平面向量的表示和坐标
平面向量的基本运算法则
平面向量的基本运算法则平面向量是在平面上具有大小和方向的量，它在数学和物理中都有广泛的应用。
对于平面向量，有一些基本的运算法则需要掌握。
一、平面向量的表示方法表示一个平面向量可以使用坐标表示法或者矢量表示法。
1. 坐标表示法：假设平面上有一个点P，以原点O为起点，连接OP，并将OP表示为一个有向线段，那么OP就是一个平面向量。
通常用大写字母表示向量，比如向量OP可以表示为向量OQ = (x, y)。
2. 矢量表示法：平面向量还可以使用矢量符号表示，比如向量OP 可以表示为向量→OP。
二、平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和数量积。
1. 加法：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的和表示为→AB+→CD，即将两个向量的起点对齐，连接终点即可得到它们的和向量→AD。
2. 减法：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的差表示为→AB-→CD，即将被减向量→CD取反，然后按照加法法则相加，即→AB+(-→CD)。
3. 数乘：设有一个平面向量→AB，它与一个实数k的乘积表示为k→AB，即将向量→AB的长度乘以实数k，方向不变。
4. 数量积：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的数量积表示为→AB·→CD，即将两个向量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值。
如果→AB和→CD垂直，它们的数量积为0；如果夹角为锐角，它们的数量积为正；如果夹角为钝角，它们的数量积为负。
三、平面向量基本运算法则的性质平面向量的基本运算法则满足一些重要的性质。
1. 交换律：对于加法和数量积来说，交换向量的顺序不改变运算结果，即→AB+→CD = →CD+→AB，→AB·→CD = →CD·→AB。
2. 结合律：对于加法来说，可以将多个向量的和分成多个组，然后先对每组中的向量进行加法运算，再将每组的运算结果进行加法运算，结果是相同的。
3. 分配律：对于加法和数乘来说，分配律成立，即k(→AB+→CD)= k→AB+k→CD，(k+m)→AB = k→AB+m→AB。
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是二维空间中具有大小和方向的量，可以用坐标表示。
平面向量的坐标表示方式有两种：位置向量和方向向量。
一、位置向量的坐标表示位置向量是指从原点O到平面上的一个点P所形成的向量。
位置向量的坐标表示方式为(r, θ)，其中r表示向量的大小，θ表示向量与x轴的夹角。
当点P(x, y)在第一象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角。
当点P(x, y)在第二象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的负值。
当点P(x, y)在第三象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的180°减去角度。
当点P(x, y)在第四象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的正值。
二、方向向量的坐标表示方向向量是指没有起点的向量，仅有大小和方向的定义。
方向向量的坐标表示方式为(a, b)，其中a表示向量在x轴方向上的分量，b表示向量在y轴方向上的分量。
通过给定a和b的数值，可以确定一个方向向量。
三、坐标表示的计算方法已知两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求向量AB的坐标表示。
首先，根据两点坐标求出向量的坐标差：Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。
然后，根据坐标差得到向量的坐标表示：AB = (Δx, Δy)。
四、坐标表示的应用1. 向量的加法和减法：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A加向量B的结果为A+B = (a+c, b+d)；若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A减去向量B的结果为A-B = (a-c, b-d)。
2. 向量的数量积：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A和向量B的数量积为A·B = ac + bd。
3. 向量的模长：若有向量A(a, b)，则向量A的模长为|A| = √(a² + b²)。
五、结论通过坐标表示，可以方便地进行向量的计算和运算。
平面向量的坐标表示与方向角
平面向量的坐标表示与方向角平面向量是平面上的有向线段，既有大小又有方向。
为了方便表示和计算，我们可以使用坐标表示和方向角来描述平面向量。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以使用二维坐标来表示平面上的点。
同样地，我们可以使用两个实数来表示一个平面向量。
设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂, y₂)。
则向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，其中Δx = x₂ - x₁，Δy = y₂ - y₁。
举例说明：若A(1, 2)和B(4, 5)是平面上的两个点，可以计算得到向量AB的坐标表示为(3, 3)。
二、平面向量的方向角平面向量的方向可以用方向角来表示。
方向角是从正 x 轴逆时针旋转到向量所在直线的角度。
设平面向量为AB，与正 x 轴的夹角为θ（0 <= θ < 2π）。
则向量AB的极坐标表示为(│AB│, θ)，其中│AB│表示向量AB的长度。
计算方向角θ的方法如下：1. 若向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，则有tanθ = Δy/Δx。
- 当Δx > 0时，θ = arctan(Δy/Δx)。
- 当Δx = 0且Δy > 0时，θ = π/2。
- 当Δx = 0且Δy < 0时，θ = 3π/2。
- 当Δx < 0时，θ = arctan(Δy/Δx) + π。
2. 根据θ的值的范围，进行调整使其满足0 <= θ < 2π。
举例说明：若向量AB的坐标表示为(3, 3)，则有tanθ = 3/3 = 1，所以θ = π/4。
由于0 <= π/4 < 2π，θ = π/4就是向量AB的方向角。
三、使用坐标表示和方向角求解平面向量的运算使用坐标表示和方向角可以方便地进行平面向量的运算，包括加减法和数量乘法。
1. 加减法：设向量AB的坐标表示为(Δx₁, Δy₁)，向量CD的坐标表示为(Δx₂, Δy₂)。
教学设计1：5.2 平面向量的基本定理及向量的坐标表示
5．2平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. [试一试]1．(2014·南京、盐城一模)若向量a ＝(2,3)，b ＝(x ，－6)，且a ∥b ，则实数x ＝________. 解析：由a ∥b 得2×(－6)＝3x ，解得x ＝－4. 答案：－42．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________． 解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12.答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2， 所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13考点一平面向量的坐标运算1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系中，已知向量AB ＝(2,1)，AC ＝(3,5)，则向量BC 的坐标为________． 解析：BC ＝AC －AB ＝(1,4)． 答案：(1,4)2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如下图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.[备课札记] [类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．平面向量基本定理及其应用[典例] 如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .[解析] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . [备课札记] [类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理． [针对训练](2014·济南调研)如下图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k (AN －AB )＝AB ＋k （14AC －AB ）＝(1－k ) AB ＋k4AC ，且AP ＝m AB ＋211AC ，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311. 