求曲边梯形的面积详解

1.在分割时，不管采用等分与不等分，结果一样。
• （2）在近似代替时用小区间内任一点处的 函数值影响结果吗 ？
2. 在近似代替时，用小区间内任 一点处的函数值作 为近似值，结果也是一样的。
• （3）总结一般曲边梯形面积的表达式？
归纳概括
一般曲边梯形的面积的表达式
S
n
lim n i1
——刘徽
刘徽的这种研究方法
对你有什么启示?
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-----割圆术
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
——刘徽
刘徽的这种研究方法
对你有什么启示?
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-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
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深入思考
• 通过动画演示我们可以看出，n越大，区间 分的越细，各个结果就越接近真实值。为 此，我们让n无限变大，这就是一个求极限 的过程。
两个结论
• （1）在分割时一定要等分吗？不等分影响 结果吗？
y x2 所围成的平面图形的面积 S？ y
y x2
o
1x
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看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？
y
y
A
A
∟
∟
o
B
x
o
B
Байду номын сангаас
x
不规则的几何图形可以分割成 若干个规则的几何图形来求解
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-----割圆术
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
O 1 2 i 1 i n 11 x
n n nn n
案例探究
2、近似代替(以直代曲）思考3：对每个小曲边梯形
y
如何“以直代曲”？
y=x2
f ( i ) ( i )2 nn
f (i 1) (i 1)2
n
n
f ( i ) ( i )2 nn
O i 1 i
1x
nn
方案. 方案.. 方案… 方案….
ba n
f
i
即时小结
以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：
分割
近似代替
求和
逼近
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
一个案例 两种思想 三个方案 四个步骤
课堂小结
求一个具体曲边梯形的面积 “以直代曲”和“无限逼近”思想 方案一、方案二、方案三 分割、近似代替、求和、求极限
• 有位成功人士曾说过：“做事业的 过程就是在求解一条曲线长度的过 程。每一件实实在在的小事就是组 成事业曲线的直线段。”想想我们 的学习过程、追求理想的过程又何 尝不是这样？希望大家能用微积分 的思想去学习、去做事！
——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线
y x2 所围成的平面图形的面积 S？
思考1：怎样“以直代曲”？
y
能整体以“直”代“曲吗？
思考2：怎样分割最简单？
y x2
o
1x
案例探究
1、分割 把底边[0,1]分成n等份, 在每个分点作底边
曲边梯形的面积
情境创设
金门大桥 （美国）
概念形成 曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线
y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫
做曲边梯形。
y
①、只有一边是曲线 ②、其他三边是特殊直线
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线
深入思考
怎样使各个结果更接近真实值？
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
的垂线, 这样[0,1]区间
分成n个小区间：0,
1 n
,

1 n
,
2 n
,

n
1 n
,1
记第i个区间为 i
1, n
i n
i
1,2,
,
n
y
长度: x i i 1 1
y=x2
nn n
对应的小曲边梯形面积为△Si
Sn S1 S2 Si Sn