不定积分,定积分复习题及答案

上海第二工业大学

不定积分、定积分 测验试卷

姓名： 学号： 班级： 成绩：

一、选择题：（每小格3分，共30分）

1、设

sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()

f ax dx a ⎰应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x

+

2、若x

e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ）

（A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -⎧+≥=⎨-+<⎩；（B ）,0

()2,0x x e c x F x e c x -⎧+≥=⎨-++<⎩；

（C ）,0

()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩；（D ）,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩

3、设0

1,0

()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >⎧⎪

===⎨⎪-<⎩

⎰，则（ ）

（A ）()F x 在0x =点不连续；

（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导； （C ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，且满足()()F x f x '=； （D ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=。

4、极限0

2

sin lim

x

x x t tdt

t dt

→⎰⎰

＝（ ）

（A ）－1； （B ）0； （C ）1； （D ）2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。令1()b a

s f x dx =

⎰

，2()()s f b b a =-

31

[()()]()2

s f a f b b a =+-，则（ ）

（A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<

二、填空题：（每小格3分，共30分）

1、设()f x 的一个原函数是2x

e -，则它的一个导函数是___________。

2、设

2

()1,(2)2f x dx f ==⎰

，则1

(2)_____________xf x dx '=⎰。

3、已知()x

x

f e xe -'=，且(1)0f =，则()_________________f x =。 4、函数

1

()(2(0)x

F x dt x =

>⎰

的单调减少区间为________________。

5、由曲线2

y x =与y =

___________。

三、计算题 （第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）

1、计算2

2(1)(1)

x dx x x ++⎰

2、计算2tan x xdx ⎰

3、设1x ≥，求

1

(1)x

t dt --⎰

4、设21,0

(),0

x x x f x e x -⎧+≤=⎨>⎩，求31

(2)f x dx -⎰

5、

1

20ln(1)(2)x dx

x +-⎰ 6、计算

1

+∞

⎰

7、已知曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个拐点，直线12,l l 分别是曲线C 在点

(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。设函数()f x 具有三队连续导数，计算定积分

320

()()x x f x dx '''+⎰

。

四、解答题（本题10分）

设()f x 连续，10

()()x f xt dt ϕ=⎰

，

且0

()

lim x f x A x

→=（A 为常数），求()x ϕ'，并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性。

五、应用题（本题6分）

设曲线方程为(0)x

y e x -=≥，把曲线,x

y e x -=轴、y 轴和直线x ξ=(0)ξ>所围平面图形绕x 轴旋转一周，得一旋转体。（1）旋转体体积()V ξ；（2）求满足1

()lim ()2V a V ξξ→+∞

=的a 值。

六、证明题（6分）

设()f x 在[,]a b 上连续且单调增加，证明：不等式()()2b

b

a

a

a b xf x dx f x dx +≥⎰

⎰。

不定积分、定积分 测验卷 答案

一．选择题：（每小格3分，共30分）

1、（A ）3sin ax C a x

+；

2、（C ）,0

()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩

；

3、（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导；

4、（C ）1；

5、（B ）213s s s <<。

二、填空题：（每小格3分，共30分）

1、一个导函数是2()4x

f x e -'=。

2、

1

3(2)4

xf x dx '=

⎰

。 3、21

()(ln )2

f x x =

。

4、单调减少区间为1(0,)4

。

5、

13

。 三、计算题 （第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）

1、解：222(1)12

()ln 2arctan (1)

1x dx dx x x c x x x x +=+=++++⎰⎰ 2、解：2

2

2

tan (sec 1)tan tan tan 2

x x xdx x x dx xd x xdx x x xdx =-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰

2

tan ln cos 2

x x x x c =+-+

3、解：被积函数1,10

()1,0t t f t t t +-≤<⎧=⎨-≤<+∞

⎩，

当10x -≤<时，原式2

1

1(1)(1)2

x

t dt x -=

+=+⎰； 当0x ≥时，原式02

101(1)(1)1(1)2

x t dt t dt x -=++-=--⎰⎰。

4、解：

23

101

21

1

1

71

(2)()(1)3x t

t f x dx f t dt t dt e dt e

-=----====++=

-⎰

⎰⎰⎰。 5、解：1

11102000ln(1)111

ln(1)()ln(1)(2)22(1)(2)

x dx x d x dx x x x x x +=+=+----+-⎰⎰⎰

101111

ln 2(

)ln 23213

dx x x =-+=-+⎰。