答案：311考点三平面向量共线的坐标表示[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613.[备课札记]在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解：设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②. 2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值． [针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC .∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．[课堂练通考点]1．(2013·南京二模)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝________.解析：设b ＝(x ，y )，则a ＋b ＝(2＋x ，y －1)，由条件知2＋x ＝0，|y －1|＝1，解得x ＝－2，y ＝0或x ＝－2，y ＝2，故b ＝(－2,0)或(－2,2)． 答案：(－2,2)或(－2,0)2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于________．解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )a －2b ＝(4，－1)，由于(m a ＋n b )∥(a －2b )，可得－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，可得m n ＝－12.答案：－123．(2014·苏北四市质检)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(3，－4)，若a ∥b ，则tan 2θ＝________.解析：由题意，得－4sin θ－3cos θ＝0，所以tan θ＝－34，所以tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247.答案：－2474．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ； ③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA . 其中正确结论的个数是________．解析：∵由题意得k OC ＝1－2＝－12，k BA ＝2－10－2＝－12，∴OC ∥BA ，①正确；∵AB ＋BC ＝AC ，∴②错误； ∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB ，∴③正确；∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC ＝(－4,0)，∴④正确． 答案：35．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12.答案：126．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为________．解析：∵M 为边BC 上任意一点，∴可设AM ＝x AB ＋y AC (x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 中点，∴AN ＝12AM ＝12x AB ＋12y AC ＝λAB ＋μAC .∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.答案：12。
平面向量的坐标表示与向量模长
平面向量的坐标表示与向量模长在平面几何中，向量是一种具有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。
为了描述和计算向量的性质和运算，常常使用它的坐标表示和模长。
本文将探讨平面向量的坐标表示以及如何计算其模长。
一、平面向量的坐标表示平面向量通常由两个不平行的线段表示，其中一个线段表示向量的大小和方向，另一个线段表示向量的方向。
为了方便计算和描述，我们可以使用坐标表示来表示平面向量。
平面坐标系是一个由两条彼此垂直的坐标轴组成的坐标系，通常称为x轴和y轴。
以原点O为起点，x轴和y轴正方向分别为正向和负向。
在平面坐标系中，每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点到y轴的水平距离，y表示点到x轴的垂直距离。
对于平面向量AB，可以使用一个有序对来表示其坐标表示，即(ABx, ABy)，其中ABx表示向量AB在x轴上的投影长度，ABy表示向量AB在y轴上的投影长度。
二、向量的模长向量的模长表示向量的大小，也称为向量的长度。
在平面向量中，向量的模长通常由向量的坐标表示计算而得。
设平面向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，那么向量AB的模长记作|AB|，可以通过勾股定理得到如下公式：|AB| = √(ABx^2 + ABy^2)其中^2表示平方运算，√表示开方运算。
三、示例与应用为了更好地理解平面向量的坐标表示和模长，我们来看一个具体的示例。
示例：已知平面向量AC的坐标表示为(3, 4)，求向量AC的模长。
解析：根据上述公式，我们可以计算向量AC的模长：|AC| = √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，向量AC的模长为5。
平面向量的坐标表示和模长在几何学和物理学中有着广泛的应用。
它们可以用于描述力和力矩等物理量，计算线段的长度和方向等几何性质。
同时，在向量运算和向量计算中，坐标表示和模长也是必不可少的工具。
结论平面向量的坐标表示和模长是描述和计算向量性质的重要工具。
通过使用坐标表示，我们可以准确地表示向量的方向和大小；通过计算模长，我们可以得到向量的大小。
平面向量的坐标表示与向量投影的应用
平面向量的坐标表示与向量投影的应用平面向量是向量的一种，可以用来描述平面内的位移、速度、力等物理量，具有大小和方向的特性。
在平面向量的研究中，坐标表示和向量投影是两个重要的概念和应用。
本文将介绍平面向量的坐标表示及其计算方法，并探讨向量投影在几何和物理问题中的应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在直角坐标系下在x轴和y轴上的投影长度。
具体来说，设A和B是平面上的两点，向量AB的坐标表示为(x, y)，其中x和y分别为B点的横坐标和纵坐标减去A点的横坐标和纵坐标。
对于任意的平面向量AB和CD，如果它们的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则它们之间的运算规则如下：1. 两个向量的加法：(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)2. 一个向量与实数的乘法：k(x1, y1) = (kx1, ky1)，其中k为实数3. 两个向量的减法：(x1, y1) - (x2, y2) = (x1 - x2, y1 - y2)二、向量投影的应用向量投影是指一个向量在某个方向上的投影长度，广泛应用于几何和物理问题中。
1. 几何应用向量投影在几何中的应用主要包括：（1）求向量的模：对于平面向量AB，它的模可以表示为|AB| =√(x^2 + y^2)，其中x和y分别为向量AB的横纵坐标。
（2）求两个向量的夹角：对于平面向量AB和CD，它们之间的夹角为θ，可以通过向量的点乘公式求得：AB · CD = |AB| |CD| cosθ。
（3）求垂直向量：若向量AB与向量CD垂直，则它们的向量积为0，即AB × CD = 0。
2. 物理应用向量投影在物理学中的应用非常广泛，其中最常见的包括：（1）分解力：对于一个施加在物体上的力F，我们可以将它分解为平行于倾斜平面的分力F1和垂直于倾斜平面的分力F2。
其中，F1为F在倾斜平面上的投影，F2为F在倾斜平面垂直方向上的投影。
平面向量的表示方法
平面向量的表示方法平面向量是研究平面上对象的重要工具。
在研究平面向量时，我们需要了解不同的表示方法。
下面将介绍平面向量的不同表示方法，包括坐标表示法、分量表示法和模长与方向角表示法。
一、坐标表示法坐标表示法是最常见的一种表示方法。
在平面直角坐标系中，平面向量可以用坐标表示为一个有序数对 (x, y)。
其中，x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。
例如，向量 AB 可以表示为 (x, y)。
二、分量表示法分量表示法是将平面向量拆分为两个独立的有向线段的表示方法。
我们可以将向量拆分为水平和垂直方向的分量。
设向量 AB 的水平分量为 A 的 x 分量与 B 的 x 分量的差，垂直分量为 A 的 y 分量与 B 的 y 分量的差。
用 (a, b) 表示向量 AB 的分量表示法，其中 a 表示水平分量，b 表示垂直分量。
三、模长与方向角表示法模长与方向角表示法是将平面向量表示为一个长度与一个角度的表示方法。
向量的模长是从向量的起点到终点的长度，可以通过勾股定理计算出来。
向量的方向角是向量与平面上某个固定方向之间的角度，可以用三角函数计算出来。
表示为 |AB|，其中 |AB| 表示向量 AB 的模长，θ 表示向量 AB 的方向角。
