第六节 函数的几种简单性质

都是周期函数。
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第一章
函数
正弦和余弦的图形如下
y sin x
4 2
1
y
y cos x
2 4
O
x
1
y sin x 周期是 2 y cos x 周期是 2
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ห้องสมุดไป่ตู้
第一章
函数
正切和余切的图形
y cot x
2
y
O
2
x
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第一章
函数
1 讨论其奇偶性 例3 设函数 y f ( x ) ， x 1 1 f ( x) 解 f ( x ) x x y
因此，函数为奇函数。 如图所示
O
x
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第一章
函数
3
例4 设函数 f ( x ) x 1，讨论其奇偶性
y
y tan x

3 2
2
O

2

3 2
x
y tan x 周期是 y cot x 周期是
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第一章
函数
（三）函数的单调增减性
【定义1.12】设函数 y f ( x ) 对区间(a , b ) 内的任意两点 x1 和 x2 ： 当 x1 x2 时，有 f ( x1 ) f ( x2 )， 则称此函数 在区间 (a , b ) 内是单调增加的（或称单调增）； 当 x1 x2 时，有 f ( x1 ) f ( x2 )， 则称此函数 在区间 (a , b ) 内是单调减少的（或称单调减）。
y y f ( x)
x
O
P ( x , f ( x ))
O
P ( x , f ( x ))
x x
x
x
x
P ( x , f ( x ))

