SBC ＝SC ，且OA 平面SAC ，所以OA ⊥平面SBC .

设球的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， 所以V A －SBC ＝13×S △SBC ×OA ＝13×12×2r ×r ×r ＝13r 3

， 所以13r 3

＝9

r ＝3，所以球的表面积为4πr 2＝36π.

④(2019·昆明诊断)如图所示的三棱锥D －ABC 的四个顶点均在球O 的球面上， △ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，AB ＝3，AC ＝3，

BC ＝CD ＝BD ＝23，则球O 的表面积为( ) A.4π B.12π C.16π D.36π

解析如图所示，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB为直角，即△ABC外接圆的圆心为BC的中点O′.△ABC和△DBC 所在的平面互相垂直，则球心在过△DBC的圆面上，即△DBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径R＝2，球的表面积为S＝4πR2＝16π.