总结：平面向量的表示方法包括坐标表示法、分量表示法和模长与方向角表示法。
坐标表示法是最常见的一种，通过给出向量在坐标系中的位置来表示向量。
分量表示法将向量拆分为水平和垂直方向的分量表示。
模长与方向角表示法是将向量表示为一个长度和一个角度的方式。
以上是关于平面向量的表示方法的讨论。
了解这些不同的表示方法对于理解平面向量的性质和运算非常重要。
在实际应用中，我们根据具体的问题选择合适的表示方法，并利用向量的性质进行计算和分析。
对于进一步学习平面向量的相关知识和应用具有重要的指导意义。
8.2 平面向量的分解及向量的坐标表示
58
因为k a − b 与 a + 3b 平行，所以3(k − 2) + 7 = 0 ，即得 k = − 7 3 a − b = (k − 2, −1) = (− , −1) ， a + 3b = (7,3) ， 此时k 3
1
则 a + 3b
= −3(k a − b)
，即此时向量 a + 3b 与 ka − b 方向相反。
运算类型 几何方法
坐标方法
运算性质
a +b =b +a
(a +b) +c = a +(b +c)
向量的加 1.平行四 边形法则2. a+b=(x +x2, y +y2) 法 1 1 三角形法 则 向量的 减法
a−b =(x1 −x2, y1 −y2)
AB + BC = AC
a − b = a + (−b )
向量与函数的综合
高考总复习·数学 高考总复习 数学
已知向量 u = ( x, y) v = ( y,2 y − x) 的对应关系用 v = f (u) 表示。 与 (1)证明：对于任意向量 a, b 及常数m，n恒有 成立；
f (ma + nb) = mf (a) + nf (b)
(2)设 a = (1,1), b = (1,0) ，求向量 f (a) 及 f (b) 的坐标； （3）求使 f (c) = ( p, q) ，（p，q为常数）的向量 故 f (ma + nb) = (ma2 + nb2 ,2ma2 + 2nb2 − ma1 − nb1 )
e1
2
二．平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j → 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可 → a a 表示成 → = xi + yj ，由于→与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫 做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫 做在y轴上的坐标。
平面向量的坐标表示
j O i x
我们把实数对（x,y）叫作向量a的坐标，记作 a =(x,y)
这是向量a的坐标表示．
例１ 在平面内以点Ｏ的正东方向为x轴正向，正北方向为y轴
正向建立直角坐标系．质点在平面内做直线运动．分别求下列
位移向量的坐标： (1)向量a表示沿东北方向移动了2个长度单位; (2)向量b表示沿西偏北60 方向移动了3个长度单位; (3)向量c表示沿东偏南30 方向移动了4个长度单位;
Q
y
b
P
j
a
i P’ c R’
(2)QOQ 60，| OQ | 3,
Q’ O
3 3 所以b OQ OQ Q Q i 3j 2 2 3 3 3 所以b ( , ) 2 2
x
R
(3)ROR 30，| OR | 4, 所以c Or OR RR 2 3i 2 j 所以c (2 3,2)
Q
y
b
Q’ O j
P a
i P’ c R’
x
解：设OP a, OQ b, OR c, 并设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), R( x3 , y3 ),
R
(1)由图可知， POP 45，| OP | 2, 所以a OP OP PP 2i 2 j 所以a ( 2 , 2 )
４.1 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中 ， 分别取与x轴，y 轴方向相同的两个 单位向量i, j作为基底，a 为坐标平面内的任意向 量。
以坐标原点 O为起点作 OP a
由平面向量基本定理可 知， 有且只有一对实数 x, y， 使得 OP xi yj
因此a xi Leabharlann yjy P(x,y) a
平面向量的坐标和方向角
平面向量的坐标和方向角平面向量是数学中一个重要的概念，可以描述平面上的位移、速度、力等物理量。
在平面直角坐标系中，平面向量可以用坐标和方向角来表示。
本文将介绍平面向量的坐标表示和方向角表示，并探讨它们之间的转换关系。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，平面向量可以用两个有序实数（即坐标）表示。
设平面向量为向量AB，点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，则向量AB的坐标表示为(x₂ - x₁, y₂ - y₁)。
例如，设点A的坐标为(1, 2)，点B的坐标为(4, 5)，则向量AB的坐标表示为(4 - 1, 5 - 2)，即(3, 3)。
坐标表示的优点是简洁明了，可以直观地看出向量在水平和垂直方向上的分量。
但它并不能提供关于向量长度和方向的详细信息。
二、平面向量的方向角表示平面向量的方向角表示是指用角度来描述向量的方向。
一般情况下，我们取与x轴的正方向之间的夹角作为向量的方向角，并规定逆时针方向为正。
设向量AB的方向角为θ，则根据三角函数的定义，有以下关系：cosθ = (x₂ - x₁) / √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)sinθ = (y₂ - y₁) / √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)通过反三角函数，可以求得向量AB的方向角θ。
例如，设向量AB的坐标表示为(3, 3)，则根据上述公式，可以求得：cosθ = 3 / √(3² + 3²) ≈ 0.707sinθ = 3 / √(3² + 3²) ≈ 0.707通过反余弦函数和反正弦函数，可以求得θ的值为约45°。
方向角表示能够提供更为具体的方向信息，但它并不能直接获得向量的长度。
三、坐标和方向角的转换在实际问题中，我们经常需要将平面向量的坐标表示和方向角表示进行转换。
下面介绍两种常用的转换方法。
平面向量的坐标表示和几何意义
平面向量的坐标表示和几何意义平面向量是研究平面上的运动和力学性质的重要工具。
为了描述和计算平面向量，我们需要掌握坐标表示和几何意义。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以通过坐标表示来描述。
假设平面上有一个点P(x, y)，我们可以将其与原点O(0, 0)之间的有向线段表示为向量OP。
在直角坐标系中，向量OP的坐标表示为OP = <x, y>，其中x为横坐标分量，y为纵坐标分量。
二、平面向量的几何意义平面向量的几何意义主要包括长度和方向两个方面。
1. 长度：平面向量OP的长度可以用勾股定理计算，即|OP| = √(x² + y²)。
2. 方向：平面向量OP的方向可以通过与坐标轴的夹角来确定。
- 当x > 0且y = 0时，向量OP与x轴正向平行。
- 当x < 0且y = 0时，向量OP与x轴负向平行。
- 当x = 0且y > 0时，向量OP与y轴正向平行。
- 当x = 0且y < 0时，向量OP与y轴负向平行。
- 当x > 0且y > 0时，向量OP位于第一象限。
- 当x < 0且y > 0时，向量OP位于第二象限。
- 当x < 0且y < 0时，向量OP位于第三象限。
- 当x > 0且y < 0时，向量OP位于第四象限。
三、平面向量的运算平面向量还可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
1. 加法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的和为平面向量OC，记作OC = OA + OB。
向量OC的坐标表示为OC = <x₁ + x₂, y₁ + y₂>，即将对应分量分别相加。
2. 减法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的差为平面向量OD，记作OD = OA - OB。
向量OD的坐标表示为OD = <x₁ - x₂, y₁ - y₂>，即将对应分量分别相减。
向量坐标表示及运算
y
j
O
1 2
a
A(x, y)
a
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 相等的充要条件：a b x x
i
x
且y1 y2
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
3．若 A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则 AB ＋2 BC ＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴ AB ＝(2,3)， BC ＝(－3,3)． ∴ AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
(x2－x1，y2－y1)
例1：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
2,3 3,5 5, 2.
