7-2可分离变量的微分方程-PPT课件

2
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
2 y x 1 1
d y x y 练习: 求方程 e 的通解 . d x y x 解法 1 分离变量 e d y e d x
积分 即
y x e e C x y e e C u 1 y 令 u x y ,则
衰变规律
t
例4. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系. dv mg kv 解: 根据牛顿第二定律列方程 m dt 初始条件为 v t 0 0 dv dt 对方程分离变量, 然后积分 : mgkv m 1 t 得 ln ( m g k v ) C ( 此处 m g k v 0 ) k m 1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln (m g) mg k k v k t m g 代入上式后化简, 得特解 v ( 1e m ) k
例3. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 M 0 , 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. d M M( 0 ) d t 解: 根据题意, 有 M M t 0 0 (初始条件) dM 对方程分离变量, 然后积分: ( ) d t M t M 得 ln M t ln C , C e 即 M M0 利用初始条件, 得 CM 0 t 故所求铀的变化规律为 M M e . 0 O
解法 2
故有
u u 1 e ( 1eu)eu d u 积分 1eu xC 1eu du u u ln ( 1 e ) x C x y ( C 为任意常数 ) ( 1 e ) y C 所求通解: ln
练习: P304/1(5) (10) 2(4)
一、可分离变量的微分方程
g ( y ) dy f ( x ) dx 可分离变量的微分方程.
4 4 dy 2 2 5 y 5dy 2 x dx , 例如 2 x y dx
解法 设函数g( y)和 f ( x) 是连续的, 分离变量法 g ( y ) dy f ( x ) dx


三、小结
分离变量法步骤: 1、分离变量; 2、两端积分-------隐式通解.
G ( y ) F ( x ) g ( y ) f ( x ) 设 函 数 和 是 依 次 为 和 的 原 函
为微分方程的隐式通解. 数 ,G ( y ) F ( x ) C
二、典型例题
dy 2xy 的通解 . 例1 求解微分方程 dx dy 解 分离变量 2 xdx , y dy , 两端积分 2xdx y
2 ln y x C 1
yCe为所求通解 .
Hale Waihona Puke Baidu
2 x
例2. 解初值问题
x y d x ( x 1 ) d y 0 y ( 0 ) 1
2
dy x dx 解: 分离变量得 2 y 1x
y ln 2 ln C 两边积分得 ln x 1
即
1
y x 1C ( C 为任意常数 )