第十章 无穷级数 6 泰勒级数

n0
( x 1)n 2n1
2
x
1
3
x
1 1
4
1 4 1
1 x
1
1 ( 4 n0
x 1)n 4
(1)n
n0
( x 1)n 4n1
4
而由第一个式子,有
x 1 1 x (1,3) 2
由第二个式子,有
x 1 1 x (3,5) 4
于是,
f
(x)
n0
(1)n 2
1 ( 2n1
例3
求 f ( x) cos x的泰勒展开式.
解:由例 2 知,
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 x (,).
3! 5!
(2n 1)!
逐项求导,得
cos x 1 x2 x4 (1)n x2n
2! 4!
(2n)!
x (,).
例4
求 f ( x) arctan x 的麦克劳林展开式.
2. 函数能展开成幂级数的充要条件
定理 2: 设函数 f (x)在含有点 x0的某个区间 (a,b) 内有任意阶 的导函数,则
f ( x)在(a,b)内能 展开成泰勒级数
lim
n
Rn
(
x
)
0,
x (a,b)
其中Rn( x)为 f ( x)的泰勒公式的余项. (lagrange)
3. 函数展开成幂级数
1 4n1
)( x
1)n ,
x (1,3).
例6
求级数
1 的和.
n1 n(2n 1)
解:构造幂级数 S( x)
1 x2n1, 收敛域为 1,1.
n1 n(2n 1)
1 S(1).
n1 n(2n 1)
S( x)
n1
x2n n
y x2
n1
yn n
S1( y)
S1( y)
n1
y n1
方法一:直接展开法(默认麦克劳林级数)
(1) 求出 f ( x)在 x 0点的各阶导数 f (n) (0);
(2) 作形式幂级数
f (n)(0) xn f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
n0 n!
2
n!
(3) 确定该级数的收敛半径 R ,确定收敛域;wenku.baidu.com
(4) 验证在收敛域内 则在收敛域内,有
lim
n
Rn
(
x
)
0.
f ( x) f (n)(0) xn . n0 n!
例1
求 f ( x) e x 的泰勒展开式.
解:如前面步骤. f (n)( x) e x f (n)(0) 1.
则 f (x)的泰勒级数为
1 xn 1 x 1 x2 1 xn
若存在,系数是多少 ? 级数表示式唯一吗 ?
1. Taylor级数的概念
幂级数展开的唯一性
定理 1:
设级数 an( x x0 )n在区间( x0 R, x0 R)内收敛于f ( x),
n0
即
f ( x) an( x x0 )n
n0
那么,该幂级数的系数 an与函数 f ( x)有如下关系:
解:由于(arctan
x)
1
1 x2
,而当
x
(1,1)
时,
1
1 x
(1)n
n0
xn, 则
1 1 x2
(1)n
n0
x2n
将这个级数两边求积分,得
arctan x
(1)n
x t 2ndt (1)n x2n1
0 n0
n0 2n 1
当 x
1 时,
(1)n x2n1 n0 2n 1
1 1
y
S1( y)
ln(1
y).
即 S( x) ln(1 x2 )
积分得 S( x) x ln(1 t 2 )dt 0 (1 x)ln(1 x2 ) 2x 2ln(1 x)
lim(1 x)ln(1 x2 ) 0 (L' Hospital)
x1
于是
1 S(1) 2 2ln 2.
x0 )n
当x0 0时,
f ( x) ~ f (n)(0) xn n0 n!
麦克劳林级数!
例如,
f
(
x)
e
1 x2
,
x 0,
0, x 0,
如果一个函数的泰勒级数能收敛到这个函数,则称该函数 能展开成幂级数;称其泰勒级数为泰勒展开式;否则称这个 函数不能展开成幂级数.
C :有任意阶导数的函数类;C :能展开成幂级数的函数类.
n1 n(2n 1)
4. 常用函数的泰勒展开式
(1)
1
xn;
1 x n0
(2)
1 1 x2
(1)n x2n;
n0
(3)
ex
xn ;
n0 n!
(4) sin x (1)n1
x 2n1
;
n0
(2n 1)!
(5) ln(1 x) (1)n xn1 ;
(6) cos x
(1)n
an
1 n!
f
(n) ( x0 ),
n 0,1,2,
这里 f (0)( x0 ) f ( x0 ).
定义
设函数 f ( x)在 x0 处有任意阶导数,此时级数
n0
f
(n)( x0 )( x n!
x0 )n
称为 f (x)的泰勒级数,记作
f ( x) ~
n0
f (n)( x0 ) ( x n!
n0 n!
2
n!
此幂级数的收敛半径是: R .实际上,x (,)
Rn( x)
e
x n1
(n 1)!
ex (n 1)!
x n1
x
而
x 是个有限值,所以
lim
n
Rn ( x)
0.
故函数 f ( x) e x的泰勒展开式为
e x 1 xn 1 x 1 x2 1 xn
n0 n!
收敛,
故
arctan x (1)n x2n1 n0 2n 1
x 1,1.
例5
将
f (x)
x2
1 4x 3
展开成 (x 1)的幂级数.
解:
f
(
x)
(
x
1 1)( x
3)
1( 2
x
1
1
x
1
) 3
而由前面的结论,
1
1
x
x
1 1
2
1 2 1
1 x
1
1 2
(
n0
x 1)n 2
(1)n
2
n!
x (,).
例2
求 f ( x) sin x的泰勒展开式.
解: f (n)( x) sin( x n ) f (n)(0) sin n ,
2
2
则 f (x)的泰勒级数为
x x3 x5 (1)n1 x2n1
3! 5!
(2n 1)!
由检比法,该级数的收敛半径为R ,且余项
x2n ;
n0
n1
n0
(2n)!
(7)
arctan x
(1)n
x 2n1 ;
n0
2n 1
(8) (1 x) ( 1)( n 1) xn .
n0
n!
本节小结
❖ 幂级数展开唯一性定理 ❖ 泰勒级数的概念 ❖ 函数能展开成幂级数的充要条件 ❖ 函数展开成幂级数:方法一,方法二 ❖ 常用函数的泰勒展开式
数学分析II
第十章 无穷级数
§6 泰勒级数
生物数学教研室
上节例9结果:
(1)n1 xn
n1
n
ln(1 x)
an( x x0 )n f ( x)
n0
(1 x 1)
问题: f ( x),是否存在 an( x x0 )n ,使得 n0
f ( x) an( x x0 )n ? n0
R2n ( x)
sin[ (2n 1) ]
2 (2n 1)!
x 2n1
x 2n1 (2n 1)!
x (,),
lim
n
R2n
(
x)
0,
故,
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,).
方法二:间接展开法
利用已有的展开式，通过适当的变换 (变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分)，求出 未知的展开式的方法. 由于泰勒级数的唯一性，新得到的级数一定是 所求函数的泰勒级数 .