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
j
-4 -3
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
平面向量的坐标与向量的夹角
平面向量的坐标与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，用来表示有大小和方向的量。
在二维平面内，我们可以使用坐标系来表示平面向量的坐标，同时还可以通过计算得出向量之间的夹角。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及向量之间的夹角计算公式。
一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用一个有序数对来表示。
在二维直角坐标系中，我们通常使用两个实数表示一个平面向量的坐标。
假设有一个平面向量v，它的x轴坐标为x，y轴坐标为y，则可以表示为v=(x, y)。
对于平面向量的坐标表示，我们可以通过底边和高边的坐标差来计算。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为v=(x2-x1, y2-y1)。
二、向量的夹角向量的夹角是描述向量之间夹角大小的概念。
对于平面中的两个向量v1=(x1, y1)和v2=(x2, y2)，它们的夹角可以通过以下公式计算得出：cosθ = (x1*x2 + y1*y2) / (|v1| * |v2|)其中θ表示向量v1和向量v2之间的夹角，|v1|和|v2|表示向量v1和v2的模（长度）。
通过夹角的计算公式，我们可以得知向量之间的夹角大小。
若夹角大于90度，则表示两个向量之间为钝角；若夹角等于90度，则表示两个向量之间为直角；若夹角小于90度，则表示两个向量之间为锐角。
三、示例问题为了更好地理解平面向量的坐标和向量的夹角，我们来看一个示例问题。
问题：已知向量u=(3, 4)和向量v=(2, -1)，求两个向量之间的夹角。
解析：首先计算向量u和向量v的模（长度）：|u| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5|v| = √(2^2 + (-1)^2) = √(4 + 1) = √5然后计算向量u和向量v的点积：u*v = (3*2 + 4*(-1)) = 6 - 4 = 2将计算结果代入夹角的计算公式：cosθ = (2) / (5 * √5)通过计算可得cosθ的值为2 / (5 * √5)。
什么是平面向量
什么是平面向量平面向量是代数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
平面向量可以用来表示平面上的位移、速度、力等物理量，具有方向和大小两个特征。
一、平面向量的定义平面向量是由两个有序实数组成的有序对，记作AB→，其中A、B 表示平面上的两个点，→表示有向线段。
实数称为平面向量的坐标或分量，可以用来表示向量在坐标轴上的投影。
二、平面向量的表示平面向量可以用坐标轴上的点表示，也可以用向量的坐标表示。
以直角坐标系为例，设A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，那么平面向量AB→的向量坐标为{(x2-x1), (y2-y1)}。
三、平面向量的运算1. 加法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的和为AB→ +CD→ = AD→。
即向量的加法满足“三角形法则”。
2. 数乘：设有平面向量AB→，实数k，则kAB→ = BA→。
即向量的数乘改变了向量的方向或长度。
3. 减法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的差为AB→ - CD→ = AD→。
即向量的减法可以看作是加法和数乘的结合。
四、平面向量的性质1. 零向量：零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和等于该向量本身。
2. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3. 共线向量：若两个向量在同一直线上，则它们是共线向量。
4. 相等向量：若两个向量的方向和长度相等，则它们是相等向量。
5. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过将一个非零向量除以它的模长得到。
五、平面向量的应用平面向量在几何学中被广泛应用，例如求向量的模长、向量的夹角、向量的投影等。
在物理学中，平面向量可用于描述力的大小和方向，在工程学中，平面向量可用于描述力的分解和合成等问题。
总结：平面向量是由两个有序实数组成的有序对，具有方向和大小两个特征。
它可以用坐标轴上的点或向量的坐标来表示。
平面向量的运算包括加法、数乘和减法，满足相应的运算规律。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。
在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。
x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。
2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。
3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。
4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。
5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。
三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。
1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。
人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)
解：设c→=x→a+→yb，即 （4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标。 （2）位置不同的向量其坐标可能相同。 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。 （4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出： 向已 量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2， 吗？y2)，你能
r rrr rr 解 ： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已 知 R ， 向 量 a (x ， y )， 那 么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j
8.1.1向量的坐标表示及其运算
d
c 3i 3 j (3, 3)
i e
x
d 4i 0 j (4, 0) e 2i 3 j (2, 3)
三、向量的坐标运算 已知 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 和实数 ，则
a b ( x1i y1 j ) ( x2 i y2 j ) ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j
i
结论：位置向量的坐标即为终点的点坐标
并把 x, y 叫做向量OP的坐标.
二、向量的坐标
已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，
如何定义向量 AB 的坐标. 解：AB OB OA
y
x2 i y2 j x1i y1 j x2 x1 i y2 x1 , y2 y1 )
j
O
i
一个向量的坐标等于该向量终点的坐标
减去始点的坐标.
例 1． 如图， 写出向量 a , b , c , d , e 的坐标.
b
y
a 2i 5 j (2,5)
a
b 4i j (4,1)
j O
3a 4b 3(4, 1) 4(5, 2) (12, 3) (20,8) (32,5) 1 1 4 17 17 a0 a (4, 1) ( , ) 2 2 17 17 |a| 4 (1)
例4. 已知A，B，C的坐标分别是 A(2,1), B(1,3), C (3, 4)
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
平面向量的基本定理及坐标表示重难点解析版
突破6.3 平面向量的基本定理及坐标表示一、学情分析二、学法指导与考点梳理知识点一 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二 平面向量的坐标运算运算 坐标表示和(差) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) 数乘 已知a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)，其中λ是实数 任一向量的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.,(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.三、重难点题型突破重难点题型突破1 平面向量的实际背景与概念(一) 平面向量的基本定理与坐标表示 知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·江西高一期末）设12,e e 是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ） A ．21e e -与12e e - B ．1223e e +与1246e e -- C ．12e e +与12e e - D ．121128e e -+与1214e e - 【答案】C 【解析】由12,e e 是平面内的一组基底，所以1e 和2e 不共线，对应选项A ：21e e -()12e e =--，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项B ：1223e e +()121462e e =---，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项D ：121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项C ：12e e +与12e e -不共线，能作为基底. 故选：C ．（2）.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）如图，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（ ）A ．21318BA BC -+B ．21318BA BC +C ．41318BA BC +D ．21318BA BC -【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解. 