第三讲整 式

a2-b2 (a+b)(a-b)=_______.
(2)完全平方公式
a2±2ab+b2 (a±b)2=_____________.
【即时应用】 -a6 -x6 a 3b 6 1.-a3·a3=___,(-x2)3=____,(ab2)3=______. 4 1 x3 2.x6÷x3=____,( 1 ) 2 _____, (a-3)0=___(a≠3).
【记忆助手】
1.合并同类项
合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样.
2.去、添括号法则
去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号 不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号.
【核心点拨】
1.在幂的运算性质中,指数既可以是数,也可以是式子,底数既可 以是单项式，也可以是多项式. 2.对于含有三个或三个以上的同底数幂相乘,相应法则仍然成立. 3.有时，为了解题的需要，可以逆用幂的运算性质，这样能给解 决问题带来方便. 4.引入零指数和负整数指数后，指数的范围由正整数扩大到整数，
【高手支招】整式运算中平方差公式的推广应用 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2在整式的运算中应用非常广泛， 灵活运用该公式不仅可以提高运算的准确性，还可以提高运算 的速度，所以我们要掌握它的各种变化形式：
(1)(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2;
(2)(-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2;
(D)-6m4n2
【思路点拨】先判断是否是同类项，若是则系数相加减，字母
及其指数不变.
【自主解答】选C.2m2n-3m2n=(2-3)m2n=-m2n.故选C.
【对点训练】
1.(2012·上海中考)在下列代数式中，次数为3的单项式是
( (A)xy2 (C)x3y (B)x3+y3 (D)3xy )
82-1=63=7×9;102-1=99=9×11;„ 用含正整数n的等式表示你所发现的规律为_____. 【解析】观察式子,每个式子中的被减数是偶数的平方,减数都 是1,等号右边是两个连续奇数的乘积，所以用含正整数n的等 式表示其规律为(2n)2-1=(2n-1)×(2n+1). 答案：(2n)2-1=(2n-1)×(2n+1)
特 别 提 醒
1.找单项式的系数一定要注意带符号，若单项式中有π 时，π 不是字母，是系数，如-π xy的系数是-π . 2.求多项式的和或差时注意加括号，在去括号时，注意 各项的符号变化.
【例1】(2011·淄博中考)计算2m2n-3m2n的结果为( (A)-1 (B) 2
3
源自文库
)
(C)-m2n
【对点训练】 4.(2012·湛江中考)下列运算中，正确的是( (A)3a2-a2=2 (C)a3·a6=a9 (B)(a2)3=a5 (D)(2a2)2=2a4 )
【解析】选C.3a2-a2=2a2;(a2)3=a6;(2a2)2=4a4,所以A，B，D错 误.
5.(2011·连云港中考)计算(x＋2)2的结果为x2＋□x＋4，则
此时幂的运算性质仍然成立，但必须注意，当指数是零指数和负
指数时，底数不能为零. 5.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关.
整式的有关概念及加减运算
◆中考指数：★★★☆☆
知 识 点 睛
1.整式加减的三个步骤 (1)有括号的去括号； (2)找同类项 同类项的两个条件：所含字母相同，相同字母的指数相同; (3)合并同类项. 2.整式的加减 整式的加减的实质是合并同类项，如果有括号就先去括号， 然后再合并同类项，计算的最终结果中不含有同类项.
【解析】(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)=(2x2+2x+5x+5)
-(x2+x-3x-3)=x2+9x+8.∴当x=-7时，原式=(-7)2+9×(-7)+8
=-6. 答案：-6
9.(2011·泉州中考)先化简，再求值：(x+1)2+x(1-x),
其中x=-2.
【解析】原式=x2+2x+1+x-x2=3x+1;当x=-2时，原式=3× (-2)+1=-6+1=-5.
2.(2011·达州中考)用同样大小的小圆按如图所示的方式摆图 形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需要3个小圆，第3个图
形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆
下去，则第n个图形需要小圆______个(用含n的代数式表示).
【解析】第1个图形需要小圆的个数是1；第2个图形需要小圆 的个数是3=1+2；第3个图形需要小圆的个数是6=1+2+3；第n个 图形需要小圆的个数是1+2+3+4+„+n 1 n n 1 1 n 2 1 n.
特 别 整式的化简求值一定要注意运算顺序和符号问题，整体 提 代入时要根据整式的结构和已知条件. 醒
【例3】(2011·丽水中考)已知2x－1＝3，求代数式(x－3)2 ＋2x(3＋x)－7的值. 【思路点拨】求x的值 → 化简代数式并代入 → 结果 【自主解答】由2x-1=3得，x=2.
又∵(x-3)2+2x(3+x)-7=x2-6x+9+6x+2x2-7=3x2+2,∴当x=2时，
2
x2-4y2 3.(x+2y)(x-2y)=________. x-2xy+xy2 4.x(1-y)2=__________.
四、整式的混合运算 乘方 乘除 运算顺序：先_____，后______，再______，有括号的先算括 加减 号里面的,同时应注意运算律的运用.
【即时应用】 6x+5 1.(x+3)2+(x+2)(x-2)-2x2=_____. x2-y2 2.(x-y)2+2y(x-y)=_______.
)
【解析】选D.A中不是乘法，不能利用同底数幂的性质解题；B
中，在运用完全平方公式时，应该是三项，还有中间的一项2ab,
此处漏掉;C中是积的乘方，每一个因式都要乘方，2的3次方应
该是8而不是6；利用多项式乘以多项式法则可知，D正确.
整式的化简求值 ◆中考指数：★★★★☆ 知 识 点 睛
整式的化简求值的两个步骤 (1)整式的化简求值通常是先对所求的整式化为最简； (2)再将其中的字母的取值代入，计算数值.但是有时也 会利用分解因式或配方法将已知条件或所求代数式变形， 再进行整体代入，使运算更为简便.
