高中数学开放题研究

高中数学开放题研究

摘要：数学开放题强调了学生在教学活动中的主体作用。研究数学开放题，构建数学开放题及其教学模式是对学生进行素质教育的一种有效途径。

关键词：高中；数学；开放题；探究

开放题作为一种具有特殊形式的数学问题，与一般的数学问题一样，也具有知识教育价值。开放题最突出的也是人们谈论最多的是：它有利于培养学生发散思维和创造能力。激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。目前人们普遍认为素质教育的核心是培养创新精神和创造能力，而开放题教学是推进数学素质教育的一个切入点和突破口。这从一个侧面反映了开放题在培养创造能力方面所具有的巨大教育价值。数学教师需要主动接受建构主义教学理论的指导，研究数学开放题，构建数学开放题及其教学模式并用之于数学教学是对学生进行素质教育的一种有效途径。

一、开放题的特点

数学开放题是最富有教育价值的—种数学问题的题型。它具有以下几种最突出的特征：

1.内容的丰富性。开放题题材广泛，涉及面宽，贴进学生生活实际，背景新颖，内容深刻，解法灵活，不像封闭性题目那样简单、乏味，单靠纯记忆、套模式来解题。

2.形式的多样性。开放题呈现的形式多样化，除文字叙述外，还可以用表格、图画、对话等形式来安排设计，综合性强，不像封闭性习题形式那样单一地呈现和呆板的叙述。

3.思路的发散性。由于开放题的答案不唯一，解题时需要运用多种思维方法，并通过多角度、全方位的分析探索，从而获得多种结论。

4.教育的创新性。其解题思路具有发散性，为学生提供了充分发挥创新意识和创新精神的时空途径。

数学开放性题是近年高考命题的一个新的亮点，其解法灵活且具有—定探索性。这类题型按解题目标的操作模式分为：规律探索型、问题探究型、数学建模型、操作设计型、情景研究型。如果“未知的”是解题假设，那么就称为条件开放型；如果“未知的”是解题目标，那么就称为结论开放型：如果“未知的”是解题推理，那么就称为策略开放型。

二、数学开放题的分类与设计策略

1.对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类：如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情景中自行设定与寻找，则称为综合开放题。

（1）条件开放题，即未知的要素是条件。

例2：1999年全国高考题：α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_________。这就是一个非常开放的问题，学生可以根据自己原有的认知水平，得到不同的方案。①m⊥α,n⊥β,α⊥β. ②m⊥n，m⊥α，n⊥β这样的问题设计有助于培养学生的创新意识，发展创新能力。

（2）结论开放，即未知的要素是判断。

例3：用实际例子说明所表示的意义。

给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发给出实例。

1.X表示时间（单位：s），y表示速度（单位：m/s），开始计时后质点以10m/s的初速度作匀加速运动，加速度为2m/s2，5秒钟后质点以20m/s的速度作匀速运动，10秒钟后质点以-2m/s2的加速度作匀减速运动，直到质点运动到20秒末停下。

2.季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后当季即将过去，平均每周削价2元，直到20周末该服饰不再销售。

函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义，本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的一般性和背景的多样性。这是对问题理解上的开放。其思维的多向性、灵活性显露得淋漓尽致，学生不但可以巩固知识，培养技能，而且更可以有表现自己创造力的机会。

（3）策略开放，即未知的要素是推理。

例4：①若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张长方形桌子，有几种拼法？（两种，如图1、2）。

先让学生把表格中的前4项填好，之后再讨论n张桌子可坐几人？

学生可以从不同的角度思考，得到不同的策略：①一张桌子可坐6人，每增加一张桌子增加4人，几张桌子增加4（n-1）人，因此n张桌子可坐[6+4（n-1）]人，即（4n+2）人；②桌子无论增加几张，左右两侧始终只能坐2人，而每张桌子的上下两侧都可坐4人，故有（4n+2）人；③每张桌子可坐6人，那么n张桌子按理可坐6n人，但要减去每两张桌子重合的2人。列式得6n-2（n-1），等于（4n+2）人；④一张桌子的一半可坐（2+1）人，n张桌子的一半可坐（2n+1）人，因此，n张桌子可坐2（2n+1）人，即（4n+2）人。这一系列问题的设计给学生的不同见解留下了足够的空间，学生可以在自己原有的知识结构中进行同化，多角度、多方位地去寻找解题策略。

四、开放题对教师的转化作用

1.开放题对教师观念的转变

开放题的出现以及对其教育功能的肯定，一方面反映了人们数学教育观念的转变；另一方面适应了飞速发展的时代的需要。实际上反映了人们对于数学教学新模式的追求，是人们站在新时代历史的高度上对数学教育改革的新探索。

2.开放题对教师角色的转变

在开放题教学中，教师的角色定位，即在教学过程中，教师不是教学活动的主角，而是“编剧”和“导演”；不是知识的传授者，而是教学内容和教学活动的设计者、促进者、示范者、组织者、调控者。

五、数学开放题对数学教学的意义

数学开放题作为一种教学思想反映在以下几个方面：

1.数学开放题强调了数学知识的整体性

封闭式的例题、习题式的数学教学仅停留在分类介绍技巧和方法的水平上，指向知识、技能、原理和它们的适用性，往往会导致学生对某个结论或方法的记忆。它重视的是学生计算、演绎等严格推理的能力，忽视的是培养学生的数学实践，寻找相似性等非形式推理的能力。

2.数学开放题强调了数学教学的思维性

封闭的数学题教学面向事实性的知识和程序性的技能而不是强调高层次的技能，而数学开放题作为一个教学思想强调和反映学生高层次的能力和开放性、创造性的思维。

3.数学开放题强调解决问题的过程

数学开放题教学与封闭的数学题教学的另一不同点是侧重学生解决问题的思路和策略而不是问题的答案，侧重学生获得解答的过程。因为在数学教学中，不仅要注意其产物，而且要注意其过程，注意对学生解决问题的思路的分析。

4.数学开放题强调了学生在教学活动中的主体作用

数学开放题把数学教学建立在学生的学习基础之上，更能反映出学生的主动性和创造性，反映出学生的主体作用，有利于改变以教师为中心的教学方法。

5.数学开放题有利于提高学生学习的积极性，提高学习的内在动力

数学开放题提供学生一种数学活动，在活动中展示和提高自己的数学才能，在活动中交流体会，增强主体意识，在解决问题的过程中感受到数学的美感和解决问题的趣味。

参考文献：

[1]郑毓信.开放题与开放式教学[J].中学数学教学参考,2006(3).

[2]戴再平.高中数学开放题集[M].上海：上海教学出版社,2004.

Abstract: Open mathematics questions emphasize students' subjective role in teaching activities.Studying open mathematics questions, and constructing open mathematics questions and its teaching patterns is an effective way to implement quality education. Key words: senior high school; mathematics; open questions; exploration