【详解】由题可得：FE FC CE =+ 1232BC CD =+ ()1223BC CB BA AD =+++ 121233BC BC BA BC ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭21318BA BC =+． 故选：B ．【变式训练1-1】、（2021·全国·高一课时练习）若{}12e e ，是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） A ．12e e -，21e e - B ．12e e -，12e e + C ．212e e -，212e e -+ D ．122e e +，124e 2e +【答案】B 【解析】 【分析】不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可. 【详解】不共线的向量能作为基底，因为()1221e e e e -=--，所以向量12e e -，21e e -共线，故排除A ；假设1212(e e e e λ-=+），解得=1=1λλ⎧⎨-⎩，无解，所以向量12e e -，12e e +不共线，故B 正确；因为()212122e e e e =-+--，所以212e e -，212e e +-共线，故排除C ； 因为()121212422e e e e =++，所以122e e +，1224e e +共线，故排除D ， 故选：B【变式训练1-2】、（2022·江西上饶·一模（理））如图，在ABM 中，3BM CM =，27AN AM =，若AN AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．17-B ．17C ．27-D ．27【答案】D 【解析】 【分析】由向量的线性运算把AN 用,AB AC 表示出来后可得结论． 【详解】 ()22227777AN AM AB BM AB BM ==+=+ 2232313()7727777AB BC AB BA AC AB AC =+⨯=++=-+， 所以13,77λμ=-=，132777λμ+=-+=，故选：D(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． (4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2021·安徽·泾县中学高三阶段练习（文））已知平面向量()()2,3,24,5a a b =--=，则a b =___________.【答案】3 【解析】 【分析】设(),=b x y ，利用()24,5-=a b ，求得b ，再利用数量积公式可得多大啊. 【详解】设(),=b x y ，由已知得224325x y --=⎧⎨-=⎩，解得31x y =-⎧⎨=-⎩，即()3,1b =--，所以()()2,33,1633⋅=-⋅--=-=a b . 故答案为：3.（2）.（2022·全国·高一专题练习）已知A (1，2)，B (3，－1)，C (3，4)，则AB AC ⋅等于（ ） A ．11 B ．5 C ．－1 D ．－2【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量数量积的坐标运算即可解决 【详解】∵()2,3AB =-,()2,2AC = ∴()22322AC AB ⋅=⨯+-⨯=- 故选: D .（3）.（2022·山东济南·二模）若平面向量a 与b 同向，(2,1)a =，||25b =，则b =（ ） A ．(4,2)B ．(2,4)C ．(6,3)D ．(4,2)或(2,4)【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设()0b a λλ→→=>，进而根据||25b →=b →. 【详解】因为,a b →→同向，所以设()0b a λλ→→=>，则22||215252b λλλ→=+==，于是，()4,2b →=. 故选：A.【变式训练2-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知向量()()2,6,1,a b λ==-，若//a b ，则a b λ+=______. 【答案】(5,15) 【解析】 【分析】由向量平行得3λ=-，再进行向量的坐标运算即可得答案. 【详解】解：因为()()2,6,1,a b λ==-，//a b ， 所以62λ-=，解得3λ=-， 所以()()()2,631,35,15a b λ+=---=. 故答案为：()5,15【变式训练2-2】、（2022·青海西宁·高一期末）设()3,1OM =，()5,1ON =--，则MN =（ ）. A ．()8,2-- B ．()8,2C ．()8,2-D ．()2,2-【答案】A 【解析】 【分析】由向量坐标的减法运算可得答案. 【详解】因为()3,1OM =，()5,1ON =--，所以()()()5,13,18,2=-=---=--MN ON OM . 故选：A.(三) 平面向量的数量积 知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (3)cos θ＝a·b |a||b|. (4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）．（2022·陕西·高三期末（文））已知向量(1,7a =-，3b =，36a b ⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】A 【解析】 【分析】先计算向量a 的模，再根据向量数量积的定义，将36a b ⋅=展开，即可求得答案.因为(1,7a =-，所以22||1(7)22a =+-= 又因为36a b ⋅=，设a 与b 的夹角为θ ，[0,]θπ∈ ， 所以||||cos 36a b θ=，即23cos 36θ⨯=， 解得3cos θ=，故6πθ= ，故选：A.（2）．（2021·重庆一中高三阶段练习）（多选题）已知平面向量()1,2a =，()2,1b =--，则下列命题中正确的有（ ） A ．a b > B ．2a b +=C ．a b ⊥D ．4cos ,5a b =-【答案】BD 【解析】 【分析】由向量的定义判断A ，由模的坐标表示求出模判断B ，根据垂直的坐标表示判断C ，由数量积求得向量的夹角余弦判断D ． 【详解】对于A ，由于向量不能比较大小，故A 错误； 对于B ，∵()1,1a b =-+，∴()22112a b +=-+=B 正确；对于C ，∵()()122140a b ⋅=⨯-+⨯-=-≠，∴a b ⊥不成立，故C 错误； 对于D ，∵(12214cos ,555a b a b a b⨯-+⨯-⋅===-⨯，故D 正确．故选：BD ．【变式训练3-1】．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）（多选题）向量(cos ,sin )a θθ=，(3,1)b =，则2a b -的值可以是（ ） A ．2 B ．22C ．4D ．2【答案】ABC 【解析】 【分析】利用公式表达出2a b -，利用三角函数恒等变换，求出2a b -的范围，进而求出结果.())()22cos ,2sin 3,12cos 3,2sin 1a b θθθθ-=-=-，所以()()22π22cos 32sin 1843cos 4sin 88sin 3a b θθθθθ⎛⎫-=-+----+ ⎪⎝⎭因为[]πsin 1,13θ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]π88sin 0,163θ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，[]20,4a b -∈，显然ABC 均满足题意.故选：ABC【变式训练3-2】.（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知平面向量()1,0a =，()1,23b =，则下列说法正确的是（ ） A ．16a b +=B ．()2a b a +⋅=C ．向量a b +与a 的夹角为30°D ．向量a b +在a 上的投影向量为2a【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断A ； 根据向量数量积的坐标表示即可判断B ； 根据()cos ,a b a a b aa b a+⋅+=+即可判断C ； 根据投影向量的定义即可判断D. 【详解】解：(2,23a b +=，则4124a b +=+，故A 错误；()2a b a +⋅=，故B 正确；()1cos ,2a b a a b aa b a+⋅+==+，又0,180a b a ︒≤+≤︒，所以向量a b +与a 的夹角为60°，故C 错误；向量a b +在a 上的投影向量为()2a b a a a a+⋅=，故D 正确. 故选：BD.(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)、（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（文））已知()1,2a m =+-，()2,3b m =+，若a b ⊥，则m =______. 【答案】1或4- 【解析】 【分析】根据向量垂直得到等量关系，求出结果. 【详解】由题意得：()()1260m m ++-=，解得：1m =或4-，经检验，均符合要求. 故答案为：1或4-(2)、（2022·陕西宝鸡·一模（理））已知平面向量()1,a m =-，()2,3b m =-，若a b ∥，则m =___________. 【答案】3- 【解析】 【分析】由a b ∥，列方程求解即可 【详解】因为平面向量()1,a m =-，()2,3b m =-，且a b ∥， 所以23m m =-，得3m =-， 故答案为：3-（3）、（2022·辽宁·高一期末）已知向量()1,a m =-，()2,4b =，若a 与b 共线，则m =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线坐标表示可得答案. 【详解】由题意得24m =-，即2m =-. 故选：C【变式训练4-1】、（2022·广东湛江·高二期末）已知向量()2,3a =-，()1,2b =-，且()a kb a +⊥，则k =___________.【答案】138【解析】 【分析】求出向量a kb +的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数k 的等式，即可解得k 的值. 【详解】由题意可得()2,32a kb k k +=--+，因为()a kb a +⊥，所以()()()223320a kb a k k +=---+=⋅，即1380k -=，解得138k =. 故答案为：138. 【变式训练4-2】．（2022·全国·高三专题练习）已知向量()12a =,，()22b =-,，()1c λ=,.若()//2c a b +，则λ=________. 【答案】12 【解析】 【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可. 【详解】由题可得()24,2a b +=， ()//2c a b +，又()1,c λ=， 4λ20∴-=，1λ2∴=.故答案为：12.【变式训练4-3】．