平面向量的表示和坐标

平面向量的表示和坐标

在数学中，平面向量是描述平面上有大小和方向的量。平面向量可以通过各种方式进行表示和描述，其中最常用的是用坐标表示法。

一、平面向量的定义和性质

平面向量是由两个有序实数（也可以是复数）组成的有序对。在平面直角坐标系中，平面向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为平面上的一点。

平面向量的性质如下：

1. 平面向量的大小等于其模长，记作 |AB| 或 ||AB||，表示从 A 点到

B 点的距离。

2. 平面向量的方向由无穷多个与其大小相等的向量共同确定。

3. 平面向量可以通过平移、缩放、反向等运算进行操作。

二、平面向量的坐标表示法

平面向量的坐标表示法是一种常用的描述方法，它使用有序实数对（x，y）表示一个向量。

例如，向量 AB 可以表示为 (x1, y1) 到 (x2, y2) 的有序实数对表示。

三、平面向量的坐标运算

平面向量的坐标运算包括加法、减法、数乘等操作。

1. 加法：设有向线段 AB 和有向线段 CD，分别表示为 AB = (x1, y1) 和 CD = (x2, y2)。则它们的和为 AB+ CD = (x1 + x2, y1 + y2)。

2. 减法：设有向线段 AB 和有向线段 CD，分别表示为 AB = (x1, y1) 和 CD = (x2, y2)。则它们的差为 AB- CD = (x1 - x2, y1 - y2)。

3. 数乘：设有向线段 AB 表示为 AB = (x, y)，常数 k 为实数。则kAB = (kx, ky)。

四、平面向量的模长和方向角

向量的模长表示向量的大小，可以使用勾股定理计算。设向量 AB = (x, y)，则其模长|AB| = √(x^2 + y^2)。

向量的方向角表示向量与 x 轴正向的夹角。设向量 AB 的方向角为α，则有：

α = arctan(y/x) (x>0)

α = arctan(y/x) + π (x<0, y>=0)

α = arctan(y/x) - π (x<0, y<0)

α = π/2 (x=0, y>0)

α = -π/2 (x=0, y<0)

注：arctan 表示反正切函数。

五、平面向量的坐标系变换

在平面向量坐标系中，有时需要进行坐标系的变换。常见的坐标系

变换有平移和旋转两种。

1. 平移：平移变换是指将向量的坐标点整体平移一定距离。设向量AB 的坐标为 (x, y)，向左平移 a 个单位，向上平移 b 个单位，则向量

AB 平移后的坐标为 (x+a, y+b)。

2. 旋转：向量旋转是指将向量绕原点旋转一定角度。设向量 AB 的

坐标为 (x, y)，旋转角度为θ，则向量 AB 旋转后的坐标为 (x', y')，计算公式如下：

x' = x*cosθ - y*sinθ

y' = x*sinθ + y*cosθ

注：cos 表示余弦函数，sin 表示正弦函数。

六、思考题

1. 若向量 AB 的坐标为 (-3, 4)，求向量 AB 的模长和方向角。

2. 若向量 AB 的坐标为 (2, -5)，将向量 AB 逆时针旋转 90°，求旋转

后的坐标。

七、总结

平面向量的表示和坐标法是研究平面向量的基础，通过坐标表示法，我们可以直观地描述和计算平面向量的运算、模长和方向角。

通过此文章的学习，我们掌握了平面向量的定义和性质、坐标表示法、坐标运算、模长和方向角的计算，以及坐标系的平移和旋转变换。

希望通过对平面向量的学习，增进大家对数学中向量概念的理解，并能应用于实际问题的解决中。