构造等差数列或等比数列(公开课)

构造等差数列或等比数列

由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，假设能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.

，对于任意正整数n，都例1设各项均为正数的数列的前n项和为S

n

有等式：成立，求的通项a n.

解：，∴

，∵，∴.

即是以2为公差的等差数列，且.

∴

例2数列中前n项的和，求数列的通项公式.

解：∵

当n≥2时，

令，则，且

是以为公比的等比数列，

∴.

2、构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法

就可求得这一数列的通项公式.

例3设是首项为1的正项数列，且，〔n∈

N*〕，求数列的通项公式a n.

解：由题设得.

∵，，∴.

∴

.

例4数列中，，且，〔n∈

N*〕，求通项公式a n.

解：∵

∴〔n

∈N*〕

3、构造商式与积式

构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.

例5数列中，，前n项的和，求.

解：

，

∴

∴

4、构造对数式或倒数式

有些数列假设通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问

题得以解决.

例6设正项数列满足，〔n≥2〕.求数列的通项

公式.

解：两边取对数得：，，设

，则

是以2为公比的等比数列，.

，，，

∴

例7已知数列中，，n≥2时，求通项公式.

解：∵，两边取倒数得.

可化为等差数列关系式.

∴

求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以1

2

n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2

n

n

a 是以1222a 1

1==为首项，以2

3

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n

n a n =-。

评注：此题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为

11

3

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2

n n

a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

评注：此题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+

+-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则

11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13)2(1)3

13

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n n a n =+-

评注：此题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231n n n a a +-=⨯+，进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+，

即得数列{}n a 的通项公式。

例4 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以1

3n +，得

111

21

3333

n n n n n a a +++=++， 则

111

21

3333n n n n n a a +++-=+，故 11223

211

223

2111122122()()()(

)33333333

212121213

()()()()3333333332(1)11111()1

333333

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

因此11

(13)2(1)211

3133133223

n n n n n

a n n ---=++=+--⨯， 则211

33.322

n n n a n =

⨯⨯+⨯- 评注：此题解题的关键是把递推关系式13231n

n n a a +=+⨯+转化为

111

21

3333n n n n n a a +++-=+，