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()a b λ+∥()2a b -，则实数λ=（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．-2【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量线性运算的坐标表示出a b λ+，2a b -，再由平面向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】由已知得()2,1a b =++-λλλ，()23,3a b -=-， 又因为()a b λ+∥()2a b -，所以有()()3231+=--λλ，解得12λ=-.故选：B例5．（2022·重庆八中高一期末）已知3a =，4b =. (1)若a 与b 的夹角为60︒，求()2a b a +⋅；(2)若a 与b 不共线，当k 为何值时，向量a kb +与a kb -互相垂直？ 【答案】(1)21 (2)34k =±【解析】 【分析】（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可； （2）根据()()0a kb a kb +-=解方程即可得答案. (1)解： ()21229234212a b a a b a +⋅=+⋅=+⨯⨯⨯= (2)解：∵向量a kb +与a kb -互相垂直，∴()()0a kb a kb +-=，整理得2220a k b -=，又3a =，4b =，∴29160k -=，解得34k =±.∴当34k =±时，向量a kb +与a kb -互相垂直.【变式训练5-1】．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].a x x b x ==-∈ (1)若a b ⊥，求x 的值；(2)记()f x a b =⋅，解不等式()3f x ≥【答案】(1)3π(2)[0,]6π 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，数量积为零得到关于x 的方程，即可得答案. （2）先根据数量积的坐标运算得到()f x a b =⋅的表达式，确定π31cos()62x -+，再解不等式，结合6x π+的范围，求得结果. (1)因为(cos ,sin )a x x =，(3,3b =-，a b ⊥， 所以3cos 30x x =, 所以tan 3x =因为[0,]x π∈，所以3x π=.(2)()(π()cos ,sin 3,33cos 323)6f x a b x x x x x =⋅=⋅-==+.因为[]0,πx ∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -+. 由()3f x ≥1cos()62x π+≥，所以1π3cos()262x +，所以663x πππ≤+≤，即06x π≤≤，故不等式()3f x ≥[0,]6π.四、课堂定时训练（45分钟）1．（2021·全国·高一课时练习）设12e e ，是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（ ） A ．1e 与12e e + B ．12e 2e -与21e 2e - C ．12e 2e -与214e 2e - D ．12e e +与12e e -【答案】C 【解析】 【分析】在同一平面内,只要两个向量不共线，就可以作为这个平面的一组基底，逐项判断即可. 【详解】对于A 选项：设121e e e =λ+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=0λ⎧∴⎨⎩,无解,1e ∴与12e e +不共线，1e ∴与12e e +可以构成一组基底；对于B 选项：设()1221=e 2e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=22=λλ-⎧∴⎨-⎩,无解，12e 2e ∴-与21e 2e -不共线，12e 2e ∴-与21e 2e -可以构成一组基底；对于C 选项：设()1221=e 24e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=21=2=42λλλ-⎧∴∴-⎨-⎩，，()21212e 2e 1=4e 2e ∴---，12e 2e ∴-与214e 2e -共线，12e 2e ∴-与214e 2e -不能构成一组基底； 对于D 选项：设()1212=e e e e λ-+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=λλ⎧∴⎨-⎩,无解, 12e e +∴与12e e -不共线，12e e +∴与12e e -可以构成一组基底； 故选：C2．（2022·全国·高一专题练习）已知向量(1,)a m =，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（ ） A 2B 2C 22D ．0【答案】C 【解析】 【分析】应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可. 【详解】由//a b 知：1×2－m 2＝0，即2m 2-故选：C.3．（2022·江西·高三期末（文））已知平面向量()1,3a =，()2,1b =-，若()a ab λ⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．10 B ．8C ．5D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由()a ab λ⊥+，得()0a a b λ⋅+=，将坐标代入化简计算可得答案 【详解】因为()1,3a =，()2,1b =-， 所以()12,3a b λλλ+=+-. 因为()a ab λ⊥+，所以()12330λλ++-=，解得10λ=. 故选：A.4．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）（多选题）已知平面向量()1,2a =，()2,1b =-，()2,c t =，下列说法正确的是（ ） A ．若()a b +//c ，则6t = B ．若()a b +⊥c ，则23t =C ．若1t =，则4cos ,5a c <>=D ．若向量a 与向量c 夹角为锐角，则1t >- 【答案】BC 【解析】 【分析】若()()1122,,,a x y b x y ==，根据a ∥b 时1221x y x y =判断A 选项是否正确；根据a b ⊥时12120x x y y +=判断B 选项是否正确；根据121222221122cos ,x a b a b a bx y x y <>==++判断C 选项是否正确；根据向量a 与向量c 夹角为锐角时0a c >，且向量a 与向量c 不平行，判断C 选项是否正确. 【详解】()1,2a =，()2,1b =-，()=1,3a b ∴+-,()2,c t ==22a c t ∴+若()a b +//c ，()2,c t =123t ∴-⨯=⨯6t ∴=-，故A 不正确；若()a b +⊥c ，()2,c t =123=0t ∴-⨯+⨯23t ∴=，故B 正确； 若1t =，则()2,1c =，=22=4a c t +，=5a ，5c =44cos ,555a c a c a c∴<>==⨯，故C 正确； 若向量a 与向量c 夹角为锐角, 则0a c >()1,2a =(),2,c t ==1220a c t ∴⨯+⨯>1t∴>-若向量a 与向量c 平行，则1=22t ⨯⨯，=4t ，故向量a 与向量c 夹角为锐角时1t >-且4t ≠.故D 不正确； 故选：BC5．（2021·广东·仲元中学高一期末）（多选题）已知向量()2,1a =，()3,1b =-，则（ ） A ．a 与a b -25B ．()//a b a +C ．向量a 在向量b 10D ．若525,5c ⎛= ⎝⎭，则a c ⊥【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A ：由已知得()50a b -=，，根据向量夹角的计算公式计算可判断； 对于B ：由已知得()+a b a ⊥，由此可判断；对于C ：由已知得向量a 在向量b 上的投影，从而可判断； 对于D ：由5252+105a c ⎛⋅=⨯⨯= ⎝⎭，可判断. 【详解】解：对于A ：因为向量()2,1a =，()3,1b =-，所以()50a b -=，，所以a 与a b -的夹角余弦值为2225215+⨯，故A 正确； 对于B ：因为()+12a b =-，，所以()+12+120a b a ⋅=-⨯⨯=，所以()+a b a ⊥，故B 不正确； 对于C ：向量a 在向量b 上的投影为(()2223+11101031a b b⨯-⨯===-+⋅，所以向量a 在向量b 上的投影向量10C 正确；对于D ：因为525,55c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以5252+1055a c ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以a c ⊥，故D 正确， 故选：ACD.6．（2022·安徽亳州·高三期末（理））如图，在平面四边形ACDE 中，点B 在边AC 上，ABE △是等腰直角三角形，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则AD CE ⋅=___________.【答案】-1 【解析】 【分析】以B 为原点，BC BE 、分别为x 、y 轴正方向建立直角坐标系，用坐标法求解. 【详解】如图示，以B 为原点，BC BE 、分别为x 、y 轴正方向建立直角坐标系.则()1,0A -、()1,0C 、()1,1D 、()0,1E ，所以()21AD =，，()11CE =-，， 所以211AD CE ⋅=-+=-. 故答案为：-17．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知向量()2,1a =-，10a b ⋅=，52a b +=，则b =___________.【答案】5 【解析】 【分析】由已知，利用向量数量积的运算律有22250a b a b ++⋅=，结合向量模的坐标计算求||a ，进而求b . 【详解】∵52a b +=，则250a b +=，即22250a b a b ++⋅=， ∴252050b ++=，可得5b =. 故答案为：58．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量(),0,0αβαβ≠≠，β与αβ-的夹角为23π，且()0t t t αββ-=>，则t 的最小值是____________．【答案】233- 【解析】 【分析】作半径为2的圆O ，圆O 上取三点,,A B C ，(3,1)C --，(3,1)B -，A 在,B C 两点的优弧上，3BAC π∠=，这样CB α=，CA β=，满足β与αβ-的夹角为23π，然后把模式平方求得t ，可得最小值． 【详解】如图，设圆O 半径为2，,,A B C 在圆O ，设(3,1)C --，(3,1)B -，3BAC π∠=，CB α=，CA β=，设(2cos ,2sin )A θθ，7(,)66ππθ∈-，(23,0)α=，(2cos 3,2sin 1)βθθ=++，由t t αββ-=得222()t t αββ-=，因为0t >，所以21233233243(2cos 3)2cos 323t ααβθθ===≥=-⋅+++，cos 1θ=时等号成立．故答案为：233-．【点睛】本题考查由模求平面向量的数量积，解题关键是用图形表示出向量α，β，确定点,,A B C 的关系，引入坐标后用坐标表示向量的数量积，从而得出最值．。
