高考数学几种重要概率等可能事件、互斥事件、对立事件

§43 高考几种重要概率

——等可能事件、互斥事件、对立事件

复习要点：1．注意分清事件类型（**对事件背景、结构的分析，明确意义），灵

活运用相关事件的概率公式解题。

——————注意概率中容易混淆问题的训练：

（1） 频率与概率关系；

（2） 等可能性与非等可能性； （3） 有序取与无序取； （4） 有放回取与无放回取；

（5） 第k 次取到与第k 次才取到。

2．有关概念与性质（**条件（在一定条件）） （1）必然事件A ： P(A)=1 （2）不可能事件A ： P(A)=0 （3）随机事件A ： 0≤P(A)≤1

————随机事件既有随机性（在一次试验）又有统计规律性（大

量重复试验）

在一次试验中可能发生，也可能不发生。

3．等可能事件及其概率

（1）等可能事件的特征：① 试验的结果有限；②每种结果出现机

会均等。

（2）概率计算公式： n

m )A (P

（明确意义，结合排列组合知识求m 和n ）

4．互斥事件与对立事件

（1）深刻理解概念（特征）

①互斥事件——在一次试验中不可能同时发生．．．．．．．的两个事件。 （不可能同时发生，并没有要求不能同时不发生，即允许同

时不发生。）可见，两互斥事件在一次试验中最多只有一个发生。 ②对立事件——两互斥事件必有一个发生。

（2）区别与联系：

对立必互斥，互斥不一定对立。 即：对立⇒互斥， 互斥⇒对立

（

3）概率计算公式：

① 若A

与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ）

集合角度看 A ∪B

② 若A 与B 为任意事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)–P(A ∩B)

从集合角度看：

A ∪B

③ 对立事件概率：

)A (P 1)A (P -=

范例及其解法

例1．（2003上海理科试题）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）

解法1.

220

1

5

141511114111C C C C C C C P ++==190119

解法2、

属于同一个国家的概率为190712

20

2524211

=++C C C C ， 所求概率为 190

119190711=-

例2．甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题．

（I ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

（II ）甲、乙二人至少有一人抽到选择题的概率是多少？

（2000年天津高考题）

分析：本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力。

解：（I ）甲从选择题中抽到一题的可能结果有1

6C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有14C 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有16C 1

4C 个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为110C 19C 个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为15

4

191101

416=C C C C ，

所求概率为

15

4

； ——5分 （II ）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为19

1101314C C C

C ，

故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为15

13

1191101314=-C C C C ，

所求概率为

15

13。 或 +191101516C C C C +191101416C C C C 191101614C C C C 15

1315415431=++=，

所求概率为

15

13

。——10分

例3．已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支.求：

（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； （Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率.

（2004全国理Ⅱ试题）

分析：本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.

（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 .7

1

48154815=+C C C C

故有一组恰有两支弱队的概率为.7

6711=-

解法二：有一组恰有两支弱队的概率.76

4

8

2523482523=+C C C C C C （Ⅱ）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率 21

4

8

1

533482523=+C C C C C C 解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和B 组

来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率

为.2

1

例4．某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把.于是，他逐把不重复地试开，问：

（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？ （2）三次内打开的概率是多少？

（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？

解：5把钥匙，逐把试开有A 55种等可能的结果.

（1）第三次打开房门的结果有A 44种，因此第三次打开房门的概率P （A ）

=

55

44A A =

5

1

. （2）三次内打开房门的结果有3A 44

种，因此，所求概率P （A ）=

55

44A A 3=

5

3

. （3）方法一：因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A 33A 2

2种，

从而三次内打开的结果有

A 55－A 33A 2

2

种，所求概率P （A ）=

55

2

2

3355A A A A -=

10

9

. 方法二：三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有C 12A 13A 12A 3

3种；三次内恰有2次打开的结果有A 23A 33种.因此，三次内打开的结果有