偶函数
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奇函数
第一章
函数
奇函数 奇函数＝奇函数 偶函数 偶函数＝偶函数 奇函数 ( 0) 偶函数 ( 0) ＝非奇非偶函数 奇函数 奇函数＝偶函数 偶函数 偶函数＝偶函数 奇函数 偶函数＝奇函数
§1.6 函数的几种简单性质
（一）函数的奇偶性 （二）函数的周期性 （三）函数的单调性 （四）函数的有界性
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第一章
函数
（一）函数的奇偶性 【定义1.10】设函数 y f ( x ) （1）如果对所有的 x D( f ) ， 有
f ( x ) f ( x ) ， 则称 f ( x ) 为偶函数。
在 ( ,0] 内，若 x1 x2 ， 有 f ( x1 ) f ( x2 ) 即在此区间内，函数单调递减。 在 [0, ) 内，若 x1 x2 ， 有 f ( x1 ) f ( x2 ) 即在此区间内，函数单调递增。 不是单调函数。 因此在 ( , ) 内，
2.函数的周期性
f ( x1 ) f ( x2 ) 增 3.函数的单调性 x1 x2 f ( x ) f ( x ) 减 1 2
4.函数的有界性
f ( x) M
作业 P43 42--49
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第一章
函数
备用题
1.证明狄利克雷（Dirichlet）函数
第一章
函数
2.证明定义在对称区间 ( l , l ) 内的任何函 数 f ( x)， 都可以表示为一个偶函数和一个奇函 数的和的形式。 证 令
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f1 ( x ) ， f2 ( x) 2 2
则 f1 ( x )是偶函数；f 2 ( x ) 是奇函数。 而 f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )
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第一章
函数
例如 函数 y sin x 在 ( , ) 内有界。
恒有 sin x 1 。 因为，对任意的实数 x ，
1 对任意 函数 y 在 (0,2)上无界。因为， x 1 的正数 N ， 只要取实数 x1 , 就有 N 1 f ( x1 ) N , 所以，函数在 (0,2) 上无界。 x1 但函数在 [1, ) 上有界， 因为在此区间上有
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第一章
函数
单调增加函数的图形是沿 x 轴正向逐渐上 升的；单调减少函数的图形是沿 x 轴正向逐渐 下降的。 如图所示
y
y f ( x)
f ( x2 )
y y f ( x)
f ( x1 ) f ( x2 )
O
x1
f ( x1 )
x2
x
O
x1
x2
x
单调增加
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（2）如果对所有的 x D( f ) ， 有
f ( x ) f ( x ) ，则称 f ( x ) 为奇函数。
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第一章
函数
奇偶函数的性质 偶函数的图形关于 y 轴对称 奇函数的图形关于原点对称 如图所示
y
P ( x , f ( x ))
y f ( x)
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第一章
函数
如图所示
y
y 2 x2 1
O
x
一般称
( ,0] 为此函数的单调减区间 [0, )为此函数的单调增区间
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第一章
函数
（四）函数的有界性 【定义1.13】设函数 y f ( x ) 在区间 (a , b ) 也 内有定义（(a , b ) 可以是函数的整个定义域， 若存在正数 M ， 对于 可是定义域的一部分）。 则称函数在 所有的 x (a , b) ， 恒有 f ( x ) M ， ( a , b ) 内有界。否则，称函数在 ( a , b ) 内无界。 无界的定义可叙述为 对任意的正数 N ， 总存在 x1 (a , b) ， 使得 f ( x1 ) N , 称函数在 ( a , b ) 内无界。
1 f ( x) 1 x
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第一章
函数
对函数有界性的讨论，需要注意
函数有界性与讨论的区间有关
函数的界不唯一
函数有界要既有上界又有下界
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第一章
函数
内容小结
f ( x ) f ( x ) 偶函数 1.函数的奇偶性 f ( x ) f ( x ) 奇函数 f ( x a) f ( x)
解
因为
f ( x ) ( x )3 1 x 3 1
f ( x ) f ( x ) , f ( x ) f ( x )
y
1 1
所以函数是非奇非偶函数。
y x3 1
如图所示
O
x
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第一章
函数
（二）函数的周期性 若存在正 【定义1.11】设函数 y f ( x ) ， 常数 a ， 则称此 使得 f ( x ) f ( x a ) 恒成立， 函数为周期函数。 满足这个等式的最小的正数 a， 通常称为函数的周期。 中学已经学过： 正弦函数 y sin x 正切函数 y tan x 余弦函数 y cos x 余切函数 y cot x
1 x Q （有理数） D( x ) 是周期函数。 c 0 x Q （无理数）
证 对任何正有理数 r ， 由于 有理数＋有理数＝有理数 则 f ( x r ) f ( x) 无理数＋有理数＝无理数 但无最小正周期。 即任何正有理数都是其周期，
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单调减少
第一章
函数
例5 解 对任意的 x1 , x2 ，
3 y x 判断函数 的单调性。
3 3 2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 ( x1 x2 )( x12 x1 x2 x2 )
若 x1 x2 ，则 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 即 f ( x1 ) f ( x2 ) 故函数单调递增。 如图所示
f ( x ) g( x )是偶函数。 证毕. 因此，
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第一章
函数
例2
4 2 f ( x ) x 2 x 讨论其奇偶性 设函数 ，
解
f ( x ) ( x ) 2( x )
4
2
x4 2 x2 f ( x)
因此，函数为偶函数。 如图所示
O
y
y x3
x
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第一章
函数
例6 判断函数 y 2 x 2 1 的单调性。 解 对任意的 x1 , x2 ，有
2 2 2 2 f ( x1 ) f ( x2 ) 2 x1 1 (2 x2 1) 2( x1 x2 )
2( x1 x2 )( x1 x2 )
则 x1 x2 ，且 x1 , x2 0, l 由题设得
f ( x1 ) f ( x2 ) ， f ( x1 ) f ( x2 ) ， f ( x1 ) f ( x2 )
故函数在 l ,0 内单调增加。
10/12/2018 9:59 PM
10/12/2018 9:59 PM
证毕.
第一章
函数
3.设函数 f ( x ) 为定义在 l , l 内的奇函数， 若 f ( x ) 在 0, l 内单调增加， 证明 f ( x ) 在 l ,0
内也单调增加。
证 设 x1 , x2 l ,0 ，且 x1 x2
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第一章
函数
g ( x ) 是奇函数， 例1 设 f ( x ) 是奇函数， 证明 f ( x ) g( x ) 是偶函数。
证
令 F ( x ) f ( x ) g( x )
F ( x ) f ( x ) g( x ) f ( x )[ g( x )] f ( x ) g( x ) F ( x )