向量的坐标表示及其运算
1向量的坐标表示及其运算一、知识点（一）向量及其表示：1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.对于平面直角坐标系内的任意一个向量a ，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合吗？如下图左.显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA ，使OA a =.于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量a 都存在一个与它相等的位置向量OA .由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合，所以平面内任意的一个向量a 都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合.即：a =OA =xi y j +上式中基本单位向量,i j 前面的系数x,y 是与向量a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标.由于基本单位向量,i j 是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y 抽取出来，得到有序实数对（x,y ）.可知有序实数对（x,y ）与向量a 的位置向量OA 是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y ）表示向量a ，并称（x,y ）为向量a 的坐标，记作：a =（x,y ）[说明]（x,y ）不仅是向量a 的坐标，而且也是与a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标！当将向量a 的起点置于坐标原点时，其终点A 的坐标是唯一的，所以向量a 的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量坐标的有关概念（1）基本单位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j，如图，称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，OA即为一个位置向量.如上图右，设如果点A的坐标为(),x y，它在小x轴，y轴上的投影分别为M，N，那么向量OA能用向量OM与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON=+），OM与ON 能用基本单位向量,i j来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得,OM xi ON y j==），于是可得：OA OM ON xi y j=+=+由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.向量的坐标运算：设),(),(),(),,(1121212211yxayyxxbayxbyxaλλλλ=±±=±ℜ∈==，，3.向量的摸：22yxa+=（二）向量平行的充要条件：1向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a⇔b=λa（a≠0）.2设a=（x1，y1），b=（x2，y2）则b∥a⇔1221yxyx=练习2：1．已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且//a b ，则x 为_________；2．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ） ① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2121y yx x =；③(a +b )//(a －b ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个3．设0a 为单位向量，有以下三个命题：（1）若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；(2)若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；（3）若a 与0a 平行且1a =，则0a a =.上述命题中，其中假命题的序号为 ；问题一：已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ [说明] 三点共线的证明方法总结： 法一：利用向量的模的等量关系法二：若A 、B 、C 三点满足AB AC λ=，则A 、B 、C 三点共线.*法三：若A 、B 、C 三点满足OC mOA nOB =+，当1m n +=时，A 、B 、C 三点共线. 问题二：定比分点公式：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.解：由12PP PP λ= ，可知{)()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1， 所以⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ，此公式叫做线段21P P 的中点公式.例、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中点，于是点D 的坐标是（2,22121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =则由定比分点公式得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=21222122213213x x x x y y y y ，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=3332121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.例、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=求实数λ的值. 解1： 由已知可求 1(10,10)PP =，2(15,15)PP λλ=-- 故10=λ .（-15），所以定比λ=-32.解2： 因为12PP PP λ=，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式得12=λλ+-⨯+1)3(2解出实数λ=-32.解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又21PP P P= 32 ，所以λ=-32 .3.向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y == 由于1111(,),a x y x i y j ==+ 2222(,)b x y x i y j ==+ 所以1122(,)(,)a b x y x y ±=±()()1122x i y j x i y j =+±+()()()()()121212121212,x i x i y j y j x x i y y j x x y y =±+±=±+±=±± ()()11111111(,),a x y x i y j x i y j x y λλλλλλλ==+=+=于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ=[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积. 例.如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC 的坐标； （2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.解：（1）()()12,313,2AC =---=- ()()()13,322,1BC =----=（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB = 设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---= 又 ()()32,215,1AB =---=- 故 ()()1,35,1D D x y ---=- 由此可得1531D D x y --=-⎧⎨-=⎩ 解得42D D x y =⎧⎨=⎩因此点D 的坐标为()4,2.1. 如图，写出向量,,a b c 的坐标.2.已知(1,2)a =-，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是 ；DC(-1,3)A(2,1)B(-3,2)yxO若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是 . 3.已知向量()2,3a =-与()1,5b =-，求3a b -及3b a -的坐标.解：1.由题意：()()()()()()2,1,1,1,2,11,121,1(1)1,2a b c ==-=--=---=2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).3. 3a b -=3()7,14---()()1,57,14-=- 3b a -=()1,5--3()2,3-()7,14=-[另法]：3b a -=()3a b --=()7,14--()7,14=-二、典型例题例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少?例2 下列哪些是向量？哪些是标量？（1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量 例3． ∆ABC 中，A （1，1），B （-3，5）， C （8，-3），G 是ABC ∆重心，求GA 的坐标例4. 已知A ()()()()3,2,2,3,1,2,2,1--D C B ()反向的单位向量求与AB 1 ()()的坐标，求点，若E BE 522-= ()3若a BD AC a 求,-=()三点不共线，，求证：C B A 4 ()CD BD AD AC AB ++来表示，以5()()坐标三点共线，求点，，且若P P B A x P 3,6()如图7所示，若点M 分BA 的比λ为3：1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 点的坐标例5若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE 等于 A.b +21a B.b －21a C.a +21b D.a －21b 例6.