第三讲 整 式
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1.了解：代数式、整式、单项式、多项式的概念.
2.理解：单项式的次数与系数、多项式的次数、同类项的意义.
3.掌握：合并同类项的法则、去括号的法则、幂的运算性质以
及乘法公式. 4.会：整式的混合运算以及化简求值.
一、代数式的初步知识 整式 多项式
2.单项式与多项式
系数 (1)一个单项式中，数字因数叫做单项式的_____，所有字母的
1 特别规定：a0=__(a≠0),a-p=___(a≠0,p是正整数); ap
amn (3)(am)n=___(m，n都是正整数)； a nb n (4)(ab)n=_____(n是正整数);
an (5) ( a ) n _____ (b≠0，n是正整数). bn b
1
2.乘法公式
(1)平方差公式
【即时应用】
4a2 1.a2+3a2=___. 3 2.若2amb3与7a2bn是同类项，则m=__,n=__. 2
a+b+c-a+b+c 2b+2c 3.(a+b+c)-(a-b-c)=_____________=______.
三、整式的乘除运算
1.幂的运算性质 am+n (1)am·an=_____(m，n都是正整数)； am-n (2)am÷an=_____(a≠0,m，n都是正整数，且m>n),
关系.
【规范解答】从行上看，每个图中棋子的行数等于图形的序号 n，而列数比图形的序号多1，即为n+1，所以第n个图案中棋子 的总个数为n(n+1). 答案：n(n+1) 【名师点评】通过对探索规律题的分析和总结，我们可以得到 以下该类型题目的创新点拨和解题启示.
创 探索规律题实质是运用从特殊到一般的数学思想方法寻找 新 规律,一般需要经过观察、比较、归纳、猜想、验证等手 点 段来完成. 拨
2 2 2 1 答案： n 2 1 n(或 1 n(n 1)) 2 2 2
3.(2012·宁波中考)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律 摆放：
解 题 启 示
通常采用如下的方法： (1)从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点以 及它们之间的变化规律； (2)由已知条件合理联想，猜想，通过类比、计算等方法 总结规律； (3)验证所总结规律的正确性.
1.(2012·万宁中考)观察下列各式，探索发现规律：
22-1=3=1×3;42-1=15=3×5;62-1=35=5×7;
(3)(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2-c2;
(4)(a+b+c)(a-b-c)=a2-(b+c)2.
【创新命题】探索规律题 【例】(2011·徐州中考)如图，每个图案都由若干个棋子摆成， 按照此规律，第n个图案中棋子的总个数可用含n的代数式表示 为____.
【解题导引】观察图形，找出变化规律，特别是棋子总数与n的
知 识 点 睛
特 1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 别 2.在进行积的乘方运算时，若底数中含有“-”，应作 提 为底数的系数的符号参与运算. 醒
【例2】(2012·南通中考)计算(-x)2·x3的结果是(
)
(A)x5
(B)-x5
(C)x6
(D)-x6
【思路点拨】乘方 → 同底数幂相乘 → 结果 【自主解答】选A.(-x)2·x3=x2·x3=x2+3=x5.
原式=14.
【对点训练】
7.(2012·扬州中考)已知2a-3b2＝5，则10-2a+3b2的值是_____. 【解析】 10-2a+3b2=10-(2a-3b2)=10-5=5. 答案：5
8.(2011·杭州中考)当x=-7时，代数式
(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值为_____.
， 4x，， 0
a-2b 项式是______.
二、整式的加减运算 相同字母的指数 1.同类项：所含字母相同，并且________________也相同的项. 系数 2.合并同类项的法则：把同类项的_____相加，字母和字母的
指数 ______不变. 3.去括号的法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+” 不改变 去掉，原括号里各项的符号都_______.括号前面是“－”，把 改变 括号和它前面的“－”去掉，原括号里各项的符号都要_____. 去括号 合并同类项 4.整式加减的步骤：(1)_______；(2)___________.
指数和 ________叫做单项式的次数. 次数最高的项 (2)一个多项式中，____________的次数，叫做这个多项式的
次数.
【即时应用】
2 -2 1.单项式-2xy的系数是___，次数是__. 2 2.多项式2x2-7x+3的次数是__.
ab
3.在代数式
ab 5
5 ，-4x，a-2b，0中，单项式是_____________多
“□”中的数为(
(A)-2 (B)2
)
(C)-4 (D)4
【解析】选D.由完全平方公式知，(x＋2)2=x2+2·x·2+22 =x2+4x+4，所以“□”中的数是4.
6.(2010·日照中考)下列等式一定成立的是( (A)a2+a3=a5 (B)(a+b)2=a2+b2 (C)(2ab2)3=6a3b6 (D)(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab
【解析】多项式2x2-3x+5含3个单项式，次数最高项2x2的次数
为2，所以是二次三项式.
答案：二 三
幂的运算与乘法公式 ◆中考指数：★★★★★ 1.幂的运算的四种技巧 (1)幂的乘法转化为指数的加法运算； (2)幂的乘方转化为指数的乘法运算； (3)幂的除法运算转化为指数的减法运算； (4)幂的运算法则既可以正用，也可以逆用. 2.乘法公式的运用 在乘法公式中，a，b既可以是单项式，也可以是多项式.
【解析】选A.单项式的次数为所有字母指数的和.B为多项式， C的次数为4，D的次数为2.
2.(2012·珠海中考)计算-2a2+a2的结果为( (A)-3a (B)-a (C)-3a2 (D)-a2
)
【解析】选D.-2a2+a2=(-2+1)a2=-a2.
3.(2011·湛江中考)多项式2x2-3x+5是_____次_____项式.