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1例7.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______.例8 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1B.2C.5D.6. 例11若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上?（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小?例12.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有A.a ∥b 且a 、b 方向相同B.a =bC.a =－bD.以上都不对例13.设四边形ABCD 中，有DC =21AB 且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形例15.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围..例16已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?例17.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC =a ，BD =b ，试用a 、b 分别表示DE 、CE 和MN .AB CDMN E例18在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示AE .A BCMNE1.若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于 A.（－3，6） B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3） 2.已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于A.43 B.－43 C.34D.－343已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1 D.－31．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（ ）A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH AG +D ．GH BG +2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．c b a =+ B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =- 6．下列各量中是向量的是（ ） A ．质量 B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 8．若),,(,,,R o b a b a ∈=+μλμλ不共线则（ ）A ．o b o a ==,B ．o o a ==μ,C ．o b o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于 （ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=-④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e b e e k a +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．已知c b a ,,的模分别为1、2、3，则||c b a ++的最大值为 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、 B 、D 三点共线，求k 的值.19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？20．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使AC AB AP 21λλ+=.1.已知(2,0),(1,3),a b ==-则a b +与a b -的坐标分别为( ) (A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB 的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( ) (A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知(,4),(3,2).a x b y ==-若1,2a b =则x= ,y= . 4.已知AB (1)i x j +-=(2-x)，且AB 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是.5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD .6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=-并且.c xa yb =+求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a m n b mn =+=，且.a b =求,.m n 的值.。
平面向量基本定理及坐标表示
5.已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐 标为_(_1_,_5)__. 设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4,1)＝(5－x,6－y)， 即41＝ ＝56－ －xy， ， 解得xy＝＝15，.
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点， AE的延长线与CD交于点F. 若A→C＝a，B→D＝b，则A→F等于
∴y＝27， 故选 A.
题型三 向量共线的坐标表示
命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标 例3 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_(_3_,3_)_.
方法一 由 O，P，B 三点共线，可设O→P＝λO→B＝(4λ，4λ)， 则A→P＝O→P－O→A＝(4λ－4,4λ). 又A→C＝O→C－O→A＝(－2,6)，
(2)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C＝2A→D，
则顶点 D 的坐标为
A.(2，72)
B.(2，－12)
C.(3,2)
D.(1,3)
设 D(x，y)，A→D＝(x，y－2)，B→C＝(4,3)，
又B→C＝2A→D，∴34＝＝22xy，－2， x＝2，
考点自测
1.设e1，e2是平面内一组基底，那么 A.若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B.空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数) C.对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内 D.对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
A.(4,0)
B.(0,4)
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平面向量的表示和坐标
在数学中，平面向量是描述平面上有大小和方向的量。
平面向量可以通过各种方式进行表示和描述，其中最常用的是用坐标表示法。
一、平面向量的定义和性质
平面向量是由两个有序实数（也可以是复数）组成的有序对。
在平面直角坐标系中，平面向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为平面上的一点。
平面向量的性质如下：
1. 平面向量的大小等于其模长，记作 |AB| 或 ||AB||，表示从 A 点到
B 点的距离。
2. 平面向量的方向由无穷多个与其大小相等的向量共同确定。
3. 平面向量可以通过平移、缩放、反向等运算进行操作。
二、平面向量的坐标表示法
平面向量的坐标表示法是一种常用的描述方法，它使用有序实数对（x，y）表示一个向量。
例如，向量 AB 可以表示为 (x1, y1) 到 (x2, y2) 的有序实数对表示。
三、平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算包括加法、减法、数乘等操作。
1. 加法：设有向线段 AB 和有向线段 CD，分别表示为 AB = (x1, y1) 和 CD = (x2, y2)。
则它们的和为 AB+ CD = (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 减法：设有向线段 AB 和有向线段 CD，分别表示为 AB = (x1, y1) 和 CD = (x2, y2)。
则它们的差为 AB- CD = (x1 - x2, y1 - y2)。
3. 数乘：设有向线段 AB 表示为 AB = (x, y)，常数 k 为实数。
则kAB = (kx, ky)。
四、平面向量的模长和方向角
向量的模长表示向量的大小，可以使用勾股定理计算。
设向量 AB = (x, y)，则其模长|AB| = √(x^2 + y^2)。
向量的方向角表示向量与 x 轴正向的夹角。
设向量 AB 的方向角为α，则有：
α = arctan(y/x) (x>0)
α = arctan(y/x) + π (x<0, y>=0)
α = arctan(y/x) - π (x<0, y<0)
α = π/2 (x=0, y>0)
α = -π/2 (x=0, y<0)
注：arctan 表示反正切函数。
五、平面向量的坐标系变换
在平面向量坐标系中，有时需要进行坐标系的变换。
常见的坐标系
变换有平移和旋转两种。
1. 平移：平移变换是指将向量的坐标点整体平移一定距离。
设向量AB 的坐标为 (x, y)，向左平移 a 个单位，向上平移 b 个单位，则向量
AB 平移后的坐标为 (x+a, y+b)。
2. 旋转：向量旋转是指将向量绕原点旋转一定角度。
设向量 AB 的
坐标为 (x, y)，旋转角度为θ，则向量 AB 旋转后的坐标为 (x', y')，计算公式如下：
x' = x*cosθ - y*sinθ
y' = x*sinθ + y*cosθ
注：cos 表示余弦函数，sin 表示正弦函数。
六、思考题
1. 若向量 AB 的坐标为 (-3, 4)，求向量 AB 的模长和方向角。
2. 若向量 AB 的坐标为 (2, -5)，将向量 AB 逆时针旋转 90°，求旋转
后的坐标。
七、总结
平面向量的表示和坐标法是研究平面向量的基础，通过坐标表示法，我们可以直观地描述和计算平面向量的运算、模长和方向角。
通过此文章的学习，我们掌握了平面向量的定义和性质、坐标表示法、坐标运算、模长和方向角的计算，以及坐标系的平移和旋转变换。
希望通过对平面向量的学习，增进大家对数学中向量概念的理解，并能应用于实际问题的解决中。